Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások"

Átírás

1 Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = Írd fel annak a körnek az egyenletét, amelynek középpontja a K (5; 2) pont és áthalad a P (4; 3) ponton! Számítsuk ki a sugár hosszát: r = KP = (4 5) 2 + (3 ( 2)) 2 = 26. Ezek alapján a keresett kör egyenlete: (x 5) 2 + (y + 2) 2 = Határozd meg az (x + 5) 2 + (y 8) 2 = 4 egyenletű kör középpontját és sugarát! Mutasd meg, hogy a P ( 7; 8), Q (3; 2) és R ( 4; 7) pontok hogyan helyezkednek el a körhöz képest! Az adott kör középpontja a K ( 5; 8) pont, sugara pedig r = 2. Helyettesítsük az adott pontok koordinátáit a kör egyenletébe: A P pont esetén a behelyettesítés után azt kapjuk, hogy 4 = 4, vagyis a pont illeszkedik a körre. A Q pont esetén a behelyettesítés után azt kapjuk, hogy 164 > 4, vagyis a pont a körön kívül helyezkedik el. Az R pont esetén a behelyettesítés után azt kapjuk, hogy 2 < 4, vagyis a pont a körön belül helyezkedik el. 4. Kicsinyítsük az origóból a felére az (x + 8) 2 + (y 2) 2 = 16 egyenletű kört, majd forgassuk el a P (1; 5) pont körül kal. Határozd meg a keletkező kör egyenletét! Az adott kör középpontja a K ( 8; 2) pont, a sugara pedig r = 4. A kicsinyített kör középpontja az OK szakasz felezőpontja: K ( 4; 1). Sugara pedig r = 2. A PK ( 5; 4) vektor os elforgatottja a PK (4; 5) vektor, vagyis a kör középpontja a K (5; 0) pont. Ezek alapján a keresett kör egyenlete: (x 5) 2 + y 2 = 4. 1

2 5. Írd fel annak a körnek az egyenletét, amelynek átmérője az AB szakasz, ha az adott pontok A ( 2; 3) és B (4; 5)! Az AB átmérőjű kör középpontja az AB szakasz felezőpontja: K (1; 4). Számítsuk ki a sugár hosszát: r = KA = ( 2 1) 2 + (3 4) 2 = 10. Ezek alapján a keresett kör egyenlete: (x 1) 2 + (y 4) 2 = Írd fel az (x 2) 2 + (y 6) 2 = 16 egyenletű körrel koncentrikus, a T (5; 2) ponton áthaladó kör egyenletét! A koncentrikus kör középpontja megegyezik az adott kör középpontjával: K (2; 6). Számítsuk ki a sugár hosszát: r = KT = (5 2) 2 + (2 6) 2 = 25 = 5. Ezek alapján a keresett kör egyenlete: (x 2) 2 + (y 6) 2 = Tükrözzük az x tengelyre az (x 6) 2 + (y + 4) 2 = 36 egyenletű kört, majd toljuk el a v (2; 3) vektorral. Határozd meg az így keletkező kör egyenletét! Az adott kör középpontja a K (6; 4) pont, a sugara pedig r = 6. A tükrözés után a kör középpontja a K (6; 4) pont. Ezt eltolva a v vektorral, a keresett kör középpontja a K (8; 7) pont. Ezek alapján a keresett kör egyenlete: (x 8) 2 + (y 7) 2 = Határozd meg az alábbi egyenletekből a körök középpontját és sugarát! a) x 2 + y 2 10x + 22y + 92 = 0 b) x 2 y 2 + 2x = 4 c) 4x 2 + 4y 2 20x 75 = 0 d) x 2 + y 2 8y + 20 = 0 e) x 2 + y 2 4x + 9y 3xy + 5 = 16 2

3 Az egyenleteket teljes négyzetté alakítással hozzuk megfelelő alakra. a) x 2 + y 2 10x + 22y + 92 = 0 (x 5) (y + 11) = 0 (x 5) 2 + (y + 11) 2 = 54 Ezek alapján a kör középpontja a K (5; 11) pont, sugara pedig r = 54. b) x 2 y 2 + 2x = 4 Mivel az x 2 és az y 2 együtthatója nem egyezik meg (1 1), így ez nem kör egyenlet. c) 4x 2 + 4y 2 20x 75 = 0 x 2 + y 2 5x 75 4 = 0 (x 5 2 )2 + y 2 = 25 Ezek alapján a kör középpontja a K ( 5 ; 0) pont, sugara pedig r = 5. 2 d) x 2 + y 2 8y + 20 = 0 x 2 + (y 4) 2 = 4 Mivel a jobb oldalon negatív szám keletkezett, így ez nem kör egyenlet. e) x 2 + y 2 4x + 9y 3xy + 5 = 16 Mivel a bal oldalon található xy os tag, így ez nem kör egyenlet. 9. A p paraméter mely valós értékei esetén lesz az x 2 + y 2 8x + 6y + p = 0 egyenlet egy kör egyenlete? Mely p értékek esetén lesz a kör sugara 3? Hozzuk a kör egyenletét általános alakra: (x 4) 2 + (y + 3) 2 = 25 p. Ezek alapján 25 p > 0, vagyis 25 > p. A kör sugara pedig akkor lesz 3, ha 25 p = 9, vagyis p = 16. 3

4 10. Határozd meg a 4x 2 + Ay 2 + Bxy + Cy 8x 60 = 0 egyenletben az A, B, C együtthatók értékét úgy, hogy az egyenlet egy r = 5 egység sugarú kör egyenlete legyen. Határozd meg a kör középpontjának koordinátáit! Mivel a kör egyenletében az x 2 és az y 2 együtthatójának meg kell egyeznie, ezért A = 4. Mivel a kör egyenletében nem szerepelhet xy os tag, ezért B = 0. Hozzuk az így keletkező 4x 2 8x + 4y 2 + Cy = 60 kör egyenletet általános alakra: (x 1) 2 + (y + C 8 )2 = 16 + C2 64. Ebből a sugár segítségével írjuk fel a következő egyenletet: 16 + C2 64 = 25. Ezt megoldva azt kapjuk, hogy C 1 = 24 és C 2 = 24. Ezek alapján a keresett körök középpontja K 1 (1; 3) és K 2 (1; 3). 11. Határozd meg a x 2 + y 2 6x 4y 3 = 0 egyenletű kör P (1; 3) pontra vonatkozó tükörképének egyenletét! Hozzuk a kör egyenletét általános alakra: (x 3) 2 + (y 2) 2 = 16. Az adott kör középpontja a K (3; 2) pont, sugara pedig r = 4. A tükrözés során a P pont a KK szakasz felezőpontja, vagyis K ( 1; 4). Ezek alapján a keresett kör egyenlete: (x + 1) 2 + (y 4) 2 = Határozd meg annak a körnek az egyenletét, amely koncentrikus az x 2 + y 2 6x + 10y 2 = 0 egyenletű körrel, és sugara kétszer akkora! Hozzuk a kör egyenletét általános alakra: (x 3) 2 + (y + 5) 2 = 36. Az adott kör középpontja a K (3; 5) pont, sugara pedig r = 6. Ebből adódik, hogy a keresett kör középpontja a K (3; 5) pont és a sugara pedig r = 12. Ezek alapján a keresett kör egyenlete: (x 3) 2 + (y + 5) 2 =

5 13. Írd fel a kör egyenletét, ha a középpontjára illeszkedik az e: x + 2y = 12, illetve f: x y = 0 egyenes és a kör átmegy az origón! Határozzuk meg az e és f egyenes metszéspontját: x + 2y = 12 x y = 0 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 4 és y = 4, vagyis a kör középpontja: K (4; 4). A kör egy pontja az origó: P (0; 0). Számítsuk ki a sugár hosszát: r = KP = (0 4) 2 + (0 4) 2 = 32. Ezek alapján a keresett kör egyenlete: (x 4) 2 + (y 4) 2 = Írd fel annak a körnek az egyenletét, amely áthalad a P (3; 0) és Q ( 1; 2) pontokon, és a középpontja illeszkedik az e: x y = 2 egyenletű egyenesre! A kör középpontja illeszkedik bármely húrjának felezőmerőlegesére. Írjuk fel a PQ szakasz f felezőmerőlegesének egyenletét: 2x y = 1. Határozzuk meg az e és f egyenes metszéspontját: x y = 2 2x y = 1 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 3 és y = 5, vagyis a kör középpontja: K (3; 5). Számítsuk ki a sugár hosszát: r = KP = (3 3) 2 + (0 5) 2 = 5. Ezek alapján a keresett kör egyenlete: (x 3) 2 + (y 5) 2 = Határozd meg azon síkbeli pontok halmazának egyenletét, amelyek az A (10; 0) ponttól másfélszer akkora távolságra vannak, mint a B (0; 10) ponttól! Tekintsünk egy tetszőleges P (x; y) pontot, ekkor felírhatjuk a következőt: 3 PB = PA. 2 Írjuk fel ezt koordináták segítségével: 3 2 (0 x)2 + (10 y) 2 = (10 x) 2 + (0 y) 2. Rendezés után a következő (Apollóniosz) kör egyenlet adódik: (x + 8) 2 + (y 18) 2 =

6 16. Írd fel annak a körnek az egyenletét, amely az x - tengelyt az origóban érinti, és áthalad a P (0; 4) ponton! A kör az x tengelyt az E (0; 0) pontban érinti. Mivel a sugár merőleges az érintőre, így a kör középpontja illeszkedik az y tengelyre. Az adott P (0; 4) szintén illeszkedik az y tengelyre, így az EP szakasz a kör átmérője. Ebből adódik, hogy a kör középpontja az EP szakasz felezőpontja: K (0; 2). Számítsuk ki a sugár hosszát: r = KE = (0 0) 2 + (0 2) 2 = 2. Ezek alapján a keresett kör egyenlete: x 2 + (y 2) 2 = Írd fel annak a 4 sugarú körnek az egyenletét, amely az y - tengelyt a 3 ordinátájú pontban érinti! Az y tengelyt két oldalról lehet érinteni, így két megoldása lesz a feladatnak. Mivel a körök az y tengelyt az E (0; 3) pontban érintik és sugaruk r = 4, így a körök középpontja K 1 (4; 3) és K 2 ( 4; 3). Ezek alapján a keresett körök egyenlete: (x 4) 2 + (y 3) 2 = 16 (x + 4) 2 + (y 3) 2 = Írd fel a kör egyenletét, ha sugara 5 egység, középpontja az x = 3 egyenesre illeszkedik és érinti az x tengelyt! Az x = 3 egyenletű egyenes és az x tengely metszéspontja az E (3; 0) érintési pont. Az x tengelyt két oldalról lehet érinteni, így két megoldása lesz a feladatnak. Mivel a körök az x tengelyt az E (3; 0) pontban érintik és sugaruk r = 5, így a körök középpontja K 1 (3; 5) és K 2 (3; 5). Ezek alapján a keresett körök egyenlete: (x 3) 2 + (y 5) 2 = 25 (x 3) 2 + (y + 5) 2 = 25. 6

7 19. Írd fel annak a körnek az egyenletét, amelynek sugara 5 egység, áthalad a P (9; 9) ponton és érinti az y tengelyt! Mivel a P (9; 9) pont az első síknegyedbe esik, illetve a kör érinti az y tengelyt és sugara r = 5, így a kör középpontja a K (5; v) pont. Ebből írjuk fel a kör egyenletét következőképpen: (x 5) 2 + (y v) 2 = 25. Helyettesítsük a P pont koordinátáit a kör egyenletébe: (9 5) 2 + (9 v) 2 = 25. Rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: v 2 18v + 72 = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldása v 1 = 6 és v 2 = 12. Ebből adódik, hogy a körök középpontja K 1 (5; 6) és K 2 (5; 12). Ezek alapján a keresett két kör egyenlete: (x 5) 2 + (y 6) 2 = 25 (x 5) 2 + (y 12) 2 = Írd fel annak a körnek az egyenletét, amelynek középpontja a K (3; 3) pont, és érinti a koordináta tengelyeket! Mivel a kör érinti a koordináta tengelyeket, ezért a kör sugara (a középpont távolsága a koordináta - tengelyektől) a középpont koordinátáinak abszolútértéke: r = 3 = 3. Ezek alapján a keresett kör egyenlete: (x 3) 2 + (y 3) 2 = Írd fel annak a körnek az egyenletét, amely áthalad a P (2; 9) ponton és érinti a koordináta - tengelyeket! Mivel a kör érinti a koordináta tengelyeket és a P (2; 9) pont illeszkedik a körre, ezért a kör középpontja az első síknegyedbe esik, vagyis a középpont koordinátákkal felírva: K (r; r). Ebből írjuk fel a kör egyenletét következőképpen: (x r) 2 + (y r) 2 = r 2. Helyettesítsük a P pont koordinátáit a kör egyenletébe: (2 r) 2 + (9 r) 2 = r 2. 7

8 Rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: r 2 22r + 85 = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldása r 1 = 5 és r 2 = 17. Ebből adódik, hogy a körök középpontja K 1 (5; 5) és K 2 (17; 17). Ezek alapján a keresett körök egyenlete: (x 5) 2 + (y 5) 2 = 25 (x 17) 2 + (y 17) 2 = Határozd meg annak a körnek az egyenletét, amely átmegy a P (2; 1) ponton, érinti az ordinátatengelyt, középpontja az x y = 2 egyenesen van! Az y tengelyt érintő kör középpontja K (r; v) és mivel a középpont illeszkedik az adott egyenesre, így felírhatjuk a következőképpen: K (r; r 2). Ebből írjuk fel a kör egyenletét következőképpen: (x r) 2 + [y (r 2)] 2 = r. Helyettesítsük a P pont koordinátáit a kör egyenletébe: (2 r) 2 + [ 1 (r 2)] 2 = r. Rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: r 2 6r + 5 = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldása r 1 = 1 és r 2 = 5. Ezek alapján a keresett körök egyenlete: (x 1) 2 + (y + 1) 2 = 1 (x 5) 2 + (y 3) 2 = Írd fel annak a körnek az egyenletét, amely érinti a két koordináta tengelyt, és középpontja az e: y = 2x + 3 egyenesen van! A keresett kör középpontja illeszkedik az f: y = x, vagy a g: y = x egyenletű egyenesre, vagyis két megoldása lesz a feladatnak. Határozzuk meg az e és f egyenes metszéspontját: y = 2x + 3 } y = x Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 3 és y = 3, vagyis a kör középpontja: K 1 ( 3; 3). 8

9 Mivel a kör érinti a koordináta tengelyeket, ezért a kör sugara (a középpont távolsága a koordináta - tengelyektől) a középpont koordinátáinak abszolútértéke: r = 3 = 3. Ezek alapján az első kör egyenlete: (x + 3) 2 + (y + 3) 2 = 9. Határozzuk meg az e és g egyenes metszéspontját: y = 2x + 3 y = x } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 1 és y = 1, vagyis a kör középpontja: K 2 ( 1; 1). Mivel a kör érinti a koordináta tengelyeket, ezért a kör sugara (a középpont távolsága a koordináta - tengelyektől) a középpont koordinátáinak abszolútértéke: r = 1 = 1 = 1. Ezek alapján a második kör egyenlete: (x + 1) 2 + (y 1) 2 = Határozd meg a k: x 2 + y 2 = 25 kör és az e: 2x + y = 10 egyenes közös pontját! Határozzuk meg a k kör és az e egyenes metszéspontját: x 2 + y 2 = 25 2x + y = 10 } A második egyenletből fejezzük ki valamelyik ismeretlent: y = 10 2x. Ezt helyettesítsük az első egyenletbe: x 2 + (10 2x) 2 = 10. Rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: x 2 8x + 15 = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldása x 1 = 5 és x 2 = 3. Ezeket visszahelyettesítve y 1 = 0 és y 2 = 4 adódik. Ezek alapján az alakzatoknak két közös pontja van: P (5; 0) és Q (3; 4). 25. Milyen helyzetű a k: x 2 + y 2 2x 4y 15 = 0 kör és az f: 3x 2y = 7 egyenes? Írjuk fel a két alakzat egyenletéből álló egyenletrendszert: x 2 + y 2 2x 4y 15 = 0 } 3x 2y = 7 9

10 Behelyettesítés és rendezés után a következő egyenlet adódik: 13y 2 20y 128 = 0. Számítsuk ki a diszkrimináns értékét: D = ( 20) ( 128) = Mivel D > 0, így két megoldása van az egyenletrendszernek, vagyis az egyenes szelő. 26. Számítsd ki a k 1 : x 2 + y 2 10x 8y 4 = 0 és a k 2 : x 2 + y 2 2x 4y = 0 kör metszéspontjának koordinátáit! Határozzuk meg a k 1 kör és a k 2 kör metszéspontját: x 2 + y 2 10x 8y = 4 x 2 + y 2 2x 4y = 0 } A második egyenletből vonjuk ki az elsőt: 8x + 4y = 4. Ebből fejezzük ki valamelyik ismeretlent: y = 2x 1. Ezt helyettesítsük a második egyenletbe: x 2 + ( 2x 1) 2 2x 4 ( 2x 1) = 0. Rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: x 2 + 2x + 1 = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldása x = 1. Ezt visszahelyettesítve azt kapjuk, hogy y = 1. Ezek alapján az alakzatoknak egy közös pontja van, az E ( 1; 1) érintési pont. 27. Milyen helyzetű a k 1 : x 2 + y 2 2x 4y 3 = 0 és k 2 : x 2 + y 2 4x 6y 5 = 0 kör egymással? Hozzuk a körök egyenletét általános alakra: (x 1) 2 + (y 2) 2 = 8 (x 2) 2 + (y 3) 2 = 18. Az első kör középpontja a K 1 (1; 2) pont, sugara pedig r 1 = 8. A második kör középpontja a K 2 (2; 3) pont, sugara pedig r 2 =

11 Számítsuk ki a két középpont távolságát: d (K 1 ; K 2 ) = (2 1) 2 + (3 2) 2 = 2. Mivel d (K 1 ; K 2 ) = r 1 r 2 és r 1 < r 2, így a k 1 kör belülről érinti a k 2 kört. 28. Határozd meg a p paraméter értékét úgy, hogy az x 2 + y 2 2x 2y 3 = 0 egyenletű kör és az 2x + y = p egyenes érintse egymást! Írjuk fel a két alakzat egyenletéből álló egyenletrendszert: x 2 + y 2 2x 2y 3 = 0 } 2x + y = p Behelyettesítés és rendezés után a következő paraméteres egyenlet adódik: 5x 2 (4p 2) x + p 2 2p 3 = 0. Mivel az egyenes érintő, így az egyenletnek egy megoldása van, vagyis a diszkrimináns 0. Ebből felírhatjuk a következőt: [ (4p 2)] (p 2 2p 3) = 0. Rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: p 2 6p 16 = 0. A megoldóképlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldása p 1 = 2 és p 2 = A k 1 kör egyenlete (x 3) 2 + (y 6) 2 = 16, a k 2 kör középpontja K 2 ( 2; 3). Mekkora a k 2 sugara, ha a két körnek két közös pontja van? Az első kör középpontja a K 1 (3; 6) pont, sugara pedig r 1 = 4. Számítsuk ki a két középpont távolságát: d (K 1 ; K 2 ) = ( 2 3) 2 + ( 3 6) 2 = 106. A körök metszők, így felírhatjuk a következőt: 4 r 2 < 106 < 4 + r 2. Mivel 4 r 2 < 0, így a megoldás: < r 2 <

12 30. Határozd meg a k 1 : (x 1) 2 + (y 3) 2 = 20 és a k 2 : (x 10) 2 + y 2 = 50 egyenletű körök közös húrjának hosszát! Határozzuk meg a k 1 és k 2 körök metszéspontját: (x 1) 2 + (y 3) 2 = 20 (x 10) 2 + y 2 = 50 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x 1 = 3; x 2 = 5 és y 1 = 1; y 2 = 5, vagyis a húr két végpontja: A (3; 1) és B (5; 5). Ezek alapján a húr hossza: AB = (5 3) 2 + (5 + 1) 2 = Add meg azokat az egyeneseket, amelyeknek az (x 2) 2 + (y 3) 2 = 3 egyenletű körrel két metszéspontja van, s illeszkednek az origóra! Az origóra illeszkedő egyenesek általános alakja: y = mx. Írjuk fel a két alakzat egyenletéből álló egyenletrendszert: (x 2) 2 + (y 3) 2 = 3 } y = mx Behelyettesítés és rendezés után a következő paraméteres egyenlet adódik: (m 2 + 1) x 2 (4 + 6m) x + 10 = 0 Az egyenletnek akkor van két megoldása, ha a diszkrimináns értéke pozitív. Ebből felírhatjuk a következőt: [ (4 + 6m)] 2 4 (m 2 + 1) 10 > 0 Rendezés után a következő másodfokú egyenlőtlenség adódik: m 2 12m + 6 < 0. A kapott egyenlőtlenséget megoldása: 6 30 < m < Írd fel az x 2 + y 2 + 4x + 8y 5 = 0 egyenletű kör 4 3 egyenletét! meredekségű érintőinek Az adott meredekségű érintő iránytényezős egyenlete: y = 4 x + b. 3 12

13 Írjuk fel a két alakzat egyenletéből álló egyenletrendszert: x 2 + y 2 + 4x + 8y 5 = 0 y = 4 3 x + b } Behelyettesítés és rendezés után a következő paraméteres egyenlet adódik: 25x 2 ( b) x + 9b b 45 = 0 Mivel az egyenes érintő, így az egyenletnek egy megoldása van, vagyis a diszkrimináns 0. Ebből felírhatjuk a következőt: [ ( b)] (9b b 45) = 0. Rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: 12b b 300 = 0. A megoldóképlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldása b 1 = 15 és b 2 = 5. 3 Ezek alapján a keresett érintők egyenlete: y = 4 3 x 15 és y = 4 3 x Határozd meg az A ( 1; 1), B (4; 4) és C (4; 2) pontok által meghatározott háromszög köré írható kör egyenletét! A köré írt körének középpontját megkaphatjuk az oldalfelező merőlegesek metszéspontjaként. Írjuk fel az AB oldal felezőmerőlegesének egyenletét: x y = 3. Írjuk fel a BC oldal felezőmerőlegesének egyenletét: y = 1. Határozzuk meg az AB és BC oldal felezőmerőlegesek metszéspontját: x y = 3 y = 1 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 2 és y = 1, vagyis a kör középpontja: K (2; 1). A kör sugara a kör középpontjának és a háromszög egy csúcsának a távolsága. Számítsuk ki a sugár hosszát: r = KC = (4 2) 2 + (2 ( 1)) 2 = 13. Ezek alapján az ABC köré írt körének egyenlete: (x 2) 2 + (y + 1) 2 =

14 34. Egy háromszög csúcsai A ( 3; 0), B (5; 0) és C (0; 8). Írd fel a háromszög Feuerbach körének egyenletét! A háromszög Feuerbach köre illeszkedik az oldalfelezőpontokra. Számítsuk ki az oldalfelező pontok koordinátáit: F AB (1; 0); F AC ( 3 2 ; 4) ; F BC ( 5 2 ; 4). Írjuk fel az F AB F AC oldal f 1 felezőmerőlegesének egyenletét: 20x 32y = 69. Írjuk fel az F AC F BC oldal f 2 felezőmerőlegesének egyenletét: 4x = 2. Határozzuk meg az f 1 és f 2 felezőmerőlegesek metszéspontját: 20x 32y = 69 } 4x = 2 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 1 2 és y = 79 32, vagyis a kör középpontja: K (1 2 ; ). Számítsuk ki a sugár hosszát: r = F AB K = ( 1 2 1)2 + ( )2 = Ezek alapján a Feuerbach - kör egyenlete: (x 1 2 )2 + (y )2 = Bizonyítsd be, hogy a következő pontok egy húrnégyszög csúcsai: A (8; 4), B (10; 0), C (2; 4) és D (1; 3)! A húrnégyszög csúcsai egy körre illeszkednek, ezért először határozzuk meg 3 (tetszőlegesen választott) pont köré írt körének egyenletét, majd vizsgáljuk meg, hogy a negyedik pont illeszkedik - e a kapott körre. Tekintsük az ABC - et. A köré írt körének középpontját megkaphatjuk az oldalfelező merőlegesek metszéspontjaként. Írjuk fel az AB oldal felezőmerőlegesének egyenletét: x 2y = 5. Írjuk fel a BC oldal felezőmerőlegesének egyenletét: 2x + y =

15 Határozzuk meg az AB és BC oldal felezőmerőlegesek metszéspontját: x 2y = 5 2x + y = 10 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 5 és y = 0, vagyis a kör középpontja: K (5; 0). A kör sugara a kör középpontjának és a háromszög egy csúcsának a távolsága. Számítsuk ki a sugár hosszát: r = KB = (10 5) 2 + (0 0) 2 = 5. Ezek alapján az ABC köré írt körének egyenlete: (x 5) 2 + y 2 = 25. Végül helyettesítsük a D pont koordinátáit a kör egyenletébe: (1 5) = 25. Mivel 25 = 25 azonosságot kapunk, így a D pont illeszkedik a háromszög köré írt körére, vagyis az adott pontok egy húrnégyszöget határoznak meg. Második módszer: A húrnégyszög szemben fekvő szögei kiegészítő szögek, így mutassuk meg, hogy az ABCD négyszög két szemben fekvő szögének összege 180. Számítsuk ki az α szöget skaláris szorzat segítségével. Az oldalvektorok koordinátái AB (2; 4) és AD ( 7; 1), vagyis az α szög nagysága: cos α = 2 ( 7) + ( 4) ( 1) ( 4) 2 ( 7) 2 + ( 1) 2 = α 108,43 Számítsuk ki a γ szöget skaláris szorzat segítségével. Az oldalvektorok koordinátái CB (8; 4) és CD ( 1; 7), vagyis a γ szög nagysága: cos γ = 8 ( 1) = ( 1) γ 71,57 Mivel az α + γ = 108, ,57 = 180, így az ABCD négyszög szemben fekvő szögei kiegészítő szögek, vagyis a négyszög húrnégyszög. 15

16 36. Egy húrnégyszög három csúcsának koordinátái: A ( 2; 2), B( 1; 3) és C (1; 1). A negyedik csúcs az ordinátatengelyen található. Mik lehetnek ennek a koordinátái? Írjuk fel az AB húr felezőmerőlegesének egyenletét: x + y = 1. Írjuk fel a BC húr felezőmerőlegesének egyenletét: x y = 2. Határozzuk meg az AB és BC húr felezőmerőlegesek metszéspontját: x + y = 1 x y = 2 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 1 2 és y = 3 2, vagyis a kör középpontja: K ( 1 2 ; 3 2 ). Számítsuk ki a sugár hosszát: r = KC = (1 ( 1 2 )) 2 + (1 3 2 )2 = 10 4 = 5 2. Ezek alapján a ABC köré írt körének egyenlete: (x )2 + (y 3 2 )2 = 5 2. A negyedik csúcs illeszkedik az y tengelyre, vagyis koordinátákkal felírva: D (0; y). Helyettesítsük a D pont koordinátáit a köré írt kör egyenletébe: ( )2 + (y 3 2 )2 = 5 2. Rendezés után a következő egyenlet adódik: y 2 3y = 0. Ezt megoldva azt kapjuk, hogy y 1 = 0 és y 2 = 3. Ezek alapján két négyszög adódik, melyek negyedik csúcsa: D 1 (0; 0) és D 2 (0; 3). 37. Írd fel a k: x 2 + y 2 2x 4y 20 = 0 kör P (5; 5) pontjához tartozó e érintőjének egyenletét! Hozzuk a kör egyenletét általános alakra: (x 1) 2 + (y 2) 2 = 25. Ebből adódik, hogy a kör középpontja a K (1; 2) pont, sugara pedig 5. A P pont koordinátáit behelyettesítve a kör egyenletébe azt kapjuk, hogy 25 = 25, vagyis a pont illeszkedik a körre. 16

17 Mivel az érintési pontba húzott sugár merőleges az érintőre, így a középpont és az érintési pont által meghatározott vektor normálvektora az érintőnek. Írjuk fel az e érintő egyenletét: Az e érintő egy pontja: P (5; 5) érintési pont. A KP vektor az e érintő egy normálvektora: KP (4; 3) = n e. Ezek alapján az e érintő egyenlete: 4x + 3y = Írd fel a k 1 : x 2 + y 2 = 25 körhöz a P (7; 1) pontból húzható érintők egyenletét! A P pont koordinátáit behelyettesítve a kör egyenletébe azt kapjuk, hogy 50 > 25, vagyis a pont a körön kívül helyezkedik el. Egy külső pontból két érintő húzható a körhöz, s az érintők egyenletéhez meg kell határoznunk az érintési pontokat. Az adott kör középpontja a K (0; 0) pont, sugara pedig r = 5. Írjuk fel a KP szakasz, mint átmérő fölé rajzolható k 2 Thalesz kör egyenletét: A k 2 kör középpontja a KP szakasz felezőpontja: F KP ( 7 2 ; 1 2 ). Számítsuk ki a sugár hosszát: r 2 = KF KP = ( 7 2 0)2 + ( 1 2 0)2 = Ezek alapján a k 2 Thalesz - kör egyenlete: (x 7 2 )2 + (y 1 2 )2 = Határozzuk meg a k 1 és a k 2 kör metszéspontját: x 2 + y 2 = 25 (x 7 2 )2 + (y 1 2 )2 = 25 } 2 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x 1 = 4; x 2 = 3 és y 1 = 3; y 2 = 4, vagyis a két érintési pont: E 1 (4; 3) és E 2 (3; 4). 17

18 Írjuk fel a kapott érintési pontokra illeszkedő e 1 és e 2 érintők egyenletét: Az e 1 érintő egy pontja: P (7; 1). A KE 1 vektor az e 1 érintő egy normálvektora: KE 1 (4; 3) = n e1. Ezek alapján az e 1 érintő egyenlete: 4x 3y = 25. Az e 2 érintő egy pontja: P (7; 1). A KE 2 vektor az e 2 érintő egy normálvektora: KE 2 (3; 4) = n e2. Ezek alapján az e 2 érintő egyenlete: 3x + 4y = 25. Második módszer: A P pontra illeszkedő egyenesek iránytényezős alakja: y 1 = m (x 7). (A P pontra illeszkedik továbbá az x = 7 egyenes is, de az nem érintője a körnek.) Írjuk fel a két alakzat egyenletéből álló egyenletrendszert: x 2 + y 2 = 25 y 1 = m (x 7) } Behelyettesítés és rendezés után a következő paraméteres egyenlet adódik: (1 + m 2 ) x 2 (14m 2 2m) x + 49m 2 14m 24 = 0 Mivel az egyenes érintő, így az egyenletnek egy megoldása van, vagyis a diszkrimináns 0. Ebből felírhatjuk következőt: [ (14m 2 2m)] 2 4 (1 + m 2 ) (49m 2 14m 24) = 0. Rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: 12m 2 7m 12 = 0. A megoldóképlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldása m 1 = 3 és m 4 2 = 4. 3 Ezek alapján a keresett érintők egyenlete: y 1 = 3 (x 7) és y 1 = 4 (x 7)

19 39. Írd fel a k: x 2 + y 2 = 5 körnek az f: 2x y + 1 = 0 egyenessel párhuzamos érintőinek egyenletét! A k kör középpontja a K (0; 0) pont, sugara pedig r = 5. Írjuk fel az f egyenesre merőleges, a K pontra illeszkedő g egyenes egyenletét: x + 2y = 0. Határozzuk meg a k kör és a g egyenes metszéspontját: x 2 + y 2 = 5 x + 2y = 0 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x 1 = 2; x 2 = 2 és y 1 = 1; y 2 = 1, vagyis az érintési pontok: E 1 ( 2; 1) és E 2 (2; 1). Írjuk fel a kapott érintési pontokra illeszkedő e 1 és e 2 érintők egyenletét: Az e 1 érintő egy pontja: E 1 ( 2; 1). A KE 1 vektor az e 1 érintő egy normálvektora: KE 1 ( 2; 1) = n e1. Ezek alapján az e 1 érintő egyenlete: 2x + y = 5. Az e 2 érintő egy pontja: E 2 (2; 1). A KE 2 vektor az e 2 érintő egy normálvektora: KE 2 (2; 1) = n e2. Ezek alapján az e 2 érintő egyenlete: 2x y = 5. Második megoldás: Az f egyenessel párhuzamos egyenesek egyenlete: 2x y = a. Írjuk fel a két alakzat egyenletéből álló egyenletrendszert: x 2 + y 2 = 5 2x y = a } Behelyettesítés és rendezés után a következő paraméteres egyenlet adódik: 5x 2 4ax + 49m 2 + a 2 5 = 0 19

20 Mivel az egyenes érintő, így az egyenletnek egy megoldása van, vagyis a diszkrimináns 0. Ebből felírhatjuk következőt: ( 4a) (a 2 5) = 0. Rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: m 2 25 = 0. Az egyenlet megoldása m 1 = 5 és m 2 = 5. Ezek alapján a keresett érintők egyenlete: 2x y = 5 és 2x y = Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely érinti a k: (x 5) 2 + (y 5) 2 = 10 egyenletű kört és merőleges a f: 3x y = 1 egyenletű egyenesre! A k kör középpontja a K (5; 5) pont, sugara pedig r = 10. Írjuk fel az f el párhuzamos, a K pontra illeszkedő g egyenes egyenletét: 3x y = 10. Határozzuk meg a k kör és a g egyenes metszéspontját: (x 5) 2 + (y 5) 2 = 10 } 3x y = 10 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x 1 = 4; x 2 = 6 és y 1 = 2; y 2 = 8, vagyis az érintési pontok: E 1 (4; 2) és E 2 (6; 8). Írjuk fel a g egyenesre merőleges az E 1 pontra illeszkedő e 1 érintő egyenletét. Az e 1 egyenesegy pontja: E 1 (4; 2). A KE 1 vektor az egyenes normálvektora: KE 1 ( 1; 3) = n e1. Ezek alapján az e 1 érintő egyenlete: x 3y = 10. Írjuk fel a g egyenesre merőleges az E 1 pontra illeszkedő e 2 érintő egyenletét. Az e 2 egyenesegy pontja: E 2 (6; 8). A KE 2 vektor az egyenes normálvektora: KE 2 (1; 3) = n e2. Ezek alapján az e 2 érintő egyenlete: x + 3y =

21 41. Írd fel annak a k körnek az egyenletét, amely áthalad a P (2; 11) és Q (10; 11) pontokon és érinti az e: x + y = 5 egyenes! Írjuk fel a PQ húr f felezőmerőlegesének egyenletét: x = 6. Ebből adódik, hogy a kör középpontja a K (6; v) pont. A sugár hosszát felírhatjuk a következőképpen: r = KP = (2 6) 2 + (11 v) 2. Írjuk fel a kör egyenletét: (x 6) 2 + (y v) 2 = 16 + (11 v) 2 Írjuk fel a két alakzat egyenletéből álló egyenletrendszert: (x 6) 2 + (y v) 2 = 16 + (11 v) 2 } x + y = 5 Behelyettesítés és rendezés után a következő paraméteres egyenlet adódik: y 2 + (1 v) y + 11v 68 = 0. Mivel az egyenes érintő, így az egyenletnek egy megoldása van, vagyis a diszkrimináns 0. Ebből felírhatjuk következőt: (1 v) 2 4 (11v 68) = 0. Rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: v 2 46v = 0. A megoldóképlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldása v 1 = 7 és v 2 = 39. Ezek alapján a keresett körök egyenlete: (x 6) 2 + (y 7) 2 = 32 (x 6) 2 + (y 39) 2 = Írd fel azoknak az 5 egység sugarú köröknek az egyenletét, amelyek a 3x + 4y = 8 egyenletű egyenest a 0 abszcisszájú pontjában érintik! Az x = 0 koordinátát behelyetetsítve az egyenes egyenletébe azt kapjuk, hogy y = 2, vagyis az érintési pont: E (0; 2). Írjuk fel az E középpontú 5 egység sugarú k kör egyenletét: x 2 + (y 2) 2 =

22 Írjuk fel az érintőre merőleges, az E pontra illeszkedő f egyenes egyenletét: 4x 3y = 6. Határozzuk meg a k kör és az f egyenes metszéspontját: x 2 + (y 2) 2 = 25 4x 3y = 6 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x 1 = 3; x 2 = 3 és y 1 = 6; y 2 = 2, vagyis a körök középpontja: K 1 (3; 6) és K 2 ( 3; 2). Ezek alapján a keresett körök egyenlete: (x 3) 2 + (y 6) 2 = 25 (x + 3) 2 + (y + 2) 2 = Írd fel annak a körnek az egyenletét, amelynek a középpontja a K ( 3; 4) pont és érinti az e: x + 2y = 5 egyenletű egyenest! Írjuk fel az e egyenesre merőleges, a K pontra illeszkedő f egyenes egyenletét: 2x y = 10. Határozzuk meg az e és f egyenes metszéspontját: x + 2y = 5 2x y = 10 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 5 és y = 0, vagyis az érintési pont: E ( 5; 0). Számítsuk ki a sugár hosszát: r = KE = ( 5 ( 3)) 2 + (0 4) 2 = 20. Ezek alapján a keresett kör egyenlete: (x + 3) 2 + (y 4) 2 = Az e: x + y = 18 egyenes melyik pontjából húzható 12 egység hosszúságú érintő a k: x 2 + y 2 6x + 4y 12 = 0 egyenletű körhöz? Hozzuk a kör egyenletét általános alakra: (x 3) 2 + (y + 2) 2 = 25. A kör középpontja a K (3; 2) pont, sugara pedig r = 5. Mivel az érintő merőleges a sugárra, így azok egy derékszögű háromszöget határoznak meg. 22

23 Számítsuk ki Pitagorasz tétel segítségével a keresett pont távolságát a kör középpontjától: = d 2 d = 13 Írjuk fel a K (3; 2) középpontú 13 sugarú k 1 kör egyenletét: (x 3) 2 + (y + 2) 2 = 169. Határozzuk meg a k 1 kör és az e egyenes metszéspontját: (x 3) 2 + (y + 2) 2 = 169 } x + y = 18 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x 1 = 15; x 2 = 8 és y 1 = 3; y 2 = 10, vagyis a keresett pontok: P 1 (15; 3) és P 2 (8; 10). 45. A k: x 2 + y 2 + 4x 4y 18 = 0 körhöz egy P pontból érintőket húzunk. Számítsd ki a P koordintátáit, ha az érintési pontokon áthaladó szelő egyenlete e: x y = 2! Hozzuk a kör egyenletét általános alakra: (x 3) 2 + (y + 2) 2 = 25. A kör középpontja a K (3; 2) pont, sugara pedig r = 5. Határozzuk meg a k kör és az e egyenes metszéspontját: (x 3) 2 + (y + 2) 2 = 25 } x y = 2 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x 1 = 3; x 2 = 1 és y 1 = 1; y 2 = 3, vagyis az érintési pontok: E 1 (3; 1) és E 2 ( 1; 3). Az e 1 érintő egy pontja: E 1 (3; 1). A KE 1 vektor az e 1 érintő egy normálvektora: KE 1 ( 5; 1) = n e1. Ezek alapján az e 1 érintő egyenlete: 5x + y = 14. Az e 2 érintő egy pontja: E 2 ( 1; 3). A KE 2 vektor az e 2 érintő egy normálvektora: KE 2 ( 1; 5) = n e2. Ezek alapján az e 2 érintő egyenlete: x + 5y =

24 Határozzuk meg az e 1 és az e 2 érintő metszéspontját: 5x + y = 14 x + 5y = 14 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 7 3 és y = 7 3, vagyis a keresett pont: P (7 3 ; 7 3 ). 46. Határozd meg annak a 3 egység sugarú körnek az egyenletét, amely kívülről érinti a k 1 : (x 2) 2 + (y 3) 2 = 4 és a k 2 : (x 11) 2 + (y + 6) 2 = 100 köröket! Az első kör középpontja a K 1 (2; 3) pont, sugara pedig r 1 = 2. A második kör középpontja a K 2 (11; 6) pont, sugara pedig r 2 = 10. Írjuk fel az adott körökkel koncentrikus, 3 egységgel nagyobb sugarú körök egyenletét: k 3 : (x 2) 2 + (y 3) 2 = 25 k 4 : (x 11) 2 + (y + 6) 2 = 169 Határozzuk meg a k 3 és k 4 körök metszéspontját: (x 2) 2 + (y 3) 2 = 25 (x 11) 2 + (y + 6) 2 = 169 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x 1 = 1; x 2 = 6 és y 1 = 1; y 2 = 6, vagyis a keresett körök középpontja: K 3 ( 1; 1) és K 4 (6; 6). Ezek alapján a keresett körök egyenlete: (x + 1) 2 + (y + 1) 2 = 9 (x 6) 2 + (y 6) 2 = Határozd meg annak a körnek az egyenletét, amely az x 2 + y 2 = 25 kört az E ( 3; 4) pontban érinti és sugara 15 egység! Az adott kör középpontja a K 1 (0; 0) pont, sugara pedig r = 5. Két eset lehetséges aszerint, hogy a keresett körhöz képest hol helyezkedik el az adott kör. 24

25 Tekintsük először azt az esetet, amikor az adott kör a keresett körön kívül helyezkedik el. Ekkor az E érintési pont a K 1 K 2 szakasz K 1 hez közelebbi negyedelőpontja: K 2 ( 12; 16). Ezek alapján a keresett kör egyenlete: (x + 12) 2 + (y 16) 2 = 225. Tekintsük most azt az esetet, amikor az adott kör a keresett körön belül helyezkedik el. Ekkor az adott kör középpontja a K 3 E szakasz E hez közelebbi harmadolópontja: K 3 (6; 8). Ezek alapján a keresett körök egyenlete: (x 6) 2 + (y + 8) 2 = Mekkora annak a K 1 ( 4; 1) középpontú k 1 körnek a sugara, amely érinti az (x 2) 2 + (y 9) 2 = 4 egyenletű k 2 kört? A k 2 kör középpontja a K 2 (2; 9) pont, sugara pedig r 2 = 2. Mivel a k 1 kör belülről és kívülről is érintheti a k 2 kört, így két megoldása lesz a feladatnak. 25

26 Számítsuk ki a középpontok távolságát: K 1 K 2 = (2 ( 4)) 2 + (9 1) 2 = 100 = 10. A belülről érintő k 1 kör r 1 sugara: r 1 = 10 2 = 8. A kívülről érintő k 1 kör r 1 sugara: r 1 = = Határozd meg a és b paraméterek értékét úgy, hogy a k: x 2 + y 2 + ax + by = 0 egyenletű kör áthaladjon az A (4; 1) és a B ( 2; 3) pontokon! Melyik pontban metszi ez a kör az x tengelyt? Helyettesítsük az A pont koordinátáit az egyenletbe, s a következőt kapjuk: 4a b = 17. Helyettesítsük a B pont koordinátáit az egyenletbe, s a következőt kapjuk: 2a + 3b = 13. A kapott egyenleteket tekintsük egyenletrendszerként: 4a b = 17 2a + 3b = 13 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy a = 32 5 és b = Ezek alapján a k kör egyenlete: x 2 + y x y = 0. 5 Az x tengely egyenlete: y = 0. Határozzuk meg a k kör és az x - tengely metszéspontját: x 2 + y x y = } y = 0 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x 1 = 0 és x 2 = Ezek alapján az x tengelyt a k kör a P (0; 0) és Q ( 32 ; 0) pontokban metszi. 5 26

27 50. Határozd meg azokat a pontokat, amelyek az e: x + 2y = 7 egyenesre illeszkednek és a K (3; 7) ponttól 5 egység távolságra vannak! Írjuk fel a K (3; 7) középpontú 5 egység sugarú k kör egyenletét: (x 3) 2 + (y 7) 2 = 25. Határozzuk meg a k kör és az e egyenes metszéspontját: (x 3) 2 + (y 7) 2 = 25 } x + 2y = 7 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x 1 = 3; x 2 = 1 és y 1 = 2; y 2 = 4, vagyis a keresett pontok: P (3; 2) és Q ( 1; 4). 51. A k 1 : x 2 + y y 12 = 0, illetve a k 2 : x 2 + y 2 22x 20y = 0 körök középpontjai és a P (0; 0) pont egy háromszöget feszítenek ki. Számítsd ki a háromszög kerületét és területét! Hozzuk az első kör egyenletét általános alakra: x 2 + (y + 6) 2 = 48. Hozzuk a második kör egyenletét általános alakra: (x 11) 2 + (y 10) 2 = 19. Az első kör középpontja a K 1 (0; 6) pont, sugara pedig r 1 = 48. A második kör középpontja a K 2 (11; 10) pont, sugara pedig r 2 = 19. A háromszög kerületéhez számítsuk ki az oldalak hosszát: PK 1 = (0 0) 2 + ( 6 0) 2 = 6 PK 1 = (11 0) 2 + (10 0) 2 = 221 K 1 K 2 = (11 0) 2 + (10 ( 6)) 2 = 377 Ezek alapján a háromszög kerülete: K = ,3. A PK 1 (0; 6) és PK 2 (11; 10) vektorok által bezárt α szög nagysága: cos α = ( 6) α 132,2. Ezek alapján a háromszög területe: T = sin 132,2 2 =

28 52. Számítsd ki annak a háromszögnek a területét, amelyet a k 1 : x 2 + y 2 = 10 és a k 2 : x 2 + y 2 6x 6y + 2 = 0 egyenletű körök közös húrjának egyenese, valamint az x és az y tengely határol! Határozzuk meg a k 1 kör és a k 2 kör metszéspontját: x 2 + y 2 = 10 x 2 + y 2 6x 6y = 2 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x 1 = 3; x 2 = 1 és y 1 = 1; y 2 = 3, vagyis a két kör közös pontjai: P (3; 1) és Q ( 1; 3). Írjuk fel a PQ húrra illeszkedő e egyenes egyenletét: x + y = 2. Az e egyenes egyenletének tengelymetszetes alakja: x 2 + y 2 = 1. Ebből adódik, hogy az e egyenes az x - tengelyt az R (2; 0) pontban, az y tengelyt pedig az S (0; 2) pontban metszi. Mivel a keletkező háromszög derékszögű, így a területe: T = = 2 területegység. 53. A k: (x + 1) 2 + (y 1) 2 = 26 egyenletű kör és a koordináta tengelyek metszéspontjai egy négyszöget határoznak meg. Számítsd ki a négyszög területét! Az x - tengely egyenlete: y = 0. Határozzuk meg a k kör és az x - tengely metszéspontját: (x + 1) 2 + (y 1) 2 = 26 } y = 0 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x 1 = 4 és x 2 = 6. Ebből adódik, hogy az x tengelyt a k kör a P (4; 0) és Q ( 6; 0) pontban metszi. Az y - tengely egyenlete: x = 0. Határozzuk meg a k kör és az y - tengely metszéspontját: (x + 1) 2 + (y 1) 2 = 26 } x = 0 28

29 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x 1 = 6 és x 2 = 4. Ebből adódik, hogy az y tengelyt a k kör a R (0; 6) és S (0; 4) pontban metszi. A négyszög területét megkaphatjuk, ha a négyszög köré rajzolt négyzet területéből kivonjuk a négyszögön kívül eső háromszögek területeit. Mivel a köré rajzolt négyzet oldalainak nagysága PQ = RS = 10, így a területe: T 1 = 100. Számítsuk ki a keletkező derékszögű háromszögek területét: T 2 = = 18 T 3 = = 12 T 4 = = 8 T 5 = = 12 Ezek alapján a keresett négyszög területe: T = = Az A (4; 3) és B (10; 7) pontok által meghatározott AB szakasz az e: x 5y = 5 egyenes melyik pontjából látható derékszögben? Egy adott AB szakasz, az AB átmérőjű Thalesz kör pontjaiból látszik derékszögben. Írjuk fel a k Thalesz kör egyenletét. A kör középpontja az AB szakasz felezőpontja: K (7; 5). Számítsuk ki a sugár hosszát: r = KB = (10 7) 2 + (7 5) 2 = 13. Ezek alapján a Thalesz kör egyenlete: (x 7) 2 + (y 5) 2 = 13. A keresett pont az adott egyenes és a Thalesz kör közös pontja. Határozzuk meg a k kör és az e egyenes metszéspontját: (x 7) 2 + (y 5) 2 = 13 } x 5y = 5 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x 1 = 5; x 2 = 10 és y 1 = 2; y 2 = 3, vagyis a keresett pontok: P (5; 2) és Q (10; 3). 29

30 55. Határozd meg az k: (x 2) 2 + (y 10) 2 = 18 körnek azon pontját, amely az e: y = x egyeneshez legközelebb, illetve legtávolabb helyezkedik el! Az adott kör középpontja a K (2; 10) pont, sugara pedig r = 18. A legközelebb, illetve legtávolabb levő pont éppen az egyenesre merőleges átmérő végpontjai. Írjuk fel az e egyenesre merőleges, középpontra illeszkedő f egyenes egyenletét: x + y = 12. Határozzuk meg az f egyenes és a k kör metszéspontját: x + y = 12 (x 2) 2 + (y 10) 2 = 18 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x 1 = 5; x 2 = 1 és y 1 = 7; y 2 = 13, vagyis a legközelebbi pont a P (5; 7), a legtávolabbi pedig a Q ( 1; 13). 56. Határozd meg az x 2 + y 2 2x + 4y 20 = 0 körön található rácspontok számát! (Rácspontnak nevezünk egy pontot a koordináta - rendszerben, ha mindkét koordinátája egész szám.) Hozzuk a kör egyenletét általános alakra: (x 1) 2 + (y + 2) 2 = 25. A kör középpontja a K (1; 2) pont, sugara pedig r = 5. Amennyiben egy ponthalmazt eltolunk egy olyan vektorral, melynek koordinátái egész számok, akkor az alakzat rácspontjai rácspontokba mennek át, vagyis a kapott alakzatnak ugyanannyi rácspontja lesz, mint az eredetinek. Toljuk el a feladatban szereplő kört a v ( 1; 2) vektorral, így a kapott kör középpontja a K (0; 0) pont lesz, sugara r = 5. Írjuk fel a kapott kör egyenletét: x 2 + y 2 = 25. Mivel 25 = = , így a kapott körnek a következő rácspontjai adódnak: (0; 5), (0; 5), (5; 0), ( 5; 0), (3; 4), ( 3; 4), (3; 4), ( 3; 4), (4; 3), (4; 3), ( 4; 3), ( 4; 3) Ezek alapján az eredeti körnek is 12 rácspontja adódik. 30

31 57. Írd fel az (x 7) 2 + (y 6) 2 = 25 egyenletű kör P (8; 4) pontjára illeszkedő legrövidebb, illetve leghosszabb húrját tartalmazó egyenes egyenletét! Az adott kör középpontja a K (7; 6) pont, sugara pedig r = 5. A leghosszabb húr a P re illeszkedő átmérő. Írjuk fel az átmérőn átmenő e egyenes egyenletét: 2x + y = 20. A legrövidebb húr a P re illeszkedő, az átmérőre merőleges húr. Írjuk fel az átmérőre merőleges f egyenes egyenletét: x 2y = Mi azon pontok halmaza a síkon, amelyből a k: x 2 + y 2 4x + 10y + 20 = 0 kör derékszögben látszik? Hozzuk a kör egyenletét általános alakra: (x 2) 2 + (y + 5) 2 = 9. A kör középpontja a K (2; 5) pont, sugara pedig r = 3. Az érintőszakaszok és a sugarak egy négyzetet határoznak meg, melynek oldala éppen r. A keresett P pontok távolsága a kör középpontjától a négyzet átlója: KP = 3 2 = 18. Ezek alapján a keresett ponthalmaz egy kör, melynek egyenlete: (x 2) 2 + (y + 5) 2 = Írd fel annak a körnek az egyenletét, amely áthalad az origón, továbbá középpontja az x 2 + y 2 14x 6y = 54 egyenletű kör legkisebb ordinátájú pontja! Hozzuk a kör egyenletét általános alakra: (x 7) 2 + (y 3) 2 = 4. A kör középpontja a K (7; 3) pont, sugara pedig r = 2. Ebből adódik, hogy a legkisebb ordinátájú pontja a P (7; 1) pont. Számítsuk ki a sugár hosszát: r = OP = (7 0) 2 + (1 0) 2 = 50. Ezek alapján a keresett kör egyenlete: (x 7) 2 + (y 1) 2 =

32 60. Adott a k: x 2 + y 2 18x + 6y + 65 = 0 kör és az F (8; 6) pont. Határozd meg a kör azon A és B pontját, melyre az F pont felezi az AB húrt! Hozzuk a kör egyenletét általános alakra: (x 9) 2 + (y + 3) 2 = 25. A kör középpontja a K (9; 3) pont, sugara pedig r = 5. Bármely húr felezőmerőlegese átmegy a kör középpontján. Írjuk fel a húrra illeszkedő h egyenes egyenletét: x + 3y = 10. Határozzuk meg a k kör és a h húr metszéspontját: (x 9) 2 + (y + 3) 2 = 25 } x + 3y = 10 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x 1 = 217 ; x 50 2 = 583 és y 50 1 = 239 ; y 50 2 = 361, vagyis a keresett 50 pontok: A ( 217 ; 239 ) és B (583 ; 361 ) A derékszögű ABC átfogójának végpontjai A ( 1; 4) és B (5; 3). A háromszög BC befogóját tartalmazó egyenes meredeksége 1. Számítsd ki a C csúcs koordinátáit! 4 A derékszögű háromszög köré írt középpontja az átfogó felezőpontja: K (2; 1 2 ). Számítsuk ki a sugár hosszát: r = KA = ( 1 2) 2 + (4 1 2 )2 = Írjuk fel a háromszög köré írt körének egyenletét: (x 2) 2 + (y 1 2 )2 = Írjuk fel a BC befogó iránytangenses egyenletét: y + 3 = 1 (x 5). 4 Számítsuk ki a köré írt kör és a befogó metszéspontját: (x 2) 2 + (y 1 2 )2 = 85 4 } y + 3 = 1 (x 5) 4 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x 1 = 5; x 2 = 1 és y 1 = 3; y 2 = 4, vagyis C (1; 4). 32

33 62. Hol helyezkednek el a síkon azok a pontok, amelyeken át az (x 4) 2 + (y 5) 2 = 9 és az x 2 + y 2 = 4 egyenletű körökhöz egyenlő hosszúságú érintőszakaszok húzhatók? Az első kör középpontja a K 1 (4; 5) pont, sugara pedig r 1 = 3. A második kör középpontja a K 2 (0; 0) pont, sugara pedig r 2 = 2. Tekintsük a következő ábrát: A derékszögű PEK - ben és PDO - ben írjuk fel a Pitagorasz tételt: PE 1 2 = PK PE 2 2 = PK Mivel PE 1 = PE 2, így az egyenletek jobb oldala egyenlő egymással: ( (4 x) 2 + (5 y) 2 ) 2 9 = ( (0 x) 2 + (0 y) 2 ) 2 4. Ebből rendezés után a következőt kapjuk: 4x + 5y = 18. A keresett pontok halmaza egy olyan egyenes (hatványvonal), amely merőleges a körök középpontját összekötő szakaszra. 33

34 63. Írd fel azoknak a köröknek az egyenletét, amelyek érintik mindkét koordinátatengelyt, valamint a K (5; 5) középpontú 5 egység sugarú kört! Tekintsük a következő ábrát: Mivel az adott kör érinti a tengelyeket, így a második és negyedik negyedbeli megoldások: (x + 5) 2 + (y 5) 2 = 25 (x 5) 2 + (y + 5) 2 = 25 További két kör található az első síknegyedben is, melyek középpontja: K (r ; r ). Mivel a keresett kör érinti az adott kört, így d (K; K ) = r + r, vagyis felírhatjuk a következőt: (r 5) 2 + (r 5) 2 = 5 + r. Rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódóik: r 2 30r + 25 = 0. A megoldóképlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldása r 1 = és r 2 =

35 Ezek alapján a keresett körök egyenletei: [x ( )] 2 + [y ( )] 2 = ( ) 2 [x ( )] 2 + [y ( )] 2 = ( ) Határozd meg az (x + 2) 2 + (y + 1) 2 = 9 és (x 2) 2 + (y 1) 2 = 1 körök közös külső, illetve belső érintőinek egyenletét! Az első kör középpontja a K 1 ( 2; 1) pont, sugara pedig r 1 = 3. A második kör középpontja a K 2 (2; 1) pont, sugara pedig r 2 = 1. A két kör hasonló, a hasonlóság középpontja a közös külső, illetve belső érintők metszéspontja. Tekintsük először a közös külső érintőket. Az K 1 E 1 O 1 és a K 2 E 2 O 1 hasonló egymáshoz (szögeik megegyeznek). A hasonlóság aránya: λ = K 1E 1 K 2 E 2 = K 1O 1 K 2 O 1 = 3. Ebből adódik, hogy a K 2 pont a K 1 O 1 szakasz O 1 hez közelebbi harmadolópontja: O 1 (4; 2). Az O 1 pontra illeszkedő egyenesek egyenlete: x = 4, vagy y 2 = m (x 4). 35

36 Mivel az x = 4 egyenletű egyenesnek nincs közös pontja a körökkel, így ez nem érintő. Írjuk fel a két alakzat egyenletéből álló egyenletrendszert: y 2 = m (x 4) (x + 2) 2 + (y + 1) 2 = 9 } Behelyettesítés és rendezés után a következő paraméteres egyenlet adódik: (m 2 + 1) x 2 (8m 2 6m 4) x + 16m 2 24m + 4 = 0 Mivel az egyenes érintő, így az egyenletnek egy megoldása van, vagyis a diszkrimináns 0. Ebből írjuk fel a következőt: [ (8m 2 6m 4)] 2 4 (m 2 + 1) (16m 2 24m + 4) = 0. Rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: 3m 2 4m = 0. Ezt megoldva azt kapjuk, hogy m 1 = 0 és m 2 = 4. 3 Ezek alapján a külső érintők egyenlete: y 2 = 0 és y 2 = 4 (x 4). 3 Tekintsük most a közös belső érintőket. Az K 1 E 1 O 2 és a K 2 E 2 O 2 hasonló egymáshoz (szögeik megegyeznek). A hasonlóság aránya: λ = K 1E 1 K 2 E 2 = K 1O 2 K 2 O 2 = 3. 36

37 Ebből adódik, hogy az O 2 pont a K 1 K 2 szakasz K 2 höz közelebbi negyedelőpontja: O 2 (1; 1 2 ). Az O 2 pontra illeszkedő egyenesek egyenlete: x = 1, vagy y 1 = m (x 1). 2 Mivel az x = 1 egyenletű egyenesnek egy egy közös pontja van a körökkel, így ez érintő. Írjuk fel a két alakzat egyenletéből álló egyenletrendszert: y 1 = m (x 1) 2 (x + 2) 2 + (y + 1) 2 = 9 } Behelyettesítés és rendezés után a következő paraméteres egyenlet adódik: (m 2 + 1) x 2 (2m 2 3m 4) x + m 2 3m = 0 Mivel az egyenes érintő, így az egyenletnek egy megoldása van, vagyis a diszkrimináns 0. Ebből felírhatjuk a következőt: [ (2m 2 3m 4)] 2 4 (m 2 + 1) (m 2 3m ) = 0. Ezt megoldva azt kapjuk, hogy m = 4 3. Ezek alapján a belső érintők egyenlete: x = 1 és y 1 = 4 (x 1) Két kör egyenlete k 1 : (x 3) 2 + y 2 = 9 és k 2 : (x 10) 2 + (y 5) 2 = 4. Számítsd ki a körök közös belső, illetve külső érintői metszéspontjának koordinátáit! Tekintsük a következő ábrát: 37

38 Az első kör középpontja a K 1 (3; 0) pont, sugara pedig r 1 = 3. A második kör középpontja a K 2 (10; 5) pont, sugara pedig r 2 = 2. A két kör hasonló, a hasonlóság középpontja a közös külső, illetve belső érintők metszéspontja. A külső érintők esetén a hasonlóság aránya: λ = K 1E 1 K 2 E 2 = K 1M 1 K 2 M 1 = 3 2. Ebből adódik, hogy K 2 pont a K 1 M 1 szakasz K 1 hez közelebbi harmadolópontja: M 1 (24; 15). A belső érintők esetén a hasonlóság aránya: λ = K 1E 1 K 2 E 2 = K 1M 2 K 2 M 2 = 3 2. Ebből adódik, hogy az M 2 pont a K 1 K 2 szakasz K 2 höz közelebbi ötödölőpontja: M 2 ( 36 5 ; 3). Második megoldás: A körök egyik belső érintőjének egyenlete y = 3. Írjuk fel a két kör középpontján átmenő e egyenes egyenletét: 5x 7y = 15. Határozzuk meg a belső érintő és az e egyenes metszéspontját: y = 3 5x 7y = 15 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = Ezek alapján a belső érintők metszéspontja: M 1 ( 36 5 ; 3). 66. Egy kör átmegy a P (3; 7) ponton, a k 1 : x 2 + y 2 + 2x + 2y 98 = 0 egyenletű kört belülről, a k 2 : x 2 + y 2 22x 16y = 0 egyenletű kört pedig kívülről érinti. Írd fel az egyenletét! Mekkora a körbe írható szabályos háromszög területe? Hozzuk az első kör egyenletét általános alakra: (x + 1) 2 + (y + 1) 2 = 100. Hozzuk a második kör egyenletét általános alakra: (x 11) 2 + (y 8) 2 =

39 Az első kör középpontja a K 1 ( 1; 1) pont, sugara pedig r 1 = 10. A második kör középpontja a K 2 (11; 8) pont, sugara pedig r 2 = 5. Számítsuk ki a középpontok távolságát: d (K 1 ; K 2 ) = (11 ( 1)) 2 + (8 ( 1)) 2 = 15. Mivel d (K 1 ; K 2 ) = r 1 + r 2 = 15, így az adott két kör kívülről érinti egymást. Vonjuk ki a két kör egyenletét egymásból, s rendezés után megkapjuk a közös belső érintő egyenletét: 4x + 3y = 43. Írjuk fel az adott körök középpontjára illeszkedő e egyenes egyenletét: 3x 4y = 1. Határozzuk meg a belső érintő és az e egyenes metszéspontját: 4x + 3y = 43 3x 4y = 1 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 7 és y = 5, vagyis az érintési pont: E (7; 5). Írjuk fel a keresett kör PE húr f felezőmerőlegesének egyenletét: 2x y = 4. Határozzuk meg az e és f egyenes metszéspontját: 3x 4y = 1 2x y = 4 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 3 és y = 2, vagyis a keresett kör középpontja: K 3 (3; 2). Számítsuk ki a sugár hosszát: r 3 = K 3 E = (7 3) 2 + (5 2) 2 = 5. Ezek alapján a keresett kör egyenlete: (x 3) 2 + (y 2) 2 = 25. Egy adott körbe írt szabályos háromszög területének harmada egy olyan háromszög területe, amely egyenlőszárú, szárainak hossza a kör sugara és az általuk bezárt szög 120. Számítsuk ki egy ilyen háromszög területét: T 1 = sin 120 Ezek alapján a szabályos háromszög területe: T = 3 T 1 = 2 =

40 67. Írd fel annak a körnek az egyenletét, amely az abszcisszatengelyt a P (3; 0) pontban érinti, és az ordinátatengelyből 8 egységnyi hosszúságú húrt metsz ki! A kör érinti az x tengelyt a P pontban, így a középpontja a K (3; r), vagy a K (3; r) pont. Tekintsük a következő ábrát: Mivel a keletkező húr hossza 8 egység, ezért AF = 4. A derékszögű KFA - ben számítsuk ki Pitagorasz tétel segítségével a sugár hosszát: = r 2 r = 5 Ebből adódik, hogy a kör középpontja a K (3; 5), vagy a K (3; 5) pont. Ezek alapján a keresett körök egyenletei: (x 3) 2 + (y 5) 2 = 25 (x 3) 2 + (y + 5) 2 = 25 40

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van

Részletesebben

A kör. A kör egyenlete

A kör. A kör egyenlete A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - y + b) x + y - 6x - 6y + c) x +

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre

Részletesebben

A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = 1. Az adott kör középpontjának koordinátái: K1( 4; 2)

A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = 1. Az adott kör középpontjának koordinátái: K1( 4; 2) 55 A kör 87 8 A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = Az adott kör középpontjának koordinátái: K( ; ) és a sugara r =, az adott pont P(; ) Ekkor KP = és KK = () ( u ) + ( v ) =, () ( u ) +

Részletesebben

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból

Részletesebben

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5 Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2 3... Egyenes szíjhatás esetén milyen hosszú szíj szükséges 50 cmes és 6 cm-es sugarú tárcsák összekapcsolásához, ha a tárcsák tengelyeinek távolsága 335 cm? 3... Csónakkal akarunk a folyó túlsó partjára

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az

Részletesebben

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27. Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1 Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az

Részletesebben

Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója?

Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Feladatok 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy négyzet

Részletesebben

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon

Részletesebben

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika Hasonlóság kísérleti feladatgyűjtemény 10. osztályos matematika POKG 2015. Hasonló háromszögek oldalaránya 0. Keressük meg az alábbi háromszögek összetartozó oldalpárjait és arányossággal számítsuk ki

Részletesebben

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata

Részletesebben

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész Pataki János, november Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november I rész feladat Oldja meg az alábbi egyenleteket: a) log 7 log log log 7 ; b) ( )

Részletesebben

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam I. Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzetet 1) a pont, az egyenes, a sík és az illeszkedés alapfogalmak 2) két egyenes metsző, ha van közös pontjuk

Részletesebben

Pitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2

Pitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Pitagorasz-tétel A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális

Részletesebben

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.

Részletesebben

= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0;

= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0; 98 Az egyenes egyenletei. a) A( 0) B(0 6) AB_ - 6i& n( ) x + y = b) x - y =- c) 6x - y = 0 d) 6x + y = e) x + y = f) x + y = a g) x - y = a.. A(a 0) B(0 b) AB_ -a bi n (b a) bx + ay = ab osszuk el a $

Részletesebben

Geometriai példatár 2.

Geometriai példatár 2. Geometriai példatár 2 Metrikus feladatok Baboss, Csaba, Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Szabó, Gábor, Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Geometriai példatár 2: Metrikus feladatok

Részletesebben

Analitikus térgeometria

Analitikus térgeometria 5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T

Részletesebben

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Koordinátageometria ) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrzek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a

GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a GOMTRI ndrea Philippou, Marios ntoniades Szakaszok és félegyenesek gy szakasz felezőmerőlegese egy olyan egyenes, félegyenes vagy szakasz, ami áthalad a szakasz középpontján és merőleges a szakaszra. Tétel:

Részletesebben

6. modul Egyenesen előre!

6. modul Egyenesen előre! MATEMATIKA C 11 évfolyam 6 modul Egyenesen előre! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 11 évfolyam 6 modul: Egyenesen előre! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül!

Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül! Laczkó László Készült a Fazekas ihály Oktatási Kulturális és Sport lapítvány támogatásával z árák elektronikus változatát Véges árton (009c) diák készítette feladat z hegyesszögű háromszög -nél levő szöge.

Részletesebben

Hatvány, gyök, normálalak

Hatvány, gyök, normálalak Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő

Részletesebben

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2 10. Tétel Háromszög Tulajdonságok: - Háromszögnek nevezzük a sokszöget, ha 3 oldala, 3 csúcsa és 3 szöge van - A háromszög belső szögeinek összege 180 o - A háromszög külső szögeinek összege 360 o - A

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok 10. Síkgeometria I. Elméleti összefoglaló Szögek, nevezetes szögpárok Egy adott pontból kiinduló két félegyenes a síkot két részre bontja. Egy-egy ilyen rész neve szögtartomány, vagy szög. A két félegyenest

Részletesebben

EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY

EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY SÍKIDOMOK Síkidom 1 síkidom az a térelem, amelynek valamennyi pontja ugyan abban a síkban helyezkedik el. A síkidomokat

Részletesebben

V. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 11. évfolyam

V. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 11. évfolyam 01/01 1. Ha egy kétjegyű szám számjegyeit felcseréljük, akkor a kapott kétjegyű szám értéke az eredeti szám értékénél 108 %-kal nagyobb. Melyik ez a kétjegyű szám? Jelölje a kétjegyű számot xy. 08 A feltételnek

Részletesebben

5. előadás. Skaláris szorzás

5. előadás. Skaláris szorzás 5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika. évfolyam TANULÓK KÖNYVE. FÉLÉV A kiadvány KHF/487-/008. engedélyszámon 008..7. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő oktatási

Részletesebben

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Szakasz mert van két végpontja Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Tört vonal Szög mert van két szára és csúcsa Félegyenes mert van egy kezdőpontja 5 1 1 Két egyenes egymásra merőleges ha egymással

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1.

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1. Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás). Feladat. Írjuk fel az f() = függvény 0 = pontbeli érintőjének egyenletét! Az érintő egyenlete y

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria 1) Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

Síkgeometria. Ponthalmazok

Síkgeometria.  Ponthalmazok Síkgeometria http://zanza.tv/matematika/geometria Ponthalmazok Alapfogalmak: pont egyenes sík (nincs kiterjedése; általában nagy betűvel jelöljük) (végtelen hosszú; általában kis betűvel jelöljük) (végtelen

Részletesebben

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög, 52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor

Részletesebben

8. előadás. Kúpszeletek

8. előadás. Kúpszeletek 8. előadás Kúpszeletek Kör A k kört egyértelműen meghatározza C(a,b) középpontja és r sugara. A P pont pontosan akkor van k-n, ha CP=r. Vektoregyenlet: p-c = r. Koordinátás egyenlet: (X-a)2 + (Y-b)2 =

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III. Geometria III. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v. DEFINÍCIÓ: (Geometriai transzformáció) Geometriai transzformációnak

Részletesebben

KOSZTOLÁNYI MIKE MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK (II. KÖTET)

KOSZTOLÁNYI MIKE MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK (II. KÖTET) KOSZTOLÁNYI MIKE MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY 10 14 ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK (II. KÖTET) Kosztolányi József - Mike János MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY 10-14 ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK **

Részletesebben

A vektor fogalma (egyszer

A vektor fogalma (egyszer Vektorműveletek a koordináta-rendszerben Vektorműveletek a koordináta-rendszerben Elméleti anyag: A vektor fogalma (egyszerű meghatározás): az irányított szakaszokat nevezzük vektoroknak. Egy vektornak

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x. Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

Gyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van!

Gyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van! 1. Melyik a nagyobb? a) 6 5 vagy 5 7 b) vagy 11 10 vagy Gyökvonás 5 11 vagy 6 8 55 e) 7 vagy 60 16 1. Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket! a) 7 18 b) 1 5 75 8 160 810 650 8a 5 a 7a e) 15a

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 008-009. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára. Határozzuk meg az alábbi egyenletrendszer valós megoldásait. ( x

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

Geometriai transzformációk

Geometriai transzformációk Geometriai transzformációk 11 elemi geometriafeladat 10. és DG Matektábor 2016. október 6. Röviden a transzformációkról Tengelyes tükrözés 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM)

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) Javítási értékelési útmutató 1. Melyek azok a pozitív p és q prímek, amelyekre a számok mindegyike

Részletesebben

11. osztály. 1. Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! (10 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: 2 ( + yz + zx) = 22.

11. osztály. 1. Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! (10 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: 2 ( + yz + zx) = 22. osztály Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! y + yz = 8 yz + z = 9 z + y = 5 (0 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: ( + yz + z) = Ebből kivonva az egyenleteket: y =, yz = 6, z

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-3.1.4-08/-009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár, 010.

Részletesebben

Interaktív geometriai rendszerek használata középiskolában -Pont körre vonatkozó hatványa, hatványvonal-

Interaktív geometriai rendszerek használata középiskolában -Pont körre vonatkozó hatványa, hatványvonal- Fazekas Gabriella IV. matematika-informatika Interaktív geometriai rendszerek használata középiskolában -Pont körre vonatkozó hatványa, hatványvonal- Jelen tanulmány a fent megjelölt fogalmak egy lehetséges

Részletesebben

Geometriai alapfogalmak

Geometriai alapfogalmak Geometriai alapfogalmak Alapfogalmak (nem definiáljuk): pont, egyenes, sík, tér. Félegyenes: egy egyenest egy pontja két félegyenesre bontja. Ez a pont a félegyenes végpontja. A félegyenes végtelen hosszú.

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatásért Közalapítvány támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Határozzuk

Részletesebben

JAVÍTÓ VIZSGA 12. FE

JAVÍTÓ VIZSGA 12. FE JAVÍTÓ VIZSGA 12. FE TEMATIKA: Koordináta-geometria (vektorok a koordináta-rendszerben, egyenes egyenlete, két egyenes metszéspontja, kör egyenlete, kör és egyenes metszéspontjai) Sorozatok (számtani-

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész

Részletesebben

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták 1. Mik lesznek a P (3, 4, 8) pont C (3, 7, 2) pontra vonatkozó tükörképének a koordinátái? 2. Egy szabályos hatszög középpontja K (4, 1, 4),

Részletesebben

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x = 2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 00 május 9 du JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Oldja meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! + y = 6 x + y = 9 x A nevezők miatt az alaphalmaz

Részletesebben

Megoldás A számtani sorozat első három eleme kifejezhető a második elemmel és a differenciával. Összegük így a 2. d =33, azaz 3a 2. a 2.

Megoldás A számtani sorozat első három eleme kifejezhető a második elemmel és a differenciával. Összegük így a 2. d =33, azaz 3a 2. a 2. 1. Egy 33-as létszámú zenetagozatos osztályban hegedülni és zongorázni tanulnak a diákok. Minden diák játszik legalább egy hangszeren. Azok száma, akik mindkét hangszeren játszanak, akik csak hegedülnek,

Részletesebben

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,

Részletesebben

4) Az ABCD négyzet oldalvektorai körül a=ab és b=bc. Adja meg az AC és BD vektorokat a és b vektorral kifejezve!

4) Az ABCD négyzet oldalvektorai körül a=ab és b=bc. Adja meg az AC és BD vektorokat a és b vektorral kifejezve! (9/1) Vektorok, Koordináta Geometria 1) Szerkessze meg az a + b és az a b vektort, ha a és b egy szabályos háromszögnek a mellékelt ábra szerinti oldalvektorai! 2) Az ABC háromszög két oldalának vektora

Részletesebben

3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat

3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat 3. előadás Elemi geometria Terület, térfogat Tetraéder Négy, nem egy síkban lévő pont által meghatározott test. 4 csúcs, 6 él, 4 lap Tetraéder Minden tetraédernek egyértelműen létezik körülírt- és beírt

Részletesebben

Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása

Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása 1 Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása Ehhez tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra Itt az ( u, v, w ) tengelymetszeteivel adott S síkot látjuk, az Oxyz térbeli derékszögű koordináta -

Részletesebben

A 2016/2017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA)

A 2016/2017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Oktatási Hivatal A 016/017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató 1. Egy húrtrapéz pontosan

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont) 1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)

Részletesebben

Feladatok az 1. Geometria gyakorlathoz Geometria 1 haladó szint (2011/2012 es tanév, 2. félév)

Feladatok az 1. Geometria gyakorlathoz Geometria 1 haladó szint (2011/2012 es tanév, 2. félév) Feladatok az 1. Geometria gyakorlathoz 1) Az euklideszi síkon adva van két egyenlő sugarú kör k 1 és k 2, amelyek az M, N pontokban metszik egymást. Jelölje r a két kör sugarát. Az M ponttal, mint centrummal,

Részletesebben

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2 Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

II. forduló, országos döntő május 22. Pontozási útmutató

II. forduló, országos döntő május 22. Pontozási útmutató Apáczai Nevelési és Általános Művelődési Központ 76 Pécs, Apáczai körtér 1. II. forduló, országos döntő 01. május. Pontozási útmutató 1. feladat: Két természetes szám összege 77. Ha a kisebbik számot megszorozzuk

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a és b befogójú derékszögű háromszögnek

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I. Geometria I. Alapfogalmak: Az olyan fogalmakat, amelyeket nem tudunk egyszerűbb fogalmakra visszavezetni, alapfogalmaknak nevezzük, s ezeket nem definiáljuk. Pl.: pont, egyenes, sík, tér, illeszkedés.

Részletesebben

Geometria II gyakorlatok

Geometria II gyakorlatok Geometria II gyakorlatok Kovács Zoltán Copyright c 2011 Last Revision Date: 2011. november 29. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát technikával készült, a megjelenés

Részletesebben

Komplex számok a geometriában

Komplex számok a geometriában Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Komplex számok a geometriában Szakdolgozat Készítette: Varga Bettina Matematika Bsc Matematika tanári szakirány Témavezető: Ágoston István egyetemi

Részletesebben

Geometriai példatár 2.

Geometriai példatár 2. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Baboss Csaba Szabó Gábor Geometriai példatár 2 GEM2 modul Metrikus feladatok SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999 évi

Részletesebben

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY Ismétléses permutáció: ha az elemek között van olyan, amelyik többször is előfordul, az elemek egy sorba rendezését ismétléses permutációnak nevezzük. Tétel: ha n elem között p 1, p 2, p 3, p k darab megegyező

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások 2 1 = 217.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások 2 1 = 217. Megoldások 1. Egy mértani sorozat harmadik eleme 4, hetedik eleme 64. Számítsd ki a sorozat második tagját! Először számítsuk ki a sorozat hányadosát: a 7 = a 3 q 4 64 = 4q 4 q 1 = 2 és q 2 = 2 Ezek alapján

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely április 8. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely április 8. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2013. április 8. A 9-10. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. Jelöljük x-szel az adott hónapban megkezdett 100 kb-s csomagok számát. Az első szolgáltatónál

Részletesebben