3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge os! α =. 4cos 2

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2"

Átírás

1 3... Egyenes szíjhatás esetén milyen hosszú szíj szükséges 50 cmes és 6 cm-es sugarú tárcsák összekapcsolásához, ha a tárcsák tengelyeinek távolsága 335 cm? 3... Csónakkal akarunk a folyó túlsó partjára jutni. A cél iránya a folyó partjával os szöget alkot víz mentén. Hogy a víz sodra ellenére is egyenesen a célhoz jussunk, a cél irányától egy bizonyos szöggel eltérő irányban kell eveznünk. Mekkora az a szög, ha a csónak sebessége állóvízben 3 m ; a víz sodráé sec m?,8 sec Egy általános háromszög oldalai: x +x+; x+; x -. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 0 0 -os! Bizonyítsuk be: sin sin5 = Bizonyítsuk be: tg 45 0 cos x α =. + sin x Egy háromszög két oldala 0 cm és 5 cm, az általuk közbezárt szög kétszerese a rövidebbik oldallal szemben fekvő szögnek. Mekkorák a háromszög szögei? Egy háromszög oldalai számtani sorozatot alkotnak, amelynek különbsége. A legkisebb szöge fele a legnagyobbnak. Mekkorák a háromszög oldalai és szögei? Irjuk fel azt a másodfokú egyenletet, amelyet cosx elégít ki, ha x a 4cos + cos x = 0 egyenlet gyöke! IV. NAP Geometria - Koordinátageometria Koordinátarendszer - pontok, alakzatok jellemzése (sík, tér)

2 36. A koordináta-rendszer origójából egy négyszög csúcsaihoz vezető vektorok rendre a(; 3), b(3, 8), c(8; 6), d(6; ). Mutassa meg, hogy a négyszög négyzet, és számítsa ki az oldalhosszát! 354. Egy rombusz hosszabbik átlója kétszerese a rövidebbik átlónak. A rövidebbik átló végpontjainak koordinátái (-3; 7) és (5; ). Határozza meg a másik két csúcs koordinátáit! 356. Döntse el, paralelogramma csúcsai-e a következő pontok! A(-; 0), B(3; -4), C(5, ), D(;-7) Döntse el, egy egyenesen van-e a következő három pont! A(-; 3), B(-4; 7), C(, 9), Szakaszt adott arányban osztó pont koordinátái. Háromszög súlypontjának koordinátái Egy háromszög oldalfelező pontjainak a koordinátái: (-; 3), (4; 6), (5, ). Határozza meg a háromszög csúcsainak a koordinátáit! 3. Irja fel az AB szakasz harmadoló pontjainak koordinátáit, ha a végpontok: A(-7; 8), és B(-; )! 346. Egy háromszög két csúcspontjának koordinátái: A(-5; -), és B(3; ). Súlypontja, 4 3; S. Irja fel a C csúcs koordinátáit!

3 Két pont távolsága. Javasolt feladat: 390. Mekkorák a háromszög szögei, ha a csúcsok koordinátái: (; ), (4; -3); (5; 0)? I. Síkbeli problémák tárgyalása: a. Egyenes Egyenes helyzetét jellemző adatok: - irányvektor, - normálvektor - irányszög - iránytangens 30. Adja meg az egyenes egy irányvektorát, ha meredeksége a. 0,6 b a. Adjuk meg a P (3; 5) és a P (3; -4) ponton áthaladó egyenes irányvektorát, normál vektorát, iránytangensét, irányszögét! b. Az e egyenes a P 0 (-; ) pontjával és a v ( 3; 4) irányvektorával adott. Illeszkedik-e az A ( 4; 8) pont az e egyenesre? (A feladatot az egyenes egyenletének felírása nélkül oldjuk meg!) a. Az egyenes egy irányvektora P P Most v ( 0; 9), de irányvektora a (0; -); (0; ) vektor is! v =. 3

4 Mivel az egyenes normálvektora az irányvektorának os elforgatottja, így n ( 9;0), de n lehet ( ;0) és a ( ;0 ) vektor is. Az egyenes iránytangense v m =, ha v 0 v Most v =0, így ezen egyenesnek nincsen iránytangense! A v ( 0; ) koordinátáiból látszik, hogy az egyenes párhuzamos az y tengellyel, így irányszöge b. Az A pont akkor és csak akkor illeszkedik az e egyenesre, ha P 0 A párhuzamos v irányvektorral. P 0 A akkor párhuzamos v ral, ha létezik olyan c valós szám, hogy Most P A = a p 6i 9 j 0 0 v=3i-4 P 0 A = cv. Létezik-e olyan c valós szám, melyre fennáll 6i 9 j = c( 3i 4 j)? Ha létezne, akkor 3c=6 és 4c=9 lenne, ilyen c valós szám nem létezik, ezért az A pont nem illeszkedik az egyenesre..3.. Adjuk meg az A(-; 3) és a B(5; 7) pontokon átmenő egyenesre merőleges e egyenes irányvektorát, normálvektorát, iránytangensét! Az AB ( 6;4) vektor merőleges az e egyenesre, így az e egyenes egy normálvektora n(6; 4), de normálvektor a (3; ) vektor is. e egyenes egy v irányvektora n os elforgatottja, azaz v (- 4; 6), de irányvektor a (;-3) vektor is. e egyenes iránytangense: v 6 3 m = = =. v 4 Egyenes egyenletei: - vektoregyenlet - egyenletrendszer - irányvektor ismeretében felírt egyenlet - normálvektor ismeretében felírt egyenlet - iránytényezős egyenlet 4

5 30. Irja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelynek normálvektora n(-4; 6) és átmegy a P(9; 7) ponton! ; 33. Irja fel az A ; és B pontokon átmenő egyenes egyenletét! 36. Irja fel a (4; -) ponton átmenő, x tengellyel párhuzamos egyenes egyenletét! 37. Irja fel a (; 3) ponton átmenő, y tengellyel párhuzamos egyenes egyenletét! 38. Irja fel a (6; -3) ponton átmenő, és a P(-; 4), Q(; 5) pontokat összekötő egyenesre merőleges egyenes egyenletét! 39. Irja fel a (6; -3) ponton átmenő, és a P(-; 4), Q(; 5) pontokat összekötő egyenessel párhuzamos egyenes egyenletét! 3. Irja fel azoknak az egyeneseknek az egyenletét, amelyek átmennek a (; -3) ponton, és irányszögük: a b c d. 0 0! Az egyenes és az elsőfokú kétismeretlenes egyenlet kapcsolata. Két egyenes (két görbe) közös pontja. 34. Számítsa ki az y = x + 3 és 4 x y + 9 = 0 egyenletű egyenesek metszéspontjának koordinátáit! 36. Egy háromszög csúcspontjainak koordinátái: A(-; -), B(4; -3) C(4; 5). Számítsa ki a B csúcsból induló magasságvonal és az AC oldal metszéspontjának koordinátáit! 5

6 37. Egy háromszög csúcspontjainak koordinátái: A(3; -), B(; 0) C(-4; -3). Lehet-e a x-7y=4 egyenletű egyenes a háromszög egyik oldalegyenese? 35. Egy szabályos háromszög két csúcsa ( 5;3 3) A, B(; 0). Határozza meg a háromszög harmadik csúcspontjának koordinátáit! 353. Egy derékszögű háromszög két csúcspontjának koordinátái: (-; ) és (7; -). Az egyik befogó egyenlete x-y=-3. Számítsa ki a harmadik csúcspont koordinátáit!.9.. A k mely értékére lesz egymással párhuzamos a következő két egyenes? x+ky=5 és kx+4y=7.9.. Két egymással párhuzamos egyenes egyenlete: 3x+4y=-4 és 3x+4y=. Számítsa ki a két egyenes távolságát!.9.3. Egy háromszög csúcspontjainak koordinátái: A(5; ), B(8; 6), C(-3; 8) Számítsa ki annak a pontnak a koordinátáit, amelyben az A csúcsból induló szögfelező metszi a szemközti oldalt!.9.4. Adott két pont: A(4; 6), B(6; -). Keresse meg az ordinátatengelyen a P pontot úgy, hogy az APB törtvonal hossza a lehető legrövidebb legyen!.9.5. Egy háromszög csúcspontjainak koordinátái: (4; 0), (-3; -) és (-5; 6). Irja fel az oldalfelező merőlegesek egyenletét, és határozza meg a merőlegesek közös pontját!.9.6. Egy derékszögű háromszög egyik befogójának egyenlete: y=-x+5 és az ezzel szemközti csúcspont ordinátája 7. Az átfogó egyenlete 3x-y=5. Határozza meg az átfogóhoz tartozó magasságvonal egyenletét! 6

7 b. Kör (def.) A kör egyenlete.... Irjuk fel a kör egyenletét, ha egyik átmérőjének végpontjai: A(3; -4), B(7; 9)! A kör egyenletét akkor tudjuk felírni, ha ismerjük a középpontját C(u; v) t és sugarát r-et: (x-u) +(y-v) =r A kör középpontja az AB átmérő C felezőpontja: 5 r ; A kör sugara: = AC = ( 5 3) = 46, 5 5 ; ; A kör egyenlete: ( 5) + ( y,5) = 46, x.... Irjuk fel annak a körnek az egyenletét, amely átmegy az A(; -) és a B(4; 5) ponton, és középpontja rajta van az x-3y =- egyenesen! Az AB szakasz a kör egy húrja, ezért a keresett kör C középpontja rajta van az AB szakasz felezőmerőlegesén. C pont az AB felezőmerőlegesének az adott egyenesnek a metszéspontja. F(3; ) pont az AB szakasz felezőpontja. AB ( ;6) vektor az AB szakasz felezőmerőlegesének normálvektora. A felezőmerőleges egyenlete: x + 6y = ; azaz x+3y=9. A C középpontot, az x+3y=9 x-3y=- 7 = ; y = 6 7 C = ; 6 x egyenletrendszer megoldása adja: 7

8 r = AC = = 8 8 A keresett kör egyenlete: 7 8 x + y =. 6 8 A kör és a másodfokú kétismeretlenes egyenlet kapcsolata. Javasolt feladat:..3. Lehet-e kör egyenlete az a. x +y -x-8=0 b. 3x +3y +5xy+=0 egyenlet? Ha igen, adja meg a kör adatait! a. Nem tartalmaz xy-os tagot, az x és y -es tagok együtthatója egyenlő, ezért nem zárható ki, hogy kör egyenlete. Alakítsuk teljes négyzetté: ( x ) + y = 9 ; tehát kör egyenlete. C(; 0), r=3. b. Nem kör egyenlete, mert tartalmaz xy-os tagot. Kör és egyenes kölcsönös helyzete.... Számítsuk ki annak a húrnak a hosszát, amelyet az x +y -4x-6y-=0 egyenletű kör metsz ki az y=x egyenesből! Az x +y -4x-6y-=0 egyenletű kör (x-) +(y-3) =5 alakra hozható, ahonnan C(; 3); r=5. Az egyenes és a kör egyenletéből álló egyenletrendszer megoldása adja a keresett húr két végpontjának koordinátáit. 8

9 Ezekkel: = 6; x x y y = ; y=x + y 4x 6y = 0 + x 4x 6y = 0 A metszéspontok: P (6, 6) és P (-; -) A húr hossza: P = = 7 P. x 5x 6 = 0 x = 6; x =... Irjuk fel az ( x + ) + ( y ) = 5 egyenletű kör x= abszcisszájú I. negyedbeli pontjához tartozó érintő egyenletét! A kör x= abszcisszához tartozó pontjainak ordinátái: ( + ) + ( y ) = 5 amelyből: y =5 y =-3 Az I. negyedben a P (; 5) pont van. A kör középpontja: C(-; ). A P ponthoz tartozó érintő egy normálvektora: n = CP( 3;4) A P pontbeli érintő egyenlete: 3x + 4y = azaz 3x+4y= Számítsa ki az ( x + 6) + ( y 5) = 00 egyenletű kör x=0 abszcisszájú pontjaiba húzható érintők metszéspontjának koordinátáit! Az x+y=c egyenletű egyenes érinti az x +y =4 egyenletű kört. Mekkora területű háromszöget zár be az egyenes a koordinátatengelyekkel? 338. Húzzon az ( x 3) + ( y + ) = 4 egyenletű körhöz érintőket a P(;-3) pontból! Mi lesz az érintési pontokon átmenő egyenes egyenlete? Milyen távolságra van az egyenes a kör középpontjától? 339. Egy kör áthalad a (-4; ) koordinátájú ponton és az abszcisszatengely a (; 0) koordinátájú pontban érinti. Határozza meg a kör 8 abszcisszájú pontjaiba húzható érintői metszéspontjának koordinátáit! 9

10 3346. Egy szakasz végpontjainak koordinátái A(-3; -); B(8; ). Keressen az ordinátatengelyen olyan pontokat, amelyekből a szakasz derékszögben látszik! Két kör kölcsönöz helyzete közös érintők fajtái, száma Irja fel annak a körnek az egyenletét, amely az (x-) +(y+0) =00 egyenletű kört kívülről, az (x+4) +(y-) =00 egyenletű kört belülről érinti, valamint érinti az ordinátatengelyt! 335. Határozza meg annak a körnek az egyenletét, amely koncentrikus a 4x +4y -8x+44y-86=0 egyenletű körrel és sugara fele akkora! Határozza meg annak a körnek az egyenletét, amely az x +y =5 egyenletű kört belülről érinti a (4; 3) pontban, és érinti az abszcisszatengelyt! c. Parabola (Def.) Javasolt feladat: A parabola fontosabb tulajdonságai, jellemzői (tengely, fókuszpont, paraméter, vezéregyenes, csúcspont) Koordinátatengelyekkel párhuzamos tengelyű parabolák egyenlete..3.. a. Irja fel annak a parabolának az egyenletét, amelynek tengelye az y tengely, tengelypontja az origó és fókusza a (0; 3) pont! Az adott helyzetű parabola fókusza az y = x. p tengelyponti egyenlete: 0; p F pont, y = x. Most F(0; 3); amiből p=6, így a parabola egyenlete: b. Az a. pontban szereplő parabolát x tengelyre tükrözve az x p y = egyenletű parabolához jutunk. 0

11 c. Az a. pontban szereplő parabolát az y=x egyenesre tükrözve a kapott parabola tengelye az x tengely lesz. A tükrözésnél a két tengely és az x; y koordináta felcserélődik. Ennek a parabolának y p az egyenlete tehát: x = ; rendezve: y =px. d. Irjuk fel annak a parabolának az egyenletét, amely átmegy a P (6; -4) ponton, tengelypontja az origó, tengelypontjában érintője az y tengely! A parabola meghatározása mutatja, hogy egyenlete: y =px alakú. A P (6; -4) pont kielégíti a parabola egyenletét, tehát: ( 4) = 6 p ; A parabola egyenlete: Fókuszpontja: 6 4 P = = y = x ; 3 P F ;0 = F ; 3;0 x = 3 Vezéregyenesének egyenlete: e. A c-ben szereplő parabolát y tengelyre tükrözve, a transzformáció miatt a kapott parabola egyenlete y =-px. f. Az a.; - e. pontokban tárgyalt parabolákat toljuk el a koordinátasíkon (u; v) vektorral! A tengelypontjuk ekkor T(u; v) lesz. Ha ezeket az új helyzetűeket a (-u; -v) vektorral toljuk el, visszajutunk az eredeti helyzetű parabolához. Ennél a visszatolásnál minden P(x; y) pontból P (x-u; y-v) pont lesz. Ennek a P -nek a koordinátáiban szereplő x, y az eltolt új helyzetű parabolák koordinátái.

12 A P kielégíti az eredeti helyzetű parabolák egyenletét, tehát az (u; v) vektorral eltolt parabolák egyenlete rendre: y p p v = ( x u) ; y v = ( x u) ( y v) = p( x u) ; ( y v) = p( x u). A parabola és a másodfokú függvény. Javasolt feladat:.4.. Határozzuk meg az x + 8x + y 0 = 0 egyenletű parabola paraméterét, fókuszpontjának koordinátáit, vezéregyenesének egyenletét! Alakítsuk teljes négyzetté, majd rendezzük az egyenletet, ekkor y = x + ( + 4) 8 p Ezt összehasonlítva az y = ( x u) + v u=-4; v=8; p=-. Tehát a parabola tengelypontja: T(-4; 8) pont. általános alakkal, Mivel p<0; így a parabola lefelé nyitott, a fókuszpont a tengelypont alatt van, 35 F 4; ; a vezéregyenes a tengelypont fölött, 37 y =. A parabola és az egyenes kölcsönös helyzete Irja fel az y =6x egyenletű parabola azon érintőjének egyenletét, amely átmegy az 5x-y=7 és a x+y=4 egyenletű egyenesek metszéspontján!

13 340. Melyik az a pontja az ordinátatengelynek, ahonnan az y = egyenletű parabolához húzott érintők a csúcsérintővel egyenlő oldalú háromszöget zárnak be? 349. Húzzon érintőket az y = egyenletű parabolához az x ordinátatengely és a vezéregyenes metszéspontjából! Mekkora szöget zárnak be ezek egymással? 340. Határozza meg, hogy az y=(x-3) - egyenletű parabola mely pontja 3 van legközelebb az y = x 6 egyenletű egyeneshez? Mekkora a minimális távolság? 344. Mekkora az y=x egyenletű parabola és az x +(y-) =4 egyenletű kör közös pontjai által meghatározott háromszög kerülete?.7.. Irja fel annak a körnek az egyenletét, amely áthalad a P 0 (; 9) pontos, és mindkét koordinátatengelyt érinti!.7.. Adja meg az a és b paraméter értékét úgy, hogy az x +y +ax+by=0 egyenletű kör áthaladjon az A(4; 3) és a B(-; 3) ponton!.7.3. Egy rombusz egyik átlója a másik átlójának a kétszerese. A rövidebbik átló végpontjai: A(6; -4) és a C(-; 6). Határozza meg a hiányzó csúcsok koordinátáit?.7.4. Irja fel a P (7; -4) pontból az (x+) +(y-) =0 körhöz húzható érintők egyenletét!.7.5. Egy húrnégyszög három csúcspontjának koordinátái: A(6; ); B(-; 3); C(-; ). A negyedik csúcspont az ordinátatengely negatív felén van. Melyek ennek a koordinátái?.7.6. Határozza meg a következő egyenletű parabolák fókuszpontját és vezéregyenesét! a. x -6y=0 b. x +y=0 c. x +4x-4y+8=0 x 3

14 .7.7. Irja fel a parabola egyenletét, ha a a. fókusza a (-7; 0) pont és vezéregyenesének egyenlete: x=7; b. fókusza a (0; -4) pont és vezéregyenesének egyenlete: y=4! x Határozza meg a P 0 (9; ) pontból az y = egyenletű parabolához húzható érintő egyenletét!.7.9. Az ABCD négyzet C csúcsa a y=x -5x+8,5 egyenletű parabola csúcsában, B és D szintén e parabolán van. Adjuk meg a négyzet csúcsainak koordinátáit! d. Ellipszis (def.) Az ellipszis fontosabb tulajdonságai, jellemzői (szimmetria, vezérsugarak, fókuszpontok, kis-nagy tengely) Ellipszis egyenlete Egy ellipszis nagytengelye 9, kistengelye 4 egység. Irja fel az egyenletét, ha az ellipszis tengelyei a koordinátatengelyekre esnek! x + y Hány közös pontja van az = az y 3 3 x = egyenletű egyenesnek? x + y 5 6 egyenletű ellipszisnek és Egy ellipszis egyenlete: =. Milyen hosszúságú vezérsugarak tartoznak azokhoz az ellipszispontokhoz, amelyeknek akkora az abszcisszájuk, mint a gyújtópontoknak? x + y Az = vezérsugarak merőlegesek egymásra? egyenletű ellipszis melyik pontjához tartozó 4

15 x 9 + y Irja fel az = húzható érintők egyenletét? 345. Határozza meg az = egyenletű ellipszishez a P(; 4) pontból x + y 6 érintőjének egyenletét, amelynek meredeksége: egyenletű ellipszis azon 3 m =! 4 e. Hiperbola (def.) A hiperbola fontosabb tulajdonságai, jellemzői (szimmetria, vezérsugarak, valós-képzetes tengely, fókuszpontok, aszimptoták) Hiperbola egyenlete Egy hiperbola valós tengelye 8, képzetes tengelye 5 egység. Irja fel a hiperbola tengelyponti egyenletét? Mi az egyenlete: x + y 5 9 a. Annak a hiperbolának, amelynek csúcsai az = egyenletű ellipszis fókuszpontjaira, fókuszpontjai pedig az ellipszis nagytengelyének végpontjaiba esnek; x y 5 9 b. Annak az ellipszisnek, amelynek csúcspontjai = egyenletű hiperbola fókuszpontjaira, fókuszpontjai pedig a hiperbola valós tengelyének végpontjaiba esnek? x y Egy hiperbola egyenlete =. Határozza meg az y=x egyenletű egyenessel párhuzamos, illetve arra merőleges érintőinek az egyenletét! 346. Bizonyítsa be, hogy az y x = egyenletű hiperbolát két pontban metsző egyeneseknek a koordinátatengelyek és a hiperbolaágak közé eső szakaszai egyenlő hosszúságúak! 5

16 x y Az = vezérsugarak merőlegesek egymásra? egyenletű hiperbola mely pontjaihoz tartozó II. Térbeli problémák tárgyalása Pontok jellemzése... A két egységnyi élhosszúságú kockát úgy helyezzük el a koordináta rendszerben, hogy az origó a kocka egyik csúcsára illeszkedik, a tengelyek pozitív fele pedig egy-egy élt tartalmaz. Adja meg a kocka csúcsainak a koordinátáit!.5. Az ABCD paralelogramma csúcsai A(3; -; 5); B(0; ; 0); C(-5; ; 7). Számítsa ki a D csúcs koordinátáit!.6. Egy paralelepipedon egyik csúcsa az origó, az ebből kiinduló élek végpontjai az A(3; 6; -4); B(-4; 7; 0); C(9; ; -3) pontok. Számítsa ki a többi négy csúcs koordinátáit!.3. Az ABC háromszög két csúcspontja A(; -; ); B(6; -3; ), súlypontja: S(3; -; ). Határozza meg a C csúcspont koordinátáit! a. Egyenes Az egyenes vektoregyenlete, paraméteres egyenletrendszer, egyenletrendszer..85.a. Irja fel a P ponton áthaladó, v irányvektorú egyenes egyenletrendszerét, ha: P(-; 3; 7); v(-4; ; 6).87.a. Egy egyenesre illeszkednek-e a következő pontok? A(-; 5; 3); B(; ; 4) C(3; -7; 7). 6

17 .88. Irja fel annak az egyenesnek a vektoregyenletét, amely illeszkedik a P(-3; ; -) pontra és párhuzamos az x=3+t; y=8+t; z=-7t egyenessel!.89. Adja meg annak az egyenesnek az egyenletrendszerét, amely illeszkedik a P(-; ; 0) pontra és merőleges az x=-+3t; y=5+t; és az x=8-+t ; y=-t; y=3t egyenesekre!.9. Határozza meg annak az egyenesnek az egyenletrendszerét, amely illeszkedik a P(0; 5; ) pontra és az x=-3t; y=-+t; z=t egyenest merőlegesen metszi!.94. Adja meg a p paraméter értékét úgy, hogy az alábbi két egyenes x + y z 3 4 messe egymást: = = ; b. Sík A sík egyenlete. x 3 y z 7 = =. p 4.06.a. Adott a sík n normálvektora és P pontja. Irja fel a sík egyenletét! n(-3; ; ).07. Irja fel annak a síknak az egyenletét, amely illeszkedik a P(; -; 3) pontra és párhuzamos a 3x-4y+5z-3=0 síkkal!.08. Irja fel annak a síknak az egyenletét, amely illeszkedik az alábbi ponthármasokra: A(; 3; ); B(-;;5); C(; -; 0)..09. Egy síkra illeszkedik-e a következő négy pont? A(; 3; 4); B(0;;-); C(-; ; -6) D(; 5; 4). Egyenes és sík kölcsönös helyzete..45. Mely pontokban metszi az x=4-t; y=3+3t; z=-t egyenes a koordinátasíkokat? 7

18 .46. Adja meg a P(-6; 6; -5); és Q(; -6; ); pontokat összekötő egyeneseknek a koordinátasíkokkal való metszéspontját!.47. Mely pontokban döfi az x=+t; y=3t; z=-+t egyenes a x+3y+z=0 síkot?.48. Határozza meg a P ( ;3; 3) ; P ( 3;; ) ; P ( 4;5; 6) pontokra illeszkedő sík és a döféspontjának a koordinátáit! 4 x y + 3 4z + 6 = = egyenes.50. Határozza meg az origót P ( 8; ; 6) ponttal összekötő egyenesnek és a 3x-y+6z+4=0 síknak az M metszéspontját!.53. Mekkora térfogatú derékszögű tetraédert metsz ki a 3x-4y+6z-=0 sík a koordinátasíkokból?.55. Tükrözze a P ( ;3;3 ) pontot az x=3+4t; y=+5t; z=-+3t egyenesre! Határozza meg a tükörkép koordinátáit!.68. Számítsa ki az alábbi egyenesek hajlásszögét: a. x 6 = ( y + ) = z és x + 4 = y 6 = ( z + 5) b. x=-+3t; y=0; z=3-t és x=-+t; y=0; z=-3+t c. x=4+t; y=5t; z=3-t és x=7+t; y=3t; z=9+7t d. x=+3t; y=,5;z=--3t és x=t; y=-3+t; z= Határozza meg a következő sík és egyenes hajlásszögét: a. x-y-z=; és x=--4t; y=3; z=-t; b. x-9y+4z=-7; és x=-3+4t; y=6; z=9t; c. x+y+z=3; és x=5-3t; y=4+6t; z=-; d. x+y-z=3; és x=5-t; -y=t; z=3-t;.70. Határozza meg a következő két-két sík hajlásszögét: a. 7x-3y+z-9=0; x+y-z+4=0; b. x-y-z-=0; x+y-z-5=0; c. x+y+z-3=0; 6x+y-5z-=0 d. x-y+z-8=0; x+z-6=0; D 8

Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok )

Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok ) Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok./ Határozd meg az AB szakasznak azt a pontját, amely a szakaszt : ha A ( ; és a B ( ; 8!./ Adott az A ( 3 ; 5 és a ( ; 6 B pont. Számítsd ki az AB vektor

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,

Részletesebben

Koordináta geometria III.

Koordináta geometria III. Koordináta geometria III. TÉTEL: A P (x; y) pont akkor és csak akkor illeszkedik a K (u; v) középpontú r sugarú körre (körvonalra), ha (x u) 2 + (y v) 2 = r 2. Ez az összefüggés a K (u; v) középpontú r

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög. 1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való

Részletesebben

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

Koordináta-geometria II.

Koordináta-geometria II. Koordináta-geometria II. DEFINÍCIÓ: (Alakzat egyenlete) A síkon adott egy derékszögű koordináta rendszer. A síkban levő alakzat egyenlete olyan f (x, y) = 0 egyenlet, amelyet azoknak és csak azoknak a

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint)

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény Koordináta-geometria feladatgyűjtemény A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két csúcs

Részletesebben

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5 Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!

Részletesebben

Koordinátageometria Megoldások

Koordinátageometria Megoldások 005-0XX Középszint Koordinátageometria Megoldások 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 + 4 + 1 3 F ; = F ;1 ) Egy kör sugarának

Részletesebben

egyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0.

egyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0. Magyar Ifjúság. X. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK A trigonometrikus egyenletrendszerek megoldása során kísérletezhetünk új változók bevezetésével, azonosságok alkalmazásával, helyettesítő módszerrel vagy más,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van

Részletesebben

A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = 1. Az adott kör középpontjának koordinátái: K1( 4; 2)

A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = 1. Az adott kör középpontjának koordinátái: K1( 4; 2) 55 A kör 87 8 A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = Az adott kör középpontjának koordinátái: K( ; ) és a sugara r =, az adott pont P(; ) Ekkor KP = és KK = () ( u ) + ( v ) =, () ( u ) +

Részletesebben

10. Koordinátageometria

10. Koordinátageometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember

Részletesebben

Az egyenes és a sík analitikus geometriája

Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes a kétdimenziós koordinátarendszerben A kétdimenziós koordinátarendszerben az egyenest egy n(a, B) normálvektorával és egy r 0 helyvektorú P(x 0,y 0

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd

Részletesebben

Vektorok és koordinátageometria

Vektorok és koordinátageometria Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,

Részletesebben

= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1

= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1 Egyenes és sík a térben Elméleti áttekintés Az egyenes paraméteres egyenlete: X = u 1 λ + x 0 Y = u λ + y 0, Z = u λ + z 0 ahol a λ egy valós paraméter Az u = (u 1, u, u ) az egyenes irányvektora és P

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.

Részletesebben

A kör. A kör egyenlete

A kör. A kör egyenlete A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - y + b) x + y - 6x - 6y + c) x +

Részletesebben

VEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)]

VEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)] Bodó Beáta 1 VEKTOROK 1. B Legyen a( ; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(0; 10; 0)] (b) c + b 7a [(18; 15; 29)] (c) 2d c + b [ (5; ; ) = 6, 56] (d) 4a + 8b 7c [ ( 49; 44; 5) =

Részletesebben

KOORDINÁTA-GEOMETRIA

KOORDINÁTA-GEOMETRIA XIV. Témakör: feladatok 1 Huszk@ Jenő XIV.TÉMAKÖR Téma A pont koordinátageometriája A kör koordinátageometriája KOORDINÁTA-GEOMETRIA A projekt típus ú feladatok tartalmi szintézise A feladat sorszáma Oldal

Részletesebben

Koordináta - geometria I.

Koordináta - geometria I. Koordináta - geometria I A koordináta geometria témaköre geometriai problémákat old meg algebrai módszerekkel úgy, hogy a geometriai fogalmaknak algebrai fogalmakat feleltet meg: a pontokat, vektorokat

Részletesebben

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata

Részletesebben

Geometriai példatár 2.

Geometriai példatár 2. Geometriai példatár 2 Metrikus feladatok Baboss, Csaba, Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Szabó, Gábor, Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Geometriai példatár 2: Metrikus feladatok

Részletesebben

Analitikus térgeometria

Analitikus térgeometria 5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T

Részletesebben

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel; Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;

Részletesebben

Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira:

Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira: 005-0XX Emelt szint Koordinátageometria 1) a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete x + y = 10, egyik csúcsa az origó. Hány ilyen

Részletesebben

I. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor:

I. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor: I. Vektorok 1. Vektorok összege Általánosan: Az ábra alapján Adott: a(4; 1) és b(; 3) a + b (4 + ; 1 + 3) = (6; ) a(a 1 ; a ) és b(b 1 ; b ) a + b(a 1 + b 1 ; a + b ). Vektorok különbsége Általánosan:

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták 1. Mik lesznek a P (3, 4, 8) pont C (3, 7, 2) pontra vonatkozó tükörképének a koordinátái? 2. Egy szabályos hatszög középpontja K (4, 1, 4),

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk

Részletesebben

Koordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1

Koordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Koordinátageometria M veletek vektorokkal grakusan 1. Az ABCD négyzet oldalvektorai közül a = AB és b = BC. Adja meg az AC és BD vektorokat a

Részletesebben

A kör. A kör egyenlete

A kör. A kör egyenlete A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - 0y + 0 b) x + y - 6x - 6y + 0 c)

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon

Részletesebben

Geometriai példatár 1.

Geometriai példatár 1. Geometriai példatár 1. Koordináta-geometria Baboss, Csaba, Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Szabó, Gábor, Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Geometriai példatár 1.: Koordináta-geometria

Részletesebben

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.

Részletesebben

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok

Részletesebben

(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét.

(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét. Euklidész tételei megoldások c = c a + c b a = c c a b = c c b m c = c a c b 1. Számítsuk ki az derékszögű ABC háromszög hiányzó oldalainak nagyságát, ha adottak: (a) c a = 1,8; c b =, (b) c = 10; c a

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális

Részletesebben

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az

Részletesebben

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27. Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1 Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az

Részletesebben

5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11

5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11 Bodó Beáta ISMÉTLÉS. ch(6 d.. 4.. 6. 7. 8. 9..... 4.. e (8 d ch (9 + 7 d ( + 4 6 d 7 8 + d sin (4 + d cos sin d 7 ( 6 + 9 4 d INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 7 6 sh(6 + c 8 e(8 + c 9 th(9 + 7 + c 6 ( + 4 7 + c = 7 4

Részletesebben

Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül!

Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül! Laczkó László Készült a Fazekas ihály Oktatási Kulturális és Sport lapítvány támogatásával z árák elektronikus változatát Véges árton (009c) diák készítette feladat z hegyesszögű háromszög -nél levő szöge.

Részletesebben

3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben.

3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben. 3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben. TÁVOLSÁG Általános definíció: két alakzat távolsága a két alakzat pontjai között húzható legrövidebb szakasz hosszaa távolság

Részletesebben

= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0;

= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0; 98 Az egyenes egyenletei. a) A( 0) B(0 6) AB_ - 6i& n( ) x + y = b) x - y =- c) 6x - y = 0 d) 6x + y = e) x + y = f) x + y = a g) x - y = a.. A(a 0) B(0 b) AB_ -a bi n (b a) bx + ay = ab osszuk el a $

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 14 XIV NEVEZETES GÖRbÉk 1 AZ EGYEnES EGYEnLETE A és pontokon átmenő egyenes egyenlete: (1), Az hányados neve iránytényező (iránytangens, meredekség) A ponton átmenő, m iránytangensű

Részletesebben

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2 10. Tétel Háromszög Tulajdonságok: - Háromszögnek nevezzük a sokszöget, ha 3 oldala, 3 csúcsa és 3 szöge van - A háromszög belső szögeinek összege 180 o - A háromszög külső szögeinek összege 360 o - A

Részletesebben

Gyakorló feladatok. 2. Matematikai indukcióval bizonyítsuk be, hogy n N : 5 2 4n n (n + 1) 2 n (n + 1) (2n + 1) 6

Gyakorló feladatok. 2. Matematikai indukcióval bizonyítsuk be, hogy n N : 5 2 4n n (n + 1) 2 n (n + 1) (2n + 1) 6 Gyakorló feladatok 1. Ismertesd a matematikai indukció logikai sémáját, magyarázzuk meg a bizonyítás lényegét. Bizonyítsuk be, hogy minden n természetes számra 1 + 3 + + (n 1) = n.. Matematikai indukcióval

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika. évfolyam TANULÓK KÖNYVE. FÉLÉV A kiadvány KHF/487-/008. engedélyszámon 008..7. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő oktatási

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

Függvények Megoldások

Függvények Megoldások Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény

Részletesebben

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

20. tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek.

20. tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek. . tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek. Először megadom a síkbeli definíciójukat, mert ez alapján vezetjük le az egyenletüket. Alakzat

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor

Részletesebben

8. előadás. Kúpszeletek

8. előadás. Kúpszeletek 8. előadás Kúpszeletek Kör A k kört egyértelműen meghatározza C(a,b) középpontja és r sugara. A P pont pontosan akkor van k-n, ha CP=r. Vektoregyenlet: p-c = r. Koordinátás egyenlet: (X-a)2 + (Y-b)2 =

Részletesebben

Pitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2

Pitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Pitagorasz-tétel A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy

Részletesebben

Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója?

Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Feladatok 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy négyzet

Részletesebben

b) Az egyenesnek és a körnek akkor és csak akkor van közös pontja, ha az egyenleteikből álló egyenletrendszernek van megoldása (1 pont)

b) Az egyenesnek és a körnek akkor és csak akkor van közös pontja, ha az egyenleteikből álló egyenletrendszernek van megoldása (1 pont) 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az

Részletesebben

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba

Részletesebben

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam I. Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzetet 1) a pont, az egyenes, a sík és az illeszkedés alapfogalmak 2) két egyenes metsző, ha van közös pontjuk

Részletesebben

Koordinátageometria Megoldások

Koordinátageometria Megoldások ) Koordinátageometria Megoldások - - Koordinátageometria - megoldások a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete x + y = 0, egyik

Részletesebben

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika Hasonlóság kísérleti feladatgyűjtemény 10. osztályos matematika POKG 2015. Hasonló háromszögek oldalaránya 0. Keressük meg az alábbi háromszögek összetartozó oldalpárjait és arányossággal számítsuk ki

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

λ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0

λ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0 Vektorok a térben Egy (v 1,v 2,v 3 ) valós számokból álló hármast vektornak nevezzünk a térben (R 3 -ban). Használni fogjuk a v = (v 1,v 2,v 3 ) jelölést. A v 1,v 2,v 3 -at a v vektor komponenseinek nevezzük.

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket

Részletesebben

EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY

EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY SÍKIDOMOK Síkidom 1 síkidom az a térelem, amelynek valamennyi pontja ugyan abban a síkban helyezkedik el. A síkidomokat

Részletesebben

Egyenes és sík. Wettl Ferenc szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík szeptember / 15

Egyenes és sík. Wettl Ferenc szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík szeptember / 15 Egyenes és sík Wettl Ferenc 2006. szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík 2006. szeptember 29. 1 / 15 Tartalom 1 Egyenes és szakasz Egyenes Szakasz Egyenesvonalú egyenletes mozgás Egyenes és pont

Részletesebben

Geometriai példatár 1.

Geometriai példatár 1. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Baboss Csaba Szabó Gábor Geometriai példatár 1 GEM1 modul Koordináta-geometria SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999

Részletesebben

Feladatok az 1. Geometria gyakorlathoz Geometria 1 haladó szint (2011/2012 es tanév, 2. félév)

Feladatok az 1. Geometria gyakorlathoz Geometria 1 haladó szint (2011/2012 es tanév, 2. félév) Feladatok az 1. Geometria gyakorlathoz 1) Az euklideszi síkon adva van két egyenlő sugarú kör k 1 és k 2, amelyek az M, N pontokban metszik egymást. Jelölje r a két kör sugarát. Az M ponttal, mint centrummal,

Részletesebben

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög, 52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes

Részletesebben

I. A négyzetgyökvonás

I. A négyzetgyökvonás Definíció: Négyzetgyök a ( a : a a 0 I. A négyzetgyökvonás a ) jelenti azt a nem negatív számot, amelynek a négyzete a. a 0 b : b b R A négyzetgyök-függvény értéke is csak nem negatív lehet. Ha a b-t abszolút

Részletesebben

Hatvány, gyök, normálalak

Hatvány, gyök, normálalak Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő

Részletesebben

Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik

Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala

Részletesebben

Gyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van!

Gyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van! 1. Melyik a nagyobb? a) 6 5 vagy 5 7 b) vagy 11 10 vagy Gyökvonás 5 11 vagy 6 8 55 e) 7 vagy 60 16 1. Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket! a) 7 18 b) 1 5 75 8 160 810 650 8a 5 a 7a e) 15a

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 11. évfolyam 2. félév ESZKÖZÖK Matematika A 11. évfolyam 6. modul 6.1 kártyakészlet 6.1 kártyakészlet leírása A kártyákon pontok koordinátáit találjuk. A tanulók

Részletesebben

Lehet hogy igaz, de nem biztos. Biztosan igaz. Lehetetlen. A paralelogrammának van szimmetria-középpontja. b) A trapéznak két szimmetriatengelye van.

Lehet hogy igaz, de nem biztos. Biztosan igaz. Lehetetlen. A paralelogrammának van szimmetria-középpontja. b) A trapéznak két szimmetriatengelye van. Geometria, sokszögek, szögek, -, 2004_01/5 Lili rajzolt néhány síkidomot: egy háromszöget, egy deltoidot, egy paralelogrammát és egy trapézt. A következő állítások ezekre vonatkoznak. Tegyél * jelet a

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Koordinátageometria ) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrzek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Javítóvizsga témakörök, gyakorló feladatok 13. i osztály Témakörök

Javítóvizsga témakörök, gyakorló feladatok 13. i osztály Témakörök Javítóvizsga témakörök, gyakorló feladatok 13. i osztály Témakörök I. Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok Állítás (igazságérték), állítás tagadása, állítás megfordítása Halmazok

Részletesebben

Geometriai példatár 1.

Geometriai példatár 1. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Baboss Csaba Szabó Gábor Geometriai példatár 1 GEM1 modul Koordináta-geometria SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 11. osztály

Gyakorló feladatsor 11. osztály Htvány, gyök, logritmus Gykorló feldtsor 11. osztály 1. Számológép hsznált nélkül dd meg z lábbi kifejezések pontos értékét! ) b) 1 e) c) d) 1 0, 9 = f) g) 7 9 =. Számológép hsznált nélkül döntsd el, hogy

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben