Ferde kúp ellipszis metszete

Átírás

1 Ferde kúp ellipszis metszete A ferde kúp az első képsíkon lévő vezérkörével és az M csúcsponttal van megadva. Ha a kúpból ellipszist szeretnénk metszeni, akkor a metsző síknak minden alkotót végesben kell metszenie. Ha a metsző síkot az M pontba párhuzamosan eltoljuk, akkor a síknak a csúcsponton kívül nincs több közös pontja a kúppal. Ezért az eltolt sík első nyomvonala nem metsz bele a kúp alapkörébe. Az ábrán az eltolt sík az r 1 első nyomvonallal és az M ponttal van megadva, a metsző sík első nyomvonala n 1 és a sík párhuzamos az előbbivel. A továbbiakban a metsző síkot jelölje α. Ha kiválasztunk egy kúpalkotót, akkor azzal az α síkot elmetszve az ellipszis egy pontját kapjuk. Ez egy teljesen tetszőleges pont meghatározása esetén történhet. Határozzunk meg egy átmérőt! Az átmérő olyan tulajdonsággal rendelkezik, hogy a végpontokban húzott ellipszisérintők egymással párhuzamosak. Ezeket az érintőket a kúp megfelelő érintősíkjaiból az α sík fogja kimetszeni. Ha vesszünk két tetszőleges alkotó mentén az érintősíkokat, akkor a metszésvonalukkal párhuzamosan metszve azokat, egymással párhuzamos egyeneseket kapunk. Ezért most azt kell biztosítani, hogy a két érintősík metszésvonala párhuzamos legyen az α-val. Az érintősíkok metszésvonala áthalad az M ponton és az [r 1, M] síkban van,

2 ezért az első nyompontja az r 1 nyomvonalon lesz. Ezért a szerkesztésnél válasszunk ki egy tetszőleges R 1 pontot a nyomvonalon. Az i=r 1 M egyenes az érintősíkok metszésvonala, az R 1 -ből az alapkörhöz húzott a s 1 és b s 1 egyenesek az érintősíkok nyomvonalai. Az érintő síkokat α-val metszve a metszésvonalak párhuzamosak az i egyenessel és az a s 1, n 1, valamint a bs 1, n 1 metszéspontokból indulnak. Az érintősíkok a kúpot az a és b alkotókban érintik, ezekből az előbbi metszésvonalak metszik ki az ellipszis A és B pontját. A második képet illesztéssel szerkesztjük. Ha az AB-hez konjugált átmérőt szeretnénk meghatározni, akkor tudjuk, hogy a keresett C és D pontokban az az érintők az AB egyenessel lesznek párhuzamosak. Ekkor határozzuk meg azokat a kúpot érintő síkokat, melyek az AB egyenessel párhuzamosak. A metszésvonaluk az M ponton át az AB-vel párhuzamos i* egyenes lesz, amelynek az első nyompontja R 1 *. A C és D pontok szerkesztése az A és B pontokéval egyező módon történik. Ekkor a metszetellipszisnek az AB és CD konjugált átmérőpárja, melyeket a képsíkokra vetítve a megfelelő vetületellipszisek konjugált átmérőit kapjuk. Ezek a vetületeket már egyértelműen megadják.

3 Az előbbi két lépést egy ábrában összefoglalva tudjuk, hogy az α sík a kúp minden alkotóját, így köztük a második kontúralkotókat is, elmetszi. Ezért a második képen azt látjuk, hogy a vetületellipszisnek a körvonalra eső alkotók az érintői. A feladat: Adott egy ellipszis az A B és C D konjugált átmérőpárral és az M pontból húzott ellipszisérintők, Határozzuk meg az érintési pontokat! (megoldható affinitás felhasználásával.)

4 Egy másik megoldás lehet, ha a második kontúralkotók síkjával az α-t elmetsszük, a metszésvonal második képe áthalad a keresett pontokon. Határozzuk meg a metszet legmagasabban, legalacsonyabban lévő pontjait! Ezekben a pontokban a helyzetük miatt a metszet érintője az első képsíkkal párhuzamos lesz. A két pontot tartalmazó alkotók mentén vett érintősíkok párhuzamosak az α első nyomvonalával. Ha egy olyan képsík-transzformációt hajtunk végre, melyben az α negyedik vetítősík, akkor az előbbi érintősíkok éppen negyedik kontúralkotók. A negyedik kép az E és F pontok meghatározását is egyszerűsíti. Az E és F pontokban az ellipszis érintője a megfelelő érintősík és az α metszésvonala lesz. Mivel ezek a síkok negyedik vetítősíkok, ezért a metszésvonaluk negyedik vetítőegyenes, azaz első képsíkkal párhuzamos.

5

6

7 Ferde kúp hiperbolametszete Az α metsző sík a kúp két alkotójával, az a és b egyenesekkel, párhuzamos. A nyomvonala n 1 párhuzamos az [a, b] egyenesek síkjának r 1 nyomvonalával. Az a és b egyenesek véges helyzetű pontban nem tudják elmetszeni az α síkot. Ha a projektív térben dolgozunk, akkor ez azt jelenti, hogy ezek az alkotók végtelen távoli pontban metszik az α-t. Ha az a és b egyenesek mentén a kúp érintősíkjait meghatározzuk, akkor azokból előbbi végtelen távoli pontokban a metszetgörbe érintője metszhető ki az α sík által. Ezek, mint végtelen távoli pontban vett érintők, lesznek az aszimptoták. Az aszimptoták metszéspontja lesz a metszethiperbola középpontja. A párhuzamos vetítés során a hiperbola középpontját és aszimptotáit a képsíkokra vetítve a vetületek középpontját és aszimptotáit kapjuk.

8 A hiperbola tengelyei az aszimptoták szögfelező egyenesei. A párhuzamos vetítés azonban a szögfelezést nem tartja meg, ezért ezek vetületei nem látszanak tengelynek a vetületen (pontosabban általában nem látszanak annak!). A metszethiperbola csúcspontjai a valós tengely egyenesének a kúppal alkotott közös pontjai lesznek. Ezt nem szerkesztjük meg. Az első képen a vetülethiperbola tengelyét és csúcspontját fogjuk meghatározni. A vetület csúcspontja az α sík olyan f egyenesén lesz, amelyre az első képen az f felezi az asz1 és asz2 egyenesek szögét. Az f egyenes a valódi metrikus viszonyokat tekintve nem felezi az aszimptoták szögét! A kúpot el kell metszenünk az f egyenessel. Ehhez az [M, f] sík a kúpból két alkotót metsz ki, ezek az f-t a C és D pontokban metszik. Ezek az első képen lévő vetülethiperbola csúcspontjai, a C és D pontokat meghatározva a második képen nem kaptunk csúcspontokat, ott általános helyzetű pontok. Az első képen a C és D pontokban az érintők az f -re merőleges helyzetűek, míg a második képen az α-ra való illesztéssel határozzuk meg. Egy másik lehetséges mód a C és D pontok meghatározására, ha felhasználjuk azt, hogy tudjuk, hogy a keresett pontokban az érintő merőleges az f -re. Egy ilyen egyenes x, amely a K-ra illeszkedik (x merőleges az f -re, x az α-ra való illesztéssel határozható meg). Keressük meg a kúp érintősíkjai közül azokat, melyből az α x-szel párhuzamos hiperbolaérintőt metsz! Ekkor toljuk el az x egyenest az M pontba, a kapott egyenes x*. Az x* egyenes az a, b alkotók síkjában lesz, mert a vele párhuzamos helyzetű α síkról toltuk ide. Az x* első nyompontja az R 1. Az x* egyenesben a kúpnak két érintősíkja találkozik, az érintősíkok első nyomvonala az R 1 -ből az alapkörhöz húzott két érintő lesz. (Az érintési pontokat összekötő egyenes éppen egybeesik az előbbi leírásban az [M, f] sík első nyomvonalával! Az [M, f] sík nyomvonala az R 1 pont polárisa az alapkörre vonatkozólag, maga a sík az x* egyeneshez konjugált sík a kúpra nézve.) Az érintősíkokat az α-val metszve kapjuk az első képen csúcsérintőnek látszó egyeneseket, ezek közül az egyik az e. A második képen is meg lehet határozni azt az egyenest, amely az ott csúcspontnak látszó két pontot tartalmazza. Ekkor az α sík olyan egyenese kell, amely a második képen felezi az asz1 és asz2 egyenesek szögét, az első képet illesztéssel lehet meghatározni. Az első képen már ezt a szögfelezést nem látjuk. Ezzel az egyenessel kell a kúpot elmetszeni. A kúp a és b alkotója kivételével minden más alkotó véges helyzetű pontban metszi az α síkot. Ezek közé tartozik a két második kontúralkotó is. A második képek a körvonalra eső alkotók érintik a hiperbola második képét. A két pont meghatározásához tekintsük az alkotók síkját. Ezzel a síkkal kell az α-t elmetszeni, az m metszésvonal a keresett pontokon áthalad. A metszésvonal meghatározásához a (d) magasságban lévő szintvonalakat használtam fel. A P pont az első képsík fölött, a Q pont az alatt helyezkedik el. Most nincs értelme a legmagasabban, legalacsonyabban lévő pontok meghatározásának, mert a metszet fölfelé és lefelé is halad. De van két olyan pont, amelyekben a hiperbola érintője az első képsíkkal párhuzamos. E két pont magassága között nincs a hiperbolának pontja. Ezeket a pontokat azokon az alkotókon találjuk, melyek metszésvonala párhuzamos az α-val, azaz az érintősíkok h 1, h 1 * nyomvonala párhuzamos az n 1 -gyel. A keresett pontok meghatározásához most olyan transzformációt alkalmaztam, ahol a két érintősík, az [a, b] sík és az α egyszerre lesznek a negyedik képsíkra merőlegesek.

9

10

11

12

13

14

15 Ferde kúp parabolametszete Az α metszősík a kúp a alkotójával párhuzamos, a nyomvonala n 1. Az n 1 és az alapkör közös pontjai, 1 és 2, a metszet pontjai. A parabola a alkotója az α síkot véges helyzetű pontban nem tudja elmetszeni. Ha projektív térben vagyunk, akkor van egy végtelen távoli közös pontjuk. A metszetparabola tengelye a végtelen távoli pontba mutató egyenes, vagyis az a alkotóval párhuzamos. Ezek kívül a parabola csúcspontjában az érintő merőleges a tengelyre. Ez azonban a vetületeken nem látható. Helyette a meghatározzuk a parabola azon pontját, melynek az első képe a vetületparabola csúcspontja lesz. Ekkor a keresett pontban a parabola érintőjének állását adjuk meg elsőként. Ez vagy az α- ban, vagy a vele párhuzamos érintősíkban adható meg, az egyenes első képe merőleges az a - re, az ábra jelölése szerint ez az i egyenes. Az i egyenes az a alkotó menti érintősíkban van, első nyompontja R 1. (i illesztéssel határozható meg) Az a pont, amelynek a vetülete az első képen a vetület csúcspontját adja, az i egyenest tartalmazó érintősíkon lesz rajta. Ilyen érintősík csak egy van,(mert az egyik az a alkotó menti érintősík) és a nyomvonala az R 1 -ből húzott másik körérintő. Ez az érintősík a c alkotó mentén érinti a kúpot, a C pontot az érintősík és α metszésvonala jelöli ki.

16 A második képen a vetületparabola tengelye az a -vel lesz párhuzamos. Az a alkotó menti érintősíkban az i* olyan egyenes, melynek a második képe a -re merőleges. (Az i* illesztéssel határozható meg.) Az i* egyenes első nyompontja R 1 *. A kúp olyan érintősíkja kell, amely az i* egyenest tartalmazza. Ennek az első nyomvonala az alapkör R 1 * pontból húzott érintője. Az így meghatározott alkotón lesz a keresett D pont, melyet az érintősík és α metszésvonala határoz meg.

17 A metszet legmagasabban lévő pontja azon az alkotón van, amely mentén az érintősík nyomvonala párhuzamos az n 1 nyomvonallal. Ekkor a keresett pontban vett érintő az előbbi két sík metszésvonala, amely az első képsíkkal párhuzamos. A meghatározásához egy transzformációt alkalmaztam, a negyedik képsíkra az α és az aktuálisan figyelt érintősík egyszerre merőlegesek. Legalacsonyabban lévő pont nincs, mert a metszet igen jelentős része az első képsík alatt egyre távolodik az ábrázolt résztől.

18 A második képen a körvonalra eső alkotók érintik a vetületparabolát. Ezeket a pontokat úgy határozhatjuk meg, hogy a b, j kontúralkotók síkját az α-val metsszük. Az m metszésvonal meghatározásához a síkok (d) magasságban lévő szintvonalát használtam fel. A B pont az első képsík fölött, a J pont jóval a képsík alatt van

19

20