Geometria 1 normál szint

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Geometria 1 normál szint"

Átírás

1 Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4

2 Vizsga 1 Írásban, 90 perc. 2 Személyazonosságot igazoló okmány nélkül nem lehet vizsgázni. 3 4 feladat. Ebből kettő egy-egy tétel bizonyítással együtt. Továbbá két olyan feladat, amely az anyag megértését ellenőrzi. Egy ilyen feladat lehet egy definíció vagy tétel pontos kimondása, vagy egy definíció vagy tétel alkalmazása egy egyszerű esetben. Lehet továbbá egy néhány rész-kérdésből álló igaz/hamis sor. 4 Pontozás: pont a maximum. 2 ( ) = 100 Geometria 1 normál szint 2 / 4

3 Értékelés Az elégséges szükséges feltétele, hogy minden részfeladatra legalább 7 pontot szerezzen a vizsgázó. 0 39: : : : : 5 Geometria 1 normál szint 3 / 4

4 Szabályos testek Definíció: Szabályos poliédernek nevezzük az olyan konvex poliédereket, melyeknek élei, élszögei és lapszögei egyenlők. Az élek és élszögek egyenlőségéből következően a lapok egybevágó szabályos sokszögek. Az élszögek és a lapszögek egyenlőségéből következően a test szögletei egybevágóak.

5 Szabályos testek A szabályos testeket ezért hasonlóság erejéig meghatározza két paraméter: n: a határoló lapok oldalszáma m: az egy csúcsban találkozó lapok száma.

6 Szabályos testek Tétel: Ötféle szabályos test van. Ezek adatai:

7 Már az ókori görögök is ismerték őket: Szabályos testek

8 Szabályos testek Bizonyítás: Mivel minden él két laphoz tartozik, ezért: 2e = nl. Mivel minden élnek két vége van, ezért: 2e = mc. Ezeket beírva Euler tételébe és rendezve: c + l = e + 2, azaz 2e/m + 2e/n = e + 2, 1/m + 1/n = 1/2 + 1/e.

9 Szabályos testek Tehát 1/m + 1/n > 1/2, azaz (n-2)(m-2) < 4. Mivel n is és m is legalább 3, ezért a bal oldal értéke csak 1,2 vagy 3 lehet. Ezekből adódik az öt lehetőség: 1 = (3-2)(3-2), 2 = (4-2)(3-2) = (3-2)(4-2), 3 = (5-2)(3-2) = (3-2)(5-2).

10 Szabályos testek Ezzel beláttuk, hogy kombinatorikus struktúráját tekintve öt szabályos test létezhet. Meg kell még mutatnunk, hogy ezek mindegyike létezik is. Kockát egyszerűen tudunk készíteni a derékszögű koordinátarendszerben. Ebből kiindulva állítjuk elő a másik négy szabályos testet.

11 Szabályos tetraéder: Szabályos testek

12 Szabályos testek Szabályos oktaéder: A szabályos oktaéder a kocka duálisa.

13 Szabályos testek Szabályos dodekaéder: 12 lap, 30 él, 20 csúcs.

14 Szabályos testek A kocka minden lapjára egy-egy háztetőt építünk. Koordinátákkal: ahol τ = ( 5 + 1)/2. ( ±1, ±1, ±1) ( 0, ±τ -1, ±τ) (±τ, 0, ±τ -1 ) ( ±τ -1, ±τ, 0)

15 Szabályos testek Szabályos ikozaéder: a szabályos dodekaéder duálisa. A dodekaéder lapközéppontjai ikozaédert alkotnak. 20 lap, 30 él, 12 csúcs.

16 Féligszabályos testek

17 Euler tételének következményei Tétel: Nincs 7 élű konvex test. Bizonyítás: Tegyük fel, hogy van ilyen. Mivel minden lapnak legalább 3 oldaléle van, ezért 3l 2e = 14, tehát l 4. Mivel minden csúcsban legalább 3 él találkozik, ezért 3c 2e = 14, tehát c 4. Ezért 9 = e + 2 = c + l 8, ellentmondás.

18 Helly tétele Láttuk, hogy konvex halmazok metszete konvex. Ha sok konvex halmaz közül néhány metszi egymást, akkor mondhatunk-e valamit az összes halmaz metszetéről? Geometria 1 normál szint 1 / 16

19 Helly tétele egyenesen Helly tétele egyenesen Ha az egyenesen véges sok konvex halmaz közül bármelyik kettőnek van közös pontja, akkor van olyan pont, amely a halmazok mindegyikében benne van. Geometria 1 normál szint 2 / 16

20 Helly tétele egyenesen Helly tétele egyenesen Ha az egyenesen véges sok konvex halmaz közül bármelyik kettőnek van közös pontja, akkor van olyan pont, amely a halmazok mindegyikében benne van. Bizonyítás: Az egyenesen csak háromféle konvex halmaz van: a teljes egyenes, a félegye- nesek és a szakaszok. A teljes egyenessel nem kell foglalkoznunk. A félegyeneseket és a szaka- szokat megadhatjuk (a i, b i ) alakban, ahol a i < b i va- lós számok, vagy egyikük ±. Geometria 1 normál szint 2 / 16

21 Helly tétele egyenesen Helly tétele egyenesen Ha az egyenesen véges sok konvex halmaz közül bármelyik kettőnek van közös pontja, akkor van olyan pont, amely a halmazok mindegyikében benne van. Bizonyítás: Az egyenesen csak háromféle konvex halmaz van: a teljes egyenes, a félegye- nesek és a szakaszok. A teljes egyenessel nem kell foglalkoznunk. A félegyeneseket és a szaka- szokat megadhatjuk (a i, b i ) alakban, ahol a i < b i va- lós számok, vagy egyikük ±. Mivel véges sok halmazunk van, ezért ki tudjuk választani a legnagyobb kezdő- pontot, a M et, és a legkisebb végpontot, b m et. Ekkor a M b m, mert ellenkező esetben az M-edik és az m-edik konvex halmaznak nem lenne közös pontja. Ez viszont azt jelenti, hogy minden olyan k érték, melyre a M k b m teljesül, benne van az összes konvex halmazban. Geometria 1 normál szint 2 / 16

22 Helly tétel következményei Végtelen sok halmaz esetén nem igaz a tétel: Geometria 1 normál szint 3 / 16

23 Helly tétel következményei Végtelen sok halmaz esetén nem igaz a tétel: Tekintsük a nyílt (0, 1/n) intervallu- mokat, ahol n befutja a pozitív egészek halmazát. Geometria 1 normál szint 3 / 16

24 Helly tétel következményei Végtelen sok halmaz esetén nem igaz a tétel: Tekintsük a nyílt (0, 1/n) intervallu- mokat, ahol n befutja a pozitív egészek halmazát. Bizonyos további feltételek teljesülése (pl. kompaktság) esetén a tétel végtelen sok konvex halmazból álló rendszerre is igaz. Geometria 1 normál szint 3 / 16

25 Helly tétele a síkon A síkon megadható véges sok konvex halmaz úgy, hogy közülük bármely kettőnek van közös pontja, de nincs olyan pont, amelyik mindegyikben benne van. Geometria 1 normál szint 4 / 16

26 Helly tétele a síkon A síkon megadható véges sok konvex halmaz úgy, hogy közülük bármely kettőnek van közös pontja, de nincs olyan pont, amelyik mindegyikben benne van. Geometria 1 normál szint 4 / 16

27 Helly tétele a síkon Helly tétele a síkon Ha a síkban véges sok konvex halmaz közül bármelyik háromnak van közös pontja, akkor van olyan pont, amely a halmazok mindegyikében benne van. Geometria 1 normál szint 5 / 16

28 Helly tétele a síkon Helly tétele a síkon Ha a síkban véges sok konvex halmaz közül bármelyik háromnak van közös pontja, akkor van olyan pont, amely a halmazok mindegyikében benne van. Bizonyítás: A halmazok száma szerinti teljes indukcióval bizonyítunk. Ha legfeljebb három halmazunk van, akkor triviális. Először megmutatjuk, hogy négy halmaz esetén igaz a tétel. Legyenek K 1, K 2, K 3, K 4 olyan konvex halmazok, melyek közül bármely háromnak van közös pontja. Legyen ahol i, j, l, m = 1, 2, 3, 4. P i K j K l K m, Nézzük a P i pontokat. Ha van köztük három kollineáris, akkor közülük a középső mind a négy halmazban benne van. Ha nincs három kollineáris, akkor a négy pont konvex burka vagy háromszög, vagy konvex négyszög. Geometria 1 normál szint 5 / 16

29 Helly tétele a síkon Bizonyítás Ha a konvex burok háromszög, akkor feltehető, hogy P 4 belső pont. Geometria 1 normál szint 6 / 16

30 Helly tétele a síkon Bizonyítás Ha a konvex burok háromszög, akkor feltehető, hogy P 4 belső pont. Ekkor P 1, P 2, P 3 K 4, ezért a teljes háromszög is K 4 - beli, tehát P 4 mind a négy halmazban benne van. Geometria 1 normál szint 6 / 16

31 Helly tétele a síkon Bizonyítás Ha a konvex burok a P 1 P 2 P 3 P 4 négyszög, akkor a P 1 P 3 és P 2 P 4 átlók M metszéspontja benne van a K 2 K 4 és a K 1 K 3 halmazokban is, tehát a négy halmaz közös pontja. Geometria 1 normál szint 7 / 16

32 Helly tétele a síkon Bizonyítás Tegyük fel, hogy n 4 darab halmaz esetén igaz a tétel. Legyenek K 1, K 2,..., K n, K n+1 olyan konvex halmazok, melyek közül bármely háromnak van közös pontja. Legyen K = K n K n+1. Ekkor K 1, K 2,..., K n 1, K olyan konvex halmazok, melyek közül bármely háromnak van közös pontja, mert a 4 halmazra vonatkozó tétel szerint K i K j K. Ezért van olyan pont, amely benne van a K 1 K 2... K = K 1 K 2... K n K n+1 halmazban. Geometria 1 normál szint 8 / 16

33 Helly tétele a síkon Végtelen sok halmaz esetén nem igaz a tétel: Tekintsük a derékszögű koordinátarendszerben az origó csúcsú, a tengelyekkel párhuzamos oldalú, 1/n oldalhosszú nyílt négyzeteket. Ha n befutja a pozitív egészek halmazát, akkor ezek közül bármely háromnak van közös pontja, de nincs olyan pont, amely minden négyzetben benne van. Geometria 1 normál szint 9 / 16

34 Helly tétele a síkon Végtelen sok halmaz esetén nem igaz a tétel: Tekintsük a derékszögű koordinátarendszerben az origó csúcsú, a tengelyekkel párhuzamos oldalú, 1/n oldalhosszú nyílt négyzeteket. Ha n befutja a pozitív egészek halmazát, akkor ezek közül bármely háromnak van közös pontja, de nincs olyan pont, amely minden négyzetben benne van. Bizonyos további feltételek teljesülése (pl. kompaktság) esetén a tétel végtelen sok konvex halmazból álló rendszerre is igaz. Geometria 1 normál szint 9 / 16

35 Helly tétel következményei Állítás Ha négy félsík lefedi a síkot, akkor kiválasztható közülük három, melyek szintén lefedik a síkot. Geometria 1 normál szint 10 / 16

36 Helly tétel következményei Állítás Ha négy félsík lefedi a síkot, akkor kiválasztható közülük három, melyek szintén lefedik a síkot. Bizonyítás: Nézzük a félsíkok komplementereit. Geometria 1 normál szint 10 / 16

37 Helly tétel következményei Állítás Ha négy félsík lefedi a síkot, akkor kiválasztható közülük három, melyek szintén lefedik a síkot. Bizonyítás: Nézzük a félsíkok komplementereit. Ha semelyik három félsík nem fedné le a síkot, akkor ezek közül bármelyik három metszené egymást. Ekkor viszont Helly tétele miatt (a félsíkok, és így komplementereik is, konvex halmazok) lenne közös pontja mind a négynek is, azaz a négy félsík együtt sem fedné le a síkot. Geometria 1 normál szint 10 / 16

38 Helly tétel következményei Állítás Ha a síkon véges sok pont közül bármely három lefedhető egységsugarú körrel, akkor van olyan egységsugarú kör, amely az összes pontot tartalmazza. Geometria 1 normál szint 11 / 16

39 Helly tétel következményei Állítás Ha a síkon véges sok pont közül bármely három lefedhető egységsugarú körrel, akkor van olyan egységsugarú kör, amely az összes pontot tartalmazza. Bizonyítás: Tekintsük a pontok körül rajzolt egységsugarú köröket. Geometria 1 normál szint 11 / 16

40 Helly tétel következményei Állítás Ha a síkon véges sok pont közül bármely három lefedhető egységsugarú körrel, akkor van olyan egységsugarú kör, amely az összes pontot tartalmazza. Bizonyítás: Tekintsük a pontok körül rajzolt egységsugarú köröket. A feltétel szerint ezek közül bármely háromnak van közös pontja. Ezért Helly tétele szerint (a körök konvexek) van olyan pont, amely mindegyik körben benne van. Az e pont körül rajzolt egységkör az adott pontok mindegyikét tartalmazza. Geometria 1 normál szint 11 / 16

41 Kitérő: R n geometriája Pontok: R n = {u = (u 1, u 2,..., u n ) : u 1, u 2,..., u n R}. Skaláris szorzás: u v = u 1 v 1 + u 2 v u n v n. Mi a(z) Távolság? Szög? Gömb? Golyó? Merőlegesség? Sík (hipersík)? Egyenes? Szakasz? Konvex halmaz? Geometria 1 normál szint 12 / 16

42 Kitérő: R n geometriája Pontok: R n = {u = (u 1, u 2,..., u n ) : u 1, u 2,..., u n R}. Skaláris szorzás: u v = u 1 v 1 + u 2 v u n v n. Mi a(z) Távolság? Szög? u = u u. d(u, v) = u v. cos φ = u v u v. Gömb? Golyó? Merőlegesség? Sík (hipersík)? Egyenes? Szakasz? Konvex halmaz? Geometria 1 normál szint 12 / 16

43 Kitérő: R n geometriája Pontok: R n = {u = (u 1, u 2,..., u n ) : u 1, u 2,..., u n R}. Skaláris szorzás: u v = u 1 v 1 + u 2 v u n v n. Mi a(z) Távolság? Szög? u = u u. d(u, v) = u v. cos φ = u v u v. Gömb? Golyó? S n 1 (c, ρ) = {u : u c = ρ}. B n [c, ρ] = {u : u c ρ}. Merőlegesség? Sík (hipersík)? Egyenes? Szakasz? Konvex halmaz? Geometria 1 normál szint 12 / 16

44 Kitérő: R n geometriája Pontok: R n = {u = (u 1, u 2,..., u n ) : u 1, u 2,..., u n R}. Skaláris szorzás: u v = u 1 v 1 + u 2 v u n v n. Mi a(z) Távolság? Szög? u = u u. d(u, v) = u v. cos φ = u v u v. Gömb? Golyó? S n 1 (c, ρ) = {u : u c = ρ}. B n [c, ρ] = {u : u c ρ}. Merőlegesség? u v pontosan akkor, ha u v = 0. Sík (hipersík)? Egyenes? Szakasz? Konvex halmaz? Geometria 1 normál szint 12 / 16

45 Kitérő: R n geometriája Pontok: R n = {u = (u 1, u 2,..., u n ) : u 1, u 2,..., u n R}. Skaláris szorzás: u v = u 1 v 1 + u 2 v u n v n. Mi a(z) Távolság? Szög? u = u u. d(u, v) = u v. cos φ = u v u v. Gömb? Golyó? S n 1 (c, ρ) = {u : u c = ρ}. B n [c, ρ] = {u : u c ρ}. Merőlegesség? u v pontosan akkor, ha u v = 0. Sík (hipersík)? H = {u : u n = c}. Egyenes? Szakasz? Konvex halmaz? Geometria 1 normál szint 12 / 16

46 Kitérő: R n geometriája Pontok: R n = {u = (u 1, u 2,..., u n ) : u 1, u 2,..., u n R}. Skaláris szorzás: u v = u 1 v 1 + u 2 v u n v n. Mi a(z) Távolság? Szög? u = u u. d(u, v) = u v. cos φ = u v u v. Gömb? Golyó? S n 1 (c, ρ) = {u : u c = ρ}. B n [c, ρ] = {u : u c ρ}. Merőlegesség? u v pontosan akkor, ha u v = 0. Sík (hipersík)? H = {u : u n = c}. Egyenes? Szakasz? uv = {w : w = λu + (1 λ)v, λ R}, Konvex halmaz? Geometria 1 normál szint 12 / 16

47 Kitérő: R n geometriája Pontok: R n = {u = (u 1, u 2,..., u n ) : u 1, u 2,..., u n R}. Skaláris szorzás: u v = u 1 v 1 + u 2 v u n v n. Mi a(z) Távolság? Szög? u = u u. d(u, v) = u v. cos φ = u v u v. Gömb? Golyó? S n 1 (c, ρ) = {u : u c = ρ}. B n [c, ρ] = {u : u c ρ}. Merőlegesség? u v pontosan akkor, ha u v = 0. Sík (hipersík)? H = {u : u n = c}. Egyenes? Szakasz? uv = {w : w = λu + (1 λ)v, λ R}, [u, v = {w : w = λu + (1 λ)v, 0 λ 1}. Konvex halmaz? Geometria 1 normál szint 12 / 16

48 Kitérő: R n geometriája Pontok: R n = {u = (u 1, u 2,..., u n ) : u 1, u 2,..., u n R}. Skaláris szorzás: u v = u 1 v 1 + u 2 v u n v n. Mi a(z) Távolság? Szög? u = u u. d(u, v) = u v. cos φ = u v u v. Gömb? Golyó? S n 1 (c, ρ) = {u : u c = ρ}. B n [c, ρ] = {u : u c ρ}. Merőlegesség? u v pontosan akkor, ha u v = 0. Sík (hipersík)? H = {u : u n = c}. Egyenes? Szakasz? uv = {w : w = λu + (1 λ)v, λ R}, [u, v = {w : w = λu + (1 λ)v, 0 λ 1}. Konvex halmaz? Bármely két pontja által meghatározott szakaszt tartalmazó halmaz. Geometria 1 normál szint 12 / 16

49 Helly tétel következményei Helly tétele n dimenzióban Adott véges sok konvex halmaz R n -ben, melyek közül bármely n + 1 metszete nem üres. Ekkor az összes metszete sem üres. Nem bizonyítjuk. Geometria 1 normál szint 13 / 16

50 Helly tétel következményei Helly tétele n dimenzióban Adott véges sok konvex halmaz R n -ben, melyek közül bármely n + 1 metszete nem üres. Ekkor az összes metszete sem üres. Nem bizonyítjuk. Kirchberger tétele Adott véges sok pont R n -ben két színnel színezve. Tegyük fel, hogy bármely n + 2 ponthoz van olyan zárt féltér, amely tartalmazza a kékeket és diszjunkt a zöldektől. Ekkor van olyan zárt féltér, amely tartalmazza a kékeket és diszjunkt a zöldektől. Geometria 1 normál szint 13 / 16

51 Helly tétel következményei Kirchberger tétele Adott véges sok pont R n -ben két színnel színezve. Tegyük fel, hogy bármely n + 2 ponthoz van olyan zárt féltér, amely tartalmazza a kékeket és diszjunkt a zöldektől. Ekkor van olyan zárt féltér, amely tartalmazza a kékeket és diszjunkt a zöldektől. Geometria 1 normál szint 14 / 16

52 Helly tétel következményei Kirchberger tétele Adott véges sok pont R n -ben két színnel színezve. Tegyük fel, hogy bármely n + 2 ponthoz van olyan zárt féltér, amely tartalmazza a kékeket és diszjunkt a zöldektől. Ekkor van olyan zárt féltér, amely tartalmazza a kékeket és diszjunkt a zöldektől. Bizonyítás: Azonosítsuk az R n -beli zárt féltereket R n+1 -beli pontokkal: {u : u n c} (n, c) R n+1 Legyen k egy kék pont. Mely zárt féltereket szereti? (n, c) jó, ha Geometria 1 normál szint 14 / 16

53 Helly tétel következményei Kirchberger tétele Adott véges sok pont R n -ben két színnel színezve. Tegyük fel, hogy bármely n + 2 ponthoz van olyan zárt féltér, amely tartalmazza a kékeket és diszjunkt a zöldektől. Ekkor van olyan zárt féltér, amely tartalmazza a kékeket és diszjunkt a zöldektől. Bizonyítás: Azonosítsuk az R n -beli zárt féltereket R n+1 -beli pontokkal: {u : u n c} (n, c) R n+1 Legyen k egy kék pont. Mely zárt féltereket szereti? (n, c) jó, ha n k c, azaz (n, c) (k, 1) 0. Geometria 1 normál szint 14 / 16

54 Helly tétel következményei Kirchberger tétele Adott véges sok pont R n -ben két színnel színezve. Tegyük fel, hogy bármely n + 2 ponthoz van olyan zárt féltér, amely tartalmazza a kékeket és diszjunkt a zöldektől. Ekkor van olyan zárt féltér, amely tartalmazza a kékeket és diszjunkt a zöldektől. Bizonyítás: Azonosítsuk az R n -beli zárt féltereket R n+1 -beli pontokkal: {u : u n c} (n, c) R n+1 Legyen k egy kék pont. Mely zárt féltereket szereti? (n, c) jó, ha n k c, azaz (n, c) (k, 1) 0. Ez egy zárt féltér R n+1 -ben! Legyen z egy zöld pont. Mely zárt féltereket szereti? (n, c) jó, ha n z > c, azaz (n, c) (z, 1) > 0. Geometria 1 normál szint 14 / 16

55 Helly tétel következményei Kirchberger tétele Adott véges sok pont R n -ben két színnel színezve. Tegyük fel, hogy bármely n + 2 ponthoz van olyan zárt féltér, amely tartalmazza a kékeket és diszjunkt a zöldektől. Ekkor van olyan zárt féltér, amely tartalmazza a kékeket és diszjunkt a zöldektől. Bizonyítás: Azonosítsuk az R n -beli zárt féltereket R n+1 -beli pontokkal: {u : u n c} (n, c) R n+1 Legyen k egy kék pont. Mely zárt féltereket szereti? (n, c) jó, ha n k c, azaz (n, c) (k, 1) 0. Ez egy zárt féltér R n+1 -ben! Legyen z egy zöld pont. Mely zárt féltereket szereti? (n, c) jó, ha n z > c, azaz (n, c) (z, 1) > 0. Ez egy nyílt féltér R n+1 -ben! Geometria 1 normál szint 14 / 16

56 Helly tétel következményei Kirchberger tétele Adott véges sok pont R n -ben két színnel színezve. Tegyük fel, hogy bármely n + 2 ponthoz van olyan zárt féltér, amely tartalmazza a kékeket és diszjunkt a zöldektől. Ekkor van olyan zárt féltér, amely tartalmazza a kékeket és diszjunkt a zöldektől. Bizonyítás: Azonosítsuk az R n -beli zárt féltereket R n+1 -beli pontokkal: {u : u n c} (n, c) R n+1 Legyen k egy kék pont. Mely zárt féltereket szereti? (n, c) jó, ha n k c, azaz (n, c) (k, 1) 0. Ez egy zárt féltér R n+1 -ben! Legyen z egy zöld pont. Mely zárt féltereket szereti? (n, c) jó, ha n z > c, azaz (n, c) (z, 1) > 0. Ez egy nyílt féltér R n+1 -ben! Alkalmazzuk Helly tételét a szeretett félterekre. Geometria 1 normál szint 14 / 16

57 Elméletibb feladatok 1 Adjunk példát négy zárt féltér metszetére, amely nem egy konvex poliéder. 2 Adjunk példát hat pont konvex burkára, amely nem egy konvex poliéder. 3 Mondjuk ki Helly tételét a térben. 4 Hány csúcsa van az ikozaédernek? És éle? 5 Egy konvex poliéder és egy sík metszete lehet üres halmaz, pont, szakasz vagy konvex sokszög. 6 Egy kocka síkmetszete lehet hatszög? Geometria 1 normál szint 15 / 16

58 Gyakorlatibb feladatok 1 Adj olyan vektort, amely merőleges az (1, 2, 4) és az (5, 0, 2) vektorokra. 2 Add meg az (1, 7, 1) pontnak a fenti két vektor síkjára vett merőleges vetületét. 3 Add meg az ABC sík egy normálvektorát, ahol A = (1, 1, 2), B = (2, 3, 2) és C = (6, 1, 4). 4 Az egység térfogatú ABCD tetraéder A csúcsát eltolom a 3 BC vektorral. Mennyi lesz az így kapott tetraéder térfogata? 5 Írjuk fel annak az ellipszisnek egy paraméteres egyenletét, melynek fókuszai (1, 2) és (1, 2), nagytengelyének hossza pedig 10. Geometria 1 normál szint 16 / 16

Geometria 1 normál szint

Geometria 1 normál szint Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1. Írásban, 90 perc. 2. Index nélkül nem lehet vizsgázni!

Részletesebben

11. előadás. Konvex poliéderek

11. előadás. Konvex poliéderek 11. előadás Konvex poliéderek Konvex poliéder 1. definíció: Konvex poliédernek nevezzük a térben véges sok, nem egysíkú pont konvex burkát. 2. definíció: Konvex poliédernek nevezzük azokat a térbeli korlátos

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

10. előadás. Konvex halmazok

10. előadás. Konvex halmazok 10. előadás Konvex halmazok Konvex halmazok Definíció: A K ponthalmaz konvex, ha bármely két pontjának összekötő szakaszát tartalmazza. Állítás: Konvex halmazok metszete konvex. Konvex halmazok uniója

Részletesebben

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel; Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;

Részletesebben

GEOMETRIA 1, alapszint

GEOMETRIA 1, alapszint GEOMETRIA 1, alapszint Kiss György 4-723 Fogadóóra: péntek 8. 15-10. 00 email: kissgy@cs.elte.hu Előadás: 11. 15-13. 45, közben egyszer 15 perc szünet GEOMETRIA 1, alapszint Ajánlott irodalom: Hajós Gy.:

Részletesebben

5. előadás. Skaláris szorzás

5. előadás. Skaláris szorzás 5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre

Részletesebben

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az

Részletesebben

Az egyenes és a sík analitikus geometriája

Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes a kétdimenziós koordinátarendszerben A kétdimenziós koordinátarendszerben az egyenest egy n(a, B) normálvektorával és egy r 0 helyvektorú P(x 0,y 0

Részletesebben

3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat

3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat 3. előadás Elemi geometria Terület, térfogat Tetraéder Négy, nem egy síkban lévő pont által meghatározott test. 4 csúcs, 6 él, 4 lap Tetraéder Minden tetraédernek egyértelműen létezik körülírt- és beírt

Részletesebben

Minden jó válasz 4 pontot ér, hibás válasz 0 pont, ha üresen hagyja a válaszmezőt, 1 pont.

Minden jó válasz 4 pontot ér, hibás válasz 0 pont, ha üresen hagyja a válaszmezőt, 1 pont. 1. 1. Név: NEPTUN kód: Tanult középiskolai matematika szintje: közép, emelt szint. Munkaidő: 50 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható. A feladatlap üresen

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint)

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik

Részletesebben

λ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0

λ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0 Vektorok a térben Egy (v 1,v 2,v 3 ) valós számokból álló hármast vektornak nevezzünk a térben (R 3 -ban). Használni fogjuk a v = (v 1,v 2,v 3 ) jelölést. A v 1,v 2,v 3 -at a v vektor komponenseinek nevezzük.

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II. Vektorok II. DEFINÍCIÓ: (Vektorok hajlásszöge) Két vektor hajlásszögének azt a φ (0 φ 180 ) szöget nevezzük, amelyet a vektorok egy közös pontból felmért reprezentánsai által meghatározott félegyenesek

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

VEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)]

VEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)] Bodó Beáta 1 VEKTOROK 1. B Legyen a( ; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(0; 10; 0)] (b) c + b 7a [(18; 15; 29)] (c) 2d c + b [ (5; ; ) = 6, 56] (d) 4a + 8b 7c [ ( 49; 44; 5) =

Részletesebben

Lehet hogy igaz, de nem biztos. Biztosan igaz. Lehetetlen. A paralelogrammának van szimmetria-középpontja. b) A trapéznak két szimmetriatengelye van.

Lehet hogy igaz, de nem biztos. Biztosan igaz. Lehetetlen. A paralelogrammának van szimmetria-középpontja. b) A trapéznak két szimmetriatengelye van. Geometria, sokszögek, szögek, -, 2004_01/5 Lili rajzolt néhány síkidomot: egy háromszöget, egy deltoidot, egy paralelogrammát és egy trapézt. A következő állítások ezekre vonatkoznak. Tegyél * jelet a

Részletesebben

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták 1. Mik lesznek a P (3, 4, 8) pont C (3, 7, 2) pontra vonatkozó tükörképének a koordinátái? 2. Egy szabályos hatszög középpontja K (4, 1, 4),

Részletesebben

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam I. Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzetet 1) a pont, az egyenes, a sík és az illeszkedés alapfogalmak 2) két egyenes metsző, ha van közös pontjuk

Részletesebben

9. előadás. Térbeli koordinátageometria

9. előadás. Térbeli koordinátageometria 9. előadás Térbeli koordinátageometria Koordinátageometria a térben Descartes-féle koordinátarendszerben dolgozunk. A legegyszerűbb alakzatokat fogjuk vizsgálni. Az ezeket leíró egyenletek első-, vagy

Részletesebben

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög. 1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk

Részletesebben

Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. A térbeli irányított szakaszokat vektoroknak hívjuk. Két vektort egyenlőnek tekintünk, ha párhuzamos eltolással fedésbe hozhatók.

Részletesebben

I. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor:

I. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor: I. Vektorok 1. Vektorok összege Általánosan: Az ábra alapján Adott: a(4; 1) és b(; 3) a + b (4 + ; 1 + 3) = (6; ) a(a 1 ; a ) és b(b 1 ; b ) a + b(a 1 + b 1 ; a + b ). Vektorok különbsége Általánosan:

Részletesebben

Vektorok és koordinátageometria

Vektorok és koordinátageometria Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,

Részletesebben

= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1

= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1 Egyenes és sík a térben Elméleti áttekintés Az egyenes paraméteres egyenlete: X = u 1 λ + x 0 Y = u λ + y 0, Z = u λ + z 0 ahol a λ egy valós paraméter Az u = (u 1, u, u ) az egyenes irányvektora és P

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Klár Gergely 2010/2011. tavaszi félév

Klár Gergely 2010/2011. tavaszi félév Számítógépes Grafika Klár Gergely tremere@elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2010/2011. tavaszi félév Tartalom Pont 1 Pont 2 3 4 5 Tartalom Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták

Részletesebben

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő

Részletesebben

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Szakasz mert van két végpontja Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Tört vonal Szög mert van két szára és csúcsa Félegyenes mert van egy kezdőpontja 5 1 1 Két egyenes egymásra merőleges ha egymással

Részletesebben

Analitikus térgeometria

Analitikus térgeometria 5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T

Részletesebben

10. Koordinátageometria

10. Koordinátageometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember

Részletesebben

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.

Részletesebben

A GEOMETRIA TÉMAKÖR FELOSZTÁSA. Síkgeometria Térgeometria Geometriai mérések Geometriai transzformációk Trigonometria Koordináta-geometria

A GEOMETRIA TÉMAKÖR FELOSZTÁSA. Síkgeometria Térgeometria Geometriai mérések Geometriai transzformációk Trigonometria Koordináta-geometria GEOMETRIA A GEOMETRIA TÉMAKÖR FELOSZTÁSA Síkgeometria Térgeometria Geometriai mérések Geometriai transzformációk Trigonometria Koordináta-geometria A SÍKGEOMETRIA TANÍTÁSA 5-10. OSZTÁLY Síkgeometriai fogalmak

Részletesebben

Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira:

Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira: 005-0XX Emelt szint Koordinátageometria 1) a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete x + y = 10, egyik csúcsa az origó. Hány ilyen

Részletesebben

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

Hasonlóság 10. évfolyam

Hasonlóság 10. évfolyam Hasonlóság Definíció: A geometriai transzformációk olyan függvények, melyek értelmezési tartománya, és értékkészlete is ponthalmaz. Definíció: Két vagy több geometriai transzformációt egymás után is elvégezhetünk.

Részletesebben

8. előadás. Kúpszeletek

8. előadás. Kúpszeletek 8. előadás Kúpszeletek Kör A k kört egyértelműen meghatározza C(a,b) középpontja és r sugara. A P pont pontosan akkor van k-n, ha CP=r. Vektoregyenlet: p-c = r. Koordinátás egyenlet: (X-a)2 + (Y-b)2 =

Részletesebben

Koordináta-geometria II.

Koordináta-geometria II. Koordináta-geometria II. DEFINÍCIÓ: (Alakzat egyenlete) A síkon adott egy derékszögű koordináta rendszer. A síkban levő alakzat egyenlete olyan f (x, y) = 0 egyenlet, amelyet azoknak és csak azoknak a

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon

Részletesebben

A kör. A kör egyenlete

A kör. A kör egyenlete A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - y + b) x + y - 6x - 6y + c) x +

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,

Részletesebben

Analitikus geometria c. gyakorlat

Analitikus geometria c. gyakorlat matematikatanári szak (2016/2017-es tanév, 1. félév) 1. feladatsor (M veletek vektorokkal) 1) Az a vektor hossza kétszerese a b vektor hosszának. Mekkora a két vektor szöge, ha az a b vektor mer leges

Részletesebben

Függvények Megoldások

Függvények Megoldások Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény

Részletesebben

1. Az ábrán látható táblázat minden kis négyzete 1 cm oldalhosszúságú. A kis négyzetek határvonalait akarjuk lefedni. Meg lehet-e ezt tenni

1. Az ábrán látható táblázat minden kis négyzete 1 cm oldalhosszúságú. A kis négyzetek határvonalait akarjuk lefedni. Meg lehet-e ezt tenni 1. Az ábrán látható táblázat minden kis négyzete 1 cm oldalhosszúságú. A kis négyzetek határvonalait akarjuk lefedni. Meg lehet-e ezt tenni a) 5 db 8 cm hosszú, b) 8 db 5 cm hosszú cérnával? Megoldás:

Részletesebben

Fonyó Lajos: A végtelen leszállás módszerének alkalmazása. A végtelen leszállás módszerének alkalmazása a matematika különböző területein

Fonyó Lajos: A végtelen leszállás módszerének alkalmazása. A végtelen leszállás módszerének alkalmazása a matematika különböző területein A végtelen leszállás módszerének alkalmazása a matematika különböző területein A végtelen leszállás (infinite descent) egy indirekt bizonyítási módszer, ami azon alapul, hogy a természetes számok minden

Részletesebben

Euler-formula, síkbarajzolható gráfok, szabályos testek

Euler-formula, síkbarajzolható gráfok, szabályos testek FEJEZET 5 Euler-formula, síkbarajzolható gráfok, szabályos testek "Minden emberi megismerés szemlélettel kezdődik, ebből fogalomalkotásba megy át és eszmékben végződik." I. Kant: A tiszta ész kritikája.

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd

Részletesebben

Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok )

Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok ) Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok./ Határozd meg az AB szakasznak azt a pontját, amely a szakaszt : ha A ( ; és a B ( ; 8!./ Adott az A ( 3 ; 5 és a ( ; 6 B pont. Számítsd ki az AB vektor

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor

Részletesebben

Koordináta geometria III.

Koordináta geometria III. Koordináta geometria III. TÉTEL: A P (x; y) pont akkor és csak akkor illeszkedik a K (u; v) középpontú r sugarú körre (körvonalra), ha (x u) 2 + (y v) 2 = r 2. Ez az összefüggés a K (u; v) középpontú r

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III. Geometria III. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v. DEFINÍCIÓ: (Geometriai transzformáció) Geometriai transzformációnak

Részletesebben

Gyakorló feladatok. 2. Matematikai indukcióval bizonyítsuk be, hogy n N : 5 2 4n n (n + 1) 2 n (n + 1) (2n + 1) 6

Gyakorló feladatok. 2. Matematikai indukcióval bizonyítsuk be, hogy n N : 5 2 4n n (n + 1) 2 n (n + 1) (2n + 1) 6 Gyakorló feladatok 1. Ismertesd a matematikai indukció logikai sémáját, magyarázzuk meg a bizonyítás lényegét. Bizonyítsuk be, hogy minden n természetes számra 1 + 3 + + (n 1) = n.. Matematikai indukcióval

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA szeptember 7.

NULLADIK MATEMATIKA szeptember 7. A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 0. szeptember Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható. Válaszait csak az üres mezőkbe írja! A javítók a szürke

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak 1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

Geometriai alapismeretek

Geometriai alapismeretek Geometriai alapismeretek A geometria alapfogalmai a tapasztalat útján absztrakcióval alakultak ki. Térelemek: pont, egyenes, sík Térelemek kölcsönös helyzete, fontosabb alapesetek: Egy pont vagy illeszkedik

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben.

3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben. 3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben. TÁVOLSÁG Általános definíció: két alakzat távolsága a két alakzat pontjai között húzható legrövidebb szakasz hosszaa távolság

Részletesebben

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5 Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!

Részletesebben

2. ELŐADÁS. Transzformációk Egyszerű alakzatok

2. ELŐADÁS. Transzformációk Egyszerű alakzatok 2. ELŐADÁS Transzformációk Egyszerű alakzatok Eltolás A tér bármely P és P pontpárjához pontosan egy olyan eltolás létezik, amely P-t P -be viszi. Bármely eltolás tetszőleges egyenest vele párhuzamos egyenesbe

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R n vektortér Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. R n vektortér/1 Vektorok Rendezett szám n-esek: a = (a 1, a 2,, a n ) sorvektor a1 a = a2 oszlopvektor... a n a 1, a 2,,

Részletesebben

Izsák Imre Gyula természettudományos verseny

Izsák Imre Gyula természettudományos verseny 199 Jelölje m a, m b, m c egy háromszög magasságait, ρ a háromszög beírt körének a sugarát. Igazoljuk, hogy ma + mb + mc 9ρ Mikor áll fenn az egyenlség? Osszuk fel egy tetszleges ABCD konvex négyszög AB,

Részletesebben

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból

Részletesebben

Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik

Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala

Részletesebben

Az egyenes egyenlete: 2 pont. Az összevont alak: 1 pont. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete?

Az egyenes egyenlete: 2 pont. Az összevont alak: 1 pont. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete? 1. Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az (1; 3) ponton, és egyik normálvektora a (8; 1) vektor! Az egyenes egyenlete: 2. Végezze el a következő műveleteket, és vonja össze az egynemű

Részletesebben

ANALITIKUS MÉRTAN I. VEKTORALGEBRA. 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AD + BC = BD + AC.

ANALITIKUS MÉRTAN I. VEKTORALGEBRA. 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AD + BC = BD + AC. ANALITIKUS MÉRTAN INFORMATIKA CSOPORT I. VEKTORALGEBRA 1. Feladatlap Műveletek vektorokkal 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AB + BD + DC; b) AD + CB + DC; c) AB + BC

Részletesebben

2. tétel Egész számok - Műveletek egész számokkal. feleletvázlat

2. tétel Egész számok - Műveletek egész számokkal. feleletvázlat 1. tétel Természetes számok tízes számrendszer műveletek és tulajdonságaik Természetes számok, jele, jelölések, ábrázolása számegyenesen műveletek a természetes számok halmazán belül Tízes számrendszer

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK

1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK MATEMATIKA TÉMAKÖRÖK 11. évfolyam 1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK 1.1. HALMAZOK 1.1.1. Halmazok megadásának módjai 1.1.2. Halmazok egyenlősége, részhalmaz, üres halmaz, véges,

Részletesebben

5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11

5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11 Bodó Beáta ISMÉTLÉS. ch(6 d.. 4.. 6. 7. 8. 9..... 4.. e (8 d ch (9 + 7 d ( + 4 6 d 7 8 + d sin (4 + d cos sin d 7 ( 6 + 9 4 d INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 7 6 sh(6 + c 8 e(8 + c 9 th(9 + 7 + c 6 ( + 4 7 + c = 7 4

Részletesebben

Síkbarajzolható gráfok Április 26.

Síkbarajzolható gráfok Április 26. Síkbarajzolható gráfok 2017. Április 26. Síkgráfok Egy gráf síkgráf=síkba rajzolható gráf, ha lerajzolható úgy a síkba, hogy élei csak a szögpontokban metszik egymást. Ha egy gráf lerajzolható a síkba,

Részletesebben

Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül!

Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül! Laczkó László Készült a Fazekas ihály Oktatási Kulturális és Sport lapítvány támogatásával z árák elektronikus változatát Véges árton (009c) diák készítette feladat z hegyesszögű háromszög -nél levő szöge.

Részletesebben

Koordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1

Koordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Koordinátageometria M veletek vektorokkal grakusan 1. Az ABCD négyzet oldalvektorai közül a = AB és b = BC. Adja meg az AC és BD vektorokat a

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont) 1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)

Részletesebben

Geometriai feladatok, 9. évfolyam

Geometriai feladatok, 9. évfolyam Geometriai feladatok, 9. évfolyam Szögek 1. Nevezzük meg az ábrán látható szögpárokat. Mekkora a nagyságuk, ha α =52 o fok? 2. Mekkora az a szög, amelyik a, az egyenesszög 1/3-ad része b, pótszögénél 32

Részletesebben

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2 3... Egyenes szíjhatás esetén milyen hosszú szíj szükséges 50 cmes és 6 cm-es sugarú tárcsák összekapcsolásához, ha a tárcsák tengelyeinek távolsága 335 cm? 3... Csónakkal akarunk a folyó túlsó partjára

Részletesebben

Transzformáció a főtengelyekre és a nem főtengelyekre vonatkoztatott. Az ellipszis a sík azon pontjainak mértani helye, amelyeknek két adott pontól

Transzformáció a főtengelyekre és a nem főtengelyekre vonatkoztatott. Az ellipszis a sík azon pontjainak mértani helye, amelyeknek két adott pontól Ellipsis.tex, February 9, 01 Az ellipszis Az ellipszis leírása Az ellipszis szerkesztése és tulajdonságai Az ellipszis kanonikus egyenlete A kör vetülete ellipszis Az ellipszis polárkoordinátás egyenlete

Részletesebben

A legfontosabb elért eredményeink (a mellékelt publikációs listának megfelelő sorrendben):

A legfontosabb elért eredményeink (a mellékelt publikációs listának megfelelő sorrendben): Az eredeti kutatási tervünknek megfelelően a diszkrét geometria több alapvető fontosságú, máig nyitott problémájával kapcsolatos kérdéseket vizsgáltunk (pl Kneser-Poulsen sejtés, gömbelhelyezések magasabb

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x. Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin

Részletesebben

Elemi feladatsorok; 2G

Elemi feladatsorok; 2G Elemi feladatsorok; 2G 1. Hányféle végeredménye lehet egy olyan futóversenynek, melyen 90-en vesznek részt és az első öt helyezést rögzítik? 2. Hányféle lottóhúzás lehetséges a 90-ből 5-öt lottón? 3. Ha

Részletesebben

1. feladat Bizonyítsuk be, hogy egy ABCD húrnégyszögben AC BD

1. feladat Bizonyítsuk be, hogy egy ABCD húrnégyszögben AC BD 1. feladat Bizonyítsuk be, hogy egy ABCD húrnégyszögben AC BD = DA AB + BC CD AB BC + CD DA. Első megoldás: A húrnégyszögnek az A, B, C, ill. D csúcsoknál levő szögét jelölje rendre α, β, γ, ill. δ, azab,

Részletesebben

(4 pont) Második megoldás: Olyan számokkal próbálkozunk, amelyek minden jegye c: c( t ). (1 pont)

(4 pont) Második megoldás: Olyan számokkal próbálkozunk, amelyek minden jegye c: c( t ). (1 pont) Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny, 2005 2006-os tanév MATEMATIKA, III. kategória a gimnáziumok speciális matematikai osztályainak tanulói részére Az első forduló feladatainak megoldásai Kérjük a

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria 1) Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

5. házi feladat. AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: Az ered transzformáció: mivel az origó xpont, így nincs szükség homogénkoordinátás

5. házi feladat. AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: Az ered transzformáció: mivel az origó xpont, így nincs szükség homogénkoordinátás 5. házi feladat 1.feladat A csúcsok: A = (0, 1, 1) T, B = (0, 1, 1) T, C = (1, 0, 0) T, D = ( 1, 0, 0) T AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: 1 0 0 T AB = 0 1 0, elotlási rész:(i T AB )A = (0, 0, )

Részletesebben

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2 1) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) ( ) ) Határozza meg az 1. feladatban megadott, ; intervallumon

Részletesebben