Geometriai példatár 1.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Geometriai példatár 1."

Átírás

1 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Baboss Csaba Szabó Gábor Geometriai példatár 1 GEM1 modul Koordináta-geometria SZÉKESFEHÉRVÁR 2010

2 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999 évi LXXVI törvény védi Egzének vagy rzeinek másolása felhasználás kizárólag a szerző írásos engedélyével lehetséges Ez a modul a TÁMOP /1/A Tananyagfejlesztsel a GEO-ért projekt keretében kzült A projektet az Európai Unió a Magyar Állam Ft összegben támogatta Lektor: Németh László Projektvezető: Dr hc Dr Szepes András A projekt szakmai vezetője: Dr Mélykúti Gábor dékán Copyright Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

3 Tartalom 1 Koordináta-geometria 1 11 Bevezet Összefüggek tételek képletek 1 12 Koordináta-geometria FELADATOK Mátrixok determinánsok Vektorok Koordináta-rendszerek transzformációi A pont analitikus geometriája Az egyenes analitikus geometriája A sík analitikus geometriája Kúpszeletek Felületek Összefoglaló feladatsorok Megoldások Mátrixok determinánsok (Megoldások) Vektorok (Megoldások) Koordináta-rendszerek transzformációi (Megoldások) A pont analitikus geometriája (Megoldások) Az egyenes analitikus geometriája (Megoldások) A sík analitikus geometriája (Megoldások) Kúpszeletek (Megoldások) Felületek (Megoldások) Összefoglaló feladatsorok (Megoldások) 27

4

5 1 fejezet - Koordináta-geometria 11 Bevezet Ebben a modulban az analitikus geometria feladatait gyűjtöttük egybe A feladatgyűjtemény igazodik a Geometria I jegyzet tematikájához A kitűzött feladatok önálló feldolgozásához segítségül összegyűjtöttük a legfontosabb fogalmakat tételeket képleteket 111 Összefüggek tételek képletek Vektor hossza (síkbeli koordinátákkal): Vektor hossza ( térbeli koordinátákkal): Az végpontú szakasz illetve vektor hossza: Két vektor skaláris szorzata: Két vektor skaláris szorzata síkbeli koordinátákkal: Két vektor skaláris szorzata térbeli koordinátákkal: Az vektorok vektoriális szorzatán azt a vektort értjük amelyik merőleges mindkét adott vektorra az hossza: vektorok ebben a sorrendben jobbrendszert alkotnak a Két vektor vektoriális szorzata koordinátákkal: Paralelogramma területe ha az egy csúcsból induló oldalélvektorokat -val -vel jelöljük: Háromszög területe ha az egy csúcsból induló oldalélvektorokat -val -vel jelöljük: Három vektor vegyes szorzatán a következő műveletet értjük: Paralelepipedon térfogata ha az egy csúcsból induló oldalélvektorokat -vel jelöljük:

6 Geometriai példatár Tetraéder térfogata ha az egy csúcsból induló oldalélvektorokat -vel jelöljük: Az csúcsú háromszög súlypontjának koordinátái: A pontra illeszkedő egyenes egyenletei (síkban): - gel: Az irányvektorral: normálvektorral: - meredekség- (Az egyenes meredeksége az irányszögének a tangense) egyenes normálegyenlete: Ha az egyenest általános alakban írjuk fel azaz formában akkor ebből a normálegyenletet a következő alakban nyerjük: A pont egy adott egyenes távolsága: egyenes egyenletének nullára rendezett alakjából nyerhető ahol a tört számlálója az A koordináta-síkon adott két egyenes ( ahol mazható) ) hajlásszögének meghatározása: a két egyenes normálvektora (Ugyanez az összefügg az irányvektorokkal is alkal- Két egyenes hajlásszöge meredekségekkel: Két metsző egyenes szögfelezőinek egyenletét az adott egyenesek normálegyenleteinek összege illetve különbsége adja A kör általános egyenlete: sugara A kör ahol pontjában húzható a kör középpontja érintőjének az pedig a egyenlete: A külső pontból az általános egyenletével adott körhöz húzható érintők érinti pontjain áthaladó szelő egyenletét úgy kapjuk hogy a koordinátáit az érintő általános egyenletébe behelyettesítjük Ekkor tehát az egyenlet az előbb említett szelő egyenletét adja Ez az eljárás a továbbiakban előkerülő kúpszeletek mindegyikére alkalmazható GEM1-2 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

7 Koordináta-geometria Az ellipszis általános egyenlete (ha a tengelyei párhuzamosak a koordináta-tengelyekkel): ahol tengely pedig az az ellipszis középpontja tengellyel párhuzamos fél- tengellyel párhuzamos féltengely hossza Összefügg az ellipszis féltengelyeire: Az az ellipszis ahol pontjában a fókuszpontok távolságának a fele húzható érintőjének az egyenlete: A hiperbola általános egyenlete (ha a tengelyei párhuzamosak a koordináta-tengelyekkel): ahol féltengely pedig az a hiperbola középpontja tengellyel párhuzamos tengellyel párhuzamos féltengely hossza Összefügg a hiperbola féltengelyeire: A az hiperbola ahol pontjában a fókuszpontok távolságának a fele húzható érintőjének az egyenlete: A hiperbola aszimptotáinak egyenletei: a hiperbola hossza ahol tengellyel párhuzamos féltengelye pedig az tengellyel párhuzamos féltengely A parabola általános egyenletei (elhelyezkedtől függően: - az tengely pozitív irányába nyitott tengelye párhuzamos az ja tengellyel: ahol a parabola tengelyponttengely negatív irányába pedig a fókuszpont a vezéregyenes távolsága (paraméter) - az nyitott tengelye párhuzamos az tengellyel: irányába nyitott tengelye párhuzamos az a hiperbola középpontja - az tengellyel: tengellyel: Az szimmetriatengelyű párhuzamos tív irányába nyitott parabola tengely ne- - az gatív irányába nyitott tengelye párhuzamos az koordináta-tengellyel tengely pozitív az tengely pozi- pontjában húzható érintőjének az egyenlete: Az irányába koordináta-tengellyel nyitott párhuzamos parabola szimmetriatengelyű pontjában húzható az érintőjének tengely az pozitív egyenlete: Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM1-3

8 Geometriai példatár A pontra illeszkedő sík egyenlete normálvektorával felírva: A sík normálegyenlete: Ha a síkot általános alakban írjuk fel azaz formában akkor ebből a normálegyenletet a következő alakban nyer- jük: illetve ugyanez tömörebb formában: A pont egy adott sík távolsága: számlálója a sík egyenletének nullára rendezett alakjából nyerhető ahol a tört Két metsző sík szögfelező síkjainak egyenletét az adott síkok normálegyenleteinek összege illetve különbsége adja A tér általános helyzetű egyenesének egyenletrendszere: az egyenes irányvektora valamint 0) ahol (tehát az irányvektor egyik koordinátája sem pedig az egyenes egy adott pontja A tér általános helyzetű egyenesének egyenletrendszere ha pedig az egyenes egy adott pontja: az egyenes irányvektora ahol valós paraméter Itt is lehet azaz ezt az egyenletrendszert akkor is használhatjuk ha az irányvektor valamelyik koordinátája 0 Két egyenes párhuzamos ha irányvektoraik párhuzamosak azaz: Egy egyenes egy sík párhuzamos ha az egyenes irányvektora merőleges a sík normálvektorára azaz: Két sík ( GEM1-4 Két egyenes merőleges ha irányvektoraik merőlegesek egymásra azaz: Egy egyenes merőleges az azaz: ) párhuzamos ha normálvektoraik párhuzamosak azaz: Két sík ( síkra ha az egyenes irányvektora párhuzamos a sík normálvektorával ) merőleges ha normálvektoraik merőlegesek azaz: Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

9 Koordináta-geometria Két általános helyzetű egyenes hajlásszögének meghatározása: a két egyenes irányvektora ahol Általános helyzetű egyenes sík hajlásszögének meghatározása: egyenes irányvektora ahol az pedig a sík normálvektora Két általános helyzetű sík ( ) hajlásszögének meghatározása: a két sík normálvektora A gömb egyenlete: pedig a sugara A ahol ahol gömb pontjában a gömb középpontja húzható érintősík egyenlete: Az ellipszoid egyenlete: pontja az Az ahol az ellipszoid közép- a három féltengelye ellipszoid pontjában húzható érintősík egyenlete: 12 Koordináta-geometria FELADATOK 121 Mátrixok determinánsok 1 Adott két mátrix: elemeit! b) Határozzuk meg az a a) Adjuk meg az mátrix elemeit! c) Számítsuk ki a mátrix mátrix elemeit! d) Adjuk meg transzponáltjának elemeit! e) Összeszorozható e ez a két mátrix? 2 Adott két mátrix: mátrix elemeit! Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 Határozzuk meg az szorzat GEM1-5

10 Geometriai példatár Határozzuk meg a következő harmadrendű determinánsok értékét a) Sarrus szabállyal b) valamely sor (vagy oszlop) szerinti kifejtsel c) valamely sor (vagy oszlop) kinullázásával! 4 Határozzuk 5 Számológép meg a használata következő nélkül determinánsok határozza meg értékét! az alábbi determinánsok értékét! 122 Vektorok Legyen Határozzuk meg a a két vektor merőleges legyen egymásra! Legyen Határozzuk meg az két vektor által bezárt szög 60o-os legyen! Mekkora a hajlásszöge a következő vektoroknak: Adott két vektor: koztatott tükörkép vektorát! GEM1-6 vektor applikátáját (harmadik koordinátáját) úgy hogy vektor abszcisszáját (első koordinátáját) úgy hogy a Határozzuk meg az? vektornak a vektor egyenesére vonat- Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

11 Koordináta-geometria 5 Bizonyítsuk be hogy a szabályos tetraéder szemközti élei merőlegesek egymásra! 6 7 Határozzuk meg az Egy háromszög csúcsai: csúcsok által megadott háromszög területét! Határozzuk meg a (második koordináta) úgy hogy a háromszög területe csúcs ordinátáját területegység legyen! 8 Egy trapézt átlói négy háromszögre bontják Igazoljuk hogy a) a szárakon nyugvó háromszögek területe egyenlő b) a szárakon nyugvó háromszögek területének szorzata egyenlő az alapon fekvő háromszögek területének szorzatával! 9 10 Egy tetraéder négy csúcsának koordinátái a térfogata? 12 Egy tetraéder térfogata 3 térfogategység Csúcsai Határozzuk meg a 11 Mekkora csúcs applikátáját úgy hogy a térfogata a megadott érték legyen! Az alábbi pontok esetén határozzuk meg a pont ordinátáját úgy hogy a négy pont egy síkban legyen (komplanárisak legyenek)! A pontok: Mekkora a térfogata annak a paralelepipedonnak amelynek élei párhuzamosak az vektorokkal testátló vektora pedig a? 123 Koordináta-rendszerek transzformációi 1 Adott az exponenciális függvény grafikonja Forgassuk el a grafikont az origó körül szöggel majd toljuk el 2 Adott az vektorral Adjuk meg az elmozgatott görbe egyenletét! függvény grafikonja Toljuk el a grafikont eltolt origó körül forgassuk el -os vektorral majd az azonos vektorral -kal Adjuk meg az elmozgatott görbe egyenletét! 3 Adott az függvény grafikonja Az origó körül forgassuk el elforgatott görbe egyenletét! 4 Adott az -kal majd adjuk meg az függvény grafikus képe Forgassuk el az origó körül a koordináta- rendszert -kal majd az elforgatott koordináta-rendszert toljuk el az ebben az új ( vesszős ) koordináta-rendszerben! vektorral Adjuk meg a görbe egyenletét 5 Adott az függvény grafikus képe Forgassuk el az origó körül a koordináta-rendszert majd az elforgatott koordináta-rendszert toljuk el az ebben az új (csillagos) koordináta-rendszerben! Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar kal vektorral Adjuk meg a grafikon egyenletét GEM1-7

12 Geometriai példatár A pont analitikus geometriája 1 Adott az pontok által meghatározott szakasz Határozzuk meg azon pont koordinátáit amelyik az 2 Adott az szakaszt 2:5 arányban ( pontpár Hosszabbítsuk meg az szakaszt a szakasz felének háromszorosával Határozzuk meg az így nyert 3 4 ) osztja! pont koordinátáit! Ismerjük egy tetraéder négy csúcsát: meg a tetraéder súlypontját! Határozzuk meg a tetraéder negyedik csúcsát ( -t) ha ismerjük három csúcsát: súlypontját ponton túl az Határozzuk! 125 Az egyenes analitikus geometriája 1 Adjuk meg azon egyenesek egyenletét amelyek párhuzamosak az e: ettől mért távolságuk 3 koordináta egység! 2 Adott két pont: a) Határozzuk meg az Mekkora annak a háromszögnek a területe amelyet az 3 egyenletű egyenessel egyenes origótól való távolságát! b) egyenes a koordináta tengelyekkel alkot? Melyek azok az egyenesek amelyek átmennek a ponton a koordináta tengelyekkel olyan háromszöget alkotnak amelyeknek a területe 6 területegység 4 Létezik-e s ha igen mekkora a következő két egyenes távolsága: e: 5 Melyek azok az egyenesek amelyek átmennek a nessel 30o-os szöget zárnak be? f: ponton az e:? egyenletű egye- 6 Adott két párhuzamos egyenes: e: f: két pont Határozzuk meg azt a pontot amelyik egyrzt a két egyenestől egyenlő távolságra van másrzt a két adott ponttól is egyenlő távolságra van (de ez utóbb említett távolság nem azonos az előbbivel)! Adott két pont egy e: egyenes Melyek azok a pontok amelyek a két ponttól egyenlő távolságra az e egyenestől 3 egységre vannak? Határozzuk meg pontnak a t: Egy beeső fénysugár átmegy a egyenesre vonatkozó tengelyes tükörképét! ponton visszaverődik a t: egyenletű egyenesről A visszaverődő fénysugár átmegy a ponton Adjuk meg a visszavert fénysugár egyenesének egyenletét! (Előbb oldjuk meg az előző feladatot!) GEM1-8 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

13 Koordináta-geometria Adott három egyenes: e: f: g: azon pontjait amelyek az e f egyenesektől egyenlő távolságra vannak! Határozzuk meg a g egyenes Határozzuk meg annak az egyenesnek az egyenletrendszerét amelyik az köti össze! pontokat 12 Határozzuk meg a következő f: két egyenes kölcsönös helyzetét! e: 13 Milyen a kölcsönös helyzete h: az alábbi egyeneseknek? g: 14 Állapítsuk meg a következő c: két egyenes kölcsönös helyzetét! b: egyenesnek? k: 15 Milyen a kölcsönös l: helyzete a következő két 126 A sík analitikus geometriája Határozzuk meg az kapott sík origótól való távolságát! Adjuk meg az S: pontok közös síkjának egyenletét! Adjuk meg a síknak a koordináta-rendszer tengelyeivel alkotott metszpontjait! Határozzuk meg a következő két sík metszvonalát! A: B: Adott két sík: A: B: egy olyan egyenest amely illeszkedik a pontra mind a két síkkal párhuzamos! pont Adjunk meg egy 5 Határozzuk meg az S: metszpontját! 6 Határozzuk meg a síknak az e: pontnak az S: egyenessel alkotott síkra vonatkozó tükörképét! 7 Adott egy e egyenes egy S sík: e: egyenesnek az S síkra vonatkozó e* tükörképét! Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 S: Határozzuk meg az e GEM1-9

14 Geometriai példatár Határozzuk meg az egyenletrendszerrel megadott egyenesnek a koordináta síkokkal alkotott metszpontjait! (Ezeket a pontokat az ábrázoló geometriában nyompontoknak nevezzük) 9 Határozzuk meg a 10 pontnak az e: Tükrözzük az lete? egyenesre vonatkozó tükörképét! egyenletű síkot Mi lesz az S* tükörkép sík egyen- pontra az S: 11 Adott a pont egy e: egyenes Adjuk meg az egyenletrendszerét annak az f egyenesnek amelyik illeszkedik a 12 Adott egy párhuzamos F síkot! pontra az e egyenest metszi merőleges az e-re! pont egy S: sík Adjuk meg a pontra illeszkedő S síkkal 13 Határozzuk meg az f: pontoktól egyenlő távolságra van! egyenes azon pontját amelyik az 14 Az e: egyenesnek melyek azok a pontjai amelyek az S: koordináta egységre vannak? síktól 2 Adott két sík A: B: Az e: határozzuk meg azt a pontját amelyik mind a két síktól egyenlő távolságra van! egyenesnek Adott két sík egy e egyenes A: ; B: e: Határozzuk meg az e egyenes azon pontjait amelyek mind a két síktól egyenlő távolságra vannak! 17Adott két egyenes Határozzuk meg a két egyenes síkjában lévő szimmetriatengelyét! (Az a tükörképe b) Az egyenesek: a: b: 18Adott két egyenes e f Határozzuk meg a két egyenes síkjában lévő szimmetriatengelyét! Az egyenesek: e: f: 19 Adott két párhuzamos egyenes: e: egyenes közös síkjának egyenletét! 20 ; f: Határozzuk meg a két Illesszünk egy adott e egyenesre olyan S síkot amely egyenlő távolságra van két adott ( Adatok: e: GEM1-10 ) ponttól! Adjuk meg az S sík egyenletét! Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

15 Koordináta-geometria 21Határozzuk meg a koordináta-rendszer applikáta (z) tengelyének azon pontjait amelyek az A: ; B: síkoktól egyenlő távolságra vannak! 22Adjuk meg az y tengely azon pontjait amelyek az S síktól 2 koordináta egységre vannak! S: 127 Kúpszeletek 1271 Ellipszis 1 Határozzuk meg annak az ellipszisnek a fókuszpontjait amelyiknek egyenlete: 2 Adjuk meg az egyenletét annak az origó középpontú ellipszisnek amelyiknek az x tengelyre eső tengelye 10 koordináta egység egyik pontja! Határozzuk meg a görbe fókuszpontjainak koordinátáit! 3 Határozzuk meg az egyenletét fókuszpontjainak koordinátáit annak az origó középpontú ellipszisnek amelyiknek az abszcissza tengelyre eső tengelye 5 koordináta egység egyik pontja 4 5! Adjuk meg annak az ellipszisnek az egyenletét amelyiknek a középpontja nagytengelye 10 egység fókusztávolsága 6 egység a nagytengelye az x tengellyel párhuzamos! Adjuk meg a fókuszpontjait is! Határozzuk meg a egyenletű ellipszis K középpontját fókuszpontjait! 6 Egy ellipszis nagytengelye az x tengelynek kistengelye az y tengelynek egy-egy szakasza két pontja Mi az egyenlete? A egyenletű ellipszisbe írjunk szabályos háromszöget úgy hogy egyik csúcsa a görbe jobb szélső pontja legyen Adjuk meg e háromszög másik két csúcsát! (Megj: Ellipszisbe írt sokszögön olyan síkidom értendő amelynek csúcsai az ellipszisre illeszkednek) Adjuk meg az egyenletű ellipszis 3 abszcisszájú pontjaira illeszkedő érintőit! Határozzuk meg a g: tőit! Adjuk meg a egyenletű görbének az f: egyenletű ellipszisnek az f: Vizsgáljuk meg hogy a g: a görbe érintőit a kapott metszpontokban! egyenessel párhuzamos érin- egyenesre merőleges érintőit! egyenletű görbe hol metszi az ordináta tengelyt Adjuk meg Forgassuk el az origó körül 90o-kal a egyenlete? egyenletű ellipszist! Mi lesz az elforgatott görbe Forgassuk el az origó körül 60o-kal a g: görbét! Adjuk meg az elforgatott görbe egyenletét! Határozzuk meg a egyenletű ellipszisnek a Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 pontra illeszkedő érintőit! GEM1-11

16 Geometriai példatár Adjuk meg a egyenletű ellipszisnek a pontra illeszkedő érintőit! 16 Határozzuk meg a 17 Határozzuk meg a g: f: egyenletű görbének a pontra illeszkedő érintőit! egyenletű görbe azon pontját amely a legtávolabb van az egyenestől! Adjuk meg azon egyenes egyenletét amely a egyenletű ellipszist a pontjában merőlegesen metszi! (Megj: Egy egyenes egy görbe metszpontjában keletkezett szögön azt a szöget értjük amelyet az egyenes a metszpontra illeszkedő érintővel zár be) Határozzuk meg azon téglalap csúcsait amelyik a szédos oldalainak aránya 1:2! egyenletű ellipszisbe írható szom- A egyenletű ellipszishez a pontokat összekötő h húr egyenesének egyenletét! pontból érintőket húzunk Adjuk meg az érinti 1272 Hiperbola 1 Adjuk meg a pontját! egyenletű hiperbola fókuszpontjait! Szerkesszük meg a hiperbola néhány 2 Adjuk meg az egyenletét annak a hiperbolának amelyiknek valós tengelye az x tengelynek képzetes tengelye pedig az y tengelynek egy szakasza fókuszpontjainak távolsága 10 egység a hiperbola áthalad a P( ) ponton! Írjuk fel az aszimptoták egyenletét is! 3 Mi az egyenlete annak az origó középpontú hiperbolának melynek valós tengelye az x tengelynek képzetes tengelye pedig az y tengelynek egy szakasza két pontja! 4 Adjuk meg az egyenletét annak a hiperbolának amelynek 8 egységnyi valós tengelye párhuzamos az x tengellyel középpontja 5 6 Egy hiperbola egyenlete: egyik pontja! Adjuk meg a középpontját fókuszpontjait! Egy egyenes átmegy a egyenletű hiperbola jobboldali fókuszpontján képzetes tengelyének egyik végpontján Milyen hosszú az a húr amelynek végpontjai ennek az egyenesnek a hiperbolával alkotott metszpontjai? 7 Adjuk meg az egyenletét annak a hiperbolának amelynek valós tengelye 10 egység egyik aszimptotájának irányszöge 60o (ezért a másik aszimptota irányszöge 120o-os)! 8 Az egyenletű hiperbolának melyik az a pontja amelyik az egyik aszimptotától háromszor akkora távolságra van mint a másiktól? GEM1-12 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

17 Koordináta-geometria Adjuk meg az egyenletű hiperbola azon pontjait amelyeknek az abszcisszája 5! Határozzuk meg a görbe érintőit az így nyert pontokban! Határozzuk meg a érintőit! egyenletű hiperbolának az f: Adjuk meg a egyenessel párhuzamos egyenletű hiperbolának az f: A hiperbolához a összekötő húr egyenletét! egyenesre merőleges érintőit! pontból két érintő húzható Adjuk meg az érinti pontokat 13 Határozzuk meg a egyenletű hiperbola pontra illeszkedő érintőit! 14 Adjuk meg a g: egyenletű görbe pontra illeszkedő érintőit! A egyenletű hiperbolának melyik az az érintője amelytől egyenlő távolságra van a görbe középpontja baloldali fókuszpontja? Egy hiperbola amelynek tengelyei a koordináta tengelyekre illeszkednek az e: egyenest az pontjában érinti Adjuk meg a görbe egyenletét! 17 Adjuk meg az egyenletét annak a hiperbolának amelyiknek az e: aszimptotái: egyenes az egyik érintője! 1273 Parabola 1 Adjuk meg az egyenletét annak a parabolának amelynek tengelypontja az origó a) egyik pontja szimmetriatengelye az x tengely b) egyik pontja szimmetriatengelye az y tengely c) egyik pontja szimmetriatengelye az x tengely! 2 Határozzuk meg az egyenletét annak a parabolának amelynek tengelypontja az y tengelyen van szimmetriatengelye párhuzamos az x tengellyel két pontja: 3! Egy parabola szimmetriatengelye párhuzamos az y tengellyel három pontja: Adjuk meg a görbe egyenletét! 4 Egy parabola ívű híd hossza 120m középső legmagasabb pontja 12m-re emelkedik a vízszintes út fölé Függőleges tartóvasait 6 méterenként helyezik el Mekkora az 5 tartóvas hossza? 5 6 Az egyenletű parabolának adjuk meg azon pontjait amelyeknek az abszcisszája 2 majd határozzuk meg ezen pontokhoz tartozó érintők egyenletét! Az egyenletű parabolának a 6 abszcisszájú pontjában adjuk meg az érintőjét! Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM1-13

18 Geometriai példatár Az egyenletű parabolának határozzuk meg a 4 abszcisszájú pontját majd írjuk fel a görbe ezen pontjára illeszkedő érintőjének egyenletét! Határozzuk meg az a görbe ezen pontjára illeszkedő érintőjét! Adjuk meg az 17 egyenletű parabolának a 6 ordinátájú pontját majd adjuk meg egyenletű parabola f: Határozzuk meg az érintőjét! Az egyenessel párhuzamos érintőjét! egyenletű parabola f: Adott a pont az illeszkedő érintőit! egyenessel párhuzamos egyenletű görbe Határozzuk meg a görbe egyenletű parabolának határozzuk meg a Adjuk meg az tőjét! pontra pontra illeszkedő érintőit! egyenletű parabolának az f: egyenesre merőleges érin- Adjuk meg az x tengelynek azt a pontját amelyből az parabolához húzott érintők a csúcsérintővel egyenlő oldalú háromszöget alkotnak Határozzuk meg a háromszög másik két csúcsát területét is! Határozzuk meg az eső szakasza parabolának azon érintőit amelyeknek az érinti pont az x tengely közé egység Számítsuk ki a következő két parabola metszpontjait: g: h: Adott az egyenletű parabola Határozzuk meg az egyenletét annak a parabolának amelynek csúcspontja az adott parabola fókusza fókuszpontja pedig az adott parabola csúcsa Határozzuk meg a két parabola metszpontjait! 1274 Kúpszeletek a másodfokú kétismeretlenes egyenletek kapcsolata 1 Minek az egyenlete hogyan helyezkedik el a koordináta-rendszerben a következő egyenlettel megadott görbe? g: 2 Ábrázoljuk az alábbi egyenlettel megadott függvényt! 3 Minek az egyenlete hogyan helyezkedik el a koordináta-rendszerben a következő egyenlettel megadott görbe? g: 4 Mi lesz a grafikus képe az dott függvénynek? GEM1-14 egyenlettel mega- Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

19 Koordináta-geometria 128 Felületek 1 Határozzuk meg az pont ordinátáját úgy hogy az egyenletű gömb felületére! Adjuk meg a gömb pont illeszkedjen az pontjára illeszkedő érintősíkját is! 2 Határozzuk meg az e: tel alkotott metszpontjait! 3 4 egyenesnek az egyenletű gömbfelület- Adott egy S: sík egy gömbfelület g: az S síkkal párhuzamos érintősíkjait! Határozzuk meg az pont applikátáját Határozzuk meg a gömbnek úgy hogy az E pont egyenletű ellipszoid felületére! Adjuk meg a felületnek az illeszkedjen a pontjára illesz- kedő érintősíkját is! 5 6 Adjuk meg az e: szpontjait! egyenesnek az ellipszoiddal alkotott met- Adott egy S: sík egy ellipszoid: lipszoidnak az S síkkal párhuzamos érintősíkjait! Határozzuk meg az el- 129 Összefoglaló feladatsorok Ezek a feladatsorok azt a célt szolgálják hogy a hallgatók a zárthelyi dolgozatok előtt mérni tudják önmaguk felkzültségét Elsődlegesen azt érdemes ezekkel a feladatsorokkal gyakorolni hogy a hallgató képes legyen adott idő alatt eredményesen megoldani a kitűzött példákat 1 feladatsor 1 2 Az háromszög csúcsai a következők: lévő szöge? Egy paralelepipedon alaplapja alaplap egyik élvektora: az paralelogramma oldalélei ; az alaplap csúcsból induló testátló-vektor: Mekkora az csúcsnál Adott az csúcsából induló lapátló-vektora: Mekkora a térfogata? 3 Adott az egyenletű egyenes Toljuk el origó körül forgassuk el vektorral majd az azonos vektorral eltolt -kal Mi lesz az új (transzformált) egyenes egyenlete? 4 Adott az e: egyenes Adja meg annak az f egyenesnek az egyenletét amelyre teljesül hogy az e f egyenesek egyik szögfelezője illeszkedik a 5 a pontokra Adott egy téglalap három csúcsa: Határozzuk meg a téglalap középpontján áthaladó a téglalap síkjára merőleges egyenes egyenletrendszerét! Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM1-15

20 Geometriai példatár feladatsor 1 Egy paralelogramma három csúcsa átlója az távolságát! 2 szakasz Határozzuk meg a Adott az e: egyenletű egyenes a 30o-os szöget bezáró egyenesek egyenletét! Adott az illetve oldalegyenesek Legyen a kocka középpontja Határozzuk pont Határozzuk meg a -n áthaladó e egyenessel függvény grafikonja Toljuk el a koordináta-rendszert az majd forgassuk el az új origó körül szerben! 5 a paralelogramma egyik csúcsaival: meg az alábbi két sík hajlásszögét: 4 csúcs koordinátáit az Adott az alábbi kocka 3 vektorral -kal Adjuk meg a görbe egyenletét az új koordináta-rend- Egy tetraéder csúcsai Írjuk fel a csúcson át húzható magasságvonal egyenletrendszerét határozzuk meg a magasság talppontjának koordinátáit! 3 feladatsor 1 2 Adott három pont a) Határozzuk meg a három pont síkjának az origótól való távolságát! b) Határozzuk meg a síknak a koordináta-tengelyekkel vett metszpontjait! c) Határozzuk meg a háromszög síkja a koordináta-síkok által bezárt tetraéder térfogatát! Írja fel a pontból a k: egyenletű körhöz húzott érintők egyenletét! 3 Az ábrán látható hídszerkezet íve egy parabola tengelyesen szimmetrikus darabja A híd adatai: hossza 80m magassága (a 4 tartó hossza) 20m Határozza meg hogy mekkora szöget zár be a 6 tartóelem az ívvel! 1 ábra 1 Adja meg a g: érintősíkjait! gömbnek az S: egyenletű síkkal párhuzamos 2 Határozza meg az egyenletű ellipszoid az egyenes döfpontjait! GEM1-16 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

21 Koordináta-geometria 13 Megoldások 131 Mátrixok determinánsok (Megoldások) 1 a) b) c) e) Nem mert a d) mátrix sorainak száma nem egyezik meg az mátrix oszlopainak számával Vektorok (Megoldások) 1 A merőlegesség feltétele az hogy a skaláris szorzat értéke 0 legyen Az így kapott egyenlet megoldása: 2 A két vektor skaláris szorzatát felírjuk a definíció illetve a koordinátákkal történő kiszámítási mód alapján Az így kapott kifejezeket egyenlővé téve olyan egyenletet nyerünk amelyiknek a megoldása: x=5 egység 3 4 A megoldás lépei: a) Előbb meghatározzuk az (av=6 egység) b) Ezzel szorozva a -nak a vektor egyenesén lévő merőleges vetületét irányába mutató egységvektort olyan egyenesével párhuzamos összetevője Ezt vektoregyenletből megkapjuk azt a az vektornak a -val jelölve: vektort amely merőleges a vektoregyenlet segítségével nyerjük a keresett Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 vektorhoz jutunk amely az c) Az egyenesére: d) Végül vektort GEM1-17

22 Geometriai példatár Legyen ; ; ahol der csúcsait jelöltük Ekkor az az háromszögben a -vel a szabályos tetraé Az említett jelöl esetén élek szemben lévők (kitérő élpár) Vizsgáljuk meg ezen élek vektorainak skaláris szorzatát! Mivel a tetraéder szabályos ezért minden éle azo- nos hosszúságú azaz Ezt a jelölt alkalmazva: Tehát: Tudjuk hogy két vektor merőlegességének szükséges elégséges feltétele hogy skaláris szorzatuk nulla legyen ezért 6 Az A csúcsból induló vektorok vektoriális szorzata: ahol A háromszög te- rülete: 7 A feladat megoldásának elve az előző feladatéval azonos Itt is felírható az oldalvektorok vektoriális szorzata melyben ismeretlenként szerepel y (C ordinátája) Felhasználva hogy most ismerjük a háromszög területét felírhatjuk az erre vonatkozó egyenletet ebből az y-ra két értéket kapunk: 8 Jelöljük a metszpontból induló vektorokat az ábrán látható módon 2 ábra Ezt a jelölt azért alkalmazhatjuk mert a trapéz alapjain nyugvó háromszögek szögeik egyenlősége miatt hasonlóak a) Ezek tehát egyenlők b) Tehát Megjegyz: A fenti átalakításoknál felhasználtuk hogy két vektor vektoriális szorzata a skalárral (λ) való szorzásra nézve asszociatív 1 V=3 térfogategység 2 Két megoldás van: Megjegyz: Érdemes megfontolni hogy miért adódik két megoldás Ez annak köszönhető hogy az lap síkjához képest a csúcs a z koordináta-tengellyel párhuzamosan mozoghat hiszen ezt jelenti hogy a harmadik koordinátája ismeretlen A mozgás során kétszer kerül olyan GEM1-18 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

23 Koordináta-geometria helyzetbe (egyszer az meg az 3 síkja alatt egyszer pedig felette ) hogy egyenlő térfogatú gúlákat határoz oldallappal A pont második koordinátája: A feladat megoldása azon alapul hogy a négy pont úgynevezett elfajuló tetraédert határoz meg amelynek térfogata nulla Alkalmazható tehát a tetraéder térfogatára vonatkozó képlet 4 Mivel a paralelepipedon élei párhuzamosak az adott vektorokkal ezért felírhatók ezen vektorok számszorosaiként Így a testátló vektor az alábbi módon nyerhető: Tudjuk hogy ha a vektorokra fennáll ez az összefügg akkor fennáll a vektorok koordinátáira is Ekkor a következő egyenletrendszert kapjuk: szer megoldása: ; Az egyenletrend; Végül a térfogat: V=84 térfogategység 133 Koordináta-rendszerek transzformációi (Megoldások) azaz A pont analitikus geometriája (Megoldások) 1 Az szakaszt a koordinátákra alkalmazva: 2 arányban osztó pontra vonatkozó összefügg: ; ; Ezt 3 A tetraéder súlypontvektora: Ezt az összefüggt a csúcsok koordinátáira alkalmazva: Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM1-19

24 Geometriai példatár A súlypontvektorra vonatkozó vektoregyenletet ve: Innen: re (a csúcs helyvektorára) átrendez- 135 Az egyenes analitikus geometriája (Megoldások) 1 2 a) Az egyenesnek az origótól való távolsága koordinátaegység b) T=16 területegység 3 4 A távolság létezik mert párhuzamosak mivel meredekségük egyenlő ( esik ezért távolságuk az origótól mért távolságuk összege: ) Az origó a két egyenes közé koordinátaegység 5 Az adott egyenes irányszöge valamint az adott a keresett egyenes egymással bezárt szöge segítségével meghatározható a keresett egyenes irányszöge majd ebből a meredeksége Az alábbi megoldások adódnak: f1: f2: 6 A keresett pontot a két adott egyenes középpárhuzamosának a két adott pont által meghatározott szakasz felezőmerőlegesének metszpontja adja: 7 8 A feladat egyik lehetséges megoldása: Felírjuk a letét (f) meghatározzuk t f metszpontját ( vektort A kapott tükörkép: ponton áthaladó t egyenesre merőleges egyenes egyen) majd hez ( helyvektorához) hozzáadjuk a 9 A fizika törvényei szerint a beesi visszaverődi szög megegyezik Ezért a visszavert fénysugár egyenese átmegy az előbbi feladat melynek egyenlete: (tükörkép) pontján a ponton E két pontot összekötő egyenes a megoldás 10A sík két egyenesétől egyenlő távolságra lévő pontjainak mértani helyét a szögfelező egyenesek pontjai adják Ezek egyenlete: f1: f2: egyenes metszpontjaként nyerjük: A megoldást az előbbi szögfelezők a g 11Az egyenes egyenletrendszere abban az esetben ha tartópontként az A pontot választjuk: Ha a B pontot választjuk tartópontnak: Megjegyz: Bár a két egyenletrendszer formailag különbözik ennek ellenére mind a kettőhöz ugyanaz a térbeli egyenes tartozik (Azt is szoktuk mondani hogy a két egyenletrendszerhez tartozó egyenesek egybeesnek) GEM1-20 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

25 Koordináta-geometria 12A két egyenes egybeeső 13A g h egyenes párhuzamos 14 A két egyenes metsző a metszpont 15A két egyenes kitérő 136 A sík analitikus geometriája (Megoldások) 1 2 A sík egyenlete: origótól való távolsága 2 egység A sík az abszcissza tengelyt az az ordináta tengelyt az az applikáta tengelyt a pontokban metszi 3 A két sík metszvonalának egyenletrendszere: m: Megjegyz: Ha a megoldás során formailag más egyenletrendszer jön ki attól még lehet az jó ha az előbbivel egybeeső egyenest határoz meg Ezt kell leellenőrizni 4 Ha egy egyenes két síkkal párhuzamos akkor a két sík metszvonalával is párhuzamos A keresett egyenes egyenletrendszere: f: ekvivalens egyenletrendszer jön ki Megjegyz: Itt is előfordulhat hogy formailag más f-fel 5 M(1;2;1) 6 A feladat egyik lehetséges megoldása: Felírjuk a ponton áthaladó S síkra merőleges egyenes egyenlet- rendszerét (f) meghatározzuk S f metszpontját ( a vektort A kapott tükörkép: ) majd hez ( helyvektorához) hozzáadjuk 7 e*: 8 Az Megjegyz: Lásd a 3 feladatot síkkal alkotott metszpont: (második nyompont) Az 9 10 (első nyompont) Az síkkal alkotott metszpont: síkkal alkotott metszpont: (harmadik nyompont) S*: 11 f: F: Megjegyz: Lásd a 3 feladatot Azon pontok mértani helye a térben amelyek két ponttól egyenlő távolságra vannak az zőmerőleges síkja Ebből metszi ki az f egyenes a keresett Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 pontot szakasz fele- GEM1-21

26 Geometriai példatár Az S síktól 2 koordinátaegységre lévő pontok mértani helye két olyan az S síkkal párhuzamos sík amelyeket az S normálegyenletének segítségével könnyen megkaphatunk Az e egyenesnek ezen síkokkal alkotott döfpontjai adják a megoldást: 15 Mivel a síkok párhuzamosak csak egy ilyen pont van: 16Mind a két síktól egyenlő távolságra lévő pontok mértani helye a két szögfelező sík (Mivel az adott síkok nem párhuzamosak) Megoldások: 17 Az egyenesek párhuzamosak keressük tehát a középpárhuzamost: t: Lásd a 3 feladatot 18 Vizsgáljuk meg a két egyenes kölcsönös helyzetét Mivel metszőek metriatengely Vegyük zre hogy a két egyenes tartópontja az (3 egység) t1: Megjegyz: S: t2: ezért létezik kettő szim- metszponttól egyenlő távolságra van Megjegyz: Lásd a 3 feladatot S: Az S síkot az e egyenes a két pont által meghatározott szakasz határozza meg 21Két nem párhuzamos síktól egyenlő távolságra lévő pontok mértani helye a szögfelező síkok Ezeknek a z tengellyel való metszpontjai a megoldások: M( 22 ) N( ) 137 Kúpszeletek (Megoldások) 1371 Ellipszis (Megoldások) GEM1-22 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

27 Koordináta-geometria 7 Mivel mind a két síkidom több szimmetriatengellyel rendelkezik ezért szükséges hogy egy-egy szimmetriatengely egybeessen Ebből következik hogy a másik két csúcs az abszcissza tengelyre szimmetrikusan fog elhelyezkedni Megoldások: e1: e2: e1: e2: e1: e2: 11 e1: 12 e2: Az ismeretlen érinti pontokon átmenő szelő egyenlete: A keresett érintők: e1: 15 e2: e2: Érinti pontok Érinti pontok Az ismeretlen érinti pontokon átmenő szelő egyenlete: Érintők: e1: Érinti pontok Az ismeretlen érinti pontokon átmenő szelő egyenlete: Érintők: e1: e2: 17Az ellipszisnek két olyan érintője van amelyek párhuzamosak az f egyenessel Az ezekhez tartozó érinti pontok egyike legközelebb a másik pedig legtávolabb van az f egyenestől Megoldás: 18 19A téglalap az ellipszis szimmetriatengelyeinek egybe kell esniük Ezt alapul véve a következő megoldást kapjuk: 20 h: 1372 Hiperbola (Megoldások) 1 2 aszimptoták: 3 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM1-23

28 Geometriai példatár koordinátaegység 7 8 A két szimmetriatengely miatt a feladatnak mind a négy síknegyedben van egy-egy megoldása Az első negyedben lévő megoldás: e1: e1: e2: e2: e1: e2: h: Az érinti pontokon átmenő szelő egyenlete: érinti pontokat Az érintők: e1: 14 Ez a szelő a görbéből kimetszi az e2: Az érinti pontokon átmenő szelő egyenlete: érintők: e1: e2: Az érinti pontok: az 15Mivel a keresett érintő egyenlő távolságra van két ponttól ezért átmegy a két pont által meghatározott szakasz felezi pontján Tehát a feladat ennek ismeretében az hogy adjuk meg a görbe azon érintőit amelyek illeszkednek az Megoldások: e1: fókuszpont az e2: középpont szakaszának felezőpontjára Nem ismerjük a hiperbola féltengelyeit (az a-t b-t) továbbá az érinti pont koordinátáit A fel- sorolt négy ismeretlen meghatározásához négy egyenletre van szükség Ezek a következők: a) mert az illeszkedik a görbére b) egyenletet az adott aszimptotából kapjuk d) GEM1-24 mert az pont rajta van az adott érintőn c) mert a görbe egyenletéből nyerhető érin- Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

29 Koordináta-geometria tő meredeksége azonos az adott érintő meredekségével A felsorolt négy egyenletből álló egyenletrendszer megoldása: Végül a hiperbola egyenlete: 1373 Parabola (Megoldások) 1 a) b) c) 2 vagy 3 4 Ha a parabolát úgy helyezzük el a koordináta-rendszerben hogy a tengelypontja az y tengelyre esik az út szintje az x tengely akkor a görbe egyenlete: e1: e: Az ötödik tartóvas hossza 9m e2: e: e: 9 e: e: Az érinti pontokon átmenő szelő egyenlete: érintők: e1: e2: Az érinti pontok Az 12 Az érinti pontokon átmenő szelő egyenlete: Az érintők: e1: e2: e: Az érinti pontok Az érinti pontok: T= területegység Az érintők: e1: e2: 16Nincs közös pontjuk 17 ; M1( ) M2( Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 ) GEM1-25

30 Geometriai példatár Kúpszeletek a másodfokú kétismeretlenes egyenletek kapcsolata (Megoldások) 1 A görbe csak hiperbola lehet Mivel az egyenletben szerepel az úgynevezett vegyesszorzat ( ) ezért elforgatott helyzetű a hiperbola Ha a koordináta-rendszert -kal elforgatjuk akkor ebben az új koordináta-rendszerben a görbe szimmetriatengelyei párhuzamosak lesznek az új koordináta-rendszer tengelyeivel A hiperbola valós tengelye 6 képzetes tengelye 4 koordinátaegység 2 A grafikon egy elforgatott parabola lesz A koordináta-rendszert -kal elforgatva olyan új koordináta-rendszert kapunk amelyben a görbe szimmetriatengelye párhuzamos lesz az új koordinátarendszer valamelyik tengelyével A görbe tengelypontja az origóban lesz paramétere 3 4 A függvény grafikus képe egy elforgatott ellipszis lehet A koordináta-rendszert -kal kell elforgatni ahhoz hogy megszűnjön a grafikon csavart helyzete Az ellipszis középpontja az origóban lesz Az elforgatott x tengelyre eső tengely (nagytengely) 6 egység a kistengely 524 egység lesz A grafikus kép egy ferde tengelyű parabola lehet A koordináta-rendszert -kal elforgatva a görbe tengelyei párhuzamosak lesznek az elforgatott koordináta-rendszer tengelyeivel Az új koordinátarendszerben a parabola tengelypontja: pont lesz paramétere pedig 138 Felületek (Megoldások) 1 Az pontra illeszkedő érintősík: kedő érintősík: 2 Az pontra illesz- 3 Az érinti pontokat egy olyan f egyenes metszi ki a gömb felületéből amely illeszkedik a gömb középpontjára (origóra) merőleges az S síkra Ennek az egyenletrendszere: si pontok: Az érinté- az ezekre illeszkedő érintősíkok: S1: illetve S2: Megjegyz: Az E1 E2 pontok a gömbfelület azon pontjai amelyek az S síkhoz a legközelebb illetve a legtávolabb vannak Továbbá vegyük zre hogy a két érinti pont a felület középpontjára (ami az origó) szimmetrikusan helyezkedik el (mivel a felület centrálisan szimmetrikus) 4 Az pontra illeszkedő érintősík: leszkedő érintősík: 5 6 Az érinti pont Az ismeretlen koordinátáinak meghatározásához fel kell használni az adott S síknak a felület egyenletéből nyerhető Sé: GEM1-26 pontra il- érintősíknak a Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

31 Koordináta-geometria párhuzamosságát Így az érinti pontok: tősíkok: S1: valamint az ezekre illeszkedő érin- S2: 139 Összefoglaló feladatsorok (Megoldások) 1 feladatsor (Megoldás) 1 Tulajdonképpen az A csúcsból induló oldalvektorok hajlásszöge a kérd: 2 V=33 térfogategység 3 Az elmozgatott egyenes egyenlete: 4 A metsző egyenesek tengelyes tükörképek a szögfelezőkre nézve Ebből adódóan az egyik lehetséges megoldás ha az e egyik irányvektorát leolvassuk tükrözzük a mivel vektor egyenesére (alapfeladat) s illeszkedik az e egyenesre ezen keresztül a kapott tükörkép-vektorral mint irányvektorral fel- írhatjuk a keresett egyenes egyenletét: 5 A három csúcs által meghatározott szakaszok hossza: téglalap középpontja tehát a BC oldal felezi pontja F( ) A keresett egyenes irányvektora A Az egyenes egyenletrendszere: 2 feladatsor (Megoldás) 1 Kiszámítjuk az átló felezi pontjának koordinátáit: csot határozzuk meg: Meghatározzuk Innen a csú- oldalvektorokat: Ezekből a paralelogramma területét határozzuk meg mert a két oldal egyenesének távolsága nem más mint a két oldalhoz tartozó magasság értéke A paralelogramma területe: területegység Az egység Innen a keresett távolság: 2 egység A koordinátákból megállapítható hogy a kocka az [xy] koordinátasíkon áll alaplapja az fedőlapja lezi pontjaként: négyzet négyzet A kocka középpontját meghatározhatjuk az egyik testátlójának (pl: Meghatározzuk az ebből Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 sík normálvektorát: Meghatározzuk az ) fe- sík normálvektorát: GEM1-27

32 Geometriai példatár ebből hajlásszöge: A két normálvektor Így a két sík hajlásszöge is 60o innen 3 A feladathoz érdemes olyan ábrát kzíteni amely feltünteti a keresett egyenes lehetséges helyzetét így az alább közölt megoldás is érthetőbb lesz (Az ábra alapján az is kiderül hogy a feladatnak két megoldása van) Az adott egyenes irányszöge a meredekség alapján Tekintsük azt a háromszöget amelyet az alábbi metszpontok határoznak meg: - a keresett egyenes az adott egyenes metszpontja - az adott egyenes x tengellyel vett metszpontja - a keresett egyenes x tengellyel vett metszpontja Ennek a háromszögnek a belső a külső szögeire vonatkozó tételek alapján meghatározhatjuk a keresett egyenes irányszögét Az első esetben: innen az egyenes egyenlete: e1: A másik esetben egyenlete: e2: innen az egyenes 4 A koordináta-rendszer transzformációinak törvényeit felhasználva kapjuk az új rendszerbeli egyenletet: Ezt átalakítva (2-es alapra emelve) kapjuk: ahonnan a középiskolából ismert alak is előállítható: 5 A megoldás menete: Meghatározzuk az háromszög síkjának egyenletét valamint a ponton átha- ladó a síkra merőleges egyenes (magasságvonal) egyenletrendszerét Ezek metszpontja adja a tot A sík normálvektora ennek a vektornak a huszad rze is megfelel a sík egyenletének felírásához A sík egyenlete:s: A magasságvonal irányvektora megegyezik a sík nornálvektorával felírhatjuk tehát az egyenletrendszert: m: egyenes döfpontja: talppon- A sík az 3 feladatsor (Megoldás) 1 Meghatározzuk a háromszög síkjának normálvektorát: Ennek tizenhatod rze is megfelel a sík felírásához A sík egyenlete S: tengellyel alkotott metszpont alkotott metszpont 2 A keresett érintők egyenletei: e1: Az origó távolsága Az y tengellyel alkotott metszpont A tetraéder térfogata: egység Az x A z tengellyel térfogategység e2: 3 Helyezzük a hidat a koordináta-rendszerbe úgy hogy az origó a 4 tartóelem talppontja legyen a híd alapja pedig illeszkedjen az x tengelyre A koordináta rendszerben 1egység=20m legyen Ekkor a parabolaív egyenlete három pontjának elhelyezkedének ismeretében felírható: GEM1-28 Ebből kiszámolhatók Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

33 Koordináta-geometria a 6 tartóelem felső pontjának koordinátái A keresett szög a parabola pontbeli érintőjének a tartóelem függőleges egyenesének a hajlásszöge lesz A -beli érintő egyenlete: A meredekségből meghatározható az érintő irányszöge α=-266o Ezen szög abszolút értékének pótszöge azaz 634o a megoldás 4 Először meghatározzuk a keresett síkok leendő érinti pontjait: A keresett síkok normálvektora megegyezik az S sík normálvektorával mivel ezen síkok párhuzamosak Ezekből már felírható a keresett síkok egyenlete: S1: 5 S2: Az alakzatokból nyert egyenletrendszert kell megoldani A keresett döfpontok: Irodalomjegyzék Baboss Csaba : Geometria I Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai kar Székesfehérvár 2007 Coxeter H S M: A geometriák alapjai Műszaki Könyvkiadó Budapest 1973 Hajós György : Bevezet a geometriába Tankönyvkiadó Budapest 1966 Kárteszi Ferenc : Bevezet a véges geometriákba Akadémia Kiadó Budapest 1972 Kárteszi Ferenc : Lineáris transzformációk Tankönyvkiadó Budapest 1974 Reiman István : A geometria határterületei Gondolat Könyvkiadó 1986 Pelle Béla : Geometria Tankönyvkiadó Budapest 1974 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM1-29

34

35 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Baboss Csaba Szabó Gábor Geometriai példatár 2 GEM2 modul Metrikus feladatok SZÉKESFEHÉRVÁR 2010

36 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999 évi LXXVI törvény védi Egzének vagy rzeinek másolása felhasználás kizárólag a szerző írásos engedélyével lehetséges Ez a modul a TÁMOP /1/A Tananyagfejlesztsel a GEO-ért projekt keretében kzült A projektet az Európai Unió a Magyar Állam Ft összegben támogatta Lektor: Németh László Projektvezető: Dr hc Dr Szepes András A projekt szakmai vezetője: Dr Mélykúti Gábor dékán Copyright Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

37 Tartalom 2 Metrikus feladatok 1 21 Bevezet Alapvető fogalmak Összefüggek tételek képletek 2 22 Metrikus feladatok Szögekkel kapcsolatos feladatok Távolsági feladatok 8 23 Metrikus feladatok - MEGOLDÁSOK Szögekkel kapcsolatos feladatok (Megoldások) Távolsági feladatok (Megoldások) 14

38

39 2 fejezet - Metrikus feladatok 21 Bevezet Ez a modul az analitikus geometria azon feladatait gyűjtötte egybe amelyek az egyes térelemek távolságának hajlásszögének a meghatározását igénylik A feladatok előtt rövid elméleti összefoglalást adunk az egyes fogalmakról tételekről 211 Alapvető fogalmak Két pont távolsága: alapfogalom Szakasz hosszán a két végpontjának távolságát értjük Két ponthalmaz távolsága: A két ponthalmaz pontjai között behúzható összes szakasz hosszának infimuma (alsó határa) Zárt alakzatok esetén ez a legrövidebb szakasz Két ponthalmaz távolsága nulla ha van közös pontjuk vagy közös határuk Tehát metsző illetve illeszkedő térelemek távolsága nulla Pont egyenes távolsága: A pontból az egyenesre bocsátott merőleges szakasz hossza Pont sík távolsága: A pontból a síkra állított merőleges egyenes döfpontjának az adott pontnak a távolsága Két párhuzamos egyenes távolsága: Az egyik egyenes tetszőleges pontjának a másik egyenestől vett távolsága Kitérő egyenesek normáltranszverzálisa: Bizonyítható hogy két kitérő egyenes esetében pontosan egy olyan egyenes létezik amelyik mindkettőt metszi mindkét egyenesre merőleges Ez az egyenes a két kitérő egyenes normáltranszverzálisa Két kitérő egyenes távolsága: A normáltranszverzálisnak a kitérő egyenesekkel alkotott metszpontjai közé eső szakasza Egyenes vele párhuzamos sík távolsága: Az egyenes tetszőleges pontjának a síktól vett távolsága Két párhuzamos sík távolságán az egyik sík tetszőleges pontjának a másik síktól vett távolságát értjük Két metsző egyenes hajlásszöge: A metszpont körül keletkezett szögtartományok (2-2 egybevágó szög) közül a kisebbik Két kitérő egyenes hajlásszöge: Az a szög melyet úgy kapunk hogy az egyik egyenest önmagával párhuzamosan eltolva a másikkal metsző helyzetbe hozzuk az így keletkező immáron metsző egyenesek hajlásszöge lesz a két kitérő egyenes hajlásszöge Egyenes sík merőleges helyzete: Egy egyenes akkor merőleges egy síkra ha merőleges a sík összes egyenesére Bizonyítható hogy ha egy egyenes merőleges a sík két egymást metsző egyenesére akkor merőleges az összes egyenesére azaz merőleges a síkra Egyenes sík hajlásszögén az egyenesnek az adott síkra eső merőleges vetületének az adott egyenesnek a hajlásszögét értjük Két metsző sík hajlásszöge: A két sík metszvonalának egy pontjában a metszvonalra merőleges egyeneseket állítunk mindkét síkban az így nyert egyenesek hajlásszöge lesz a síkok hajlásszöge Ez a szög pótszöge az egyenes a sík normálisa által bezárt szögnek

40 Geometriai példatár Párhuzamos illetve egybeeső térelemek (sík egyenes) hajlásszöge nulla 212 Összefüggek tételek képletek Vektor hossza (síkbeli koordinátákkal): Vektor hossza (térbeli koordinátákkal): Az végpontú szakasz illetve vektor hossza: Két vektor skaláris szorzata: Két vektor skaláris szorzata síkbeli koordinátákkal: Két vektor skaláris szorzata térbeli koordinátákkal: Az vektorok vektoriális szorzatán azt a vektort értjük amelyik merőleges mindkét adott vektorra az hossza: vektorok ebben a sorrendben jobbrendszert alkotnak a Két vektor vektoriális szorzata koordinátákkal: Paralelogramma területe ha az egy csúcsból induló oldalélvektorokat -val -vel jelöljük: Háromszög területe ha az egy csúcsból induló oldalélvektorokat -val -vel jelöljük: Három vektor vegyes szorzatán a következő műveletet értjük: Paralelepipedon térfogata ha az egy csúcsból induló oldalélvektorokat -vel jelöljük: Tetraéder térfogata ha az egy csúcsból induló oldalélvektorokat -vel jelöljük: GEM2-2 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

41 Metrikus feladatok Az csúcsú háromszög súlypontjának koordinátái: A pontra illeszkedő egyenes egyenletei (síkban): - gel: Az irányvektorral: normálvektorral: - meredekség- (Az egyenes meredeksége az irányszögének a tangense) egyenes normálegyenlete: Ha az egyenest általános alakban írjuk fel azaz formában akkor ebből a normálegyenletet a következő alakban nyerjük: A pont egy adott egyenes távolsága: egyenes egyenletének nullára rendezett alakjából nyerhető ahol a tört számlálója az A koordináta-síkon adott két egyenes ( ahol mazható) ) hajlásszögének meghatározása: a két egyenes normálvektora (Ugyanez az összefügg az irányvektorokkal is alkal- Két egyenes hajlásszöge meredekségekkel: Két metsző egyenes szögfelezőinek egyenletét az adott egyenesek normálegyenleteinek összege illetve különbsége adja A kör általános egyenlete: sugara A kör ahol pontjában húzható a kör középpontja érintőjének az pedig a egyenlete: A külső pontból az általános egyenletével adott körhöz húzható érintők érinti pontjain áthaladó szelő egyenletét úgy kapjuk hogy a koordinátáit az érintő általános egyenletébe behelyettesítjük Ekkor tehát az egyenlet az előbb említett szelő egyenletét adja Ez az eljárás a továbbiakban előkerülő kúpszeletek mindegyikére alkalmazható Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM2-3

Geometriai példatár 2.

Geometriai példatár 2. Geometriai példatár 2 Metrikus feladatok Baboss, Csaba, Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Szabó, Gábor, Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Geometriai példatár 2: Metrikus feladatok

Részletesebben

Geometriai példatár 2.

Geometriai példatár 2. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Baboss Csaba Szabó Gábor Geometriai példatár 2 GEM2 modul Metrikus feladatok SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999 évi

Részletesebben

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2 3... Egyenes szíjhatás esetén milyen hosszú szíj szükséges 50 cmes és 6 cm-es sugarú tárcsák összekapcsolásához, ha a tárcsák tengelyeinek távolsága 335 cm? 3... Csónakkal akarunk a folyó túlsó partjára

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális

Részletesebben

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5 Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták 1. Mik lesznek a P (3, 4, 8) pont C (3, 7, 2) pontra vonatkozó tükörképének a koordinátái? 2. Egy szabályos hatszög középpontja K (4, 1, 4),

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre

Részletesebben

Analitikus térgeometria

Analitikus térgeometria 5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.

Részletesebben

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.

Részletesebben

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

9. előadás. Térbeli koordinátageometria

9. előadás. Térbeli koordinátageometria 9. előadás Térbeli koordinátageometria Koordinátageometria a térben Descartes-féle koordinátarendszerben dolgozunk. A legegyszerűbb alakzatokat fogjuk vizsgálni. Az ezeket leíró egyenletek első-, vagy

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 14 XIV NEVEZETES GÖRbÉk 1 AZ EGYEnES EGYEnLETE A és pontokon átmenő egyenes egyenlete: (1), Az hányados neve iránytényező (iránytangens, meredekség) A ponton átmenő, m iránytangensű

Részletesebben

= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0;

= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0; 98 Az egyenes egyenletei. a) A( 0) B(0 6) AB_ - 6i& n( ) x + y = b) x - y =- c) 6x - y = 0 d) 6x + y = e) x + y = f) x + y = a g) x - y = a.. A(a 0) B(0 b) AB_ -a bi n (b a) bx + ay = ab osszuk el a $

Részletesebben

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok

Részletesebben

20. tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek.

20. tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek. . tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek. Először megadom a síkbeli definíciójukat, mert ez alapján vezetjük le az egyenletüket. Alakzat

Részletesebben

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27. Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

5. előadás. Skaláris szorzás

5. előadás. Skaláris szorzás 5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III. Geometria III. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v. DEFINÍCIÓ: (Geometriai transzformáció) Geometriai transzformációnak

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket

Részletesebben

Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása

Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása 1 Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása Ehhez tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra Itt az ( u, v, w ) tengelymetszeteivel adott S síkot látjuk, az Oxyz térbeli derékszögű koordináta -

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

8. előadás. Kúpszeletek

8. előadás. Kúpszeletek 8. előadás Kúpszeletek Kör A k kört egyértelműen meghatározza C(a,b) középpontja és r sugara. A P pont pontosan akkor van k-n, ha CP=r. Vektoregyenlet: p-c = r. Koordinátás egyenlet: (X-a)2 + (Y-b)2 =

Részletesebben

Analitikus térgeometria

Analitikus térgeometria Analitikus térgeometria Wettl Ferenc el adása alapján 2015.09.21. Wettl Ferenc el adása alapján Analitikus térgeometria 2015.09.21. 1 / 23 Tartalom 1 Egyenes és sík egyenlete Egyenes Sík 2 Alakzatok közös

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

Vektoralgebra. 1.) Mekkora a pillanatnyi sebesség 3 s elteltével, ha a kezdősebesség (15;9;7) m/s, a gravitációs gyorsulás pedig (0;0;-10) m/s 2?

Vektoralgebra. 1.) Mekkora a pillanatnyi sebesség 3 s elteltével, ha a kezdősebesség (15;9;7) m/s, a gravitációs gyorsulás pedig (0;0;-10) m/s 2? Vektoralgebra Elmélet: http://digitus.itk.ppke.hu/~b_novak/dmat/vektorfolcop.pdf Mikor érdemes más, nem ortonormált bázist alkalmazni? Fizikában a ferde hajításoknál megéri úgynevezett ferdeszögű koordináta-rendszert

Részletesebben

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat

3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat 3. előadás Elemi geometria Terület, térfogat Tetraéder Négy, nem egy síkban lévő pont által meghatározott test. 4 csúcs, 6 él, 4 lap Tetraéder Minden tetraédernek egyértelműen létezik körülírt- és beírt

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1.

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1. Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás). Feladat. Írjuk fel az f() = függvény 0 = pontbeli érintőjének egyenletét! Az érintő egyenlete y

Részletesebben

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1 Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az

Részletesebben

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2 Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

Feladatok az 1. Geometria gyakorlathoz Geometria 1 haladó szint (2011/2012 es tanév, 2. félév)

Feladatok az 1. Geometria gyakorlathoz Geometria 1 haladó szint (2011/2012 es tanév, 2. félév) Feladatok az 1. Geometria gyakorlathoz 1) Az euklideszi síkon adva van két egyenlő sugarú kör k 1 és k 2, amelyek az M, N pontokban metszik egymást. Jelölje r a két kör sugarát. Az M ponttal, mint centrummal,

Részletesebben

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam I. Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzetet 1) a pont, az egyenes, a sík és az illeszkedés alapfogalmak 2) két egyenes metsző, ha van közös pontjuk

Részletesebben

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon

Részletesebben

A vektor fogalma (egyszer

A vektor fogalma (egyszer Vektorműveletek a koordináta-rendszerben Vektorműveletek a koordináta-rendszerben Elméleti anyag: A vektor fogalma (egyszerű meghatározás): az irányított szakaszokat nevezzük vektoroknak. Egy vektornak

Részletesebben

EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY

EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY SÍKIDOMOK Síkidom 1 síkidom az a térelem, amelynek valamennyi pontja ugyan abban a síkban helyezkedik el. A síkidomokat

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 11. évfolyam 2. félév ESZKÖZÖK Matematika A 11. évfolyam 6. modul 6.1 kártyakészlet 6.1 kártyakészlet leírása A kártyákon pontok koordinátáit találjuk. A tanulók

Részletesebben

Klár Gergely 2010/2011. tavaszi félév

Klár Gergely 2010/2011. tavaszi félév Számítógépes Grafika Klár Gergely tremere@elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2010/2011. tavaszi félév Tartalom Pont 1 Pont 2 3 4 5 Tartalom Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 008-009. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára. Határozzuk meg az alábbi egyenletrendszer valós megoldásait. ( x

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria 1) Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 10.

Matematikai geodéziai számítások 10. Matematikai geodéziai számítások 10. Hibaellipszis, talpponti görbe és közepes ponthiba Dr. Bácsatyai, László Matematikai geodéziai számítások 10.: Hibaellipszis, talpponti görbe és Dr. Bácsatyai, László

Részletesebben

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,

Részletesebben

Geometria II gyakorlatok

Geometria II gyakorlatok Geometria II gyakorlatok Kovács Zoltán Copyright c 2011 Last Revision Date: 2012. május 8. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát technikával készült, a megjelenés

Részletesebben

Geometriai alapfogalmak

Geometriai alapfogalmak Geometriai alapfogalmak Alapfogalmak (nem definiáljuk): pont, egyenes, sík, tér. Félegyenes: egy egyenest egy pontja két félegyenesre bontja. Ez a pont a félegyenes végpontja. A félegyenes végtelen hosszú.

Részletesebben

Gyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van!

Gyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van! 1. Melyik a nagyobb? a) 6 5 vagy 5 7 b) vagy 11 10 vagy Gyökvonás 5 11 vagy 6 8 55 e) 7 vagy 60 16 1. Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket! a) 7 18 b) 1 5 75 8 160 810 650 8a 5 a 7a e) 15a

Részletesebben

2. tétel Egész számok - Műveletek egész számokkal. feleletvázlat

2. tétel Egész számok - Műveletek egész számokkal. feleletvázlat 1. tétel Természetes számok tízes számrendszer műveletek és tulajdonságaik Természetes számok, jele, jelölések, ábrázolása számegyenesen műveletek a természetes számok halmazán belül Tízes számrendszer

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

6. modul Egyenesen előre!

6. modul Egyenesen előre! MATEMATIKA C 11 évfolyam 6 modul Egyenesen előre! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 11 évfolyam 6 modul: Egyenesen előre! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Gyaorló feladato Eponenciális és logaritmusos ifejezése, egyenlete. Hatványozási azonosságo. Számítsd i a övetező hatványo pontos értéét! g) b) c) d) 7 e) f) 9 0, 9 h) 0, 6 i) 0,7 j), 6 ), l). A övetező

Részletesebben

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Kovács Zoltán Copyright c 2012 Last Revision Date: 2012. október 15. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát

Részletesebben

T T A. Összeállította: Vinczéné Varga Adrienn Kézi Csaba. Debreceni Egyetem Műszaki Kar Műszaki Alaptárgyi Tanszék

T T A. Összeállította: Vinczéné Varga Adrienn Kézi Csaba. Debreceni Egyetem Műszaki Kar Műszaki Alaptárgyi Tanszék T T A Összeállította: Vinczéné Varga Adrienn Kézi Csaba Debreceni Egyetem Műszaki Kar Műszaki Alaptárgyi Tanszék A függvény fogalma, tulajdonságok Függvény megadása Értelmezési tartomány Értékkészlet Zérushelyek

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 5.

Matematikai geodéziai számítások 5. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Dr Bácsatyai László Matematikai geodéziai számítások 5 MGS5 modul Hibaterjedési feladatok SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról

Részletesebben

Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül!

Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül! Laczkó László Készült a Fazekas ihály Oktatási Kulturális és Sport lapítvány támogatásával z árák elektronikus változatát Véges árton (009c) diák készítette feladat z hegyesszögű háromszög -nél levő szöge.

Részletesebben

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen 10. osztály 1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy ( a + b + c) 3 4 ab + bc + ca Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen A feladatban szereplő kettős

Részletesebben

Geometria II gyakorlatok

Geometria II gyakorlatok Geometria II gyakorlatok Kovács Zoltán Copyright c 2011 Last Revision Date: 2011. november 29. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát technikával készült, a megjelenés

Részletesebben

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Szakasz mert van két végpontja Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Tört vonal Szög mert van két szára és csúcsa Félegyenes mert van egy kezdőpontja 5 1 1 Két egyenes egymásra merőleges ha egymással

Részletesebben

2014/2015. tavaszi félév

2014/2015. tavaszi félév Hajder L. és Valasek G. hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom Geometria modellezés 1 Geometria modellezés 2 Geometria modellezés

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Koordinátageometria ) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrzek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Egyenesek MATEMATIKA 11. évfolyam középszint

Egyenesek MATEMATIKA 11. évfolyam középszint TÁMOP-3.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Egyenesek MATEMATIKA 11. évfolyam középszint Készítette: Nagy András Vasvár, 2010.

Részletesebben

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont) 1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)

Részletesebben

Geometria I. Szilágyi Ibolya. Matematika és Informatika Intézet EKF, Eger április 21.

Geometria I. Szilágyi Ibolya. Matematika és Informatika Intézet EKF, Eger április 21. Geometria I. Szilágyi Ibolya szibolya@ektf.hu Matematika és Informatika Intézet EKF, Eger 2006. április 21. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 1 / 77 Outline Szimmetrikus alakzatok, speciális

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója?

Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Feladatok 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy négyzet

Részletesebben

Geometriai transzformációk

Geometriai transzformációk Geometriai transzformációk 11 elemi geometriafeladat 10. és DG Matektábor 2016. október 6. Röviden a transzformációkról Tengelyes tükrözés 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október

Részletesebben

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2 10. Tétel Háromszög Tulajdonságok: - Háromszögnek nevezzük a sokszöget, ha 3 oldala, 3 csúcsa és 3 szöge van - A háromszög belső szögeinek összege 180 o - A háromszög külső szögeinek összege 360 o - A

Részletesebben

JAVÍTÓ VIZSGA 12. FE

JAVÍTÓ VIZSGA 12. FE JAVÍTÓ VIZSGA 12. FE TEMATIKA: Koordináta-geometria (vektorok a koordináta-rendszerben, egyenes egyenlete, két egyenes metszéspontja, kör egyenlete, kör és egyenes metszéspontjai) Sorozatok (számtani-

Részletesebben

Matematika pótvizsga témakörök 9. V

Matematika pótvizsga témakörök 9. V Matematika pótvizsga témakörök 9. V 1. Halmazok, műveletek halmazokkal halmaz, halmaz eleme halmazok egyenlősége véges, végtelen halmaz halmazok jelölése, megadása természetes számok egész számok racionális

Részletesebben

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba

Részletesebben

Feladatgyűjtemény Geometria I. kurzushoz

Feladatgyűjtemény Geometria I. kurzushoz Feladatgyűjtemény Geometria I. kurzushoz Vígh Viktor 1. Térelemek kölcsönös helyzete, illeszkedés 1.1. gyakorlat. Bizonyítsuk be, hogy ha három sík közül bármely kettő egy egyenesben metszi egymást, és

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög, 52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes

Részletesebben

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36 Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

4) Az ABCD négyzet oldalvektorai körül a=ab és b=bc. Adja meg az AC és BD vektorokat a és b vektorral kifejezve!

4) Az ABCD négyzet oldalvektorai körül a=ab és b=bc. Adja meg az AC és BD vektorokat a és b vektorral kifejezve! (9/1) Vektorok, Koordináta Geometria 1) Szerkessze meg az a + b és az a b vektort, ha a és b egy szabályos háromszögnek a mellékelt ábra szerinti oldalvektorai! 2) Az ABC háromszög két oldalának vektora

Részletesebben

14. Vektorok. I. Elméleti összefoglaló. Vektor. Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük:

14. Vektorok. I. Elméleti összefoglaló. Vektor. Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük: 14. Vektorok I. Elméleti összefoglaló Vektor Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük: Jelölés: a kezdő és a végpont megadásával: AB ; egy kisbetűvel: v, írásban aláhúzás is szokásos: a; nyomtatásban

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Hatvány, gyök, normálalak

Hatvány, gyök, normálalak Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő

Részletesebben

Pitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2

Pitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Pitagorasz-tétel A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező

Részletesebben

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika Hasonlóság kísérleti feladatgyűjtemény 10. osztályos matematika POKG 2015. Hasonló háromszögek oldalaránya 0. Keressük meg az alábbi háromszögek összetartozó oldalpárjait és arányossággal számítsuk ki

Részletesebben

12. Trigonometria I.

12. Trigonometria I. Trigonometria I I Elméleti összefoglaló Szögmérés A szög mérésének két gyakran használt módja van: fokban, illetve radiánban (ívmértékben) mérünk A teljesszög 0, ennek a 0-ad része az A szög nagyságát

Részletesebben

x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben?

x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben? . Mi az (x, y) koordinátákkal megadott pont elforgatás uténi két koordinátája, ha α szöggel forgatunk az origó körül? x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs

Részletesebben

Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7.

Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 2010. április 7. , alapfogalmak 2.1. Definíció A H 1, H 2,..., H n R (ahol n 2 egész szám) nemüres valós számhalmazok H 1 H 2... H n Descartes-szorzatán a következő halmazt értjük:

Részletesebben

Egybevágósági transzformációk. A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá.

Egybevágósági transzformációk. A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá. Egybevágósági transzformációk A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá. Egybevágósági transzformációk azok a geometriai transzformációk, amelyeknél bármely

Részletesebben

1. FELADAT. Írjuk fel az adott P ponton átmenő és az adott iránnyal párhuzamos egyenes explicit paraméteres és implicit egyenletrendszerét!

1. FELADAT. Írjuk fel az adott P ponton átmenő és az adott iránnyal párhuzamos egyenes explicit paraméteres és implicit egyenletrendszerét! 1. FELADAT. Írjuk fel az adott P ponton átmenő és az adott iránnyal párhuzamos egyenes explicit paraméteres és implicit egyenletrendszerét! 1.1. Kérdés. P (1,, ), v = (, 1, 4). 1.1.1. Megoldás. p = p 0

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Kombinatorika, halmazok Összeszámlálási feladatok Halmazok, halmazműveletek, halmazok elemszáma Logikai szita Számegyenesek intervallumok Algebra és

Részletesebben