A hordófelület síkmetszeteiről

Átírás

1 1 A hordófelület síkmetszeteiről Előző dolgozatunkban melynek címe: Ismét egy érdekes mechanizmusról azon hiányérzetünknek adtunk hangot, hogy a hordószerű test görbe felülete nem kapott nevet. Itt elneveztük hordófelületnek. Most e felület síkmetszeteiről elmélkedünk egy keveset. Először tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra forrása: Itt egy csonka hordófelületet ábrázoltunk, axonometrikusan. Felületünk egy P pontjának egyenletei: ( 1 / 1 ) ( 1 / 2 ) ( 1 / 3 ) ( 2 ) Itt a másodfokú parabola alakú meridiángörbe egyenlete: ( 3 )

2 2 ahol: ~ m: a hordó magassága, ~ r: az alap - és fedőlap körének sugara, ~ R: a magasság felében mérhető legnagyobb keresztmetszeti kör sugara. Az 1. ábra az alábbi adatokkal készült: m = 10 ( cm ); r = 1 ( cm ); R = 3 ( cm ). ( A ) Itt az alkalmazott internetes ábrázoló szoftver jelöléseit követve z t, φ s változó - cseréket alkalmaztuk. A hordófelület két jellegzetes metszeti görbéjét már azonosítottuk: ~ a forgástengelyre merőleges metszeti görbe: kör; ~ a meridián - metszet: másodfokú parabola - darab. Az előző dolgozatban leírtuk azon ferde metszetet is, mely a forgástengellyel hegyesszöget zár be 2. ábra. Ez egy ellipszisszerű / névtelen zárt görbe, de nem ellipszis. 2. ábra

3 3 Itt feltüntettük a hordóval egybeeső tengelyű, R sugarú henger síkmetszetét is, a 3. ábrának megfelelően, ahol α = ábra Most lássuk azt, ami még nem volt! Ez pedig a hordó tengelyével párhuzamos metszősík alkalmazásával előálló síkmetszet esete 4. ábra. 4. ábra

4 4 Ennek előállítása az 5. ábra szerinti. 5. ábra A hordót elmetsszük az ( 4 / 1 ) ( 4 / 2 ) egyenletű, a z - tengellyel párhuzamos síkkal. A metszeti görbe rajta van a forgásfelületen is és a metszősíkon is, így ( 1 ) és ( 4 ) szerint egy M metszetgörbe - pontra fennáll, hogy ( 5 / 1 ) ( 5 / 2 ) ( 5 / 3 ) Most emeljük négyzetre és adjuk össze az ( 5 / 1 ) és ( 5 / 2 ) egyenleteket! Ekkor: ( 6 ) Majd bevezetve az ( 7 ) egyszerűsítő jelölést, ( 3 ), ( 6 ) és ( 7 ) - tel: ( 9 )

5 5 Ez a metszeti görbe implicit függvénykapcsolata, egy tetszőleges ( x M, y M ) pontra. Ennek grafikonja az ( A ) adatokkal a 6. ábrán látható. E zárt görbe sem kapott nevet. 6. ábra Most térjünk vissza a 2. ábrán bemutatott ellipszis - szerű ferde metszeti síkidom egyenle - teihez! Itt most egy kissé más úton járunk, mint az előző dolgozatban. Ehhez tekintsük a 7. ábrát is! 7. ábra

6 6 Az α hajlású sík és a hordófelület metszetgörbéjének egyenletrendszere a forgásfelület ( 1 ) és a metszősík ( 10 ) egyenletével: A meridiángörbe ρ sugár - kifejezése ( 3 ), ( 7 ) és ( 11 ) - gyel: ( 11 / 1 ) ( 11 / 2 ) ( 11 / 3 ) innen: ( 12 ) a másodfokú egyenlet megoldó képletével, a < 0 miatt: mivel ρ > 0, ezért: ( 13 ) most ( 7 ) - ből: ( 14 ) így ( 13 ) és ( 14 ) szerint: ( 15 ) A metszeti görbe paraméteres egyenletrendszere ( 11 ) szerint: ( 16 / 1 ) ( 16 / 2 )

7 7 ( 16 / 3 ) Az egyszerűsítéseket direkt nem végeztük el, az áttekinthetőség fokozása végett. A síkmetszeti síkgörbe egyenleteihez bevezetjük a 7. ábra szerinti η M változót, az ( 17 ) összefüggéssel. A metszeti síkgörbe ( x M, η M ) pontjait leíró paraméteres egyenletrendszer ekkor ( 16 / 1 ), ( 16 / 2 ) és ( 17 ) - tel: ( 18 / 1 ) ( 18 / 2 ) Most ábrázoljuk a ( 18 ) - cal megadott metszeti görbét, az ( A ) adatokkal ld.: 8. ábra! A 8. ábra görbéje ugyanolyan, mint a 2. ábra türkiz színű görbéje. 8. ábra

8 8 Megjegyzések: M1. Az 5. ábrán szereplő φ 0 szögre az ábra alapján írható, hogy ( 19 ) M2. Az 5. ábráról leolvasható, hogy a metszeti görbe két részből áll, ha ( 20 ) Itt elegendő a ( 4 / 2 ) szerinti tartományra szorítkozni, hiszen forgástestről van szó, amely nagyfokú szimmetriával bír. A 9. ábra a ( 20 ) szerinti esetet mutatja be. 9. ábra Itt belülről kifelé haladva az x 0 = r ; r / 2 ; 0 eseteket ábrázoltuk, ( 9 ) és ( A ) - val. M3. Eddig az állónak képzelt hordó ferde síkmetszetének ( 10 ) szerinti esetével foglal - koztunk. Ha az általánosabb ( 21 )

9 9 alakú metszősík esetét vesszük, akkor z 1 és α értékétől függően a metszősík a hordó alap -, illetve fedőlapját is eltalálhatja. Ekkor a metszeti görbe az egyik végén nyitott marad. Ennek átgondolását most már rábízzuk az érdeklődő Olvasóra. M4. A ( 9 ) képlet szerint a hordófelület tengelyével párhuzamos síkmetszetek negyed - rendű görbék. Ez itt könnyen leolvasható. Nem ez a helyzet a ferde síkmetszetek esetében, már ami a rendszám megállapítását illeti. Ehhez a ( 11 / 1 ), ( 11 / 2 ), ( 17 ) egyenletekből: ( * ) ( ** ) Most ( * ) és (** ) négyzetre emelésével és összeadásával: ( *** ) majd ( 3 ), ( 7 ), ( 9 ) és ( *** ) - gal: ( 22 ) eszerint a ferde metszetgörbe is negyedrendű. Erről leolvasható, hogy a = 0 esetén ( 22 ) az ellipszis másodrendű görbéjébe megy át. M5. Külön kiemeljük a Graph ingyenes szoftver implicit megadású egyenleteket ábrázoló funkciójának hasznosságát, amely itt is hihetetlenül megkönnyítette a munkát. M6. Ebben a dolgozatunkban végiggondoltuk, hogy milyen alakú vágáslap maradna visz - sza, ha a részeg hordókészítő egy láncfűrésszel dolgozná meg a parabola dongájú hordóját. Most már tudjuk, hogy kör, parabola és két nevenincs zárt, kettéváló, illetve nyitott görbe adódna eme tevékenység eredményeként, a vágáslap helyzetének függvényében. ( Az előző életkép festése során feltettük, hogy a láncfűrésznek az abroncsok átvágása sem okozna gondot. ) M7. Némiképpen meglepő, hogy ilyen vizsgálattal még sehol sem találkoztunk. Pedig eredményeinknek akár még gyakorlati jelentősége is lehet. A múltkor az interneten megtaláltuk magunkat, a hordókra vonatkozó elméleti vizsgálata - ink szakmai matematikai forrásként való feltüntetésével. Most már jelen írásunk is beke -

10 10 rülhet ezek közé. Ezekről beszélünk: Sződliget, Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár