Klár Gergely 2010/2011. tavaszi félév
|
|
- Klára Dobos
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Számítógépes Grafika Klár Gergely Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2010/2011. tavaszi félév
2 Tartalom Pont 1 Pont
3 Tartalom Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták 1 Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták
4 Descartes-koordináták Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták A legegyszerűbb és legelterjedtebb megadási módja a tér pontjainak. A tér minden p pontját egy-egyértelműen hozzárendeljük R 3 egy eleméhez. Mivel R 3 a skaláris szorzással vektorteret alkot, tekinthetjük úgy, hogy minden ponthoz a helyvektorát rendeljük hozzá. Így a tér pontjait koordinátáik segítségével egyértelműen megadhatjuk, p = p = (x, y, z) alakban.
5 Descartes-koordináták Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták A legegyszerűbb és legelterjedtebb megadási módja a tér pontjainak. A tér minden p pontját egy-egyértelműen hozzárendeljük R 3 egy eleméhez. Mivel R 3 a skaláris szorzással vektorteret alkot, tekinthetjük úgy, hogy minden ponthoz a helyvektorát rendeljük hozzá. Így a tér pontjait koordinátáik segítségével egyértelműen megadhatjuk, p = p = (x, y, z) alakban.
6 Descartes-koordináták Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták A legegyszerűbb és legelterjedtebb megadási módja a tér pontjainak. A tér minden p pontját egy-egyértelműen hozzárendeljük R 3 egy eleméhez. Mivel R 3 a skaláris szorzással vektorteret alkot, tekinthetjük úgy, hogy minden ponthoz a helyvektorát rendeljük hozzá. Így a tér pontjait koordinátáik segítségével egyértelműen megadhatjuk, p = p = (x, y, z) alakban.
7 Descartes-koordináták Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták A legegyszerűbb és legelterjedtebb megadási módja a tér pontjainak. A tér minden p pontját egy-egyértelműen hozzárendeljük R 3 egy eleméhez. Mivel R 3 a skaláris szorzással vektorteret alkot, tekinthetjük úgy, hogy minden ponthoz a helyvektorát rendeljük hozzá. Így a tér pontjait koordinátáik segítségével egyértelműen megadhatjuk, p = p = (x, y, z) alakban.
8 Geometriai értelmezés Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták Adottak x, y, z tengelyek, rajtuk az egységnyi hosszúsággal. Egy p = (a, b, c) koordinátájú pont értelmezése ekkor: Az a pont, amit az origóból az x tengely mentén a egységet lépve, majd az y tengely mentén b egységet lépve, végül a z tengely mentén c egységet lépve kapunk.
9 Sodrás irány Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták
10 Descartes-koordináták Homogén koordináták Az affin tér egy olyan vektortér, ami elfelejtette, hogy hol is van a közepe. John Baez Rendbe teszi a pont és a vektor fogalmát: skalár, vektor műveletek mint eddig vektor, vektor műveletek mint eddig pont+vektor pont pont-pont vektor pont+pont nincs értelmezve skalár, pont műveletek nincsenek értelmezve
11 Descartes-koordináták Homogén koordináták Az affin tér egy olyan vektortér, ami elfelejtette, hogy hol is van a közepe. John Baez Rendbe teszi a pont és a vektor fogalmát: skalár, vektor műveletek mint eddig vektor, vektor műveletek mint eddig pont+vektor pont pont-pont vektor pont+pont nincs értelmezve skalár, pont műveletek nincsenek értelmezve
12 Descartes-koordináták Homogén koordináták Az affin tér egy olyan vektortér, ami elfelejtette, hogy hol is van a közepe. John Baez Rendbe teszi a pont és a vektor fogalmát: skalár, vektor műveletek mint eddig vektor, vektor műveletek mint eddig pont+vektor pont pont-pont vektor pont+pont nincs értelmezve skalár, pont műveletek nincsenek értelmezve
13 Descartes-koordináták Homogén koordináták Az affin tér egy olyan vektortér, ami elfelejtette, hogy hol is van a közepe. John Baez Rendbe teszi a pont és a vektor fogalmát: skalár, vektor műveletek mint eddig vektor, vektor műveletek mint eddig pont+vektor pont pont-pont vektor pont+pont nincs értelmezve skalár, pont műveletek nincsenek értelmezve
14 Descartes-koordináták Homogén koordináták Az affin tér egy olyan vektortér, ami elfelejtette, hogy hol is van a közepe. John Baez Rendbe teszi a pont és a vektor fogalmát: skalár, vektor műveletek mint eddig vektor, vektor műveletek mint eddig pont+vektor pont pont-pont vektor pont+pont nincs értelmezve skalár, pont műveletek nincsenek értelmezve
15 Descartes-koordináták Homogén koordináták Az affin tér egy olyan vektortér, ami elfelejtette, hogy hol is van a közepe. John Baez Rendbe teszi a pont és a vektor fogalmát: skalár, vektor műveletek mint eddig vektor, vektor műveletek mint eddig pont+vektor pont pont-pont vektor pont+pont nincs értelmezve skalár, pont műveletek nincsenek értelmezve
16 Descartes-koordináták Homogén koordináták Az affin tér egy olyan vektortér, ami elfelejtette, hogy hol is van a közepe. John Baez Rendbe teszi a pont és a vektor fogalmát: skalár, vektor műveletek mint eddig vektor, vektor műveletek mint eddig pont+vektor pont pont-pont vektor pont+pont nincs értelmezve skalár, pont műveletek nincsenek értelmezve
17 Descartes-koordináták Homogén koordináták Az affin tér egy olyan vektortér, ami elfelejtette, hogy hol is van a közepe. John Baez Rendbe teszi a pont és a vektor fogalmát: skalár, vektor műveletek mint eddig vektor, vektor műveletek mint eddig pont+vektor pont pont-pont vektor pont+pont nincs értelmezve skalár, pont műveletek nincsenek értelmezve
18 Descartes-koordináták Homogén koordináták
19 Descartes-koordináták Homogén koordináták August Ferdinand Möbius [1827] Legyenek adottak x 1,..., x n vektorok, és a tér egy p pontja. (a 1,..., a n ) nem mind nulla, a p pont baricentrikus koordinátái, ha (a a n )p = a 1 x a n x n Homogén baricentrikus koordinátákról vagy affin koordinátákról beszélünk, ha a a n = 1
20 Descartes-koordináták Homogén koordináták August Ferdinand Möbius [1827] Legyenek adottak x 1,..., x n vektorok, és a tér egy p pontja. (a 1,..., a n ) nem mind nulla, a p pont baricentrikus koordinátái, ha (a a n )p = a 1 x a n x n Homogén baricentrikus koordinátákról vagy affin koordinátákról beszélünk, ha a a n = 1
21 Descartes-koordináták Homogén koordináták August Ferdinand Möbius [1827] Legyenek adottak x 1,..., x n vektorok, és a tér egy p pontja. (a 1,..., a n ) nem mind nulla, a p pont baricentrikus koordinátái, ha (a a n )p = a 1 x a n x n Homogén baricentrikus koordinátákról vagy affin koordinátákról beszélünk, ha a a n = 1
22 Descartes-koordináták Homogén koordináták August Ferdinand Möbius [1827] Legyenek adottak x 1,..., x n vektorok, és a tér egy p pontja. (a 1,..., a n ) nem mind nulla, a p pont baricentrikus koordinátái, ha (a a n )p = a 1 x a n x n Homogén baricentrikus koordinátákról vagy affin koordinátákról beszélünk, ha a a n = 1
23 Érelmezése Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták Vegyünk egy háromszöget, x 1, x 2, x 3 csúcsokkal! Helyezzünk a csúcsokba λ 1, λ 2, λ 3 súlyokat! Ekkor a rendszer súlypontja pontosan a λ 1 x 1 + λ 2 x 2 + λ 3 x 3 pont, azaz a (λ 1, λ 2, λ 3 ) (baricentikus) koordinátájú pont. Ha negatív súlyokat is megengedünk, akkor a háromszög síkjának tetszőleges pontja megadható! Ha λ 1 + λ 2 + λ 3 = 1 és 0 λ 1, λ 2, λ 3 1, akkor a koordinátákkal adott pont a -ön lesz!
24 Érelmezése Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták Vegyünk egy háromszöget, x 1, x 2, x 3 csúcsokkal! Helyezzünk a csúcsokba λ 1, λ 2, λ 3 súlyokat! Ekkor a rendszer súlypontja pontosan a λ 1 x 1 + λ 2 x 2 + λ 3 x 3 pont, azaz a (λ 1, λ 2, λ 3 ) (baricentikus) koordinátájú pont. Ha negatív súlyokat is megengedünk, akkor a háromszög síkjának tetszőleges pontja megadható! Ha λ 1 + λ 2 + λ 3 = 1 és 0 λ 1, λ 2, λ 3 1, akkor a koordinátákkal adott pont a -ön lesz!
25 Érelmezése Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták Vegyünk egy háromszöget, x 1, x 2, x 3 csúcsokkal! Helyezzünk a csúcsokba λ 1, λ 2, λ 3 súlyokat! Ekkor a rendszer súlypontja pontosan a λ 1 x 1 + λ 2 x 2 + λ 3 x 3 pont, azaz a (λ 1, λ 2, λ 3 ) (baricentikus) koordinátájú pont. Ha negatív súlyokat is megengedünk, akkor a háromszög síkjának tetszőleges pontja megadható! Ha λ 1 + λ 2 + λ 3 = 1 és 0 λ 1, λ 2, λ 3 1, akkor a koordinátákkal adott pont a -ön lesz!
26 Érelmezése Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták Vegyünk egy háromszöget, x 1, x 2, x 3 csúcsokkal! Helyezzünk a csúcsokba λ 1, λ 2, λ 3 súlyokat! Ekkor a rendszer súlypontja pontosan a λ 1 x 1 + λ 2 x 2 + λ 3 x 3 pont, azaz a (λ 1, λ 2, λ 3 ) (baricentikus) koordinátájú pont. Ha negatív súlyokat is megengedünk, akkor a háromszög síkjának tetszőleges pontja megadható! Ha λ 1 + λ 2 + λ 3 = 1 és 0 λ 1, λ 2, λ 3 1, akkor a koordinátákkal adott pont a -ön lesz!
27 Érelmezése Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták Vegyünk egy háromszöget, x 1, x 2, x 3 csúcsokkal! Helyezzünk a csúcsokba λ 1, λ 2, λ 3 súlyokat! Ekkor a rendszer súlypontja pontosan a λ 1 x 1 + λ 2 x 2 + λ 3 x 3 pont, azaz a (λ 1, λ 2, λ 3 ) (baricentikus) koordinátájú pont. Ha negatív súlyokat is megengedünk, akkor a háromszög síkjának tetszőleges pontja megadható! Ha λ 1 + λ 2 + λ 3 = 1 és 0 λ 1, λ 2, λ 3 1, akkor a koordinátákkal adott pont a -ön lesz!
28 Következmények Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták A háromszög mintájára beszélhetünk 3D-s baricentrikus koordinátákról tetraéder segítségével. n dimenzóban n + 1 koordinátára van szükségünk baricentrikus alakban. Ha (a 1,..., a n ) egy pont baricentrikus koordinátái, akkor (ra 1,..., ra n ), r 0 is azok, ezért mindig használhatunk homogén baricentrikus koordinátákat.
29 Következmények Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták A háromszög mintájára beszélhetünk 3D-s baricentrikus koordinátákról tetraéder segítségével. n dimenzóban n + 1 koordinátára van szükségünk baricentrikus alakban. Ha (a 1,..., a n ) egy pont baricentrikus koordinátái, akkor (ra 1,..., ra n ), r 0 is azok, ezért mindig használhatunk homogén baricentrikus koordinátákat.
30 Következmények Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták A háromszög mintájára beszélhetünk 3D-s baricentrikus koordinátákról tetraéder segítségével. n dimenzóban n + 1 koordinátára van szükségünk baricentrikus alakban. Ha (a 1,..., a n ) egy pont baricentrikus koordinátái, akkor (ra 1,..., ra n ), r 0 is azok, ezért mindig használhatunk homogén baricentrikus koordinátákat.
31 Homogén koordináták Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták Ismét August Ferdinand Möbius [1827] Lehetővé teszik végtelen pontok kezelését véges koordináták segítségével. A projektív tér pontjai írhatók le vele, ami magában foglalja az eukleidészi tér (a sima 3D tér) pontjait.
32 Homogén koordináták Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták Ismét August Ferdinand Möbius [1827] Lehetővé teszik végtelen pontok kezelését véges koordináták segítségével. A projektív tér pontjai írhatók le vele, ami magában foglalja az eukleidészi tér (a sima 3D tér) pontjait.
33 Homogén koordináták Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták Ismét August Ferdinand Möbius [1827] Lehetővé teszik végtelen pontok kezelését véges koordináták segítségével. A projektív tér pontjai írhatók le vele, ami magában foglalja az eukleidészi tér (a sima 3D tér) pontjait.
34 Homogén koordináták Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták Definició 3D-ben: Legyen (x, y, z) R 3 a háromdimenziós eukleidészi tér egy pontja. Az ennek megfelelő projektív tér beli pont[ok], homogén koordinátá[k]val: [wx, wy, wz, w], w 0 Az origó (0, 0, 0) képe a [0, 0, 0, 1] pont. A projektív tér [x, y, z, 0] pontjait ideális pontoknak nevezzük, és nincs megfelelőjük az eukleidészi térben A [0, 0, 0, 0] pontot nem értelezzük.
35 Homogén koordináták Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták Definició 3D-ben: Legyen (x, y, z) R 3 a háromdimenziós eukleidészi tér egy pontja. Az ennek megfelelő projektív tér beli pont[ok], homogén koordinátá[k]val: [wx, wy, wz, w], w 0 Az origó (0, 0, 0) képe a [0, 0, 0, 1] pont. A projektív tér [x, y, z, 0] pontjait ideális pontoknak nevezzük, és nincs megfelelőjük az eukleidészi térben A [0, 0, 0, 0] pontot nem értelezzük.
36 Homogén koordináták Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták Definició 3D-ben: Legyen (x, y, z) R 3 a háromdimenziós eukleidészi tér egy pontja. Az ennek megfelelő projektív tér beli pont[ok], homogén koordinátá[k]val: [wx, wy, wz, w], w 0 Az origó (0, 0, 0) képe a [0, 0, 0, 1] pont. A projektív tér [x, y, z, 0] pontjait ideális pontoknak nevezzük, és nincs megfelelőjük az eukleidészi térben A [0, 0, 0, 0] pontot nem értelezzük.
37 Homogén koordináták Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták Definició 3D-ben: Legyen (x, y, z) R 3 a háromdimenziós eukleidészi tér egy pontja. Az ennek megfelelő projektív tér beli pont[ok], homogén koordinátá[k]val: [wx, wy, wz, w], w 0 Az origó (0, 0, 0) képe a [0, 0, 0, 1] pont. A projektív tér [x, y, z, 0] pontjait ideális pontoknak nevezzük, és nincs megfelelőjük az eukleidészi térben A [0, 0, 0, 0] pontot nem értelezzük.
38 Homogén koordináták Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták Definició 3D-ben: Legyen (x, y, z) R 3 a háromdimenziós eukleidészi tér egy pontja. Az ennek megfelelő projektív tér beli pont[ok], homogén koordinátá[k]val: [wx, wy, wz, w], w 0 Az origó (0, 0, 0) képe a [0, 0, 0, 1] pont. A projektív tér [x, y, z, 0] pontjait ideális pontoknak nevezzük, és nincs megfelelőjük az eukleidészi térben A [0, 0, 0, 0] pontot nem értelezzük.
39 Homogén koordináták Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták Definició 3D-ben: Legyen (x, y, z) R 3 a háromdimenziós eukleidészi tér egy pontja. Az ennek megfelelő projektív tér beli pont[ok], homogén koordinátá[k]val: [wx, wy, wz, w], w 0 Az origó (0, 0, 0) képe a [0, 0, 0, 1] pont. A projektív tér [x, y, z, 0] pontjait ideális pontoknak nevezzük, és nincs megfelelőjük az eukleidészi térben A [0, 0, 0, 0] pontot nem értelezzük.
40 Tulajdonságok Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták Egy nem ideális [x, y, z, w] pont koordinátái az eukleidészi térben ( x w, y w, z w ), mivel a pont nem ideális, ezért w 0. Minden homogén koordinátás pontra teljesül, hogy [x, y, z, w] = λ[x, y, z, w] = [λx, λy, λz, λw], λ 0 Az előző tulajdonság miatt [x, y, z, 0] = [ x, y, z, 0], azaz végtelen messze menve, a pontosan ellenkező irányba haladva is ugyan oda jutnánk.
41 Tulajdonságok Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták Egy nem ideális [x, y, z, w] pont koordinátái az eukleidészi térben ( x w, y w, z w ), mivel a pont nem ideális, ezért w 0. Minden homogén koordinátás pontra teljesül, hogy [x, y, z, w] = λ[x, y, z, w] = [λx, λy, λz, λw], λ 0 Az előző tulajdonság miatt [x, y, z, 0] = [ x, y, z, 0], azaz végtelen messze menve, a pontosan ellenkező irányba haladva is ugyan oda jutnánk.
42 Tulajdonságok Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták Egy nem ideális [x, y, z, w] pont koordinátái az eukleidészi térben ( x w, y w, z w ), mivel a pont nem ideális, ezért w 0. Minden homogén koordinátás pontra teljesül, hogy [x, y, z, w] = λ[x, y, z, w] = [λx, λy, λz, λw], λ 0 Az előző tulajdonság miatt [x, y, z, 0] = [ x, y, z, 0], azaz végtelen messze menve, a pontosan ellenkező irányba haladva is ugyan oda jutnánk.
43 Tartalom Pont Klasszikus egyenlete Parametrikus egyenlete Sugár 1 Pont 2 Klasszikus egyenlete Parametrikus egyenlete Sugár 3 4 5
44 Klasszikus egyenlete Pont Klasszikus egyenlete Parametrikus egyenlete Sugár A vonal szélesség nélküli hosszúság, Eukleidész kb. i.sz. 300 y = mx + b Jó, de nem jó, mert hogyan ábrázoljuk a függőleges, y tengellyel párhuzamos egyeneseket? hogyan használjuk 3D-ben?
45 Klasszikus egyenlete Pont Klasszikus egyenlete Parametrikus egyenlete Sugár A vonal szélesség nélküli hosszúság, Eukleidész kb. i.sz. 300 y = mx + b Jó, de nem jó, mert hogyan ábrázoljuk a függőleges, y tengellyel párhuzamos egyeneseket? hogyan használjuk 3D-ben?
46 Klasszikus egyenlete Pont Klasszikus egyenlete Parametrikus egyenlete Sugár A vonal szélesség nélküli hosszúság, Eukleidész kb. i.sz. 300 y = mx + b Jó, de nem jó, mert hogyan ábrázoljuk a függőleges, y tengellyel párhuzamos egyeneseket? hogyan használjuk 3D-ben?
47 Klasszikus egyenlete Pont Klasszikus egyenlete Parametrikus egyenlete Sugár A vonal szélesség nélküli hosszúság, Eukleidész kb. i.sz. 300 y = mx + b Jó, de nem jó, mert hogyan ábrázoljuk a függőleges, y tengellyel párhuzamos egyeneseket? hogyan használjuk 3D-ben?
48 Klasszikus egyenlete Pont Klasszikus egyenlete Parametrikus egyenlete Sugár A vonal szélesség nélküli hosszúság, Eukleidész kb. i.sz. 300 y = mx + b Jó, de nem jó, mert hogyan ábrázoljuk a függőleges, y tengellyel párhuzamos egyeneseket? hogyan használjuk 3D-ben?
49 Klasszikus egyenlete Pont Klasszikus egyenlete Parametrikus egyenlete Sugár A vonal szélesség nélküli hosszúság, Eukleidész kb. i.sz. 300 y = mx + b Jó, de nem jó, mert hogyan ábrázoljuk a függőleges, y tengellyel párhuzamos egyeneseket? hogyan használjuk 3D-ben?
50 Parametrikus egyenlete Klasszikus egyenlete Parametrikus egyenlete Sugár Legyen p 0 az egyenes egy pontja, v pedig az irányvektora, ekkor p = p 0 + t v t R megadja az egyenes összes pontját. Ha csak az egyenes két p 0, p 1 pontját ismerjük, akkor v = p 1 p 0 után az eredeti egyenlet használható. Az egyenlet a dimenziók számától független.
51 Parametrikus egyenlete Klasszikus egyenlete Parametrikus egyenlete Sugár Legyen p 0 az egyenes egy pontja, v pedig az irányvektora, ekkor p = p 0 + t v t R megadja az egyenes összes pontját. Ha csak az egyenes két p 0, p 1 pontját ismerjük, akkor v = p 1 p 0 után az eredeti egyenlet használható. Az egyenlet a dimenziók számától független.
52 Parametrikus egyenlete Klasszikus egyenlete Parametrikus egyenlete Sugár Legyen p 0 az egyenes egy pontja, v pedig az irányvektora, ekkor p = p 0 + t v t R megadja az egyenes összes pontját. Ha csak az egyenes két p 0, p 1 pontját ismerjük, akkor v = p 1 p 0 után az eredeti egyenlet használható. Az egyenlet a dimenziók számától független.
53 A sugár egyenlete Pont Klasszikus egyenlete Parametrikus egyenlete Sugár A sugár egy félegyenes, amit kezdőpontjával és irányvektorával adhatunk meg. Legyen p 0 a sugár kezdőpontja, v pedig az irányvektora, ekkor p = p 0 + t v t 0 megadja a sugár összes pontját.
54 A sugár egyenlete Pont Klasszikus egyenlete Parametrikus egyenlete Sugár A sugár egy félegyenes, amit kezdőpontjával és irányvektorával adhatunk meg. Legyen p 0 a sugár kezdőpontja, v pedig az irányvektora, ekkor p = p 0 + t v t 0 megadja a sugár összes pontját.
55 Tartalom Pont Normálvektoros egyenlete és sík metszéspontja 1 Pont 2 3 Normálvektoros egyenlete és sík metszéspontja 4 5
56 Normálvektoros egyenlete Normálvektoros egyenlete és sík metszéspontja Legyen p 0 a sík egy pontja, n pedig a normálvektora, ekkor n, p p 0 = 0 akkor és csak akkor teljesül, ha p a síkon fekszik.
57 és sík metszéspontja Normálvektoros egyenlete és sík metszéspontja Legyen p 0 a sík egy pontja, n a normálvektora, Legyen q 0 ez egyenes egy pontja, v az irányvektora. Az egyenes egynlete: p = q 0 + t v A sík egyenlete: n, p p 0 = 0
58 és sík metszéspontja Normálvektoros egyenlete és sík metszéspontja Legyen p 0 a sík egy pontja, n a normálvektora, Legyen q 0 ez egyenes egy pontja, v az irányvektora. Az egyenes egynlete: p = q 0 + t v A sík egyenlete: n, p p 0 = 0
59 és sík metszéspontja Normálvektoros egyenlete és sík metszéspontja Legyen p 0 a sík egy pontja, n a normálvektora, Legyen q 0 ez egyenes egy pontja, v az irányvektora. Az egyenes egynlete: p = q 0 + t v A sík egyenlete: n, p p 0 = 0
60 és sík metszéspontja Normálvektoros egyenlete és sík metszéspontja Legyen p 0 a sík egy pontja, n a normálvektora, Legyen q 0 ez egyenes egy pontja, v az irányvektora. Az egyenes egynlete: p = q 0 + t v A sík egyenlete: n, p p 0 = 0
61 és sík metszéspontja Normálvektoros egyenlete és sík metszéspontja Behelyettesítve p-t: n, q 0 + t v p 0 = 0, ha n, v 0. n, q 0 + t n, v n, p 0 = 0, t = n, p 0 n, q 0 n, v = n, p 0 q 0, n, v Ha n, v = 0, akkor az egyenes párhuzamos a síkkal, és így vagy nincs metszéspontjuk, vagy az egyenes a síkon fut.
62 és sík metszéspontja Normálvektoros egyenlete és sík metszéspontja Behelyettesítve p-t: n, q 0 + t v p 0 = 0, ha n, v 0. n, q 0 + t n, v n, p 0 = 0, t = n, p 0 n, q 0 n, v = n, p 0 q 0, n, v Ha n, v = 0, akkor az egyenes párhuzamos a síkkal, és így vagy nincs metszéspontjuk, vagy az egyenes a síkon fut.
63 és sík metszéspontja Normálvektoros egyenlete és sík metszéspontja Behelyettesítve p-t: n, q 0 + t v p 0 = 0, ha n, v 0. n, q 0 + t n, v n, p 0 = 0, t = n, p 0 n, q 0 n, v = n, p 0 q 0, n, v Ha n, v = 0, akkor az egyenes párhuzamos a síkkal, és így vagy nincs metszéspontjuk, vagy az egyenes a síkon fut.
64 és sík metszéspontja Normálvektoros egyenlete és sík metszéspontja Behelyettesítve p-t: n, q 0 + t v p 0 = 0, ha n, v 0. n, q 0 + t n, v n, p 0 = 0, t = n, p 0 n, q 0 n, v = n, p 0 q 0, n, v Ha n, v = 0, akkor az egyenes párhuzamos a síkkal, és így vagy nincs metszéspontjuk, vagy az egyenes a síkon fut.
65 Tartalom Pont Megadása és egyenes metszéspontja 1 Pont Megadása és egyenes metszéspontja 5
66 Megadása Pont Megadása és egyenes metszéspontja Egyértelműen megadható három csúcsával. Ha A, B, C a háromszög csúcsai, akkor a hozzátartozó sík egy pontja A, B, C bármelyike normálvektora n = (C A) (B A) (C A) (B A), ahol a vektoriális szorzást jelöli, és ekkor n egységnyi hosszúságú.
67 Megadása Pont Megadása és egyenes metszéspontja Egyértelműen megadható három csúcsával. Ha A, B, C a háromszög csúcsai, akkor a hozzátartozó sík egy pontja A, B, C bármelyike normálvektora n = (C A) (B A) (C A) (B A), ahol a vektoriális szorzást jelöli, és ekkor n egységnyi hosszúságú.
68 Megadása és egyenes metszéspontja és egyenes metszéspontja Először számítsuk ki az egyenes és a háromszög síkjának metszéspontját, ez legyen p (már ha létezik). Legyenek λ 1, λ 2, λ 3 a p pont háromszögön belüli baricentikus koordinátái, úgy hogy p = λ 1 A + λ 2 B + λ 3 C. p akkor, és csak akkor van a -ön belül, ha 0 λ 1, λ 2, λ 3 1.
69 Megadása és egyenes metszéspontja és egyenes metszéspontja Először számítsuk ki az egyenes és a háromszög síkjának metszéspontját, ez legyen p (már ha létezik). Legyenek λ 1, λ 2, λ 3 a p pont háromszögön belüli baricentikus koordinátái, úgy hogy p = λ 1 A + λ 2 B + λ 3 C. p akkor, és csak akkor van a -ön belül, ha 0 λ 1, λ 2, λ 3 1.
70 Megadása és egyenes metszéspontja és egyenes metszéspontja Először számítsuk ki az egyenes és a háromszög síkjának metszéspontját, ez legyen p (már ha létezik). Legyenek λ 1, λ 2, λ 3 a p pont háromszögön belüli baricentikus koordinátái, úgy hogy p = λ 1 A + λ 2 B + λ 3 C. p akkor, és csak akkor van a -ön belül, ha 0 λ 1, λ 2, λ 3 1.
71 Pont a háromszögön vizsgálat Megadása és egyenes metszéspontja Tudjuk, hogy p = (x, y, z) = λ 1 A + λ 2 B + λ 3 C. Ekkor x =λ 1 A x + λ 2 B x + λ 3 C x y =λ 1 A y + λ 2 B y + λ 3 C y z =λ 1 A z + λ 2 B z + λ 3 C z, ill. λ 1 + λ 2 + λ 3 = 1 λ 3 = 1 λ 1 λ 2 Van három ismeretlenünk (λ-k), és négy egyenletünk. Mi legyen? Vegyük a háromszög 2D vetületét az XY, XZ vagy YZ síkra! A vetülethez egyszerűen elhagyjuk z, y vagy x egyenletét, megfelelően.
72 Pont a háromszögön vizsgálat Megadása és egyenes metszéspontja Tudjuk, hogy p = (x, y, z) = λ 1 A + λ 2 B + λ 3 C. Ekkor x =λ 1 A x + λ 2 B x + λ 3 C x y =λ 1 A y + λ 2 B y + λ 3 C y z =λ 1 A z + λ 2 B z + λ 3 C z, ill. λ 1 + λ 2 + λ 3 = 1 λ 3 = 1 λ 1 λ 2 Van három ismeretlenünk (λ-k), és négy egyenletünk. Mi legyen? Vegyük a háromszög 2D vetületét az XY, XZ vagy YZ síkra! A vetülethez egyszerűen elhagyjuk z, y vagy x egyenletét, megfelelően.
73 Pont a háromszögön vizsgálat Megadása és egyenes metszéspontja Tudjuk, hogy p = (x, y, z) = λ 1 A + λ 2 B + λ 3 C. Ekkor x =λ 1 A x + λ 2 B x + λ 3 C x y =λ 1 A y + λ 2 B y + λ 3 C y z =λ 1 A z + λ 2 B z + λ 3 C z, ill. λ 1 + λ 2 + λ 3 = 1 λ 3 = 1 λ 1 λ 2 Van három ismeretlenünk (λ-k), és négy egyenletünk. Mi legyen? Vegyük a háromszög 2D vetületét az XY, XZ vagy YZ síkra! A vetülethez egyszerűen elhagyjuk z, y vagy x egyenletét, megfelelően.
74 Pont a háromszögön vizsgálat Megadása és egyenes metszéspontja Azt tengely kell választani, amelyik mentén a legnagyobb a háromszög normálvektorának abszolút értéke. (Így biztos nem fordulhat elő, hogy a háromszög merőleges a síkra, és csak egy szakasz marad belőle!)
75 Pont a háromszögön vizsgálat Megadása és egyenes metszéspontja Pl. legyen a z a válsztott tengely. Ekkor x =λ 1 A x + λ 2 B x + λ 3 C x y =λ 1 A y + λ 2 B y + λ 3 C y Behelyettesítve λ 3 = 1 λ 1 + λ 2 -t, és rendezve: x =λ 1 (A x C x ) + λ 2 (B x C x ) + C x y =λ 1 (A y C y ) + λ 2 (B y C y ) + C y
76 Pont a háromszögön vizsgálat Megadása és egyenes metszéspontja Pl. legyen a z a válsztott tengely. Ekkor x =λ 1 A x + λ 2 B x + λ 3 C x y =λ 1 A y + λ 2 B y + λ 3 C y Behelyettesítve λ 3 = 1 λ 1 + λ 2 -t, és rendezve: x =λ 1 (A x C x ) + λ 2 (B x C x ) + C x y =λ 1 (A y C y ) + λ 2 (B y C y ) + C y
77 Pont a háromszögön vizsgálat Megadása és egyenes metszéspontja Rendezve λ 1, λ 2 -re kapjuk: λ 1 = (B y C y )(x C x ) (B x C x )(y C y ) (A x C x )(B y C y ) (B x C x )(A y C y ) λ 2 = (A y C y )(x C x ) (A x C x )(y C y ) (A x C x )(B y C y ) (B x C x )(A y C y ) A nevező csak degenerált hárömszög esetén lehet nulla. p akkor, és csak akkor van a -ön belül, ha 0 λ 1, λ 2, λ 3 1.
78 Pont a háromszögön vizsgálat Megadása és egyenes metszéspontja Rendezve λ 1, λ 2 -re kapjuk: λ 1 = (B y C y )(x C x ) (B x C x )(y C y ) (A x C x )(B y C y ) (B x C x )(A y C y ) λ 2 = (A y C y )(x C x ) (A x C x )(y C y ) (A x C x )(B y C y ) (B x C x )(A y C y ) A nevező csak degenerált hárömszög esetén lehet nulla. p akkor, és csak akkor van a -ön belül, ha 0 λ 1, λ 2, λ 3 1.
79 Pont a háromszögön vizsgálat Megadása és egyenes metszéspontja Rendezve λ 1, λ 2 -re kapjuk: λ 1 = (B y C y )(x C x ) (B x C x )(y C y ) (A x C x )(B y C y ) (B x C x )(A y C y ) λ 2 = (A y C y )(x C x ) (A x C x )(y C y ) (A x C x )(B y C y ) (B x C x )(A y C y ) A nevező csak degenerált hárömszög esetén lehet nulla. p akkor, és csak akkor van a -ön belül, ha 0 λ 1, λ 2, λ 3 1.
80 Tartalom Pont Egyenlete és egyenes metszéspontja 1 Pont Egyenlete és egyenes metszéspontja
81 Egyenlete Pont Egyenlete és egyenes metszéspontja Az r sugarú, c = (c x, c y, c z ) középpontú kör egyenlete: (x c x ) 2 + (y c y ) 2 + (z c z ) 2 r 2 = 0 Ugyanez skalárszorzattal felírva: p c, p c r 2 = 0, ahol p = (x, y, z).
82 Egyenlete Pont Egyenlete és egyenes metszéspontja Az r sugarú, c = (c x, c y, c z ) középpontú kör egyenlete: (x c x ) 2 + (y c y ) 2 + (z c z ) 2 r 2 = 0 Ugyanez skalárszorzattal felírva: p c, p c r 2 = 0, ahol p = (x, y, z).
83 és egyenes metszéspontja Egyenlete és egyenes metszéspontja Legyen q 0 ez egyenes egy pontja, v az irányvektora. Ekkor az egyenes egynlete: p = q 0 + t v Behelyettesítve a gömb egyenletébe, kapjuk: q 0 + t v c, q 0 + t v c r 2 = 0 Kifejtve: t 2 v, v + 2t v, q 0 c + q 0 c, q 0 c r 2 = 0
84 és egyenes metszéspontja Egyenlete és egyenes metszéspontja Legyen q 0 ez egyenes egy pontja, v az irányvektora. Ekkor az egyenes egynlete: p = q 0 + t v Behelyettesítve a gömb egyenletébe, kapjuk: q 0 + t v c, q 0 + t v c r 2 = 0 Kifejtve: t 2 v, v + 2t v, q 0 c + q 0 c, q 0 c r 2 = 0
85 és egyenes metszéspontja Egyenlete és egyenes metszéspontja Legyen q 0 ez egyenes egy pontja, v az irányvektora. Ekkor az egyenes egynlete: p = q 0 + t v Behelyettesítve a gömb egyenletébe, kapjuk: q 0 + t v c, q 0 + t v c r 2 = 0 Kifejtve: t 2 v, v + 2t v, q 0 c + q 0 c, q 0 c r 2 = 0
86 és egyenes metszéspontja Egyenlete és egyenes metszéspontja Legyen q 0 ez egyenes egy pontja, v az irányvektora. Ekkor az egyenes egynlete: p = q 0 + t v Behelyettesítve a gömb egyenletébe, kapjuk: q 0 + t v c, q 0 + t v c r 2 = 0 Kifejtve: t 2 v, v + 2t v, q 0 c + q 0 c, q 0 c r 2 = 0
87 Egyenlete és egyenes metszéspontja t 2 v, v + 2t v, q 0 c + q 0 c, q 0 c r 2 = 0 Ez másodfokú egyenlet t-re (minden más ismert). Legyen D = (2 v, q 0 c ) 2 4 v, v ( q 0 c, q 0 c r 2 ) Ha D > 0: két megoldás van, az egyenes metszi a gömböt. Ha D = 0: egy megoldás van, az egyenes érinti a gömböt. Ha D < 0: nincs valós megoldás, az egyenes nem metszi a gömböt.
88 Egyenlete és egyenes metszéspontja t 2 v, v + 2t v, q 0 c + q 0 c, q 0 c r 2 = 0 Ez másodfokú egyenlet t-re (minden más ismert). Legyen D = (2 v, q 0 c ) 2 4 v, v ( q 0 c, q 0 c r 2 ) Ha D > 0: két megoldás van, az egyenes metszi a gömböt. Ha D = 0: egy megoldás van, az egyenes érinti a gömböt. Ha D < 0: nincs valós megoldás, az egyenes nem metszi a gömböt.
89 Egyenlete és egyenes metszéspontja t 2 v, v + 2t v, q 0 c + q 0 c, q 0 c r 2 = 0 Ez másodfokú egyenlet t-re (minden más ismert). Legyen D = (2 v, q 0 c ) 2 4 v, v ( q 0 c, q 0 c r 2 ) Ha D > 0: két megoldás van, az egyenes metszi a gömböt. Ha D = 0: egy megoldás van, az egyenes érinti a gömböt. Ha D < 0: nincs valós megoldás, az egyenes nem metszi a gömböt.
90 Egyenlete és egyenes metszéspontja t 2 v, v + 2t v, q 0 c + q 0 c, q 0 c r 2 = 0 Ez másodfokú egyenlet t-re (minden más ismert). Legyen D = (2 v, q 0 c ) 2 4 v, v ( q 0 c, q 0 c r 2 ) Ha D > 0: két megoldás van, az egyenes metszi a gömböt. Ha D = 0: egy megoldás van, az egyenes érinti a gömböt. Ha D < 0: nincs valós megoldás, az egyenes nem metszi a gömböt.
91 Egyenlete és egyenes metszéspontja t 2 v, v + 2t v, q 0 c + q 0 c, q 0 c r 2 = 0 Ez másodfokú egyenlet t-re (minden más ismert). Legyen D = (2 v, q 0 c ) 2 4 v, v ( q 0 c, q 0 c r 2 ) Ha D > 0: két megoldás van, az egyenes metszi a gömböt. Ha D = 0: egy megoldás van, az egyenes érinti a gömböt. Ha D < 0: nincs valós megoldás, az egyenes nem metszi a gömböt.
Tartalom. Descartes-koordináták. Geometriai értelmezés. Pont. Egyenes. Klár Gergely tremere@elte.hu. 2010/2011. tavaszi félév
Tartalom Pont Számítógépes Grafika Klár Gergely tremere@elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar Egyenes Sík Háromszög Gömb 2010/2011. tavaszi félév Descartes-koordináták Geometriai értelmezés
RészletesebbenHajder Levente 2018/2019. II. félév
Hajder Levente hajder@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2018/2019. II. félév Tartalom 1 2 3 4 5 Albrecht Dürer, 1525 Motiváció Tekintsünk minden pixelre úgy, mint egy kis ablakra
RészletesebbenHajder Levente 2014/2015. tavaszi félév
Hajder Levente hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom 1 2 3 4 5 Albrecht Dürer, 1525 Motiváció Tekintsünk minden pixelre úgy, mint
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális
RészletesebbenSzámítógépes Grafika mintafeladatok
Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk
RészletesebbenSzámítógépes Grafika mintafeladatok
Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk
RészletesebbenSkaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.
1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való
RészletesebbenHelyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben
Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben. Rajzold meg az alábbi helyvektorokat a derékszögű koordináta-rendszerben, majd számítsd ki a hosszúságukat! a) (4 ) b) ( 5 ) c) ( 6 ) d) (4 )
RészletesebbenVektorok és koordinátageometria
Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatgyűjtemény
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két csúcs
RészletesebbenHajder Levente 2017/2018. II. félév
Hajder Levente hajder@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2017/2018. II. félév Tartalom 1 Sugár és sík metszéspontja Sugár és háromszög metszéspontja Sugár és poligon metszéspontja
RészletesebbenNagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.
Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két
Részletesebben10. Koordinátageometria
I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember
RészletesebbenTartalom. Tartalom. Raycasting. Hajder Levente 2017/2018. II. félév. Raycasting. Raycasting. Sugár és háromszög metszéspontja
Hajder Levente hajder@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2017/2018. II. félév 1 2 1 2 Albrecht Dürer, 1525 Tekintsünk minden pixelre úgy, mint egy kis ablakra a világra Milyen színértéket
RészletesebbenHajder Levente 2017/2018. II. félév
Hajder Levente hajder@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2017/2018. II. félév Tartalom 1 2 3 Geometriai modellezés feladata A világunkat modellezni kell a térben. Valamilyen koordinátarendszer
RészletesebbenAz egyenes és a sík analitikus geometriája
Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes a kétdimenziós koordinátarendszerben A kétdimenziós koordinátarendszerben az egyenest egy n(a, B) normálvektorával és egy r 0 helyvektorú P(x 0,y 0
Részletesebbenx = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben?
. Mi az (x, y) koordinátákkal megadott pont elforgatás uténi két koordinátája, ha α szöggel forgatunk az origó körül? x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs
RészletesebbenI. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor:
I. Vektorok 1. Vektorok összege Általánosan: Az ábra alapján Adott: a(4; 1) és b(; 3) a + b (4 + ; 1 + 3) = (6; ) a(a 1 ; a ) és b(b 1 ; b ) a + b(a 1 + b 1 ; a + b ). Vektorok különbsége Általánosan:
Részletesebben= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1
Egyenes és sík a térben Elméleti áttekintés Az egyenes paraméteres egyenlete: X = u 1 λ + x 0 Y = u λ + y 0, Z = u λ + z 0 ahol a λ egy valós paraméter Az u = (u 1, u, u ) az egyenes irányvektora és P
RészletesebbenKoordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok )
Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok./ Határozd meg az AB szakasznak azt a pontját, amely a szakaszt : ha A ( ; és a B ( ; 8!./ Adott az A ( 3 ; 5 és a ( ; 6 B pont. Számítsd ki az AB vektor
Részletesebben2014/2015. tavaszi félév
Hajder L. és Valasek G. hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom Geometria modellezés 1 Geometria modellezés 2 Geometria modellezés
RészletesebbenEgyenes és sík. Wettl Ferenc szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík szeptember / 15
Egyenes és sík Wettl Ferenc 2006. szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík 2006. szeptember 29. 1 / 15 Tartalom 1 Egyenes és szakasz Egyenes Szakasz Egyenesvonalú egyenletes mozgás Egyenes és pont
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenVEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)]
Bodó Beáta 1 VEKTOROK 1. B Legyen a( ; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(0; 10; 0)] (b) c + b 7a [(18; 15; 29)] (c) 2d c + b [ (5; ; ) = 6, 56] (d) 4a + 8b 7c [ ( 49; 44; 5) =
RészletesebbenÉrettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5
Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból
RészletesebbenAnalitikus térgeometria
5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T
RészletesebbenÉrettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5
Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!
RészletesebbenExponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek
Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,
RészletesebbenKOORDINÁTA-GEOMETRIA
XIV. Témakör: feladatok 1 Huszk@ Jenő XIV.TÉMAKÖR Téma A pont koordinátageometriája A kör koordinátageometriája KOORDINÁTA-GEOMETRIA A projekt típus ú feladatok tartalmi szintézise A feladat sorszáma Oldal
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenLineáris algebra mérnököknek
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Vektorok a 2- és 3-dimenziós tér Kf87 2017-09-05
RészletesebbenKoordináta-geometria II.
Koordináta-geometria II. DEFINÍCIÓ: (Alakzat egyenlete) A síkon adott egy derékszögű koordináta rendszer. A síkban levő alakzat egyenlete olyan f (x, y) = 0 egyenlet, amelyet azoknak és csak azoknak a
RészletesebbenSíkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg
Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az
RészletesebbenVektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták
Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták 1. Mik lesznek a P (3, 4, 8) pont C (3, 7, 2) pontra vonatkozó tükörképének a koordinátái? 2. Egy szabályos hatszög középpontja K (4, 1, 4),
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (középszint)
Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy
Részletesebbenλ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0
Vektorok a térben Egy (v 1,v 2,v 3 ) valós számokból álló hármast vektornak nevezzünk a térben (R 3 -ban). Használni fogjuk a v = (v 1,v 2,v 3 ) jelölést. A v 1,v 2,v 3 -at a v vektor komponenseinek nevezzük.
RészletesebbenSíkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg
Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón
Részletesebben, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD
Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van
RészletesebbenKoordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1
Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Koordinátageometria M veletek vektorokkal grakusan 1. Az ABCD négyzet oldalvektorai közül a = AB és b = BC. Adja meg az AC és BD vektorokat a
RészletesebbenEgy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása
1 Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása Ehhez tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra Itt az ( u, v, w ) tengelymetszeteivel adott S síkot látjuk, az Oxyz térbeli derékszögű koordináta -
RészletesebbenKoordináta - geometria I.
Koordináta - geometria I A koordináta geometria témaköre geometriai problémákat old meg algebrai módszerekkel úgy, hogy a geometriai fogalmaknak algebrai fogalmakat feleltet meg: a pontokat, vektorokat
RészletesebbenBudapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar. Vektorok. Fodor János
Budapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar Lineáris algebra 1. témakör Vektorok Fodor János Copyright c Fodor@bmf.hu Last Revision Date: 2006. szeptember 11. Version 1.1 Table of Contents
RészletesebbenKoordináta geometria III.
Koordináta geometria III. TÉTEL: A P (x; y) pont akkor és csak akkor illeszkedik a K (u; v) középpontú r sugarú körre (körvonalra), ha (x u) 2 + (y v) 2 = r 2. Ez az összefüggés a K (u; v) középpontú r
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (emelt szint)
Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik
RészletesebbenKoordinátageometria Megoldások
005-0XX Középszint Koordinátageometria Megoldások 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 + 4 + 1 3 F ; = F ;1 ) Egy kör sugarának
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd
RészletesebbenGeometria 1 normál szint
Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1 Írásban, 90 perc. 2 Személyazonosságot igazoló okmány nélkül
RészletesebbenFizika 1i, 2018 őszi félév, 1. gyakorlat
Fizika i, 08 őszi félév,. gyakorlat Szükséges előismeretek: vektorok, műveletek vektorokkal (összeadás, kivonás, skalárral való szorzás, skaláris szorzat és vektoriális szorzat, abszolút érték), vektorok
RészletesebbenVektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,
Részletesebbenegyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0.
Magyar Ifjúság. X. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK A trigonometrikus egyenletrendszerek megoldása során kísérletezhetünk új változók bevezetésével, azonosságok alkalmazásával, helyettesítő módszerrel vagy más,
RészletesebbenTANMENET. a matematika tantárgy tanításához 11.E osztályok számára
Az iskola fejbélyegzője TANMENET a matematika tantárgy tanításához 11.E osztályok számára Készítette: Természettudományi Munkaközösség matematikát tanító tanárai Készült: a gimnáziumi tanterv alapján Használatos
RészletesebbenVektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. A térbeli irányított szakaszokat vektoroknak hívjuk. Két vektort egyenlőnek tekintünk, ha párhuzamos eltolással fedésbe hozhatók.
Részletesebben9. előadás. Térbeli koordinátageometria
9. előadás Térbeli koordinátageometria Koordinátageometria a térben Descartes-féle koordinátarendszerben dolgozunk. A legegyszerűbb alakzatokat fogjuk vizsgálni. Az ezeket leíró egyenletek első-, vagy
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenTérbeli transzformációk, a tér leképezése síkra
Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Homogén koordináták bevezetése térben A tér minden P pontjához kölcsönösen egyértelműen egy valós (x, y, z) számhármast rendeltünk hozzá. (Descartes-féle
RészletesebbenEgyenes és sík. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Egyenes és sík / 16
Egyenes és sík Wettl Ferenc 2012-09-20 Wettl Ferenc () Egyenes és sík 2012-09-20 1 / 16 Tartalom 1 Egyenes és szakasz Egyenes Szakasz Egyenesvonalú egyenletes mozgás Egyenes és pont távolsága 2 Sík Sík
RészletesebbenGeometria 1 normál szint
Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1. Írásban, 90 perc. 2. Index nélkül nem lehet vizsgázni!
RészletesebbenO ( 0, 0, 0 ) A ( 4, 0, 0 ) B ( 4, 3, 0 ) C ( 0, 3, 0 ) D ( 4, 0, 5 ) E ( 4, 3, 5 ) F ( 0, 3, 5 ) G ( 0, 0, 5 )
1. feladat Írjuk föl a következő vektorokat! AC, BF, BG, DF, BD, AG, GB Írjuk föl ezen vektorok egységvektorát is! a=3 m b= 4 m c= m Írjuk föl az egyes pontok koordinátáit: O ( 0, 0, 0 ) A ( 4, 0, 0 )
Részletesebben5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11
Bodó Beáta ISMÉTLÉS. ch(6 d.. 4.. 6. 7. 8. 9..... 4.. e (8 d ch (9 + 7 d ( + 4 6 d 7 8 + d sin (4 + d cos sin d 7 ( 6 + 9 4 d INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 7 6 sh(6 + c 8 e(8 + c 9 th(9 + 7 + c 6 ( + 4 7 + c = 7 4
Részletesebben15. Koordinátageometria
I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +
RészletesebbenGeometria II gyakorlatok
Geometria II gyakorlatok Kovács Zoltán Copyright c 2011 Last Revision Date: 2011. november 29. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát technikával készült, a megjelenés
Részletesebben3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2
3... Egyenes szíjhatás esetén milyen hosszú szíj szükséges 50 cmes és 6 cm-es sugarú tárcsák összekapcsolásához, ha a tárcsák tengelyeinek távolsága 335 cm? 3... Csónakkal akarunk a folyó túlsó partjára
RészletesebbenGeometriai példatár 2.
Geometriai példatár 2 Metrikus feladatok Baboss, Csaba, Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Szabó, Gábor, Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Geometriai példatár 2: Metrikus feladatok
RészletesebbenAnalitikus térgeometria
Analitikus térgeometria Wettl Ferenc el adása alapján 2015.09.21. Wettl Ferenc el adása alapján Analitikus térgeometria 2015.09.21. 1 / 23 Tartalom 1 Egyenes és sík egyenlete Egyenes Sík 2 Alakzatok közös
RészletesebbenA kör. A kör egyenlete
A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - y + b) x + y - 6x - 6y + c) x +
RészletesebbenValasek Gábor valasek@inf.elte.hu
Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.
RészletesebbenFüggvények Megoldások
Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény
RészletesebbenGeometria II gyakorlatok
Geometria II gyakorlatok Kovács Zoltán Copyright c 2011 Last Revision Date: 2012. május 8. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát technikával készült, a megjelenés
Részletesebben15. Koordinátageometria
I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +
RészletesebbenKeresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása
BUDAPEST MŰSZAK ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNY EGYETEM Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása Segédlet a Szilárdságtan c tárgy házi feladatához Készítette: Lehotzky Dávid Budapest, 205 február 28 ábra
Részletesebben17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
RészletesebbenTartalom. Nevezetes affin transzformációk. Valasek Gábor 2016/2017. tavaszi félév
Tartalom Motiváció Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi félév Transzformációk Transzformációk általában Nevezetes affin
RészletesebbenOsztályozóvizsga követelményei
Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 11 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási
Részletesebben9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;
Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;
RészletesebbenLineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport
Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
Részletesebben(a b)(c d)(e f) = (a b)[(c d) (e f)] = = (a b)[e(cdf) f(cde)] = (abe)(cdf) (abf)(cde)
2. házi feladat 1.feladat a b)c d)e f) = a b)[c d) e f)] = = a b)[ecdf) fcde)] = abe)cdf) abf)cde) 2.feladat a) Legyen a két adott pontunk helyzete A = 0, 0), B = 1, 0), továbbá legyen a távolságok aránya
Részletesebben5. előadás. Skaláris szorzás
5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút
RészletesebbenKinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek
Kinematika 2014. szeptember 28. 1. Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek 1.1. Vonatkoztatási rendszerek A test mozgásának leírása kezdetén ki kell választani azt a viszonyítási rendszert, amelyből
RészletesebbenLengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7.
ME, Anaĺızis Tanszék 2010. április 7. , alapfogalmak 2.1. Definíció A H 1, H 2,..., H n R (ahol n 2 egész szám) nemüres valós számhalmazok H 1 H 2... H n Descartes-szorzatán a következő halmazt értjük:
RészletesebbenNT Matematika 11. (Heuréka) Tanmenetjavaslat
NT-17302 Matematika 11. (Heuréka) Tanmenetjavaslat A Dr. Gerőcs László Számadó László Matematika 11. tankönyv a Heuréka-sorozat harmadik tagja. Ebben a segédanyagban ehhez a könyvhöz a tizenegyedikes tananyag
RészletesebbenValasek Gábor Informatikai Kar. 2016/2017. tavaszi félév
Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi félév Tartalom 1 Motiváció 2 Transzformációk Transzformációk általában 3 Nevezetes
RészletesebbenKoordináta-geometria. Fogalom. Jelölés. Tulajdonságok, definíciók
Koordináta-geometria Fogalom Ezen a helyen találkozik össze a számtan és a mértan. Körök, egyenesek, háromszögek és más egyéb alakzatok, de nem szerkesztenünk kell, vagy méricskélni, hanem számolni, viszont
RészletesebbenLINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40
LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard
Részletesebben= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0;
98 Az egyenes egyenletei. a) A( 0) B(0 6) AB_ - 6i& n( ) x + y = b) x - y =- c) 6x - y = 0 d) 6x + y = e) x + y = f) x + y = a g) x - y = a.. A(a 0) B(0 b) AB_ -a bi n (b a) bx + ay = ab osszuk el a $
RészletesebbenMatematika tanmenet 11. évfolyam (középszintű csoport)
Matematika tanmenet 11. évfolyam (középszintű csoport) Műveltségi terület: MATEMATIKA Iskola, osztályok: Vetési Albert Gimnázium, 11.A, 11.B, 11.D (alap) Tantárgy: MATEMATIKA Heti óraszám: 4 óra Készítették:
RészletesebbenLineáris algebra mérnököknek
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Vektorok a 2- és 3-dimenziós tér Kf81 2018-09-04
RészletesebbenJAVÍTÓ VIZSGA 12. FE
JAVÍTÓ VIZSGA 12. FE TEMATIKA: Koordináta-geometria (vektorok a koordináta-rendszerben, egyenes egyenlete, két egyenes metszéspontja, kör egyenlete, kör és egyenes metszéspontjai) Sorozatok (számtani-
RészletesebbenLin.Alg.Zh.1 feladatok
Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat?
RészletesebbenA kör. A kör egyenlete
A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - 0y + 0 b) x + y - 6x - 6y + 0 c)
RészletesebbenMatematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.
Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A
Részletesebben5. Analitikus térgeometria (megoldások) AC = [2, 3, 6], (z + 5) 2 következik. Innen z = 5 3. A keresett BA BC = [3, 2, 8],
(megoldások) 1. Alkalmazzuk a T 5. tételt: AB = [ 1, +, 0+] = [1, 1, ], AC = [,, 6], AD = [,, 9].. A P pontnak az origótól mért távolsága az OP helyvektor hosszával egyenl. OA = 4 + ( ) + ( 4) = 6, OB
RészletesebbenA keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = 1. Az adott kör középpontjának koordinátái: K1( 4; 2)
55 A kör 87 8 A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = Az adott kör középpontjának koordinátái: K( ; ) és a sugara r =, az adott pont P(; ) Ekkor KP = és KK = () ( u ) + ( v ) =, () ( u ) +
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Vektorok StKis, EIC 2019-02-12 Wettl Ferenc ALGEBRA
RészletesebbenKIDOLGOZÁSA - MATEMATIKA SZAK - 1. Analitikus mértan térben 2
ANALITIKUS MÉRTANBÓL KITŰZÖTT ÁLLAMVIZSGA TÉTELEK KIDOLGOZÁSA - MATEMATIKA SZAK - Tartalomjegyzék 1. Analitikus mértan térben 1.1. Térbeli egyenesek egyenletei Descartes-féle koordináta rendszerhez viszonyítva.........
Részletesebben