Klár Gergely 2010/2011. tavaszi félév

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Klár Gergely 2010/2011. tavaszi félév"

Átírás

1 Számítógépes Grafika Klár Gergely Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2010/2011. tavaszi félév

2 Tartalom Pont 1 Pont

3 Tartalom Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták 1 Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták

4 Descartes-koordináták Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták A legegyszerűbb és legelterjedtebb megadási módja a tér pontjainak. A tér minden p pontját egy-egyértelműen hozzárendeljük R 3 egy eleméhez. Mivel R 3 a skaláris szorzással vektorteret alkot, tekinthetjük úgy, hogy minden ponthoz a helyvektorát rendeljük hozzá. Így a tér pontjait koordinátáik segítségével egyértelműen megadhatjuk, p = p = (x, y, z) alakban.

5 Descartes-koordináták Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták A legegyszerűbb és legelterjedtebb megadási módja a tér pontjainak. A tér minden p pontját egy-egyértelműen hozzárendeljük R 3 egy eleméhez. Mivel R 3 a skaláris szorzással vektorteret alkot, tekinthetjük úgy, hogy minden ponthoz a helyvektorát rendeljük hozzá. Így a tér pontjait koordinátáik segítségével egyértelműen megadhatjuk, p = p = (x, y, z) alakban.

6 Descartes-koordináták Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták A legegyszerűbb és legelterjedtebb megadási módja a tér pontjainak. A tér minden p pontját egy-egyértelműen hozzárendeljük R 3 egy eleméhez. Mivel R 3 a skaláris szorzással vektorteret alkot, tekinthetjük úgy, hogy minden ponthoz a helyvektorát rendeljük hozzá. Így a tér pontjait koordinátáik segítségével egyértelműen megadhatjuk, p = p = (x, y, z) alakban.

7 Descartes-koordináták Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták A legegyszerűbb és legelterjedtebb megadási módja a tér pontjainak. A tér minden p pontját egy-egyértelműen hozzárendeljük R 3 egy eleméhez. Mivel R 3 a skaláris szorzással vektorteret alkot, tekinthetjük úgy, hogy minden ponthoz a helyvektorát rendeljük hozzá. Így a tér pontjait koordinátáik segítségével egyértelműen megadhatjuk, p = p = (x, y, z) alakban.

8 Geometriai értelmezés Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták Adottak x, y, z tengelyek, rajtuk az egységnyi hosszúsággal. Egy p = (a, b, c) koordinátájú pont értelmezése ekkor: Az a pont, amit az origóból az x tengely mentén a egységet lépve, majd az y tengely mentén b egységet lépve, végül a z tengely mentén c egységet lépve kapunk.

9 Sodrás irány Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták

10 Descartes-koordináták Homogén koordináták Az affin tér egy olyan vektortér, ami elfelejtette, hogy hol is van a közepe. John Baez Rendbe teszi a pont és a vektor fogalmát: skalár, vektor műveletek mint eddig vektor, vektor műveletek mint eddig pont+vektor pont pont-pont vektor pont+pont nincs értelmezve skalár, pont műveletek nincsenek értelmezve

11 Descartes-koordináták Homogén koordináták Az affin tér egy olyan vektortér, ami elfelejtette, hogy hol is van a közepe. John Baez Rendbe teszi a pont és a vektor fogalmát: skalár, vektor műveletek mint eddig vektor, vektor műveletek mint eddig pont+vektor pont pont-pont vektor pont+pont nincs értelmezve skalár, pont műveletek nincsenek értelmezve

12 Descartes-koordináták Homogén koordináták Az affin tér egy olyan vektortér, ami elfelejtette, hogy hol is van a közepe. John Baez Rendbe teszi a pont és a vektor fogalmát: skalár, vektor műveletek mint eddig vektor, vektor műveletek mint eddig pont+vektor pont pont-pont vektor pont+pont nincs értelmezve skalár, pont műveletek nincsenek értelmezve

13 Descartes-koordináták Homogén koordináták Az affin tér egy olyan vektortér, ami elfelejtette, hogy hol is van a közepe. John Baez Rendbe teszi a pont és a vektor fogalmát: skalár, vektor műveletek mint eddig vektor, vektor műveletek mint eddig pont+vektor pont pont-pont vektor pont+pont nincs értelmezve skalár, pont műveletek nincsenek értelmezve

14 Descartes-koordináták Homogén koordináták Az affin tér egy olyan vektortér, ami elfelejtette, hogy hol is van a közepe. John Baez Rendbe teszi a pont és a vektor fogalmát: skalár, vektor műveletek mint eddig vektor, vektor műveletek mint eddig pont+vektor pont pont-pont vektor pont+pont nincs értelmezve skalár, pont műveletek nincsenek értelmezve

15 Descartes-koordináták Homogén koordináták Az affin tér egy olyan vektortér, ami elfelejtette, hogy hol is van a közepe. John Baez Rendbe teszi a pont és a vektor fogalmát: skalár, vektor műveletek mint eddig vektor, vektor műveletek mint eddig pont+vektor pont pont-pont vektor pont+pont nincs értelmezve skalár, pont műveletek nincsenek értelmezve

16 Descartes-koordináták Homogén koordináták Az affin tér egy olyan vektortér, ami elfelejtette, hogy hol is van a közepe. John Baez Rendbe teszi a pont és a vektor fogalmát: skalár, vektor műveletek mint eddig vektor, vektor műveletek mint eddig pont+vektor pont pont-pont vektor pont+pont nincs értelmezve skalár, pont műveletek nincsenek értelmezve

17 Descartes-koordináták Homogén koordináták Az affin tér egy olyan vektortér, ami elfelejtette, hogy hol is van a közepe. John Baez Rendbe teszi a pont és a vektor fogalmát: skalár, vektor műveletek mint eddig vektor, vektor műveletek mint eddig pont+vektor pont pont-pont vektor pont+pont nincs értelmezve skalár, pont műveletek nincsenek értelmezve

18 Descartes-koordináták Homogén koordináták

19 Descartes-koordináták Homogén koordináták August Ferdinand Möbius [1827] Legyenek adottak x 1,..., x n vektorok, és a tér egy p pontja. (a 1,..., a n ) nem mind nulla, a p pont baricentrikus koordinátái, ha (a a n )p = a 1 x a n x n Homogén baricentrikus koordinátákról vagy affin koordinátákról beszélünk, ha a a n = 1

20 Descartes-koordináták Homogén koordináták August Ferdinand Möbius [1827] Legyenek adottak x 1,..., x n vektorok, és a tér egy p pontja. (a 1,..., a n ) nem mind nulla, a p pont baricentrikus koordinátái, ha (a a n )p = a 1 x a n x n Homogén baricentrikus koordinátákról vagy affin koordinátákról beszélünk, ha a a n = 1

21 Descartes-koordináták Homogén koordináták August Ferdinand Möbius [1827] Legyenek adottak x 1,..., x n vektorok, és a tér egy p pontja. (a 1,..., a n ) nem mind nulla, a p pont baricentrikus koordinátái, ha (a a n )p = a 1 x a n x n Homogén baricentrikus koordinátákról vagy affin koordinátákról beszélünk, ha a a n = 1

22 Descartes-koordináták Homogén koordináták August Ferdinand Möbius [1827] Legyenek adottak x 1,..., x n vektorok, és a tér egy p pontja. (a 1,..., a n ) nem mind nulla, a p pont baricentrikus koordinátái, ha (a a n )p = a 1 x a n x n Homogén baricentrikus koordinátákról vagy affin koordinátákról beszélünk, ha a a n = 1

23 Érelmezése Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták Vegyünk egy háromszöget, x 1, x 2, x 3 csúcsokkal! Helyezzünk a csúcsokba λ 1, λ 2, λ 3 súlyokat! Ekkor a rendszer súlypontja pontosan a λ 1 x 1 + λ 2 x 2 + λ 3 x 3 pont, azaz a (λ 1, λ 2, λ 3 ) (baricentikus) koordinátájú pont. Ha negatív súlyokat is megengedünk, akkor a háromszög síkjának tetszőleges pontja megadható! Ha λ 1 + λ 2 + λ 3 = 1 és 0 λ 1, λ 2, λ 3 1, akkor a koordinátákkal adott pont a -ön lesz!

24 Érelmezése Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták Vegyünk egy háromszöget, x 1, x 2, x 3 csúcsokkal! Helyezzünk a csúcsokba λ 1, λ 2, λ 3 súlyokat! Ekkor a rendszer súlypontja pontosan a λ 1 x 1 + λ 2 x 2 + λ 3 x 3 pont, azaz a (λ 1, λ 2, λ 3 ) (baricentikus) koordinátájú pont. Ha negatív súlyokat is megengedünk, akkor a háromszög síkjának tetszőleges pontja megadható! Ha λ 1 + λ 2 + λ 3 = 1 és 0 λ 1, λ 2, λ 3 1, akkor a koordinátákkal adott pont a -ön lesz!

25 Érelmezése Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták Vegyünk egy háromszöget, x 1, x 2, x 3 csúcsokkal! Helyezzünk a csúcsokba λ 1, λ 2, λ 3 súlyokat! Ekkor a rendszer súlypontja pontosan a λ 1 x 1 + λ 2 x 2 + λ 3 x 3 pont, azaz a (λ 1, λ 2, λ 3 ) (baricentikus) koordinátájú pont. Ha negatív súlyokat is megengedünk, akkor a háromszög síkjának tetszőleges pontja megadható! Ha λ 1 + λ 2 + λ 3 = 1 és 0 λ 1, λ 2, λ 3 1, akkor a koordinátákkal adott pont a -ön lesz!

26 Érelmezése Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták Vegyünk egy háromszöget, x 1, x 2, x 3 csúcsokkal! Helyezzünk a csúcsokba λ 1, λ 2, λ 3 súlyokat! Ekkor a rendszer súlypontja pontosan a λ 1 x 1 + λ 2 x 2 + λ 3 x 3 pont, azaz a (λ 1, λ 2, λ 3 ) (baricentikus) koordinátájú pont. Ha negatív súlyokat is megengedünk, akkor a háromszög síkjának tetszőleges pontja megadható! Ha λ 1 + λ 2 + λ 3 = 1 és 0 λ 1, λ 2, λ 3 1, akkor a koordinátákkal adott pont a -ön lesz!

27 Érelmezése Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták Vegyünk egy háromszöget, x 1, x 2, x 3 csúcsokkal! Helyezzünk a csúcsokba λ 1, λ 2, λ 3 súlyokat! Ekkor a rendszer súlypontja pontosan a λ 1 x 1 + λ 2 x 2 + λ 3 x 3 pont, azaz a (λ 1, λ 2, λ 3 ) (baricentikus) koordinátájú pont. Ha negatív súlyokat is megengedünk, akkor a háromszög síkjának tetszőleges pontja megadható! Ha λ 1 + λ 2 + λ 3 = 1 és 0 λ 1, λ 2, λ 3 1, akkor a koordinátákkal adott pont a -ön lesz!

28 Következmények Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták A háromszög mintájára beszélhetünk 3D-s baricentrikus koordinátákról tetraéder segítségével. n dimenzóban n + 1 koordinátára van szükségünk baricentrikus alakban. Ha (a 1,..., a n ) egy pont baricentrikus koordinátái, akkor (ra 1,..., ra n ), r 0 is azok, ezért mindig használhatunk homogén baricentrikus koordinátákat.

29 Következmények Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták A háromszög mintájára beszélhetünk 3D-s baricentrikus koordinátákról tetraéder segítségével. n dimenzóban n + 1 koordinátára van szükségünk baricentrikus alakban. Ha (a 1,..., a n ) egy pont baricentrikus koordinátái, akkor (ra 1,..., ra n ), r 0 is azok, ezért mindig használhatunk homogén baricentrikus koordinátákat.

30 Következmények Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták A háromszög mintájára beszélhetünk 3D-s baricentrikus koordinátákról tetraéder segítségével. n dimenzóban n + 1 koordinátára van szükségünk baricentrikus alakban. Ha (a 1,..., a n ) egy pont baricentrikus koordinátái, akkor (ra 1,..., ra n ), r 0 is azok, ezért mindig használhatunk homogén baricentrikus koordinátákat.

31 Homogén koordináták Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták Ismét August Ferdinand Möbius [1827] Lehetővé teszik végtelen pontok kezelését véges koordináták segítségével. A projektív tér pontjai írhatók le vele, ami magában foglalja az eukleidészi tér (a sima 3D tér) pontjait.

32 Homogén koordináták Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták Ismét August Ferdinand Möbius [1827] Lehetővé teszik végtelen pontok kezelését véges koordináták segítségével. A projektív tér pontjai írhatók le vele, ami magában foglalja az eukleidészi tér (a sima 3D tér) pontjait.

33 Homogén koordináták Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták Ismét August Ferdinand Möbius [1827] Lehetővé teszik végtelen pontok kezelését véges koordináták segítségével. A projektív tér pontjai írhatók le vele, ami magában foglalja az eukleidészi tér (a sima 3D tér) pontjait.

34 Homogén koordináták Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták Definició 3D-ben: Legyen (x, y, z) R 3 a háromdimenziós eukleidészi tér egy pontja. Az ennek megfelelő projektív tér beli pont[ok], homogén koordinátá[k]val: [wx, wy, wz, w], w 0 Az origó (0, 0, 0) képe a [0, 0, 0, 1] pont. A projektív tér [x, y, z, 0] pontjait ideális pontoknak nevezzük, és nincs megfelelőjük az eukleidészi térben A [0, 0, 0, 0] pontot nem értelezzük.

35 Homogén koordináták Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták Definició 3D-ben: Legyen (x, y, z) R 3 a háromdimenziós eukleidészi tér egy pontja. Az ennek megfelelő projektív tér beli pont[ok], homogén koordinátá[k]val: [wx, wy, wz, w], w 0 Az origó (0, 0, 0) képe a [0, 0, 0, 1] pont. A projektív tér [x, y, z, 0] pontjait ideális pontoknak nevezzük, és nincs megfelelőjük az eukleidészi térben A [0, 0, 0, 0] pontot nem értelezzük.

36 Homogén koordináták Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták Definició 3D-ben: Legyen (x, y, z) R 3 a háromdimenziós eukleidészi tér egy pontja. Az ennek megfelelő projektív tér beli pont[ok], homogén koordinátá[k]val: [wx, wy, wz, w], w 0 Az origó (0, 0, 0) képe a [0, 0, 0, 1] pont. A projektív tér [x, y, z, 0] pontjait ideális pontoknak nevezzük, és nincs megfelelőjük az eukleidészi térben A [0, 0, 0, 0] pontot nem értelezzük.

37 Homogén koordináták Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták Definició 3D-ben: Legyen (x, y, z) R 3 a háromdimenziós eukleidészi tér egy pontja. Az ennek megfelelő projektív tér beli pont[ok], homogén koordinátá[k]val: [wx, wy, wz, w], w 0 Az origó (0, 0, 0) képe a [0, 0, 0, 1] pont. A projektív tér [x, y, z, 0] pontjait ideális pontoknak nevezzük, és nincs megfelelőjük az eukleidészi térben A [0, 0, 0, 0] pontot nem értelezzük.

38 Homogén koordináták Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták Definició 3D-ben: Legyen (x, y, z) R 3 a háromdimenziós eukleidészi tér egy pontja. Az ennek megfelelő projektív tér beli pont[ok], homogén koordinátá[k]val: [wx, wy, wz, w], w 0 Az origó (0, 0, 0) képe a [0, 0, 0, 1] pont. A projektív tér [x, y, z, 0] pontjait ideális pontoknak nevezzük, és nincs megfelelőjük az eukleidészi térben A [0, 0, 0, 0] pontot nem értelezzük.

39 Homogén koordináták Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták Definició 3D-ben: Legyen (x, y, z) R 3 a háromdimenziós eukleidészi tér egy pontja. Az ennek megfelelő projektív tér beli pont[ok], homogén koordinátá[k]val: [wx, wy, wz, w], w 0 Az origó (0, 0, 0) képe a [0, 0, 0, 1] pont. A projektív tér [x, y, z, 0] pontjait ideális pontoknak nevezzük, és nincs megfelelőjük az eukleidészi térben A [0, 0, 0, 0] pontot nem értelezzük.

40 Tulajdonságok Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták Egy nem ideális [x, y, z, w] pont koordinátái az eukleidészi térben ( x w, y w, z w ), mivel a pont nem ideális, ezért w 0. Minden homogén koordinátás pontra teljesül, hogy [x, y, z, w] = λ[x, y, z, w] = [λx, λy, λz, λw], λ 0 Az előző tulajdonság miatt [x, y, z, 0] = [ x, y, z, 0], azaz végtelen messze menve, a pontosan ellenkező irányba haladva is ugyan oda jutnánk.

41 Tulajdonságok Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták Egy nem ideális [x, y, z, w] pont koordinátái az eukleidészi térben ( x w, y w, z w ), mivel a pont nem ideális, ezért w 0. Minden homogén koordinátás pontra teljesül, hogy [x, y, z, w] = λ[x, y, z, w] = [λx, λy, λz, λw], λ 0 Az előző tulajdonság miatt [x, y, z, 0] = [ x, y, z, 0], azaz végtelen messze menve, a pontosan ellenkező irányba haladva is ugyan oda jutnánk.

42 Tulajdonságok Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták Egy nem ideális [x, y, z, w] pont koordinátái az eukleidészi térben ( x w, y w, z w ), mivel a pont nem ideális, ezért w 0. Minden homogén koordinátás pontra teljesül, hogy [x, y, z, w] = λ[x, y, z, w] = [λx, λy, λz, λw], λ 0 Az előző tulajdonság miatt [x, y, z, 0] = [ x, y, z, 0], azaz végtelen messze menve, a pontosan ellenkező irányba haladva is ugyan oda jutnánk.

43 Tartalom Pont Klasszikus egyenlete Parametrikus egyenlete Sugár 1 Pont 2 Klasszikus egyenlete Parametrikus egyenlete Sugár 3 4 5

44 Klasszikus egyenlete Pont Klasszikus egyenlete Parametrikus egyenlete Sugár A vonal szélesség nélküli hosszúság, Eukleidész kb. i.sz. 300 y = mx + b Jó, de nem jó, mert hogyan ábrázoljuk a függőleges, y tengellyel párhuzamos egyeneseket? hogyan használjuk 3D-ben?

45 Klasszikus egyenlete Pont Klasszikus egyenlete Parametrikus egyenlete Sugár A vonal szélesség nélküli hosszúság, Eukleidész kb. i.sz. 300 y = mx + b Jó, de nem jó, mert hogyan ábrázoljuk a függőleges, y tengellyel párhuzamos egyeneseket? hogyan használjuk 3D-ben?

46 Klasszikus egyenlete Pont Klasszikus egyenlete Parametrikus egyenlete Sugár A vonal szélesség nélküli hosszúság, Eukleidész kb. i.sz. 300 y = mx + b Jó, de nem jó, mert hogyan ábrázoljuk a függőleges, y tengellyel párhuzamos egyeneseket? hogyan használjuk 3D-ben?

47 Klasszikus egyenlete Pont Klasszikus egyenlete Parametrikus egyenlete Sugár A vonal szélesség nélküli hosszúság, Eukleidész kb. i.sz. 300 y = mx + b Jó, de nem jó, mert hogyan ábrázoljuk a függőleges, y tengellyel párhuzamos egyeneseket? hogyan használjuk 3D-ben?

48 Klasszikus egyenlete Pont Klasszikus egyenlete Parametrikus egyenlete Sugár A vonal szélesség nélküli hosszúság, Eukleidész kb. i.sz. 300 y = mx + b Jó, de nem jó, mert hogyan ábrázoljuk a függőleges, y tengellyel párhuzamos egyeneseket? hogyan használjuk 3D-ben?

49 Klasszikus egyenlete Pont Klasszikus egyenlete Parametrikus egyenlete Sugár A vonal szélesség nélküli hosszúság, Eukleidész kb. i.sz. 300 y = mx + b Jó, de nem jó, mert hogyan ábrázoljuk a függőleges, y tengellyel párhuzamos egyeneseket? hogyan használjuk 3D-ben?

50 Parametrikus egyenlete Klasszikus egyenlete Parametrikus egyenlete Sugár Legyen p 0 az egyenes egy pontja, v pedig az irányvektora, ekkor p = p 0 + t v t R megadja az egyenes összes pontját. Ha csak az egyenes két p 0, p 1 pontját ismerjük, akkor v = p 1 p 0 után az eredeti egyenlet használható. Az egyenlet a dimenziók számától független.

51 Parametrikus egyenlete Klasszikus egyenlete Parametrikus egyenlete Sugár Legyen p 0 az egyenes egy pontja, v pedig az irányvektora, ekkor p = p 0 + t v t R megadja az egyenes összes pontját. Ha csak az egyenes két p 0, p 1 pontját ismerjük, akkor v = p 1 p 0 után az eredeti egyenlet használható. Az egyenlet a dimenziók számától független.

52 Parametrikus egyenlete Klasszikus egyenlete Parametrikus egyenlete Sugár Legyen p 0 az egyenes egy pontja, v pedig az irányvektora, ekkor p = p 0 + t v t R megadja az egyenes összes pontját. Ha csak az egyenes két p 0, p 1 pontját ismerjük, akkor v = p 1 p 0 után az eredeti egyenlet használható. Az egyenlet a dimenziók számától független.

53 A sugár egyenlete Pont Klasszikus egyenlete Parametrikus egyenlete Sugár A sugár egy félegyenes, amit kezdőpontjával és irányvektorával adhatunk meg. Legyen p 0 a sugár kezdőpontja, v pedig az irányvektora, ekkor p = p 0 + t v t 0 megadja a sugár összes pontját.

54 A sugár egyenlete Pont Klasszikus egyenlete Parametrikus egyenlete Sugár A sugár egy félegyenes, amit kezdőpontjával és irányvektorával adhatunk meg. Legyen p 0 a sugár kezdőpontja, v pedig az irányvektora, ekkor p = p 0 + t v t 0 megadja a sugár összes pontját.

55 Tartalom Pont Normálvektoros egyenlete és sík metszéspontja 1 Pont 2 3 Normálvektoros egyenlete és sík metszéspontja 4 5

56 Normálvektoros egyenlete Normálvektoros egyenlete és sík metszéspontja Legyen p 0 a sík egy pontja, n pedig a normálvektora, ekkor n, p p 0 = 0 akkor és csak akkor teljesül, ha p a síkon fekszik.

57 és sík metszéspontja Normálvektoros egyenlete és sík metszéspontja Legyen p 0 a sík egy pontja, n a normálvektora, Legyen q 0 ez egyenes egy pontja, v az irányvektora. Az egyenes egynlete: p = q 0 + t v A sík egyenlete: n, p p 0 = 0

58 és sík metszéspontja Normálvektoros egyenlete és sík metszéspontja Legyen p 0 a sík egy pontja, n a normálvektora, Legyen q 0 ez egyenes egy pontja, v az irányvektora. Az egyenes egynlete: p = q 0 + t v A sík egyenlete: n, p p 0 = 0

59 és sík metszéspontja Normálvektoros egyenlete és sík metszéspontja Legyen p 0 a sík egy pontja, n a normálvektora, Legyen q 0 ez egyenes egy pontja, v az irányvektora. Az egyenes egynlete: p = q 0 + t v A sík egyenlete: n, p p 0 = 0

60 és sík metszéspontja Normálvektoros egyenlete és sík metszéspontja Legyen p 0 a sík egy pontja, n a normálvektora, Legyen q 0 ez egyenes egy pontja, v az irányvektora. Az egyenes egynlete: p = q 0 + t v A sík egyenlete: n, p p 0 = 0

61 és sík metszéspontja Normálvektoros egyenlete és sík metszéspontja Behelyettesítve p-t: n, q 0 + t v p 0 = 0, ha n, v 0. n, q 0 + t n, v n, p 0 = 0, t = n, p 0 n, q 0 n, v = n, p 0 q 0, n, v Ha n, v = 0, akkor az egyenes párhuzamos a síkkal, és így vagy nincs metszéspontjuk, vagy az egyenes a síkon fut.

62 és sík metszéspontja Normálvektoros egyenlete és sík metszéspontja Behelyettesítve p-t: n, q 0 + t v p 0 = 0, ha n, v 0. n, q 0 + t n, v n, p 0 = 0, t = n, p 0 n, q 0 n, v = n, p 0 q 0, n, v Ha n, v = 0, akkor az egyenes párhuzamos a síkkal, és így vagy nincs metszéspontjuk, vagy az egyenes a síkon fut.

63 és sík metszéspontja Normálvektoros egyenlete és sík metszéspontja Behelyettesítve p-t: n, q 0 + t v p 0 = 0, ha n, v 0. n, q 0 + t n, v n, p 0 = 0, t = n, p 0 n, q 0 n, v = n, p 0 q 0, n, v Ha n, v = 0, akkor az egyenes párhuzamos a síkkal, és így vagy nincs metszéspontjuk, vagy az egyenes a síkon fut.

64 és sík metszéspontja Normálvektoros egyenlete és sík metszéspontja Behelyettesítve p-t: n, q 0 + t v p 0 = 0, ha n, v 0. n, q 0 + t n, v n, p 0 = 0, t = n, p 0 n, q 0 n, v = n, p 0 q 0, n, v Ha n, v = 0, akkor az egyenes párhuzamos a síkkal, és így vagy nincs metszéspontjuk, vagy az egyenes a síkon fut.

65 Tartalom Pont Megadása és egyenes metszéspontja 1 Pont Megadása és egyenes metszéspontja 5

66 Megadása Pont Megadása és egyenes metszéspontja Egyértelműen megadható három csúcsával. Ha A, B, C a háromszög csúcsai, akkor a hozzátartozó sík egy pontja A, B, C bármelyike normálvektora n = (C A) (B A) (C A) (B A), ahol a vektoriális szorzást jelöli, és ekkor n egységnyi hosszúságú.

67 Megadása Pont Megadása és egyenes metszéspontja Egyértelműen megadható három csúcsával. Ha A, B, C a háromszög csúcsai, akkor a hozzátartozó sík egy pontja A, B, C bármelyike normálvektora n = (C A) (B A) (C A) (B A), ahol a vektoriális szorzást jelöli, és ekkor n egységnyi hosszúságú.

68 Megadása és egyenes metszéspontja és egyenes metszéspontja Először számítsuk ki az egyenes és a háromszög síkjának metszéspontját, ez legyen p (már ha létezik). Legyenek λ 1, λ 2, λ 3 a p pont háromszögön belüli baricentikus koordinátái, úgy hogy p = λ 1 A + λ 2 B + λ 3 C. p akkor, és csak akkor van a -ön belül, ha 0 λ 1, λ 2, λ 3 1.

69 Megadása és egyenes metszéspontja és egyenes metszéspontja Először számítsuk ki az egyenes és a háromszög síkjának metszéspontját, ez legyen p (már ha létezik). Legyenek λ 1, λ 2, λ 3 a p pont háromszögön belüli baricentikus koordinátái, úgy hogy p = λ 1 A + λ 2 B + λ 3 C. p akkor, és csak akkor van a -ön belül, ha 0 λ 1, λ 2, λ 3 1.

70 Megadása és egyenes metszéspontja és egyenes metszéspontja Először számítsuk ki az egyenes és a háromszög síkjának metszéspontját, ez legyen p (már ha létezik). Legyenek λ 1, λ 2, λ 3 a p pont háromszögön belüli baricentikus koordinátái, úgy hogy p = λ 1 A + λ 2 B + λ 3 C. p akkor, és csak akkor van a -ön belül, ha 0 λ 1, λ 2, λ 3 1.

71 Pont a háromszögön vizsgálat Megadása és egyenes metszéspontja Tudjuk, hogy p = (x, y, z) = λ 1 A + λ 2 B + λ 3 C. Ekkor x =λ 1 A x + λ 2 B x + λ 3 C x y =λ 1 A y + λ 2 B y + λ 3 C y z =λ 1 A z + λ 2 B z + λ 3 C z, ill. λ 1 + λ 2 + λ 3 = 1 λ 3 = 1 λ 1 λ 2 Van három ismeretlenünk (λ-k), és négy egyenletünk. Mi legyen? Vegyük a háromszög 2D vetületét az XY, XZ vagy YZ síkra! A vetülethez egyszerűen elhagyjuk z, y vagy x egyenletét, megfelelően.

72 Pont a háromszögön vizsgálat Megadása és egyenes metszéspontja Tudjuk, hogy p = (x, y, z) = λ 1 A + λ 2 B + λ 3 C. Ekkor x =λ 1 A x + λ 2 B x + λ 3 C x y =λ 1 A y + λ 2 B y + λ 3 C y z =λ 1 A z + λ 2 B z + λ 3 C z, ill. λ 1 + λ 2 + λ 3 = 1 λ 3 = 1 λ 1 λ 2 Van három ismeretlenünk (λ-k), és négy egyenletünk. Mi legyen? Vegyük a háromszög 2D vetületét az XY, XZ vagy YZ síkra! A vetülethez egyszerűen elhagyjuk z, y vagy x egyenletét, megfelelően.

73 Pont a háromszögön vizsgálat Megadása és egyenes metszéspontja Tudjuk, hogy p = (x, y, z) = λ 1 A + λ 2 B + λ 3 C. Ekkor x =λ 1 A x + λ 2 B x + λ 3 C x y =λ 1 A y + λ 2 B y + λ 3 C y z =λ 1 A z + λ 2 B z + λ 3 C z, ill. λ 1 + λ 2 + λ 3 = 1 λ 3 = 1 λ 1 λ 2 Van három ismeretlenünk (λ-k), és négy egyenletünk. Mi legyen? Vegyük a háromszög 2D vetületét az XY, XZ vagy YZ síkra! A vetülethez egyszerűen elhagyjuk z, y vagy x egyenletét, megfelelően.

74 Pont a háromszögön vizsgálat Megadása és egyenes metszéspontja Azt tengely kell választani, amelyik mentén a legnagyobb a háromszög normálvektorának abszolút értéke. (Így biztos nem fordulhat elő, hogy a háromszög merőleges a síkra, és csak egy szakasz marad belőle!)

75 Pont a háromszögön vizsgálat Megadása és egyenes metszéspontja Pl. legyen a z a válsztott tengely. Ekkor x =λ 1 A x + λ 2 B x + λ 3 C x y =λ 1 A y + λ 2 B y + λ 3 C y Behelyettesítve λ 3 = 1 λ 1 + λ 2 -t, és rendezve: x =λ 1 (A x C x ) + λ 2 (B x C x ) + C x y =λ 1 (A y C y ) + λ 2 (B y C y ) + C y

76 Pont a háromszögön vizsgálat Megadása és egyenes metszéspontja Pl. legyen a z a válsztott tengely. Ekkor x =λ 1 A x + λ 2 B x + λ 3 C x y =λ 1 A y + λ 2 B y + λ 3 C y Behelyettesítve λ 3 = 1 λ 1 + λ 2 -t, és rendezve: x =λ 1 (A x C x ) + λ 2 (B x C x ) + C x y =λ 1 (A y C y ) + λ 2 (B y C y ) + C y

77 Pont a háromszögön vizsgálat Megadása és egyenes metszéspontja Rendezve λ 1, λ 2 -re kapjuk: λ 1 = (B y C y )(x C x ) (B x C x )(y C y ) (A x C x )(B y C y ) (B x C x )(A y C y ) λ 2 = (A y C y )(x C x ) (A x C x )(y C y ) (A x C x )(B y C y ) (B x C x )(A y C y ) A nevező csak degenerált hárömszög esetén lehet nulla. p akkor, és csak akkor van a -ön belül, ha 0 λ 1, λ 2, λ 3 1.

78 Pont a háromszögön vizsgálat Megadása és egyenes metszéspontja Rendezve λ 1, λ 2 -re kapjuk: λ 1 = (B y C y )(x C x ) (B x C x )(y C y ) (A x C x )(B y C y ) (B x C x )(A y C y ) λ 2 = (A y C y )(x C x ) (A x C x )(y C y ) (A x C x )(B y C y ) (B x C x )(A y C y ) A nevező csak degenerált hárömszög esetén lehet nulla. p akkor, és csak akkor van a -ön belül, ha 0 λ 1, λ 2, λ 3 1.

79 Pont a háromszögön vizsgálat Megadása és egyenes metszéspontja Rendezve λ 1, λ 2 -re kapjuk: λ 1 = (B y C y )(x C x ) (B x C x )(y C y ) (A x C x )(B y C y ) (B x C x )(A y C y ) λ 2 = (A y C y )(x C x ) (A x C x )(y C y ) (A x C x )(B y C y ) (B x C x )(A y C y ) A nevező csak degenerált hárömszög esetén lehet nulla. p akkor, és csak akkor van a -ön belül, ha 0 λ 1, λ 2, λ 3 1.

80 Tartalom Pont Egyenlete és egyenes metszéspontja 1 Pont Egyenlete és egyenes metszéspontja

81 Egyenlete Pont Egyenlete és egyenes metszéspontja Az r sugarú, c = (c x, c y, c z ) középpontú kör egyenlete: (x c x ) 2 + (y c y ) 2 + (z c z ) 2 r 2 = 0 Ugyanez skalárszorzattal felírva: p c, p c r 2 = 0, ahol p = (x, y, z).

82 Egyenlete Pont Egyenlete és egyenes metszéspontja Az r sugarú, c = (c x, c y, c z ) középpontú kör egyenlete: (x c x ) 2 + (y c y ) 2 + (z c z ) 2 r 2 = 0 Ugyanez skalárszorzattal felírva: p c, p c r 2 = 0, ahol p = (x, y, z).

83 és egyenes metszéspontja Egyenlete és egyenes metszéspontja Legyen q 0 ez egyenes egy pontja, v az irányvektora. Ekkor az egyenes egynlete: p = q 0 + t v Behelyettesítve a gömb egyenletébe, kapjuk: q 0 + t v c, q 0 + t v c r 2 = 0 Kifejtve: t 2 v, v + 2t v, q 0 c + q 0 c, q 0 c r 2 = 0

84 és egyenes metszéspontja Egyenlete és egyenes metszéspontja Legyen q 0 ez egyenes egy pontja, v az irányvektora. Ekkor az egyenes egynlete: p = q 0 + t v Behelyettesítve a gömb egyenletébe, kapjuk: q 0 + t v c, q 0 + t v c r 2 = 0 Kifejtve: t 2 v, v + 2t v, q 0 c + q 0 c, q 0 c r 2 = 0

85 és egyenes metszéspontja Egyenlete és egyenes metszéspontja Legyen q 0 ez egyenes egy pontja, v az irányvektora. Ekkor az egyenes egynlete: p = q 0 + t v Behelyettesítve a gömb egyenletébe, kapjuk: q 0 + t v c, q 0 + t v c r 2 = 0 Kifejtve: t 2 v, v + 2t v, q 0 c + q 0 c, q 0 c r 2 = 0

86 és egyenes metszéspontja Egyenlete és egyenes metszéspontja Legyen q 0 ez egyenes egy pontja, v az irányvektora. Ekkor az egyenes egynlete: p = q 0 + t v Behelyettesítve a gömb egyenletébe, kapjuk: q 0 + t v c, q 0 + t v c r 2 = 0 Kifejtve: t 2 v, v + 2t v, q 0 c + q 0 c, q 0 c r 2 = 0

87 Egyenlete és egyenes metszéspontja t 2 v, v + 2t v, q 0 c + q 0 c, q 0 c r 2 = 0 Ez másodfokú egyenlet t-re (minden más ismert). Legyen D = (2 v, q 0 c ) 2 4 v, v ( q 0 c, q 0 c r 2 ) Ha D > 0: két megoldás van, az egyenes metszi a gömböt. Ha D = 0: egy megoldás van, az egyenes érinti a gömböt. Ha D < 0: nincs valós megoldás, az egyenes nem metszi a gömböt.

88 Egyenlete és egyenes metszéspontja t 2 v, v + 2t v, q 0 c + q 0 c, q 0 c r 2 = 0 Ez másodfokú egyenlet t-re (minden más ismert). Legyen D = (2 v, q 0 c ) 2 4 v, v ( q 0 c, q 0 c r 2 ) Ha D > 0: két megoldás van, az egyenes metszi a gömböt. Ha D = 0: egy megoldás van, az egyenes érinti a gömböt. Ha D < 0: nincs valós megoldás, az egyenes nem metszi a gömböt.

89 Egyenlete és egyenes metszéspontja t 2 v, v + 2t v, q 0 c + q 0 c, q 0 c r 2 = 0 Ez másodfokú egyenlet t-re (minden más ismert). Legyen D = (2 v, q 0 c ) 2 4 v, v ( q 0 c, q 0 c r 2 ) Ha D > 0: két megoldás van, az egyenes metszi a gömböt. Ha D = 0: egy megoldás van, az egyenes érinti a gömböt. Ha D < 0: nincs valós megoldás, az egyenes nem metszi a gömböt.

90 Egyenlete és egyenes metszéspontja t 2 v, v + 2t v, q 0 c + q 0 c, q 0 c r 2 = 0 Ez másodfokú egyenlet t-re (minden más ismert). Legyen D = (2 v, q 0 c ) 2 4 v, v ( q 0 c, q 0 c r 2 ) Ha D > 0: két megoldás van, az egyenes metszi a gömböt. Ha D = 0: egy megoldás van, az egyenes érinti a gömböt. Ha D < 0: nincs valós megoldás, az egyenes nem metszi a gömböt.

91 Egyenlete és egyenes metszéspontja t 2 v, v + 2t v, q 0 c + q 0 c, q 0 c r 2 = 0 Ez másodfokú egyenlet t-re (minden más ismert). Legyen D = (2 v, q 0 c ) 2 4 v, v ( q 0 c, q 0 c r 2 ) Ha D > 0: két megoldás van, az egyenes metszi a gömböt. Ha D = 0: egy megoldás van, az egyenes érinti a gömböt. Ha D < 0: nincs valós megoldás, az egyenes nem metszi a gömböt.

Tartalom. Descartes-koordináták. Geometriai értelmezés. Pont. Egyenes. Klár Gergely tremere@elte.hu. 2010/2011. tavaszi félév

Tartalom. Descartes-koordináták. Geometriai értelmezés. Pont. Egyenes. Klár Gergely tremere@elte.hu. 2010/2011. tavaszi félév Tartalom Pont Számítógépes Grafika Klár Gergely tremere@elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar Egyenes Sík Háromszög Gömb 2010/2011. tavaszi félév Descartes-koordináták Geometriai értelmezés

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre

Részletesebben

x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben?

x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben? . Mi az (x, y) koordinátákkal megadott pont elforgatás uténi két koordinátája, ha α szöggel forgatunk az origó körül? x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs

Részletesebben

2014/2015. tavaszi félév

2014/2015. tavaszi félév Hajder L. és Valasek G. hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom Geometria modellezés 1 Geometria modellezés 2 Geometria modellezés

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Analitikus térgeometria

Analitikus térgeometria 5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T

Részletesebben

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.

Részletesebben

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5 Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták 1. Mik lesznek a P (3, 4, 8) pont C (3, 7, 2) pontra vonatkozó tükörképének a koordinátái? 2. Egy szabályos hatszög középpontja K (4, 1, 4),

Részletesebben

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az

Részletesebben

Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra

Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Homogén koordináták bevezetése térben A tér minden P pontjához kölcsönösen egyértelműen egy valós (x, y, z) számhármast rendeltünk hozzá. (Descartes-féle

Részletesebben

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása

Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása 1 Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása Ehhez tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra Itt az ( u, v, w ) tengelymetszeteivel adott S síkot látjuk, az Oxyz térbeli derékszögű koordináta -

Részletesebben

Geometria 1 normál szint

Geometria 1 normál szint Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1. Írásban, 90 perc. 2. Index nélkül nem lehet vizsgázni!

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.

Részletesebben

9. előadás. Térbeli koordinátageometria

9. előadás. Térbeli koordinátageometria 9. előadás Térbeli koordinátageometria Koordinátageometria a térben Descartes-féle koordinátarendszerben dolgozunk. A legegyszerűbb alakzatokat fogjuk vizsgálni. Az ezeket leíró egyenletek első-, vagy

Részletesebben

Analitikus térgeometria

Analitikus térgeometria Analitikus térgeometria Wettl Ferenc el adása alapján 2015.09.21. Wettl Ferenc el adása alapján Analitikus térgeometria 2015.09.21. 1 / 23 Tartalom 1 Egyenes és sík egyenlete Egyenes Sík 2 Alakzatok közös

Részletesebben

Geometria II gyakorlatok

Geometria II gyakorlatok Geometria II gyakorlatok Kovács Zoltán Copyright c 2011 Last Revision Date: 2011. november 29. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát technikával készült, a megjelenés

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2 3... Egyenes szíjhatás esetén milyen hosszú szíj szükséges 50 cmes és 6 cm-es sugarú tárcsák összekapcsolásához, ha a tárcsák tengelyeinek távolsága 335 cm? 3... Csónakkal akarunk a folyó túlsó partjára

Részletesebben

Geometriai példatár 2.

Geometriai példatár 2. Geometriai példatár 2 Metrikus feladatok Baboss, Csaba, Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Szabó, Gábor, Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Geometriai példatár 2: Metrikus feladatok

Részletesebben

5. előadás. Skaláris szorzás

5. előadás. Skaláris szorzás 5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 11 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

Geometria II gyakorlatok

Geometria II gyakorlatok Geometria II gyakorlatok Kovács Zoltán Copyright c 2011 Last Revision Date: 2012. május 8. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát technikával készült, a megjelenés

Részletesebben

Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7.

Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 2010. április 7. , alapfogalmak 2.1. Definíció A H 1, H 2,..., H n R (ahol n 2 egész szám) nemüres valós számhalmazok H 1 H 2... H n Descartes-szorzatán a következő halmazt értjük:

Részletesebben

NT Matematika 11. (Heuréka) Tanmenetjavaslat

NT Matematika 11. (Heuréka) Tanmenetjavaslat NT-17302 Matematika 11. (Heuréka) Tanmenetjavaslat A Dr. Gerőcs László Számadó László Matematika 11. tankönyv a Heuréka-sorozat harmadik tagja. Ebben a segédanyagban ehhez a könyvhöz a tizenegyedikes tananyag

Részletesebben

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard

Részletesebben

FÜGGVÉNYEK. A derékszögű koordináta-rendszer

FÜGGVÉNYEK. A derékszögű koordináta-rendszer FÜGGVÉNYEK A derékszögű koordináta-rendszer Az. jelzőszámot az x tengelyről, a 2. jelzőszámot az y tengelyről olvassuk le. Pl.: A(-3;-) B(3;2) O(0;0) II. síknegyed I. síknegyed A (0; 0) koordinátájú pontot

Részletesebben

= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0;

= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0; 98 Az egyenes egyenletei. a) A( 0) B(0 6) AB_ - 6i& n( ) x + y = b) x - y =- c) 6x - y = 0 d) 6x + y = e) x + y = f) x + y = a g) x - y = a.. A(a 0) B(0 b) AB_ -a bi n (b a) bx + ay = ab osszuk el a $

Részletesebben

JAVÍTÓ VIZSGA 12. FE

JAVÍTÓ VIZSGA 12. FE JAVÍTÓ VIZSGA 12. FE TEMATIKA: Koordináta-geometria (vektorok a koordináta-rendszerben, egyenes egyenlete, két egyenes metszéspontja, kör egyenlete, kör és egyenes metszéspontjai) Sorozatok (számtani-

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata

Részletesebben

Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú )

Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú ) Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú ) 1. A négyzetgyök fogalma, a négyzetgyökvonás művelete 2. A négyzetgyökvonás azonosságai 3. Műveletek négyzetgyökökkel 4. A nevező gyöktelenítése

Részletesebben

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27. Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont) 1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)

Részletesebben

Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió

Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mikor nevezünk egy gráfot gyengén és mikor erősen összefüggőnek? Adjon példát gyengén összefüggő de erősen nem összefüggő

Részletesebben

Másodrendű görbék a projektív síkon. Matematika BSc Szakdolgozat

Másodrendű görbék a projektív síkon. Matematika BSc Szakdolgozat Másodrendű görbék a projektív síkon Matematika BSc Szakdolgozat Írta: Deli Anikó Matematika BSc, tanári szakirány Témavezető: Dr. Verhóczki László egyetemi docens Matematikai Intézet, Geometriai Tanszék

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

1. FELADAT. Írjuk fel az adott P ponton átmenő és az adott iránnyal párhuzamos egyenes explicit paraméteres és implicit egyenletrendszerét!

1. FELADAT. Írjuk fel az adott P ponton átmenő és az adott iránnyal párhuzamos egyenes explicit paraméteres és implicit egyenletrendszerét! 1. FELADAT. Írjuk fel az adott P ponton átmenő és az adott iránnyal párhuzamos egyenes explicit paraméteres és implicit egyenletrendszerét! 1.1. Kérdés. P (1,, ), v = (, 1, 4). 1.1.1. Megoldás. p = p 0

Részletesebben

JEGYZET Geometria 2., tanárszak

JEGYZET Geometria 2., tanárszak JEGYZET Geometria 2., tanárszak Hálás köszönet a segítségért Marosi Pollának, Kiss Györgynek, Lakos Gyulának, Tóth Árpádnak, Wintsche Gergőnek. Felhasznált fogalmak Felhasználjuk a valós vektortér és mátrix

Részletesebben

Egyenesek MATEMATIKA 11. évfolyam középszint

Egyenesek MATEMATIKA 11. évfolyam középszint TÁMOP-3.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Egyenesek MATEMATIKA 11. évfolyam középszint Készítette: Nagy András Vasvár, 2010.

Részletesebben

Transzformációk síkon, térben

Transzformációk síkon, térben Transzformációk síkon, térben Leképezés, transzformáció Leképezés: Ha egy A ponttér pontjaihoz egy másik B ponttér pontjait kölcsönösen egyértelműen rendeljük hozzá, akkor ezt a hozzárendelést leképezésnek

Részletesebben

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY Koszinusztétel Tétel: Bármely háromszögben az egyik oldal négyzetét megkapjuk, ha a másik két oldal négyzetének összegéből kivonjuk e két oldal és az általuk közbezárt szög koszinuszának kétszeres szorzatát.

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

Az axonometrikus ábrázolás analitikus geometriai egyenleteinek másfajta levezetése. Bevezetés

Az axonometrikus ábrázolás analitikus geometriai egyenleteinek másfajta levezetése. Bevezetés 1 Az axonometrikus ábrázolás analitikus geometriai egyenleteinek másfajta levezetése Bevezetés Több korábbi dolgozatunkban is foglalkoztunk hasonló dolgokkal, vagyis az axonometri - kus ábrázolás alapfeladatának

Részletesebben

Vektoralgebra. 1.) Mekkora a pillanatnyi sebesség 3 s elteltével, ha a kezdősebesség (15;9;7) m/s, a gravitációs gyorsulás pedig (0;0;-10) m/s 2?

Vektoralgebra. 1.) Mekkora a pillanatnyi sebesség 3 s elteltével, ha a kezdősebesség (15;9;7) m/s, a gravitációs gyorsulás pedig (0;0;-10) m/s 2? Vektoralgebra Elmélet: http://digitus.itk.ppke.hu/~b_novak/dmat/vektorfolcop.pdf Mikor érdemes más, nem ortonormált bázist alkalmazni? Fizikában a ferde hajításoknál megéri úgynevezett ferdeszögű koordináta-rendszert

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 008-009. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára. Határozzuk meg az alábbi egyenletrendszer valós megoldásait. ( x

Részletesebben

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns

Részletesebben

Abszolútértékes egyenlôtlenségek

Abszolútértékes egyenlôtlenségek Abszolútértékes egyenlôtlenségek 575. a) $, $ ; b) < - vagy $, # - vagy > 4. 5 576. a) =, =- 6, 5 =, =-, 7 =, 4 = 5; b) nincs megoldás;! c), = - ; d) =-. Abszolútértékes egyenlôtlenségek 577. a) - # #,

Részletesebben

8. előadás. Kúpszeletek

8. előadás. Kúpszeletek 8. előadás Kúpszeletek Kör A k kört egyértelműen meghatározza C(a,b) középpontja és r sugara. A P pont pontosan akkor van k-n, ha CP=r. Vektoregyenlet: p-c = r. Koordinátás egyenlet: (X-a)2 + (Y-b)2 =

Részletesebben

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24 OKTATÁSI MINISZTÉRIUM M/D/13 Dolgozók gimnáziuma Dolgozók szakközépiskolája Szakmunkások szakközépiskolája intenzív tagozat) 003. május ) Határozza meg a következő egyenlet racionális gyökét! 1 3 4 + 5

Részletesebben

V. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 11. évfolyam

V. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 11. évfolyam 01/01 1. Ha egy kétjegyű szám számjegyeit felcseréljük, akkor a kapott kétjegyű szám értéke az eredeti szám értékénél 108 %-kal nagyobb. Melyik ez a kétjegyű szám? Jelölje a kétjegyű számot xy. 08 A feltételnek

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Kovács Zoltán Copyright c 2012 Last Revision Date: 2012. október 15. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát

Részletesebben

2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer

2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer . gyakorlat A polárkoordináta-rendszer Az 1. gyakorlaton megismerkedtünk a descartesi koordináta-rendszerrel. Síkvektorokat gyakran kényelmes ún. polárkoordinátákkal megadni: az r hosszúsággal és a φ irányszöggel

Részletesebben

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Koordinátageometria ) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrzek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

1. Szabadvektorok és analitikus geometria

1. Szabadvektorok és analitikus geometria 1. Szabadvektorok és analitikus geometria Ebben a fejezetben megismerkedünk a szabadvektorok fogalmával, amely a középiskolai vektorfogalom pontosítása. Előzetes ismeretként feltételezzük az euklideszi

Részletesebben

Szélsőérték feladatok megoldása

Szélsőérték feladatok megoldása Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36 Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 16 XVI A DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS ALkALmAZÁSAI 1 Érintő ÉS NORmÁLIS EGYENES, L HOSPITAL-SZAbÁLY Az görbe abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenlete (1), normálisának egyenlete

Részletesebben

A vektor fogalma (egyszer

A vektor fogalma (egyszer Vektorműveletek a koordináta-rendszerben Vektorműveletek a koordináta-rendszerben Elméleti anyag: A vektor fogalma (egyszerű meghatározás): az irányított szakaszokat nevezzük vektoroknak. Egy vektornak

Részletesebben

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak 1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ

Részletesebben

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III. Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:

Részletesebben

1. A komplex számok definíciója

1. A komplex számok definíciója 1. A komplex számok definíciója A számkör bővítése Tétel Nincs olyan n természetes szám, melyre n + 3 = 1. Bizonyítás Ha n természetes szám, akkor n+3 3. Ezért bevezettük a negatív számokat, közöttük van

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket

Részletesebben

3. Fuzzy aritmetika. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI

3. Fuzzy aritmetika. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI 3. Fuzzy aritmetika Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Intervallum-aritmetika 2 Fuzzy intervallumok és fuzzy számok Fuzzy intervallumok LR fuzzy intervallumok

Részletesebben

Regresszió számítás. Tartalomjegyzék: GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program

Regresszió számítás. Tartalomjegyzék: GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program Regresszió számítás GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program DigiKom Kft. 2006-2010 Tartalomjegyzék: Egyenes x változik Egyenes y változik Egyenes y és x változik Kör Sík z változik Sík y, x és z

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny 2003. április 14. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. feladat Egy számtani sorozatot az első eleme és különbsége egyértelműen meghatározza, azt

Részletesebben

Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül!

Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül! Laczkó László Készült a Fazekas ihály Oktatási Kulturális és Sport lapítvány támogatásával z árák elektronikus változatát Véges árton (009c) diák készítette feladat z hegyesszögű háromszög -nél levő szöge.

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 14 XIV NEVEZETES GÖRbÉk 1 AZ EGYEnES EGYEnLETE A és pontokon átmenő egyenes egyenlete: (1), Az hányados neve iránytényező (iránytangens, meredekség) A ponton átmenő, m iránytangensű

Részletesebben

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel

Részletesebben

Hármas integrál Szabó Krisztina menedzser hallgató. A hármas és háromszoros integrál

Hármas integrál Szabó Krisztina menedzser hallgató. A hármas és háromszoros integrál Hármas integrál Szabó Krisztina menedzser hallgató A hármas és háromszoros integrál Definició A fizikai meggondolások előzményeként jutunk el a hármas integrál következő értelmezéséhez. Legyen értelmezve

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2) 2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 8 3.1. Elsőfokú egyenletek... 8 3.2. Valós szám abszolút értéke...

Tartalomjegyzék. 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 8 3.1. Elsőfokú egyenletek... 8 3.2. Valós szám abszolút értéke... Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 2. Függvények... 5 2.1. A függvény

Részletesebben

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1 Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1 Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,

Részletesebben

3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat

3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat 3. előadás Elemi geometria Terület, térfogat Tetraéder Négy, nem egy síkban lévő pont által meghatározott test. 4 csúcs, 6 él, 4 lap Tetraéder Minden tetraédernek egyértelműen létezik körülírt- és beírt

Részletesebben

2. tétel Egész számok - Műveletek egész számokkal. feleletvázlat

2. tétel Egész számok - Műveletek egész számokkal. feleletvázlat 1. tétel Természetes számok tízes számrendszer műveletek és tulajdonságaik Természetes számok, jele, jelölések, ábrázolása számegyenesen műveletek a természetes számok halmazán belül Tízes számrendszer

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak

Részletesebben

Függvény fogalma, jelölések 15

Függvény fogalma, jelölések 15 DOLGO[Z]ZATOK 9.. 1. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) Az egész számokhoz hozzárendeljük

Részletesebben

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

1. Bevezetés. 2. Felületek megadása térben. A fenti kúp egy z tengellyel rendelkező. ismerhető fel, hogy. 1. definíció. Legyen D R n.

1. Bevezetés. 2. Felületek megadása térben. A fenti kúp egy z tengellyel rendelkező. ismerhető fel, hogy. 1. definíció. Legyen D R n. 1. Többváltozós függvények 1. Bevezetés Ennek a fejezetnek a célja a kétváltozós függvények vizsgálata, ami során a 3-dimenziós felületeket szeretnénénk megérteni. 1. definíció. Legyen D R n. Ekkor az

Részletesebben