Az ötszög keresztmetszetű élszarufa kis elmozdulásainak számításáról

Átírás

1 1 Az ötszög keresztmetszetű élszarufa kis elmozdulásainak számításáról Előző dolgozatunkban melynek címe: ED: Az ötszög keresztmetszetű élszarufa σ - feszültségeinek számításáról elkezdtük / folytattuk az ötszögletű keresztmetszetűre kialakított élszarufa szilárdságtani vizsgálatát, csak a normálfeszültségeket tekintve, két egyszerűbb mintafeladat esetében. Most ugyanezen feladatok gerendáinak kis elmozdulásait tesszük vizsgálat tárgyává. Ehhez felhasználjuk az ED - ben is említett korábbi dolgozatainkat, melyek címe: KD: Az egyenes rudak elemi szilárdságtanának egy problémaköréről, 1. és 2. rész. Először felírjuk / átvesszük a kis mozgások differenciálegyenleteit KD - ből, majd alkal - mazzuk ezeket a mondott két alapfeladatra. A jelölések tisztázásához tekintsük az 1. ábrát is! 1. ábra Ezzel kapcsolatban megállapítjuk, hogy a kellően merev rúd tetszőleges P pontjának elmozdulásait úgy határozzuk meg, hogy a rúd keresztmetszetét egy merev tárcsának tekintjük. Ennek megfelelően a P pont x, y, z tengelyek menti u, v, w elmozdulásaira: ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) Itt φ x, φ y az indexben lévő tengely körüli szögelfordulás; x P, y P a P pont koordinátái a z koordinátával adott keresztmetszetben.

2 2 Az ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ) szerinti elmozdulás - komponensekből egy tetszőleges keresztmetszeti pont teljes elmozdulásának nagyságára: A φ x, φ y szögelfordulásokat a KD - ből vett 2. ábra segít értelmezni. ( 4 ) 2. ábra Eszerint: ( 5 ) ( 6 ) így ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ), ( 5 ), ( 6 ) szerint: ( 7 ) A ( 7 ) képlet szerint az alkalmazott elméletben a rúdkeresztmetszet egy tetszőleges P pontjának z tengelyirányú kis elmozdulását az S súlyponti mozgásjellemző mennyiségek - kel határozhatjuk meg. Látjuk majd, hogy a rúd keresztmetszeteinek súlypontjait össze - kötő itt: terheletlenül egyenes, terhelés után kissé görbült vonal mintegy természete - sen adja magát a rúd tengelyvonalaként, ebben az elméletben. Fontos tudni róla, hogy létezhetnek más természetes tengelyvonalai is a rúdnak, pl.: a csavarási tengely. Ezzel itt nem foglalkozunk. A helyzet a nem - prizmatikus rudaknál már nem ilyen egyszerű, ahogyan azt a KD - beli kidolgozott feladatban is láthattuk. Ott a súlypont - vonalat mint rúdtengely - vonalat erőltetni nem lett volna szerencsés dolog. A rúd elmozdulás - állapotának ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ), ( 4 ) szerinti meghatározásához elő kell állítani az elmozdulás - komponensekre vonatkozó differenciálegyenletek megoldását. A megfelelő differenciálegyenletek KD - ből, az ED - ben is már alkalmazott, kissé módosított jelölésekkel:

3 3 ( 8 ) ( 9 ) ( 10 ) Ezeket vagy ezekkel egyenértékű egyenleteinket az 1. ábra O*XY k. r. - ében értelmeztük. Áttérve az Sxy k. r. - re: ( 11 ) helyettesítéssel, ( 1 ), ( 2 ), ( 8 ), ( 9 ), ( 10 ) és ( 11 ) - gyel: ( 12 ) ( 13 ) ( 14 ) ahol: ( 15 ) A további vizsgálatok alapját a ( 12 ), ( 13 ), ( 14 ), ( 15 ) egyenletek képezik. Ezek egy súlyponti, de nem főtengely - rendszerben írják le a terhelt rúd húzás ~ nyomással és hajlítással kapcsolatos mozgásait. Itt E a rúd anyagának rugalmassági modulusa, melyről feltesszük, hogy értéke állandó. Faanyagnál erre a rostokkal párhuzamos megfelelő adat veendő. Megjegyezzük, hogy a ( 10 ) képlet N = 0 helyettesítése mellett még így is belátható: ( 16 ) majd z szerinti differenciálással kapjuk ( 10 ) - et, N = 0 esetére. Látjuk, hogy súlyponti k. r. - ben ( 10 ) - ből a lényegesen egyszerűbb ( 14 ) adódik.

4 4 1. FELADAT Önsúlyával terhelt, ötszögletű keresztmetszetű, vízszintes tengelyvonalú kéttámaszú fagerenda elmozdulásainak számítása Ehhez tekintsük az ED - ből vett 3. ábrát is! 3. ábra A gerenda igénybevételi függvényei, a korábbiak szerint: ( 17 ) ( 18 ) ( 19 ) Szintén a korábbiak szerint az önsúlyteher intenzitására: ( 20 ) Az elmozdulási differenciálegyenletek alakja ( 12 ), ( 13 ), ( 14 ) és ( 17 ), ( 19 ) szerint: ( 21 ) ( 22 ) ( 23 ) Most ( 21 ) és ( 22 ) szerint: ( 24 )

5 5 A differenciálegyenletek integrálását kezdjük ( 23 ) - mal! Innen: minthogy z = 0 - nál w S (0) = 0, ezért c 1 = 0, így ( 25 ) - ből: ( 25 ) ( 26 ) Eszerint a rúd keresztmetszetei tengelyirányban nem mozdulnak el. Majd ( 18 ) és ( 22 ) - vel: ( 27 ) itt: ( 28 ) Most ( 27 ) - et egyszer integrálva z szerint: ( 29 ) újabb integrálással: ( 30 ) a kéttámaszú tartóra vonatkozó peremfeltételek: Majd ( 30 ) és ( 31 ) - gyel: Most ( 30 ) és ( 33 ) - mal: ( 31 ) ( 32 ) ( 33 ) ( 34 ) Ezután ( 32 ) és ( 34 ) - gyel: ( 35 ) Most ( 34 ) és ( 35 ) - tel:

6 6 ( 36 ) majd ( 28 ) és ( 36 ) szerint: tehát: ( 37 ) Kényelmesebb képlet - alakkal: ( 38 ) A jobb oldali zárójelben lévő függvény lefutását mutatja a 4. ábra. 4. ábra Látjuk, hogy e függvény a helyi szélsőértékét z / l = 0,5 - nél veszi fel, melynek értéke: 0, 3125 = 5 / 16.

7 7 Eszerint, ( 38 ) - ból: ( 39 ) Ez a szakirodalomból ismert, egyenes hajlításra kapott képlettől csak a k aszimmetria - tényezőben tér el; v. ö.: [ 1 ]! Most áttérünk u( z ) meghatározására. Ehhez vegyük szemügyre a ( 24 ) képletet! Látjuk, hogy az elmozdulás - függvények második deriváltjai egymással arányosak. Ha a peremfeltételek is ugyanazok, akkor a kétszeri integrálás után u S ( z ) is csak egy álladóban tér el v S ( z ) - től, azaz: ( 40 ) majd ( 38 ) és ( 40 ) szerint: ( 41 ) Itt ( 39 ) és ( 40 ) - ből rögtön adódik, hogy ( 42 ) Ezután gondoljuk meg, hogy mi a feltétele annak, hogy a gerenda rugalmas vonala sík - görbe legyen v. ö.: [ 2 ]! Ehhez tekintsük az 5. ábrát is! A rugalmas vonal síkgörbe, ha ( itt ) fennáll, hogy 5. ábra

8 8 ( 43 ) Most ( 40 ) - ből: ( 44 ) ezért a vizsgált esetben a gerenda rugalmas vonala síkgörbe. Ennek síkja a függőleges síkkal ( 43 ), ( 44 ) szerint : ( 45 ) szöget zár be, az elmozdulás nagysága pedig ( 4 ), ( 26 ) és ( 44 ) - gyel: tehát: ( 46 ) majd ( 38 ) és ( 46 ) - tal: ( 47 ) Azt találtuk, hogy az önsúlyával terhelt, vízszintes helyzetű és a végein alátámasztott kéttámaszú gerenda tengelye egy a függőlegestől eltérő ferde síkban elhelyezkedő rugal - mas vonalat vesz fel. Megjegyzések: M1. Az ED egyik eredménye szerint a gerenda semleges tengelye az x tengellyel ( 48 ) szöget zár be. Most ( 45 ) és ( 48 ) összehasonlításából: ( 49 )

9 9 A ( 49 ) eredmény azt a tényt rögzíti, hogy a gerenda keresztmetszetei a semleges tengely körül fordulnak el v. ö.: [ 1 ]! M2. Most tekintsük ismét a ( 24 ) összefüggést! Egyszer integrálva z szerint: ( 50 ) még egyszer integrálva: ( 51 ) Csuklós rúdvégi megfogás esetében fennáll, hogy Most ( 51 ) és ( 52 ) - ből: ( 52 ) ( 53 ) ( 54 ) majd ( 51 ), ( 53 ) és ( 54 ) - ből: ( 55 ) Azt kaptuk, hogy csuklós rúdvégi megfogás esetén ( 24 ) - ből ( 51 ), ( 54 ) és ( 55 ) - tel: ( 40 ) adódik, ahogyan azt korábban is mondtuk. Ez ( 43 ) szerint azt jelenti, hogy a súlyponti rugalmas vonal feladatunkban síkgörbe. Másfelől: a ( 40 ) összefüggést z szerint kétszer differenciálva ( 24 ) adódik. Eszerint sík - görbe rugalmas tengelyvonal esetén fennáll ( 24 ). Minthogy ( 24 ) feladatunk sajátossá - gaiból adódott, így a részletes megoldás ismerete nélkül is mondhatjuk, hogy gerendánk rugalmas vonala síkgörbe is lehet.

10 10 M3. Most nézzük meg a feladatbeli gerenda keresztmetszeteinek szögelfordulási viszo - nyait! Ehhez tekintsük a 6. ábrát is, amely az l / 2 < z l tartószakaszon jellemző kép! 6. ábra Kiindulunk a ( 40 ) összefüggésből. Egyszer differenciálva z szerint: ( 56 ) most figyelembe véve, hogy ( 5 / 1) ( 6 / 1 ) így ( 5 / 1 ), ( 6 / 1 ) és ( 56 ) - tal, ( 43 ) és ( 44 ) - gyel is: ( 57 ) innen az eredő szögelfordulás tengelyének hajlására: ( 58 ) amiből az ismerős ( 49 )

11 11 eredmény adódik. Tehát a keresztmetszetek az állandó hajlású semleges tengely ( s. t. ) körül fordulnak el, változó mértékben. Ennek nagysága, a kis szögforgást vektornak tekintve, Pitagorász tételével és ( 5 / 1), ( 6 / 1) - gyel: ( 59 ) A szükséges első deriváltak pl. így nyerhetők: ( 29 ) és ( 35 ) - ből: ( 60 ) most ( 5 / 1 ), ( 28 ) és ( 60 ) - nal: ( 61 ) Majd ( 6 / 1 ), ( 56 ) és ( 61 ) szerint: ( 62 ) Ezután ( 61 ) - ből: ( 63 ) majd ( 62 ) - ből: Most ( 59 ), ( 63 ) és ( 64 ) - gyel: ( 64 ) ( 65 )

12 12 ( 63 ), ( 64 ) és ( 65) megfelelnek az [ 1 ] - ben is megtalálható egyenes hajlításra vonat - kozó eredménynek. 1. SZÁMPÉLDA Az ED adataival dolgozunk. Adatok innen: l = 6,00 m ; b = 10 cm; h = 14 cm; γ 1 = 45 ; γ 2 = 30 ; ρ = 700 kg / m 3 ; g = 10 m / s 2. ( A1 ) Továbbá a rostokkal párhuzamos rugalmassági modulus értéke fenyőfára: ( A2 ) Korábbi eredmények: ( A3 ) ( A4 ) ( A5 ) ( A6 ) ( A7 ) Részletezés tehát: ( E1 ) tehát: ( E2 )

13 13 tehát: ( E3 ) tehát: ( E4 ) tehát: ( E5 ) tehát: ( E6 ) Látjuk, hogy a legnagyobb keresztmetszet - elmozdulás a rúd közepén, továbbá a legnagyobb keresztmetszet - elfordulások a rúd végein egyaránt kicsinyek, a gerenda keresztmetszeti méreteihez képest, a példaként választott gerenda - méretek esetében. A rugalmas vonal síkjának a függőleges síkkal bezárt szöge:

14 14 tehát: ( E7 ) Ezzel az 1. példa számítását befejeztük. 2. FELADAT Önsúlyával terhelt, ötszögletű keresztmetszetű, ferde tengelyvonalú kéttámaszú fagerenda elmozdulásainak számítása Ehhez tekintsük az ED - ből vett 7. ábrát is! 7. ábra Itt ismét azt látjuk, hogy a kezdetben vízszintes tengelyű fagerenda jobb oldali végét m magasságba felemeltük, így a tengelyvonal ϕ hajlásra tett szert. Az ebben a helyzetében a gerendára ható külső erőket a 8. ábra szemlélteti: 8. ábra

15 15 A korábbi eredmények szerint a tartó igénybevételi függvényei: ( 66 ) ( 67 ) ( 68 ) A tengelyirányú elmozdulások számításához kiindulunk ( 14 ) - ből: ( 14 ) most ( 14 ) és ( 66 ) - tal: ( 69 ) Integrálva z szerint: ( 70 ) figyelembe véve, hogy a peremfeltétel w S - re: ( 70 ) és ( 71 ) szerint: ( 71 ) ( 72 ) majd ( 70 ) és ( 72 ) - vel: ( 73 ) Az ( 73 / 1 ) függvényt a 9. ábra mutatja. Ezzel arányos a rúd z - irányú elmozdulás - függvénye: ( 73 / 2 ) ( 73 / 3 )

16 16 9. ábra Innen leolvasható, hogy ( 73 / 4 ) így ( 73 ), ( 73 / 3 ) és ( 73 / 4 ) szerint: ( 74 ) Ezután jöjjenek a tengelyvonalra merőleges elmozdulások! ( 12 ) és ( 13 ) -mal: ( 12 ) ( 13 ) ezekben érvényesítve, hogy kapjuk, hogy ( 19 ) ( 21 ) ( 22 )

17 17 mint korábban, ( 21 ) és ( 22 ) szerint itt is fennáll, hogy ( 24 ) Most ( 68 ) - cal: ( 75 ) Majd ( 22 ) és ( 75 ) szerint: ahol: ( 76 ) ( 76 / 1 ) és ( 20 ) Minthogy ( 27 ) és ( 76 ) alakilag megegyeznek, és peremfeltételeik is, így megoldásuk alakja is, tehát ( 20 ), ( 36 ) és ( 76 / 1 ) - gyel is: vagy: ( 77 ) ( 77 ) és ( 38 ) összehasonlítása azt mutatja, hogy a különbség köztük a cosϕ szorzóban ki is merül. Ezek szerint ( 24 ) és ( 41 ) szerint is, q q cosϕ helyettesítéssel: ( 78 ) A fenti képletekben: ( 79 ) Látható, hogy a gerenda jobb végének felemelése azt idézte elő, hogy w S 0 mindenhol, valamint, hogy u S és v S kifejezésében q q cosϕ veendő.

18 18 A többi, az 1. feladatbelivel analóg képlet felírását most már az érdeklődő Olvasóra bízzuk, és újabb számpéldát sem közlünk. Megjegyezzük, hogy az utóbbi számításokban nem jelent meg konkrétan az a tény, hogy a szóban forgó gerenda aszimmetrikus ötszögletű keresztmetszetű. Ez azt is jelenti, hogy más keresztmetszet - alak esetében is hasonlóan járnánk el. Az ötszögletűség a kereszt - metszeti jellemző adatokban nyilvánul csak meg. Most ejtsünk pár szót a ténylegesen tetőbe épített élszarufákról! Ezeknél közel sem ilyen egyszerű a helyzet, mert pl.: ~ nem csak az önsúlyuk, hanem a csonkaszarufák is terhel(het)ik az élszarufákat*; ~ több mint valószínű, hogy statikailag határozatlan megtámasztású egy élszarufa: a vége - inél lévő és a két vége közti, a csonkaszarufák miatti többlet - megtámasztásokra, illetve megfogásokra is gondolva itt; ~ fánál a nyírás és a csavarás különösen érzékeny téma, ezért ezekkel is foglakozni kell. Mindez azt jelenti, hogy jelen dolgozat ismeretei mintegy előtanulmányként szolgálhatnak a jelzett komolyabb helyzet felderítéséhez. Ez akkor is igaz, ha ma már ezt a feladatot fő - ként számítógépekre / szoftverfejlesztőkre bízzák. *) A feltételes mód oka az, hogy a tetőszerkezeti szakirodalomban még mindig kétféle működésmódot említenek, az élszarufák és a csonkaszarufák együttdolgozása kapcsán: 1.) a csonkaszarufák megtámasztják, azaz tehermentesítik az élszarufát; 2.) a csonkaszarufák megterhelik az élszarufát. Úgy tűnik, hogy leginkább a második változat szerepel a látott erőtani számításokban. Ajánlott irodalom: [ 1 ] Muttnyánszky Ádám: Szilárdságtan Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1981., 164. o., 207. o. [ 2 ] Sigurd Falk: Műszaki mechanika III. kötet A rugalmas test mechanikája Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1972., 77. o. Sződliget, április 14. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár