Transzformáció a főtengelyekre és a nem főtengelyekre vonatkoztatott. Az ellipszis a sík azon pontjainak mértani helye, amelyeknek két adott pontól

Átírás

1 Ellipsis.tex, February 9, 01 Az ellipszis Az ellipszis leírása Az ellipszis szerkesztése és tulajdonságai Az ellipszis kanonikus egyenlete A kör vetülete ellipszis Az ellipszis polárkoordinátás egyenlete Az ellipszis főtengelyekre vonatkoztatott egyenlete Az ellipszis nem főtengelyekre vonatkoztatott egyenlete Az ellipszis paraméteres egyenlete Transzformáció a főtengelyekre és a nem főtengelyekre vonatkoztatott egyenletek között Az ellipszis leírása Az ellipszis a sík azon pontjainak mértani helye, amelyeknek két adott pontól (a gyujtópontoktól) való távolságösszege állandó (=a). Az adott két pont, F 1 és F az ellipszis gyújtópontjai (fókuszai). A gyujtópontok távolsága a középpontól: c = a b. Az ellipszis valamely pontját a gyújtópontokkal összekötő vezérsugarak (rádiuszvektorok) r 1 és r. Az ellipszis tengelyei egybeesnek a koordinátatengelyekkel. A fókuszok távolságát jelöljük c-vel; F 1 F = c. Ha feltesszük, hogy P pont az ellipszis tetszőlegespontja, akkor a definició szerint r 1 + r állandó. Ez az állandó legyen a, azaz r 1 + r = a c a c. r 1 = y + (c x) és r = y + (c x). Fogalmak és jelölések Fél nagytengely a Fél kistengely b Fókuszok F 1 és F A fókuszok távolsága c Vezérsugarak r 1 és r Az excentritás c/a Az ellipszis szerkesztése és tulajdonságai Az ellipszis szerkesztésének ún. kertészek módszere szerint zsinórból kell egy a + c hosszúságú hurkot késziteni, amelyet ráhelyezünk a két fókoszpontba szúrt gombostűre és egy ceruzával a hurkot feszesen tartva megrajzolhatjuk az ellipszist. 1

2 Az ellipszis érintője és normálisa felezi az érintési ponthoz tartozó vezérsugarak külső és belső szögét. Az ellipszis bármely pontjához tartozó érintőjére merőleges mindkét vezérsugárral ugyanakkora szöget zár be. Ezek alapján ha az ellipszis belső felülete tükröződik, akkor az egyik fókuszpontból kibocsátott fénysugár az ellipszis felületén úgy tükröződik, hogy a tükröződött fénysugár áthalad a másik fókuszponton. A kör vetülete ellipszis A kör koordinátái: A kör egyenlete: Az ellipszis koordinátái: x = a cos ϕ és y = sin ϕ. x + y = a (cos ϕ + sin ϕ) = a. x = a cos ϕ és b sin ϕ. A merőleges affinitás: λ = b/a, így a kör egyenlete: a cos ϕ + ( a) b sin ϕ = a. b x + ( a ) y = a. b x a + y b = 1. Az ellipszis kanonikus egyenlete (x + c) + y + (x c) + y = a y + (c x) = a y + (c + x) a y + (a + x) = a + xc x (a c ) + a y = a (a c ) b x + a y = a b x a + y b = 1, ahol a az ellipszis félnagytengelye, b pedig a félkistengelye (??. ábra). Az ellipszis területe: abπ, a kerülete pedig: L = π(a + b) [ 1 ( 1) e ( 1 3 ) e ( ) e ].

3 Az ellipsis kanonikus egyenlete Az ellipszis polárkoordinátás egyenlete. 3

4 Az ellipszis polárkoordinátás egyenlete Minden kúpszelet fokális egyenlete felírható az ξ + η = (eξ + p) formában, ahol x = ξ c és y = η (. ábra). A b = a c kifejezést alkalmazva: η = b a (ξ c) + b. η + ξ = ( c a ξ + b ). a Beírva az excentritást (e = c/a) és az ellipszis paraméterét (p = b /a): η + ξ = (eξ + p). Ezt tovább alakítva megkapjuk a polárkoordinátás alakot: r = (er cos ϕ + p), r = p 1 e cos ϕ. Az ellipszis nem főtengelyre vonatkoztatott egyenlete u = A sin π ( t T r λ + α), v = B sin π ( t T r λ + β), ahol t = π/a és λ = πv/a. u A = sin t π( T r ) ( t cos α + cos π λ T r ) sin α λ v B = sin t π( T r ) ( t cos β + cos π λ T r ) sin β λ u A sin β + v B sin α = sin t π( T r ) sin(α β), λ u A cos β + v B cos α = cos t π( T r ) sin(α β). λ ( u A sin β v B sin α) ( u + A cos β v B cos α) u = A + v uv B AB cos(α β) = sin (α β). Ez egy nem főtengelyre vonatkoztatott ellipszis egyenlete. Ha α β = π/, akkor: u A + v B = 1. 4

5 Az ellipszis paraméteres egyenlete. Az ellipszis paraméteres egyenlete x = a cos t és y = sin(t + δ). Az ellipszis érintőjének egyenlete Az ellipszis érintője és normálisa felezi az érintésiponthoz tartozó vezérsugarak külső és Belső szögeit. Az elipszis éríntőjének egyenlete, ha az érintésipont koordinátái (x 0, y 0 ). Az ellipszis érintője és normálisa felezi az érintésiponthoz tartozó vezérsugarak külső, illetve belső szögét. Az A d + B b = C. Az x + y = 1 ellipszis P a b 1 (x 1, y 1 ) és P (x, y ) pontján átmenő ún. szelőegyenes: y y 1 = y y 1 x x 1 (x x 1 ). A P 1 és P pontok koordinátái azonban lielégítik az ellipszis egyenletét is, azaz x 1 a + y 1 b = 1, x a + y b = 1. Ha ennél a két egyenletnél a megfelelő oldalak különbségét vesszük, akkor rendezés után: y 1 y 1 = b (x 1 + x ) x x 1 a (y 1 + y ). alakra jutunk. Ezt behelyettesítve a két ponton áthaladó egyenes egyenletébe y y 1 x x 1 = b (x 1 + x ) a (y 1 + y ) (x x 1) 5

6 alakban kapjuk a szelő egyenletét. Ha a szelő és az ellipszis két pontja egybe esik, akkor a szelőbiől érintő lesz, melynek egyenlete az előzőből x 1 = x és y 1 = y felhasználva adódik: y y 1 = b x 1 (x x a 1 ) y rendezve és a b -tel osztva xx 1 a + yy 1 = 1. b Az ellipszis M(u, v) középpontú egyenlete: ξ a + η b = 1 a ξ = x u, η = y v helyettesítéssel megkapjuk az ellipszis M(u, v) középpontú egyenlete: (x u) (y v) + = 1 a b (x u)(x 1 u) a + (y v)(y 1 v) b = 1. 6

7 Az ellipszis centrális és fokális egyenlete. Az ellipszis centrális és fokális egyenlete x = c + r cos ϕ y = r sin ϕ x a + y b = 1 (c + r cos ϕ) + r sin ϕ = 1 a b b (c + cr cos ϕ + r cos ϕ) + a r sin ϕ = a b sin ϕ = 1 cos ϕ b c + rcb cos ϕ + b r cos ϕ + a r a r cos 6 ϕ = a b b-t és c-t behelyettesítve és a -tel osztva és egyszerűsítve b = a 1 e c = ea (1 e )a e + ae(1 e )r cos ϕ + 1)(1 e )r cos ϕ + r r cos ϕ = a (1 e ) r + [er cos ϕ a(1 e )] = 0 Ezt r-re megoldva: r = ±[er cos ϕ a(1 e )] r = a(1 e ) 1 + e cos ϕ, p = a(1 e ) = b a 7

8 Figure 1: Rotation in plain r = p 1 + e cos ϕ Transzformáció A derékszögű ξη-koordinátarendszerben az ellipszis főtengelyei a koordinátatengelyekre esnek: ξ a + η b = 1. A ξη-rendszer ψ szöggel van elforgatva az derékszögű xy-koordinatarendszerben: ξ = x cos ψ + y sin ψ η = x sin ψ + y cos ψ Meghatározzuk az ellipszis xy-rendszerbeli adatait. leírása az xy-rendszerben: Az ellipszis paraméteres x = a 1 cos(τ + δ 1 ) y = a cos(τ + δ ) x a 1 = cos(τ + δ 1 ) = (cos τ cos δ 1 sin τ sin δ 1 ) y a = cos(τ + δ ) = (cos τ cos δ sin τ sin δ ). 8

9 x a 1 sin δ y a sin δ 1 = cos τ sin(δ δ 1 ) x a 1 cos δ y a cos δ 1 = sin τ sin(δ δ 1 ) Négyzetre emelve és összeadva ezt a két egyenletet a következőt kapjuk: ( x a 1 ) + ( y a ) xy a 1 a cos δ = sin δ, ahol δ = δ δ 1. A ξη-rendszerben az ellipszis paraméteres egyenlete: ξ = a cos(τ + δ 0 ) η = ±b sin(τ + δ 0 ), az előjeltöl függően az óramutató járásával egyezően, illetve ellentétesen halad körbe a pont az ellipszisen. a(cos τ cos δ 0 sin τ sin δ 0 ) = ±b(sin τ cos δ 0 + cos τ sin δ 0 ) = a 1 (cos τ cos δ 1 sin τ sin δ 1 ) cos ψ + a (cos τ cos δ sin τ sin δ ) sin ψ a 1 (cos τ cos δ 1 sin τ sin δ 1 ) sin ψ + a (cos τ cos δ sin τ sin δ ) cos ψ Egyenlővé tesszük a cos τ és sin τ együtthatóit: a cos δ 0 = a 1 cos δ 1 cos ψ + a cos δ sin ψ a sin δ 0 = a 1 sin δ 1 cos ψ + a sin δ sin ψ ± b cos δ 0 = a 1 sin δ 1 sin ψ a sin δ cos ψ ± b sin δ 0 = a 1 cos δ 1 sin ψ + a cos δ cos ψ Az első és második egyenletet négyzetre emeljük és összeadjuk: a = a 1 cos ψ + a sin ψ + a 1 a cos ψ sin ψ cos δ, ahol δ = δ δ 1. Hasonlóan a harmadik és negyedik egyenletet négyzetre emelve és összeadva: b = a 1 sin ψ + a cos ψ a 1 a cos ψ sin ψ cos δ. Így a + b = a 1 + a. Az első egyenletet a harmadikkal megszorozva, a másodikat a negyedikkel majd az eredményeket összeadva: ab = a 1 a sin δ. 9

10 A harmadik egyeletet az elsővel elosztva illetve a negyediket a másodikkal: ± b a = a 1 sin δ 1 sin ψ a sin δ cos ψ a 1 cos δ 1 cos ψ + a cos δ sin ψ = a 1 cos δ 1 sin ψ + a cos δ cos ψ a 1 sin δ 1 cos ψ + a sin δ sin ψ. Ezekből a ψ-re a következőt kapjuk: (a 1 a ) sin ψ = a 1a cos δ cos ψ. Érdemes bevezetni egy α segédszöget (0 α π/). a a 1 = tan α. Azaz Másrészt: tan ψ = a 1a cos δ = a a 1 tan ψ = (tan α) cos δ. tan α 1 tan α cos δ. ab = a 1 a sin δ a + b = a 1 + a ab a + b = a 1a sin δ = tan α cos α sin α sin δ = a 1 + a 1 + tan α cos α + sin α sin δ = ab a + b = a 1a sin δ = (sin α) sin δ. a 1 + a Vezessünk be egy másik segédszöget a χ szöget ( π/4 χ π/4): b a = tan χ. ab a + b = tan χ 1 + tan χ sin χ = (sin α) sin δ. = cos χ sin χ cos χ + sin χ = sin χ. Összegezve: 1) Ismert a 1, a és a fáziskülönbség δ, ekkor meghatározható a, b és ψ a következő formulákkal: a + b = a 1 + a tan ψ = tan(α) cos δ sin χ = (sin α) sin δ tan χ = b a, ( π/4 χ π/4) ) Fordítva, ha a, b és ψ ismert, akkor meghatározható a 1, a és δ. 10

11 a 1, a és δ a, b és ψ 1) tan ψ = a 1a cos δ a a 1 ψ = 1 arctan ψ. ) ±ab = a 1 a sin δ ±a = a 1a sin δ b a + b = a 1 + a a 1a sin δ b + b = a 1 + a b 4 (a 1 + a )b + a 1a sin δ = 0 b 1, = a 1 + a ± (a 1 + a ) 4a 1a sin δ 3) a = a 1 + a b. 11

12 a, b and ψ a 1, a and δ 1) a 1 + a = a + b a 1 a sin δ = ±ab a 1 a cos δ = tan ψ a 1 + a a 1 = a + b a a a + b a a sin δ = ±ab a + b a a cos δ = tan ψ a + b a + a (a + b ) a + b a a sin δ = ±ab a + b a a cos δ tan ψ a + b tan δ = tan δ = δ = arctan δ ab tan ψ ±ab (a + b ) tan ψ ) a 1 + a = a + b a 1 a sin δ = ±ab a 1 = ± ab a sin δ a b a sin δ + a = a + b a b + a a sin δ = (a + b )a sin δ a 4 (a + b )a + a b sin δ = 0 a (1) = a + b ± (a + b ) 4a b / sin δ 1

13 3) a 1 = a + b a. 13

14 Vector Wave x = A sin π ( t T r λ + α) y = B sin π ( t T r λ + β) x A + y B xy AB cos(α β) = sin (α β). ξ = a cos t η = b sin(t + δ) ξ a + η b = 1. 14

15 i 15