5. előadás. Skaláris szorzás

Átírás

1 5. előadás Skaláris szorzás

2 Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ

3 Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút értékük és hajlásszögük koszinuszának a szorzatával egyenlő. ab = a b cosφ A skaláris szorzás tehát két vektorhoz egy számot rendel. A skaláris szorzás lényegesen különbözik a skalárral való szorzástól.

4 Tulajdonságok Állítás: Tetszőleges a, b vektorok és λ valós szám esetén: 2. a2 = a2 3. ab = ba 4. λ(ab) = (λa)b = a(λb) Bizonyítás: 1. és 2. triviális, 3. esetszétválasztással, λ előjele szerint.

5 Tulajdonságok A skaláris szorzat nem asszociatív. (ab)c a(bc), hiszen a bal oldalon c-vel párhuzamos, a jobb oldalon pedig a-val párhuzamos vektor áll. Ha e egységvektor, akkor ae az a-nak az e irányára eső előjeles merőleges vetülete. A továbbiakban v0 a v irányú egységvektort jelöli.

6 Tulajdonságok (ae)e az a vektor e-vel párhuzamos komponense. ap = (ae)e am = a-(ae)e az a vektor e-re merőleges komponense.

7 Tulajdonságok Tétel: A skaláris szorzás disztributív, azaz tetszőleges a, b és c vektorok esetén (a+b)c = ac + bc. Bizonyítás: Ha valamelyik 0, akkor nyilvánvaló. Először c = 1 esetén bizonyítunk. Ekkor a c-vel való szorzás az előjeles merőleges vetületet adja, tehát (a+b)c = ac + bc. Mivel c = c c0, ezért ezt felhasználva kapjuk, hogy:

8 Tulajdonságok (a+b)c = c ((a+b)c0)= c (ac0 + bc0) = c (ac0 ) + c (bc0) = ac + bc. Két, tetszőleges számú összeadandóból álló vektorösszeget úgy szorzunk össze, hogy az első tényező minden tagját megszorozzuk a második tényező minden tagjával, és a szorzatokat összeadjuk. (Σλiai)(Σμjbi) = (Σλiμjaibi)

9 Tulajdonságok Tétel: Két vektor skaláris szorzata pontosan akkor 0, ha a vektorok merőlegesek egymásra. Bizonyítás: Szorzat pontosan akkor 0, ha valamelyik tényezője 0, ezért a b cosφ = 0 pontosan akkor, ha a = 0, b = 0, vagy cosφ = 0. A 0 vektort minden vektorra merőlegesnek tekintjük.

10 Tulajdonságok A Descartes-féle derékszögű koordinátarendszer alapvektoraira i2 = j2 = k2 = 1, ij = jk = ki = 0. Ha a koordinátái (a1,a2,a3), b koordinátái pedig (b1,b2,b3), akkor ab = (a1i + a2j + a3k)(b1i + b2j + b3k) = a1b1 + a2b2 + a3b3. 2 = a12 + a22 + a32 Speciálisan: a2 = a Vektor hossza megegyezik koordinátái négyzetösszegének négyzetgyökével.

11 Alkalmazások Koszinusztétel: Bármely háromszögben a szokásos jelölésekkel: c2 = a2 + b2 2ab cos γ Bizonyítás: C-ből indítjuk a helyvektorokat. γ b a c b = a, a = b, c = a - b, ezek alapján: c2 = a - b 2 = (a b)2 = a2 + b2 2ab cos γ.

12 Alklamazások Tétel: Rögzített a 0 vektor esetén a tér bármely v vektora egyértelműen felírható v = vp + vm alakban, ahol vp párhuzamos a-val, vm pedig merőleges a-ra. Bizonyítás: Az egyértelműséget már láttuk. Legyen vp = ((av)/a2 )a, vm = v vp. Ekkor avm = a(v - (av)/a2 )a) = 0.

13 Alkalmazások Tétel: Egy négyszög pontosan akkor paralelogramma, ha oldalainak négyzetösszege megegyezik átlóinak négyzetösszegével. Bizonyítás: A-ból indítjuk a helyvektorokat. Oldalak: b, c-b, c-d, d D Átlók: c, b-d C A B

14 Alkalmazások A két négyzetösszeg pontosan akkor egyenlő, ha b2 + (c-b)2 + (c-d)2 + d2 = c2 + (b-d)2 2(b2+c2+d2) 2(bc+cd) = b2+c2+d2-2bd b2+c2+d2-2bc - 2cd + 2bd = 0 (b + d c)2 = 0 b+d=c azaz ha a négyszög paralelegramma.

15 Alkalmazások Tétel: Egy négyszög átlói pontosan akkor merőlegesek egymásra, ha szemközti oldalainak négyzetösszege egyenlő. Bizonyítás: A-ból indítjuk a helyvektorokat. Oldalak: b, c-b, c-d, d D C A B

16 Alkalmazás A két négyzetösszeg pontosan akkor egyenlő, ha b2 + (c-d)2 = d2 + (c-b)2 b2+c2+d2 2cd = b2+c2+d2 2cb 2(cb cd) = 0 c(b d) = 0 azaz ha a két átló merőleges egymásra.

17 Alkalmazások Tétel: Ha egy tetraéder két-két szemközti éle páronként merőleges egymásra, akkor a harmadik élpár tagjai is merőlegesek egymásra. Bizonyítás: D-ből indítjuk a helyvektorokat. Tegyük fel, hogy DA merőleges BC-re és DB merőleges CA-ra.

18 Alkalmazások A feltételek szerint: a(b-c) = 0 és b(a-c) = 0. Vagyis ab = ac = bc, tehát c(a-b) = 0, ezért a harmadik élpár tagjai is merőlegesek egymásra.

19 Alkalmazások Tétel: Bármely háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást. Bizonyítás: Legyen az A-ból és a B-ből induló magasságvonalak metszéspontja D. D-ből indítjuk a helyvektorokat. Ekkor DA merőleges BC-re és DB merőleges CA-ra.

20 Alkalmazások A feltételek szerint: a(b-c) = 0 és b(a-c) = 0. Vagyis ab = ac = bc, tehát c(a-b) = 0, ezért DC merőleges AB-re, vagyis a C-ből induló magasság is átmegy D-n.

21 SZÜNET

22 Jövő héten ZH Időpont: kedd 16:00-18:00 Hely: Déli épület (Bolyai terem) Hozni kell: - fényképes igazolvány - 5 üres lap

23 Alkalmazások Tétel: Bármely háromszög körülírt körének középpontjából a csúcsokba mutató vektorok összege egyenlő a körülírt kör középpontjából a magasságpontba mutató vektorral. K-ból indítjuk a helyvektorokat. Legyen az a+b+c helyvektor végpontja V. Megmutatjuk, hogy V-t a háromszög bármely csúcsával összekötő egyenes merőleges a háromszög szemközti oldalára. (Ez egyúttal újabb bizonyítás a magasságpont létezésére.)

24 Alkalmazások Azt kell megmutatnunk, hogy VA merőleges BC-re, azaz (v-a)(b-c)=0. ((a+b+c)-a)(b-c) = 0 (b+c)(b-c) = 0 b2 - c2 = 0 Ami nyilván igaz, mert b2 = c2 = a2 = R2.

25 Alkalmazások Euler-egyenes: Bármely háromszög körülírt körének középpontja, súlypontja és magasságpontja egy egyenesre illeszkedik. A súlypont harmadolja a körülírt kör középpontját a magasságponttal összekötő szakaszt. Bizonyítás: K-ból indítjuk a helyvektorokat. s = (a+b+c)/3, m = a+b+c

26 Alkalmazások Tétel: A háromszög magasságpontjának az oldalakra vonatkozó tükörképei a körülírt körön vannak. Bizonyítás: Legyen az A-ból induló magasságegyenes és a körülírt kör második metszéspontja D, a magasság talppontja T. Ismét K-ból indítjuk a helyvektorokat.

27 Alkalmazások Mivel egy kör húrjának felezőmerőlegese átmegy a kör középpontján, ezért AD és BC felezőpontjai, K és T egy téglalap csúcsai. t = (a+d)/2 + (b+c)/2 = (a+b+c)/2 + d/2 = (m+d)/2 Azaz T felezi az MD szakaszt, tehát M BC-re vonatkozó tükörképe a körülírt körön van.

28 Alkalmazások Feuerbach-kör: Bármely háromszög oldalainak felezőpontjai, magasságainak talppontjai, valamint a magasságpontot a csúcsokkal összekötő szakaszok felezőpontjai egy körön vannak. Ennek a körnek a középpontja felezi a magasságpontot a körülírt kör középpontjával összekötő szakaszt, sugara pedig a körülírt kör sugarának fele.

29 Alkalmazások Bizonyítás: K-ból indítjuk a helyvektorokat. f = (a+b+c)/2

30 Alkalmazások 1. Oldalfelezőpontok: f a = (a+b+c)/2 - (b+c)/2 = a/2 = R/2 3. Magasságok talppontjai: f t = ( a+b+c)/2 - (a+b+c+d)/2 = -d/2 = R/2 5. Csúcsot a magasságponttal összekötő szakaszok felezőpontjai: f h = (a+b+c)/2 ((a+b+c)+a)/2 = -a/2= R/2

31 Koordináta-transzformáció Milyen kapcsolat van egy pont régi és új koordinátái közt, ha valamilyen egyszerű transzformációval megváltoztatjuk a koordinátarendszert? P koordinátái a régi rendszerben (x,y,z), az újban (x,y,z ).

32 Koordináta-transzformáció 1. A kezdőpontot eltoljuk az O (a,b,c) pontba, a bázisvektorok nem változnak. OP = OO + O P, tehát

33 Koordináta-transzformáció p = xi + yj + zk = (ai + bj + ck) + (x i + y j + z k) Ebből kapjuk a transzformációs képleteket: x = x + a y = y + b z = z + c illetve x = x a y = y b z = z c

34 Koordináta-transzformáció 1. A kezdőpont nem változik, a bázisvektorokat elforgatjuk. OP = p = xi + yj + zk = x i + y j + z k

35 Koordináta-transzformáció Az xi + yj + zk = x i + y j + z k egyenletet a különböző bázisvektorokkal skalárisan szorozva kapjuk az áttérési képleteket. Ha pl. y-t akarjuk kifejezni, akkor j-vel kell szorozni: (xi + yj + zk)j = (x i + y j + z k )j y = x cos(i,j) + y cos(j,j) + z cos(k,j)

36 Koordináta-transzformáció Ha síkban φ szöggel elforgatjuk a bázisvektorokat, akkor a képletek: x = xcosφ + ysinφ ill. x = x cosφ y sinφ y = xsinφ + ycosφ y = x sinφ + y cosφ