10. előadás. Konvex halmazok

Átírás

1 10. előadás Konvex halmazok

2 Konvex halmazok Definíció: A K ponthalmaz konvex, ha bármely két pontjának összekötő szakaszát tartalmazza. Állítás: Konvex halmazok metszete konvex. Konvex halmazok uniója általában nem konvex.

3 Konvex halmazok Definíció: A H ponthalmaz konvex burka a lehető legszűkebb olyan konvex halmaz, amely tartalmazza H-t. Egy ponthalmaz akkor és csak akkor konvex, ha megegyezik a saját konvex burkával.

4 Konvex halmazok Tétel: Minden H ponthalmaznak egyértelműen létezik konvex burka. (Ezt conv(h) jelöli.) Bizonyítás: Van H-t tartalmazó konvex halmaz, mert a teljes tér konvex. Megmutatjuk, hogy conv(h) éppen a H-t tartalmazó összes konvex halmaz metszete. Ez a halmaz tartalmazza H-t és konvex is, mert konvexek metszete. A tartalmazásra nézve pedig nyilván a legszűkebb a definíciója miatt.

5 Konvex halmazok Példák konvex burokra: Két pont konvex burka: összekötő szakaszuk. Három nem kollineáris pont konvex burka: háromszög. Négy nem egysíkú pont konvex burka: tetraéder. Körvonal konvex burka: körlemez. Gömbfelület konvex burka: gömbtest.

6 Konvex halmazok Korábban láttuk, hogy az AB szakasz, az ABC háromszög és az ABCD tetraéder pontjait a csúcspontok nemnegatív súlyokkal ellátott súlypontjaiként tudjuk előállítani. Ennek általánosításaát fogjuk megnézni.

7 Hosszúság Tétel: Ha az AB szakasz végpontjaiba mutató helyvektorok a és b, az AB egyenes egy tetszőleges S pontjának helyvektora pedig s, akkor s = (SBa + ASb)/AB SB A B S AS

8 Terület Tétel: Ha az ABC háromszög csúcsaiba mutató helyvektorok a,b és c, a háromszög síkjában lévő S pont helyvektora pedig s, akkor s = (t a a + t b b + t c c)/t

9 Térfogat Tétel: Ha az ABCD tetraéder csúcsaiba mutató helyvektorok a,b,c és d, a tér egy tetszőleges S pontjának helyvektora pedig s, akkor s = (V a a + V b b + V c c + V d d)/v

10 Konvex halmazok Tétel: Ha K konvex halmaz, az A i pontok (i=1,2,,n) K-beliek, a λ i nemnegatív számok összege pedig 1, akkor az A i pontok λ i súlyokkal vett súlypontja is K-beli. Bizonyítás: n-szerinti teljes indukció. Ha n=1,2, akkor nyilvánvaló. Tegyük fel, hogy n=k esetén igaz. Legyen b = λ 1 a 1 + λ 2 a λ k a k + λ k+1 a k+1

11 Konvex halmazok Feltehető, hogy λ k+1 1. Ekkor bevezetve a λ 1 + λ 2 + λ k = λ jelölést, kapjuk, hogy: b = (λ 1 a 1 + λ 2 a λ k a k ) + λ k+1 a k+1 = λ(λ 1 /λa 1 + λ 2 /λ a λ k /λ a k )+ λ k+1 a k+1. Az indukciós feltevés szerint a zárójelben lévő vektor végpontja K-beli, ezért B is K- beli, mert két K-beli pont összekötő szakaszán van.

12 Konvex halmazok A tétel megfordítása is igaz: Tétel: Ha egy K ponthalmazból bármely véges sok pontot nemnegatív súlyokkal ellátva a kapott súlyozott pontrendszer súlypontja K-beli, akkor K konvex. Bizonyítás: Ha a két pontból álló pontrendszereket nézzük, akkor a feltételből épp a konvexség definícióját kapjuk vissza.

13 Konvex halmazok Tétel: Tetszőleges H halmaz esetén conv(h) éppen a nemnegatív súlyokkal ellátott véges H- beli pontrendszerek súlypontjai által alkotott halmaz. Bizonyítás: Legyen S a tételbeli súlypontok halmaza. Meg kell mutatnunk, hogy: 3. S konvex, 4. H benne van S-ben, 5. Minden H-t tartalmazó konvex halmaz tartalmazza S-et.

14 Konvex halmazok 1. Ha s 1 = λ 1 a 1 + λ 2 a λ k a k és s 2 = μ 1 b 1 + μ 2 b μ m b m, akkor αs 1 +(1-α)s 2 = α(λ 1 a 1 + λ 2 a λ k a k ) + (1-α)(μ 1 b 1 + μ 2 b μ m b m ), és α(λ 1 + λ λ k ) +(1-α)(μ 1 + μ μ m )= α +(1-α) = H pontjai éppen az egyelemű halmazok súlypontjai.

15 Konvex halmazok 3. Legyen K olyan konvex halmaz, amely tartalmazza H-t. Ekkor S pontjait tekinthetjük K-beli pontrendszerek súlypontjainak is. Ezeket a pontokat viszont K tartalmazza az előző tételünk miatt. Tehát K tartalmazza S-et.

16 Sokszögek Definiálni szeretnénk a sokszöget. Ez nem is olyan egyszerű:

17 Sokszögek Definíciók: Töröttvonal: szakaszok egy olyan véges sorozata, melyben minden szakasz végpontja megegyezik a sorozatban utána következő szakasz kezdőpontjával.

18 Sokszögek T = (A 1 B 1, A 2 B 2,,A n B n ) A i = B i+1 ha i =1,2,,n-1. T zárt, ha A 1 = B n. T egyszerű, ha a benne szereplő szakaszoknak az előírt csatlakozási pontokon kívül nincs más közös pontjuk. A töröttvonal φ i törésszöge az A i B i és A i+1 B i+1 vektorok szöge.

19 Sokszögek Sokszögvonalnak nevezzük az olyan egyszerű, zárt töröttvonalat, melynek nincs 0º törésszöge. A csatlakozási pontok a sokszögvonal csúcsai, a szakaszok a sokszögvonal oldalai. A csúcsok és az oldalak száma megegyezik.

20 Sokszögek Jordan felbontási tétele: Bármely T sokszögvonal a sík T-hez nem tartozó pontjait két osztályba sorolja. Két pont pontosan akkor köthető össze T-től diszjunkt töröttvonallal, ha ugyanabban az osztályban van. Az egyik osztály korlátos, a másik nem. A korlátos osztályt T belsejének, a másikat T külsejének nevezzük.

21 Sokszögek A bizonyítás nehéz. Megtalálható pl.: Strohmajer: A geometria alapjai című jegyzetben.

22 Sokszögek Definíció: Sokszögnek nevezzük az olyan ponthalmazokat a síkon, melyek egy sokszögvonal és annak belseje egyesítéseként állnak elő. Az n oldalú sokszöget n-szögnek nevezzük. (A definícióból következik, hogy n 3.)

23 Sokszögek Definíciók: A sokszög csúcsai, illetve oldalai a sokszöget határoló sokszögvonal csúcsai, illetve oldalai. A sokszög átlói a csúcsokat összekötő, az oldalaktól különböző szakaszok. Oldalegyenesek, illetve átlóegyenesek az oldalakat, illetve átlókat tartalmazó egyenesek. (Különböző oldalakhoz tartozhat ugyanaz az oldalegyenes!)

24 Sokszögek Belső szög: Bármely csúcsnál az ott találkozó két oldal két szögtartományt határoz meg. Ezek közül az egyik nyílik a sokszög belseje felé (azaz tartalmaz pontokat tetszőleges olyan körlapnak a sokszöggel vett metszetéről, melynek középpontja az adott csúcs), a másik pedig nem. Ezt a szöget nevezzük a sokszög adott csúcsnál lévő belső szögének.

25 SZÜNET

26 Jövő kedden zh. 16:00-18:00 Bolyai terem

27 Sokszögek Tétel: Bármely n-szög belső szögeinek összege (n-2) 180º.

28 Sokszögek Bizonyítás: Háromszögre már láttuk: Konvex n-szög: Egy csúcsból induló átlókkal háromszögekre bontjuk:

29 Sokszögek Konkáv n-szög: a konkáv szögek száma szerinti indukcióval. n - 3 = n 1 + n 2 Egy új csúcs, összesen +180º szögnövekedés.

30 Konvex sokszögek A sokszögek közt a konvexeket többféleképp jellemezhetjük. Tétel: Az S sokszögre vonatkozó következő állítások ekvivalensek: 3. S konvex. 4. S bármely oldalegyenese által meghatározott két félsík közül az egyik tartalmazza S-et. 5. Ha egy egyenes nem oldalegyenese S-nek, akkor legfeljebb két S-beli pontot tartalmaz. 6. S tartalmazza mindegyik átlóját. 7. S mindegyik belső szöge kisebb 180º-nál.

31 Konvex sokszögek Tétel: A síkon bármely véges sok, nem kollineáris pont konvex burka olyan konvex sokszög, melynek csúcsai az adott pontok közül kerülnek ki. Tétel: Ha egy síkbeli korlátos ponthalmaz előáll véges sok olyan zárt félsík metszeteként, melyeknek van közös belső pontjuk, akkor ez a ponthalmaz konvex sokszög.

32 Konvex sokszög Ezeket a tételeket sem bizonyítjuk. Mindkettőt könnyű kimondani három dimenzióban is, így kapjuk a konvex poliédereket. A poliéder fogalmát is felépíthetnénk a sokszögéhez hasonlóan, ez azonban jóval bonyolultabb eljárárs lenne.

33 Poliéderek

34 Poliéderek

35 Konvex poliéder 1. definíció: Konvex poliédernek nevezzük a térben véges sok, nem egysíkú pont konvex burkát. 2. definíció: Konvex poliédernek nevezzük azokat a térbeli korlátos ponthalmazokat, melyek előállnak véges sok olyan zárt féltér metszeteként, melyeknek van közös pontjuk.