Tartalom. Tartalom. Raycasting. Hajder Levente 2017/2018. II. félév. Raycasting. Raycasting. Sugár és háromszög metszéspontja
|
|
- Krisztián Kovács
- 4 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Hajder Levente Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2017/2018. II. félév Albrecht Dürer, 1525
2 Tekintsünk minden pixelre úgy, mint egy kis ablakra a világra Milyen színértéket vegyen fel ez a pixel? Nézzük meg, mi látszik onnan a világból és az alapján rendeljünk hozzá a pixelhez egy színt! 1 2
3 Sugár Minden pixelre: Indítsunk egy sugarat a színtérbe Minden objektumra a színtérben: Nézzük meg, hogy metszi-e a sugár az objektumot A legközelebbi metszett objektum színével színezzük ki a pixelt A sugárnak van egy p 0 kiindulási pontja és egy v iránya A parametrikus sugár: ahol t > 0 (félegyenes!). p(t) = p 0 + tv, t = 0?, t < 0? sugár kezdőpontja, sugár mögötti részek Sugár Kérdés Honnan indítsuk a sugarat? Milyen irányba küldjük a sugarat? Hogyan metszük el a sugarat akármivel?
4 1 2 A szempozicióból indítunk sugarakat minden pixel középpontján keresztül Most: középpontosan szeretnénk vetíteni egy szembe, a vetítési sík egy négyszögletes részét megfeleltetve a képernyőnek Szem/kamera tulajdonságok: szempozició (eye), egy pont amire néz (center), felfele irányt megadó vektor a világban (up), nyílásszög, amekkora szögtartományt lát (fovx, fovy). (vetítővászon mérete. Most legyen adott: 2 tan ( fovx 2 ) 2 tan ( fovy 2 ) nagyságú ) Ezek segítségvel fogjuk megadni az (i, j) pixel világbeli koordinátáit Keressük a kamera saját u, v, w (jobbkezes!) koordinátarendszerét! Nézzen a kamera Z irányba! w = eye center eye center Az X tengely legyen merőleges mind w-re, mind az up irányra! u = up w up w Az Y tengely merőleges u-ra és w-re is: v = w u
5 (i, j) pixel koordinátái A sugár egyenlete Legyen p az i, j pixel középpontja, a vetítősík egységnyi távolságra a nézőponttól! Ekkor p(i, j) = eye + (αu + βv w). Ahol ( fovx α = tan 2 ( ) fovy β = tan 2 ) i width/2 width/2, height/2 j. hight/2 A sugár egy félegyenes, amit kezdőpontjával és irányvektorával adhatunk meg. Legyen p 0 a sugár kezdőpontja, v pedig az irányvektora, ekkor p(t) = p 0 + tv, t 0 megadja a sugár összes pontját. Most a sugarak kezdőpontját az előbbieknek megfelelően számoljuk, azaz p 0 = p(i, j) A sugár irányvektora pedig v = p(i,j) eye p(i,j) eye 1 A sugárkövető programok futásidejük döntő részében metszéseket fognak végezni Nézzük meg néhány egyszerű geometriai elemmel vett metszetét a sugárnak A sugarunk mindig a fent is látott p(t) = p 0 + tv alakú, ahol feltesszük a továbbiakban, hogy v = 1 2
6 : parametrikus sugár-implicit felület Legyen adva egy f (x) = 0 implicit egyenlet, ami meghatározza a metszeni kívánt felületünket (x R 3 ) A sugarunk egyenlete t [0, )-re meghatároz egy pontot a térben tegyük be ezt a képletet az implicit egyenletbe! Tehát a következő egyenletet kell megoldanunk t-re: f (p(t)) = 0 A kapott t-től függően a következő esetek állhatnak fenn: Ha t > 0, akkor a sugarunk előtt van a felület és metszi Ha t = 0 a sugár a felületről indul Ha t < 0, akkor a sugár mögött van a felület és metszi a sugár egyenese a felületet (de nekünk t > 0 kell!) : parametrikus sugár-parametrikus felület Legyen adva egy r(u, v) = [r x (u, v), r y (u, v), r z (u, v)] T parametrikus felület Kell: találni egy olyan t sugárparamétert, amihez létezik (u, v), hogy r(t) = r(u, v) Ez három ismeretlenes (t, u, v), három egyenletes (x, y, z koordinátánként egy) egyenletrendszer A t ugyanúgy ellenőrizendő, mint előbb, de most az (u, v)-re is figyeljünk, hogy a felületünk paramétertartományának megengedett részén van-e (általában (u, v) [0, 1] 2 kell)! 1 2 Egyenes és implicit sík metszéspontja Síkot megadhatunk implicit alakban: Ax + By + Cz + D = 0 A x 0 x p(t) = p 0 + tv = y 0 + t y z 0 z sugár egyenese metszi a síkot, ha A(x 0 + tx) + B(y 0 + ty) + C(z 0 + tz) + D = 0
7 Egyenes és implicit sík metszéspontja Egyenes és normálvektoros sík metszéspontja Ezt t-re átrendezve adódik t(ax + By + Cz) + x 0 + y 0 + z 0 + D = 0 t = x 0 + y 0 + z 0 + D Ax + By + Cz Látható a sík a nézőpontunkból, ha t > 0 Legyen q 0 a sík egy pontja, n a normálvektora, Legyen p 0 ez egyenes egy pontja, v az irányvektora. Az egyenes egyenlete: p(t) = p 0 + tv A sík egyenlete: n, q q 0 = 0 - minden q pontja a síknak kielégíti ezt az egyenletet Egyenes és normálvektoros sík metszéspontja Behelyettesítve p(t)-t a q helyére: n, p 0 + tv q 0 = 0, n, p 0 + t n, v n, q 0 = 0, t = n, q 0 n, p 0 n, v = n, q 0 p 0, n, v ha n, v 0. A sugár metszi a síkot, ha: t > 0. Ha n, v = 0, akkor az egyenes párhuzamos a síkkal, és így vagy nincs metszéspontjuk, vagy az egyenes a síkon fut Egyenes és parametrikus sík metszéspontja Síkot megadhatunk egy q pontjával és i, j kifeszítő vektorokkal is: s(u, v) = q + ui + vj Metszéspont a p(t) = p 0 + tv sugár egyenesével: keressük t és u, v-t úgy, hogy Beírva a képleteket adódik Átrendezve kapjuk, hogy p(t) = s(u, v) p 0 + tv = q + ui + vj p 0 q = tv + ui + vj
8 Egyenes és parametrikus sík metszéspontja Ez három ismeretlenes, három lineáris egyenletből álló egyenletrendszer, ami megoldható, ha v, i, j lineárisan nem összefüggő Mátrix alakban: p 0x q x v x i x j x t p 0y q y = v y i y j y u p 0z q z v z i z j z v Látjuk a síkot, ha t > 0 (most u, v R a felület paramétertartománya, ez teljesülni fog) 1 2 Háromszög megadása Háromszög és egyenes metszéspontja Egyértelműen megadható három csúcsával. Ha a, b, c a háromszög csúcsai, akkor a hozzátartozó sík pont-normálvektoros implicit megadásához a sík egy pontja a, b, c bármelyike normálvektora n = (c a) (b a) (c a) (b a), ahol a vektoriális szorzást jelöli, és ekkor n egységnyi hosszúságú. Először számítsuk ki az egyenes és a háromszög síkjának metszéspontját, ez legyen p (már ha létezik). Legyenek λ 1, λ 2, λ 3 a p pont háromszögön belüli baricentrikus koordinátái, úgy hogy p = λ 1 a + λ 2 b + λ 3 c p Akkor, és csak akkor van a -ön belül, ha 0 λ 1, λ 2, λ 3 1.
9 Pont a háromszögön vizsgálat Tudjuk, hogy p = [x, y, z] T = λ 1 a + λ 2 b + λ 3 c. Ekkor x =λ 1 a x + λ 2 b x + λ 3 c x y =λ 1 a y + λ 2 b y + λ 3 c y z =λ 1 a z + λ 2 b z + λ 3 c z, ill. λ 1 + λ 2 + λ 3 = 1 λ 3 = 1 λ 1 λ 2 Pont a háromszögön vizsgálat Tudjuk, hogy p = [x, y, z] T = λ 1 a + λ 2 b + λ 3 c. Ekkor x =λ 1 a x + λ 2 b x + λ 3 c x y =λ 1 a y + λ 2 b y + λ 3 c y z =λ 1 a z + λ 2 b z + λ 3 c z, ill. λ 1 + λ 2 + λ 3 = 1 λ 3 = 1 λ 1 λ 2 A gyorsabb számolásért vegyük a fentinek egy síkra vett vetületét Pont a háromszögön vizsgálat Tudjuk, hogy p = [x, y, z] T = λ 1 a + λ 2 b + λ 3 c. Ekkor x =λ 1 a x + λ 2 b x + λ 3 c x y =λ 1 a y + λ 2 b y + λ 3 c y z =λ 1 a z + λ 2 b z + λ 3 c z, ill. λ 1 + λ 2 + λ 3 = 1 λ 3 = 1 λ 1 λ 2 A gyorsabb számolásért vegyük a fentinek egy síkra vett vetületét A koordinátasíkok közül (XY, XZ vagy YZ) arra vegyük a háromszög 2D vetületét, amelyre a háromszög vetületének területe a legnagyobb! a háromszög és a sík normálisa leginkább egyállású Pont a háromszögön vizsgálat Tudjuk, hogy p = [x, y, z] T = λ 1 a + λ 2 b + λ 3 c. Ekkor x =λ 1 a x + λ 2 b x + λ 3 c x y =λ 1 a y + λ 2 b y + λ 3 c y z =λ 1 a z + λ 2 b z + λ 3 c z, ill. λ 1 + λ 2 + λ 3 = 1 λ 3 = 1 λ 1 λ 2 A gyorsabb számolásért vegyük a fentinek egy síkra vett vetületét A koordinátasíkok közül (XY, XZ vagy YZ) arra vegyük a háromszög 2D vetületét, amelyre a háromszög vetületének területe a legnagyobb! a háromszög és a sík normálisa leginkább egyállású A vetülethez egyszerűen elhagyjuk z, y vagy x egyenletét, megfelelően.
10 Pont a háromszögön vizsgálat Azt tengely kell választani, amelyik mentén a legnagyobb a háromszög normálvektorának abszolút értéke. (Így biztos nem fordulhat elő, hogy a háromszög merőleges a síkra, és csak egy szakasz marad belőle!) Pont a háromszögön vizsgálat Pl. legyen a z a választott tengely. Ekkor x =λ 1 a x + λ 2 b x + λ 3 c x y =λ 1 a y + λ 2 b y + λ 3 c y Pont a háromszögön vizsgálat Pont a háromszögön vizsgálat Pl. legyen a z a választott tengely. Ekkor x =λ 1 a x + λ 2 b x + λ 3 c x y =λ 1 a y + λ 2 b y + λ 3 c y Behelyettesítve λ 3 = 1 λ 1 λ 2 -t, és rendezve: Rendezve λ 1, λ 2 -re kapjuk: λ 1 = (b y c y )(x c x ) (b x c x )(y c y ) (a x c x )(b y c y ) (b x c x )(a y c y ) λ 2 = (a y c y )(x c x ) (a x c x )(y c y ) (a x c x )(b y c y ) (b x c x )(a y c y ) x =λ 1 (a x c x ) + λ 2 (b x c x ) + c x y =λ 1 (a y c y ) + λ 2 (b y c y ) + c y
11 Pont a háromszögön vizsgálat Pont a háromszögön vizsgálat Rendezve λ 1, λ 2 -re kapjuk: λ 1 = (b y c y )(x c x ) (b x c x )(y c y ) (a x c x )(b y c y ) (b x c x )(a y c y ) λ 2 = (a y c y )(x c x ) (a x c x )(y c y ) (a x c x )(b y c y ) (b x c x )(a y c y ) A nevező csak degenerált háromszög esetén lehet nulla. Rendezve λ 1, λ 2 -re kapjuk: λ 1 = (b y c y )(x c x ) (b x c x )(y c y ) (a x c x )(b y c y ) (b x c x )(a y c y ) λ 2 = (a y c y )(x c x ) (a x c x )(y c y ) (a x c x )(b y c y ) (b x c x )(a y c y ) A nevező csak degenerált háromszög esetén lehet nulla. p akkor és csak akkor van a háromszögön belül, ha 0 λ 1, λ 2, λ 3 1. Sugár metszése poligonnal 1 Tegyük fel, hogy a poligonunk csúcsai egy síkban vannak, ekkor a metszés két lépésben A sugarunkat metszük el a poligon síkjával Döntsük el, hogy a metszéspont a poligonon belül van-e A másodikat egy síkban érdemes csinálni (vagy a poligon síkjában, vagy a poligon valamely koordinátatengelyre vett vetületének síkjában) 2
12 Sugár metszése poligonnal Pont-poligon tartalmazás teszt síkban A pont a poligonon belül van, ha tetszőleges irányú, belőle indított sugárnak páratlan számú metszéspontja van a poligon oldalaival (azaz a sugarat a poligon összes oldalszakaszával el kell metszeni) Konkáv és csillag alagú poligonra is működik Sugár metszése szakasszal Sugár metszése szakasszal A poligon d i = (x i, y i ), d i+1 = (x i+1, y i+1 ) csúcspontjai közötti szakasz parametrikus alakja: d i,i+1 (s) = (1 s)d i + sd i+1 = d i + s(d i+1 d i ), s [0, 1] Ezt kell metszeni a p(t) = p 0 + tv alakú sugárral Most: a p 0 = (x 0, y 0 ) pont az a pont, amiről el akarjuk dönteni, hogy a poligonon belül van-e, d tetszőleges Legyen v = (1, 0)! Így a p(t) = d i,i+1 (s) egyenletet csak y koordinátára kell megoldani Keressük meg, hogy hol metszi a d i,i+1 (s) oldal egyenese a sugarat (=melyik s-re lesz d i,i+1 (s) y = y 0?) Azaz y 0 = y i + s(y i+1 y i ) s-t kifejezve: s = y 0 y i y i+1 y i Innen megkapjuk azt az x koordinátát d i,i+1 (s)-be behelyettesítve, ahol a sugár metszi a szakaszt. Ha s / [0, 1] : a sugár nem metszi a szakaszt (csak az egyenesét) Ha t 0: a sugár egybeesik a szakasszal, vagy mögötte van a metszéspont
13 A gömb egyenlete 1 2 Az r sugarú, c = (c x, c y, c z ) középpontú gömb implicit egyenlete: (x c x ) 2 + (y c y ) 2 + (z c z ) 2 r 2 = 0 Ugyanez skalárszorzattal feĺırva: ahol p = (x, y, z). p c, p c r 2 = 0, Gömb és egyenes metszéspontja Legyen p 0 ez egyenes egy pontja, v az irányvektora. Ekkor az egyenes egyenlete: p(t) = p 0 + tv Behelyettesítve a gömb egyenletébe, kapjuk: p 0 + tv c, p 0 + tv c r 2 = 0 Kifejtve: t 2 v, v + 2t v, p 0 c + p 0 c, p 0 c r 2 = 0 t 2 v, v + 2t v, p 0 c + p 0 c, p 0 c r 2 = 0 Ez másodfokú egyenlet t-re (minden más ismert). Legyen D = (2 v, p 0 c ) 2 4 v, v ( p 0 c, p 0 c r 2 ) Ha D > 0: két megoldás van, az egyenes metszi a gömböt. Ha D = 0: egy megoldás van, az egyenes érinti a gömböt. Ha D < 0: nincs valós megoldás, az egyenes nem metszi a gömböt.
14 Sugár metszése AAB-vel 1 AAB = axis aligned box, olyan téglatest, aminek az oldallapjai a koordinátasíkjainkkal párhuzamosak Legyen a sugarunk p(t) = p 0 + tv alakú, ahol p 0 = (x 0, y 0 ), v = (v x, v y )a téglatestet pedig adjuk meg átlójának két pontjával, a és b segítségével (a < b)! Tegyük fel, hogy a sugár kiindulópontja a doboztól balra helyezkedik el (ezt megtehetjük) 2 Sugár metszése AAB-vel Ha v x = 0: vízszintes a sugarunk, nincs metszéspont, ha x 0 / [a x, b x ], különben triviális eldönteni. Ha v x 0, akkor a két paraméter (négyzet bal és jobb oldala): t 1 := ax x 0 v x, t 2 := bx x 0 v x y és z koordinátákra hasonlóan el kell végezni a számítást. Ezek alapján megállapítható, hogy melyik két lapját a téglatestnek hol metszi a sugár. 1 2
15 Legyen M egy adott objektum transzformációs mátrixa. Feladat: Keressük r sugár és az M-mel transzformált objektum metszéspontját! Probléma: Hogyan transzformálunk egy gömböt? Pontonként? Képletet írjuk át?... Megoldás: Transzformáljuk inkább a sugarat! Tétel Az r sugár és az M-mel transzformált objektum metszéspontja az M 1 -zel transzformált r sugár és az objektum metszéspontja. M R 4 4, homogén transzformáció Sugár kezdőpontja: p 0 = (p x, p y, p z ) [p x, p y, p z, 1] Sugár iránya: v = (v x, v y, v z ) [v x, v y, v z, 0]. Így nem hat rá az eltolás. Transzformált sugár r (t) : M 1 p + t M 1 v Metszésvizsgálat: használjuk r (t)-t! Metszéspont: q, akkor az eredeti térben M q.
16 Rekurzı v suga rko vete s Rekurzı v suga rko vete s Egyszeru sı tett illumina cio s egyenlet Minden pixelre egyma sto l fu ggetlenu l hata rozzuk meg azok szı ne t oldjuk meg az a rnyala si e s takara si feladatot. A fe ny u tja t ke t fe le komponensre bontjuk: koherens e s inkoherens komponensre Koherens eset Az optika nak megfelelo idea lis visszavero de s ( tu kro zo de s ) e s to re s Tova bb ko vetju k a fe ny u tja t Inkoherens eset Minden egye b Csak az absztrakt fe nyforra s direkt megvila gı ta sa t vesszu k figyelembe Turner Whitted, 1980 Sza mı to ge pes Grafika Rekurzı v suga rko vete s Sza mı to ge pes Grafika Rekurzı v suga rko vete s Koherens komponens Inkoherens komponens Sza mı to ge pes Grafika Sza mı to ge pes Grafika
17 Egyszerűsített illuminációs egyenlet A következő, egyszerűsített megvilágítási egyenletet oldjuk meg: L(x, ω) = L e (x, ω) + k a L a + f r (x, ω l, ω)l i (x, ω l )( ω l n) l Lights + k r L(x, ω r ) + k t L(x, ω t ) Sugárkövetés Emisszió L(x, ω) = L e (x, ω) + k a L a + l Lights f r (x, ω l, ω)l i (x, ω l )( ω l n) + k r L(x, ω r ) + k t L(x, ω t ) A szempozicóból sugarakat indítunk minden pixel középpontján keresztül. Ennek a sugárnak az irányát adja meg ω-t (minusz omega!). A sugár és a színtér objetumainak szemhez legközelebbi metszéspontja adja meg x-et. L(x, ω) = L e (x, ω) + k a L a + l Lights f r (x, ω l, ω)l i (x, ω l )( ω l n) + k r L(x, ω r ) + k t L(x, ω t ) Az x felületi pontból, az ω nézeti irányból érkező radiancia, a felület saját sugárzása emissziója miatt.
18 Ambiens fény Fényforrások L(x, ω) = L e (x, ω) + k a L a + l Lights f r (x, ω l, ω)l i (x, ω l )( ω l n) + k r L(x, ω r ) + k t L(x, ω t ) k a a felület, L a a környezet ambiens együtthatója. Az egyenlet ambiens tagja közeĺıti azt a fénymennyiséget, ami általánosan jelen van, minden felületet ér, azok helyzetétől és az absztrakt fényforrásoktól függetlenül. L(x, ω) = L e (x, ω) + k a L a + f r (x, ω l, ω)l i (x, ω l )( ω l n) l Lights + k r L(x, ω r ) + k t L(x, ω t ) Az inkoherens visszarődéseket foglalja össze a szummás tag Csak a fényforrások direkt hatását vesszük figyelembe És csak akkor, ha az az x felületi pontból látszik Fényforrások Fényforrások L(x, ω) = L e (x, ω) + k a L a + f r (x, ω l, ω)l i (x, ω l )( ω l n) l Lights + k r L(x, ω r ) + k t L(x, ω t ) L(x, ω) = L e (x, ω) + k a L a + f r (x, ω l, ω)l i (x, ω l )( ω l n) l Lights + k r L(x, ω r ) + k t L(x, ω t ) ω l a fényforrásból a felületi pontba mutató egységvektor. f r (x, ω l, ω) most csak a diffúz és spekuláris visszaverődést jellemző BRDF. ω l n a felületi normális és a fényforrás fele mutató vektor által bezárt szög koszinusza. Ha az l fényforrás teljesítménye Φ l és poziciója x l akkor L i (x, ω l ) = v(x, x l ) Φ l x x l 2. v(x, x l ) [0, 1] függvény: Mi van a felületi pont és a fényforrás között?
19 Fényforrások Tükröződés L(x, ω) = L e (x, ω) + k a L a + v(x, x l ) [0, 1] függvény l Lights = 0, ha a fényforrás nem látható x-ből, = 1, ha igen, f r (x, ω l, ω)l i (x, ω l )( ω l n) + k r L(x, ω r ) + k t L(x, ω t ) (0, 1), ha átlátszó objektumok vannak a kettő között. v kiszámításához úgynevezett árnyéksugarat indítunk x-ből x l -fele, és az objektumokkal való metszését nézzük. L(x, ω) = L e (x, ω) + k a L a + f r (x, ω l, ω)l i (x, ω l )( ω l n) l Lights + k r L(x, ω r ) + k t L(x, ω t ) A tükörirányból érkező fényt k r arányban vesszük figyelembe. ω r az ideális tüköriránynak megfelelő beeső vektor. L(x, ω r ) kiszámítása azonos L(x, ω) kiszámításával (rekurzió!). Új sugár: szempozíció helyett x, és a sugár iránya ω r. Fénytörés L(x, ω) = L e (x, ω) + k a L a + f r (x, ω l, ω)l i (x, ω l )( ω l n) l Lights + k r L(x, ω r ) + k t L(x, ω t ) A törési-irányból érkező fényt k t arányban vesszük figyelembe. ω t a törésiránynak megfelelő beeső vektor. L(x, ω t ) kiszámítása megint azonos L(x, ω) kiszámításával (rekurzió!). Új sugár: szempozició helyett x, és a sugár iránya ω t.
20
Hajder Levente 2017/2018. II. félév
Hajder Levente hajder@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2017/2018. II. félév Tartalom 1 Sugár és sík metszéspontja Sugár és háromszög metszéspontja Sugár és poligon metszéspontja
RészletesebbenHajder Levente 2018/2019. II. félév
Hajder Levente hajder@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2018/2019. II. félév Tartalom 1 2 3 4 5 Albrecht Dürer, 1525 Motiváció Tekintsünk minden pixelre úgy, mint egy kis ablakra
RészletesebbenHajder Levente 2014/2015. tavaszi félév
Hajder Levente hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom 1 2 3 4 5 Albrecht Dürer, 1525 Motiváció Tekintsünk minden pixelre úgy, mint
RészletesebbenKlár Gergely Informatikai Kar. 2010/2011. tavaszi félév
Számítógépes Grafika Klár Gergely tremere@elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2010/2011. tavaszi félév Tartalom I Sugárkövetés 1 Sugárkövetés 2 3 Tartalom Sugárkövetés Sugarak indítása
RészletesebbenTartalom. Megjegyzések. Valasek Gábor Befoglaló keretek. Felosztások. Informatikai Kar
Tartalom Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2015/2016. őszi félév Rekurzív sugárkövetés Megjegyzések Sugárkövetés gyorsítása Befoglaló
RészletesebbenKlár Gergely 2010/2011. tavaszi félév
Számítógépes Grafika Klár Gergely tremere@elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2010/2011. tavaszi félév Tartalom Pont 1 Pont 2 3 4 5 Tartalom Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták
Részletesebbenx = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben?
. Mi az (x, y) koordinátákkal megadott pont elforgatás uténi két koordinátája, ha α szöggel forgatunk az origó körül? x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs
RészletesebbenSzámítógépes Grafika mintafeladatok
Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk
RészletesebbenSzámítógépes Grafika mintafeladatok
Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk
Részletesebben= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1
Egyenes és sík a térben Elméleti áttekintés Az egyenes paraméteres egyenlete: X = u 1 λ + x 0 Y = u λ + y 0, Z = u λ + z 0 ahol a λ egy valós paraméter Az u = (u 1, u, u ) az egyenes irányvektora és P
RészletesebbenAz egyenes és a sík analitikus geometriája
Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes a kétdimenziós koordinátarendszerben A kétdimenziós koordinátarendszerben az egyenest egy n(a, B) normálvektorával és egy r 0 helyvektorú P(x 0,y 0
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális
RészletesebbenVektorok és koordinátageometria
Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,
Részletesebben10. Koordinátageometria
I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember
Részletesebben2014/2015. tavaszi félév
Hajder L. és Valasek G. hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom Geometria modellezés 1 Geometria modellezés 2 Geometria modellezés
RészletesebbenNagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.
Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenI. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor:
I. Vektorok 1. Vektorok összege Általánosan: Az ábra alapján Adott: a(4; 1) és b(; 3) a + b (4 + ; 1 + 3) = (6; ) a(a 1 ; a ) és b(b 1 ; b ) a + b(a 1 + b 1 ; a + b ). Vektorok különbsége Általánosan:
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (középszint)
Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenKoordinátageometria Megoldások
005-0XX Középszint Koordinátageometria Megoldások 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 + 4 + 1 3 F ; = F ;1 ) Egy kör sugarának
RészletesebbenVEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)]
Bodó Beáta 1 VEKTOROK 1. B Legyen a( ; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(0; 10; 0)] (b) c + b 7a [(18; 15; 29)] (c) 2d c + b [ (5; ; ) = 6, 56] (d) 4a + 8b 7c [ ( 49; 44; 5) =
RészletesebbenAnalitikus térgeometria
Analitikus térgeometria Wettl Ferenc el adása alapján 2015.09.21. Wettl Ferenc el adása alapján Analitikus térgeometria 2015.09.21. 1 / 23 Tartalom 1 Egyenes és sík egyenlete Egyenes Sík 2 Alakzatok közös
RészletesebbenHelyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben
Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben. Rajzold meg az alábbi helyvektorokat a derékszögű koordináta-rendszerben, majd számítsd ki a hosszúságukat! a) (4 ) b) ( 5 ) c) ( 6 ) d) (4 )
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatgyűjtemény
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két csúcs
RészletesebbenVektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,
Részletesebben9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;
Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;
RészletesebbenKoordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1
Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Koordinátageometria M veletek vektorokkal grakusan 1. Az ABCD négyzet oldalvektorai közül a = AB és b = BC. Adja meg az AC és BD vektorokat a
RészletesebbenKoordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok )
Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok./ Határozd meg az AB szakasznak azt a pontját, amely a szakaszt : ha A ( ; és a B ( ; 8!./ Adott az A ( 3 ; 5 és a ( ; 6 B pont. Számítsd ki az AB vektor
RészletesebbenHajder Levente 2017/2018. II. félév
Hajder Levente hajder@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2017/2018. II. félév Tartalom 1 A fény elektromágneses hullám Az anyagokat olyan színűnek látjuk, amilyen színű fényt visszavernek
RészletesebbenTartalom. Tartalom. Anyagok Fényforrás modellek. Hajder Levente Fényvisszaverési modellek. Színmodellek. 2017/2018. II.
Hajder Levente hajder@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2017/2018. II. félév 1 A fény elektromágneses hullám Az anyagokat olyan színűnek látjuk, amilyen színű fényt visszavernek
RészletesebbenEgyenes és sík. Wettl Ferenc szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík szeptember / 15
Egyenes és sík Wettl Ferenc 2006. szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík 2006. szeptember 29. 1 / 15 Tartalom 1 Egyenes és szakasz Egyenes Szakasz Egyenesvonalú egyenletes mozgás Egyenes és pont
Részletesebbenegyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0.
Magyar Ifjúság. X. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK A trigonometrikus egyenletrendszerek megoldása során kísérletezhetünk új változók bevezetésével, azonosságok alkalmazásával, helyettesítő módszerrel vagy más,
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (emelt szint)
Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik
RészletesebbenKoordináta geometria III.
Koordináta geometria III. TÉTEL: A P (x; y) pont akkor és csak akkor illeszkedik a K (u; v) középpontú r sugarú körre (körvonalra), ha (x u) 2 + (y v) 2 = r 2. Ez az összefüggés a K (u; v) középpontú r
RészletesebbenÉrettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5
Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!
RészletesebbenÉrettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5
Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból
Részletesebben5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11
Bodó Beáta ISMÉTLÉS. ch(6 d.. 4.. 6. 7. 8. 9..... 4.. e (8 d ch (9 + 7 d ( + 4 6 d 7 8 + d sin (4 + d cos sin d 7 ( 6 + 9 4 d INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 7 6 sh(6 + c 8 e(8 + c 9 th(9 + 7 + c 6 ( + 4 7 + c = 7 4
RészletesebbenKoordináta-geometria II.
Koordináta-geometria II. DEFINÍCIÓ: (Alakzat egyenlete) A síkon adott egy derékszögű koordináta rendszer. A síkban levő alakzat egyenlete olyan f (x, y) = 0 egyenlet, amelyet azoknak és csak azoknak a
RészletesebbenMatematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.
Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,
RészletesebbenEgyenes és sík. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Egyenes és sík / 16
Egyenes és sík Wettl Ferenc 2012-09-20 Wettl Ferenc () Egyenes és sík 2012-09-20 1 / 16 Tartalom 1 Egyenes és szakasz Egyenes Szakasz Egyenesvonalú egyenletes mozgás Egyenes és pont távolsága 2 Sík Sík
RészletesebbenTartalom. Descartes-koordináták. Geometriai értelmezés. Pont. Egyenes. Klár Gergely tremere@elte.hu. 2010/2011. tavaszi félév
Tartalom Pont Számítógépes Grafika Klár Gergely tremere@elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar Egyenes Sík Háromszög Gömb 2010/2011. tavaszi félév Descartes-koordináták Geometriai értelmezés
RészletesebbenEgy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása
1 Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása Ehhez tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra Itt az ( u, v, w ) tengelymetszeteivel adott S síkot látjuk, az Oxyz térbeli derékszögű koordináta -
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két
RészletesebbenFüggvények Megoldások
Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény
RészletesebbenLineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport
Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,
RészletesebbenAnalitikus térgeometria
5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T
RészletesebbenLineáris algebra mérnököknek
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Vektorok a 2- és 3-dimenziós tér Kf87 2017-09-05
Részletesebbenλ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0
Vektorok a térben Egy (v 1,v 2,v 3 ) valós számokból álló hármast vektornak nevezzünk a térben (R 3 -ban). Használni fogjuk a v = (v 1,v 2,v 3 ) jelölést. A v 1,v 2,v 3 -at a v vektor komponenseinek nevezzük.
RészletesebbenInfobionika ROBOTIKA. X. Előadás. Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika. Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében
Infobionika ROBOTIKA X. Előadás Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében Tartalom Direkt kinematikai probléma Denavit-Hartenberg konvenció
Részletesebben8. előadás. Kúpszeletek
8. előadás Kúpszeletek Kör A k kört egyértelműen meghatározza C(a,b) középpontja és r sugara. A P pont pontosan akkor van k-n, ha CP=r. Vektoregyenlet: p-c = r. Koordinátás egyenlet: (X-a)2 + (Y-b)2 =
RészletesebbenKOORDINÁTA-GEOMETRIA
XIV. Témakör: feladatok 1 Huszk@ Jenő XIV.TÉMAKÖR Téma A pont koordinátageometriája A kör koordinátageometriája KOORDINÁTA-GEOMETRIA A projekt típus ú feladatok tartalmi szintézise A feladat sorszáma Oldal
RészletesebbenEgyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások
) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja
RészletesebbenSkaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.
1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való
Részletesebben, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD
Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van
RészletesebbenLáthatósági kérdések
Láthatósági kérdések Láthatósági algoritmusok Adott térbeli objektum és adott nézőpont esetén el kell döntenünk, hogy mi látható az adott alakzatból a nézőpontból, vagy irányából nézve. Az algoritmusok
Részletesebben1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)
1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Részletesebben15. Koordinátageometria
I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk
RészletesebbenTranszformációk. Szécsi László
Transzformációk Szécsi László A feladat Adott a 3D modell háromszögek csúcspontjai [modellezési koordináták] Háromszögkitöltő algoritmus pixeleket színez be [viewport koordináták] A feladat: számítsuk
RészletesebbenHajder Levente 2017/2018. II. félév
Hajder Levente hajder@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2017/2018. II. félév Tartalom 1 2 3 Geometriai modellezés feladata A világunkat modellezni kell a térben. Valamilyen koordinátarendszer
RészletesebbenLin.Alg.Zh.1 feladatok
LinAlgZh1 feladatok 01 3d vektorok Adott három vektor ā = (0 2 4) b = (1 1 4) c = (0 2 4) az R 3 Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban 1 Mennyi az ā b skalárszorzat? 2 Mennyi az n = ā b vektoriális
RészletesebbenA kör. A kör egyenlete
A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - y + b) x + y - 6x - 6y + c) x +
RészletesebbenLin.Alg.Zh.1 feladatok
Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat?
RészletesebbenMegoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő
RészletesebbenVektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták
Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták 1. Mik lesznek a P (3, 4, 8) pont C (3, 7, 2) pontra vonatkozó tükörképének a koordinátái? 2. Egy szabályos hatszög középpontja K (4, 1, 4),
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 6 VI TÉRGÖRbÉk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk A térgörbe (1) alakú egyenletével írható le Ez a vektoregyenlet egyenértékű az (2) skaláris egyenletrendszerrel A térgörbe három nevezetes
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenTartalom. Tartalom. Hajder Levente Szakasz raszterizálása. 2017/2018. II. félév. Poligon raszterizáció.
Tartalom Hajder Levente hajder@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2017/2018. II. félév 1 Emlékeztető 2 Vágás 3 Raszterizálás Inkrementális képszintézis Tartalom 1 Emlékeztető Inkrementális
Részletesebben3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2
3... Egyenes szíjhatás esetén milyen hosszú szíj szükséges 50 cmes és 6 cm-es sugarú tárcsák összekapcsolásához, ha a tárcsák tengelyeinek távolsága 335 cm? 3... Csónakkal akarunk a folyó túlsó partjára
Részletesebben1. A Hilbert féle axiómarendszer
{Euklideszi geometria} 1. A Hilbert féle axiómarendszer Az axiómarendszer alapfogalmai: pont, egyenes, sík, illeszkedés (pont egyenesre, pont síkra, egyenes síkra), közte van reláció, egybevágóság (szögeké,
RészletesebbenBudapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar. Vektorok. Fodor János
Budapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar Lineáris algebra 1. témakör Vektorok Fodor János Copyright c Fodor@bmf.hu Last Revision Date: 2006. szeptember 11. Version 1.1 Table of Contents
Részletesebben9. előadás. Térbeli koordinátageometria
9. előadás Térbeli koordinátageometria Koordinátageometria a térben Descartes-féle koordinátarendszerben dolgozunk. A legegyszerűbb alakzatokat fogjuk vizsgálni. Az ezeket leíró egyenletek első-, vagy
Részletesebben5. házi feladat. AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: Az ered transzformáció: mivel az origó xpont, így nincs szükség homogénkoordinátás
5. házi feladat 1.feladat A csúcsok: A = (0, 1, 1) T, B = (0, 1, 1) T, C = (1, 0, 0) T, D = ( 1, 0, 0) T AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: 1 0 0 T AB = 0 1 0, elotlási rész:(i T AB )A = (0, 0, )
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
Részletesebben5. előadás. Skaláris szorzás
5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenKoordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira:
005-0XX Emelt szint Koordinátageometria 1) a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete x + y = 10, egyik csúcsa az origó. Hány ilyen
RészletesebbenExponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek
Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.
RészletesebbenGeometriai példatár 2.
Geometriai példatár 2 Metrikus feladatok Baboss, Csaba, Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Szabó, Gábor, Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Geometriai példatár 2: Metrikus feladatok
Részletesebben= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0;
98 Az egyenes egyenletei. a) A( 0) B(0 6) AB_ - 6i& n( ) x + y = b) x - y =- c) 6x - y = 0 d) 6x + y = e) x + y = f) x + y = a g) x - y = a.. A(a 0) B(0 b) AB_ -a bi n (b a) bx + ay = ab osszuk el a $
RészletesebbenOktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont
Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú
RészletesebbenSíkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg
Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón
RészletesebbenSzámítási feladatok a Számítógépi geometria órához
Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Kovács Zoltán Copyright c 2012 Last Revision Date: 2012. október 15. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát
Részletesebben15. Koordinátageometria
I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +
RészletesebbenTranszformációk. Grafikus játékok fejlesztése Szécsi László 2013.02.26. t05-transform
Transzformációk Grafikus játékok fejlesztése Szécsi László 2013.02.26. t05-transform Koordinátarendszerek: modelltér Koordinátarendszerek: világtér Koordinátarendszerek: kameratér up right z eye ahead
RészletesebbenKlár Gergely
Számítógépes Grafika Klár Gergely tremere@elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2010/2011. őszi félév Tartalom Vágás Szakaszvágás Poligonvágás 1 Vágás Szakaszvágás Poligonvágás 2 Vágás
RészletesebbenA keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = 1. Az adott kör középpontjának koordinátái: K1( 4; 2)
55 A kör 87 8 A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = Az adott kör középpontjának koordinátái: K( ; ) és a sugara r =, az adott pont P(; ) Ekkor KP = és KK = () ( u ) + ( v ) =, () ( u ) +
RészletesebbenSíkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg
Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria
1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1.
Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás). Feladat. Írjuk fel az f() = függvény 0 = pontbeli érintőjének egyenletét! Az érintő egyenlete y
RészletesebbenVIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja
VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag 2019. március 21. Mátrix rangja 1. Számítsuk ki az alábbi mátrixok rangját! (d) 1 1 2 2 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 1 1 2 3 1 3
RészletesebbenGeometria II gyakorlatok
Geometria II gyakorlatok Kovács Zoltán Copyright c 2011 Last Revision Date: 2012. május 8. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát technikával készült, a megjelenés
RészletesebbenTartalom. Tartalom. Hajder Levente 2018/2019. I. félév
Hajder Levente hajder@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2018/2019. I. félév Emlékeztető Múlt órán megismerkedtünk a sugárkövetéssel Előnyei: A színtér benépesítésére minden használható,
Részletesebben