Két körhenger általánosabban ( Alkalmazzuk a vektoralgebrát! ) 1. ábra

Átírás

1 Két körhenger általánosabban ( Alkalmazzuk a vektoralgebrát! ) Egy korábbi dolgozatunkban címe: Két egyenes körhenger a merőlegesen metsződő tengelyű körhengerek áthatási feladatával foglalkoztunk. Most vizsgáljunk meg egy általánosabb esetet! Adott: két egyenes körhenger, melyek ~ sugara R és r, ahol R > r; ~ tengelyvonalaik 0 < β < 90 szögben metszik egymást ld.: 1. ábra! Keresett: ~ az áthatási görbék vetületeinek egyenlete; ~ specializáció az R = r esetre. Megoldás: 1. ábra Először is megállapítjuk, hogy elegendő a görbepár egyik, például a jobb oldali felével foglalkozni, mert az egyik görbe a másiknak középpontos tükörképe, C középponttal. A számítást [ 1 ] alapján végezzük. A jobb oldali áthatási görbe egy kiszemelt pontjának helyvektora, a 2. ábra szerint: V a b r p ; ( 1 ) itt: a a e z ; ( 2 ) b b e ; ( 3 ) ξ r rcos e rsin e ; ( 4 ) η ζ p p e ξ. ( 5 )

2 2 2. ábra Az elölnézeti kép szerint: R b rtg ; itt: 90. ( 6 ) cos Most ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ), ( 4 ), ( 5 ) - tel: V a ez beξ r cos eη rsin eζ p e ξ. ( 7 ) A ( 7 ) egyenlet használatához felírjuk az alkalmazott egységvektorok összefüggéseit, a 3. ábra alapján: e cos sin ; ξ ex ez eη ey; eζ sinex cos ez. ( 8 )

3 3 3. ábra Ezután ( 7 ) és ( 8 ) - cal, rendezés után: R V rtg p cos r sin sin r cos cos e x ey R a rtg p sin rsin cos. cos ez ( 9 ) A p mennyiség meghatározására felhasználjuk, hogy a áthatási pontnak a z tengelytől mért távolsága R ld.: a 2. ábra felülnézeti képét!, azaz V ex V e y R. ( 10 ) ( 9 ) és ( 10 ) - zel, a kijelölt skalárszorzások elvégzése és átalakítások után: R r cos R r sin 1 sin p cos, ( 11 ) innen pedig R rsin 1sin R r cos p( ). cos ( 12 ) Megjegyezzük, hogy a ( 11 ) összefüggés a 2. ábráról közvetlenül leolvasható. Most ( 9 ), ( 12 ) alapján, rendezés után: r V R r cos e rcos a sin tg R r cos x ey ; cos e z ( 13 ) tudjuk, hogy V x e y e z e ; ( 14 ) x y z

4 4 majd ( 13 ) és ( 14 ) összehasonlításából: x R r cos ; y rcos ; r z a sin tg R r cos. cos ( 15 ) a jobb oldali áthatási görbe vonal paraméteres egyenletrendszere, ahol Most megnézzük, hogy milyen görbék a koordináta - síkokon képződő vetületek, egyúttal teszteljük a ( 15 ), ( 16 ) képleteket. ( 15 ) ( 16 ) 1.) R = 100 mm; r = 50 mm; β = 60. ~ Az ( xy ) síkon keletkező vetület ld.: 4. ábra! ~ Az ( xz ) síkon keletkező vetület ld.: 5. ábra! ~ Az ( yz ) síkon keletkező vetület ld.: 6. ábra! A vetületi görbék képleteit itt nem részletezzük, hanem a ( 15 ) és ( 16 ) képleteket alkalmazzuk úgy, hogy a Graph függvényábrázoló program ld.: [ 2 ]! paraméteres függvény-megadási lehetőségét választjuk, az itteni φ paraméterrel.

5 5 y Metsződő tengelyű hengerek áthatása Vetület az ( xy ) síkon: körív x ábra ( 15 ) - ből a görbe paraméteres egyenletrendszere, általában: x R r cos ; y rcos. ( 15 / 1 )

6 6 z Metsződő tengelyű hengerek áthatása Vetület az ( xz ) síkon: hiperbolaív x 5. ábra ( 15 ) - ből a görbe paraméteres egyenletrendszere, általában: x R r cos ; r cos z a sin tg R r cos. ( 15 / 2 )

7 7 Metsződő tengelyű hengerek áthatása 160 z Vetület az ( yz ) síkon: ovális görbe y ábra ( 15 ) - ből a görbe paraméteres egyenletrendszere, általában: y rcos ; r cos z a sin tg R r cos. ( 15 / 3 ) 2.) R = 100 mm; r = 50 mm; β = 90. ~ Az ( xy ) síkon keletkező vetület ld.: 7. ábra! ~ Az ( xz ) síkon keletkező vetület ld.: 8. ábra! ~ Az ( yz ) síkon keletkező vetület ld.: 9. ábra!

8 8 Merőlegesen metsződő tengelyű hengerek áthatása - körív vetület y x ( t ) = sqrt( *sqr(cos(t))) ; y ( t ) = 50*cos(t) x ábra Ez a görbe megegyezik a 4. ábra görbéjével. araméteres egyenletrendszere az ábrán található.

9 9 Merőlegesen metsződő tengelyű hengerek áthatása - hiperbolaív vetület 80 z x ( t ) = sqrt( *sqr(cos(t))); z ( t ) = 50*sin(t) x ábra Ez a görbe nem egyezik az 5. ábra görbéjével. araméteres egyenletrendszere az ábrán található.

10 10 Merőlegesen metsződő hengerek áthatása - kör vetület 50 z y ( t ) = 50*cos(t) z ( t ) = 50*sin(t) y ábra Ez a görbe nem egyezik a 6. ábra görbéjével. araméteres egyenletrendszere az ábrán található.

11 11 Megjegyzések: M1. A R sugarú hengeren a nyílás elkészítéséhez jól jöhet, ha a r sugarú, az áthatási görbének megfelelően elkészített végű hengert odaillesztjük és körülrajzoljuk [ 3 ]. A vékonyabb hengervég kialakításához a ( 12 ) képlet adja az alapot. M2. A 2. ábráról a áthatási görbe - pont képeinek szerkesztéssel való előállítása is leolvasható. Ugyanez az ábra értelmezi a φ paraméter / segédváltozó szerepét is. M3. A fenti számítások és a szerkesztés látszólag nehéz. Ha jobban megnézzük, akkor itt is csak a ( szak - )középiskolai tanulmányok végzése során előforduló tudnivalók kapnak szerepet. Sajnos tény, hogy az idevágó ismeretek gyakran hiányoznak. R = r, β 0 speciális eset: ( S1 ) Most ( 15 ) és ( S1 ) - gyel: 2 x R r cos r r cos r 1 cos r sin tehát x (R r) r sin. ( 17 ) Folytatva: y (R r) rcos ; ( 18 ) Most vegyük alaposabban szemügyre ( 15 ) utolsó egyenletét! A benne szereplő sin φ - s tagot másképpen írjuk fel: sin sin, ha 0 180, ( 19 ) sin sin, ha Ezután ( 15 ) utolsó egyenlete más alakban, ( S1 ) - et is tekintve: ~ a felső ág: r 1 z,felső a sin tgr sin a r sin tg, cos cos vagy 1 sin z,felső a r sin ; cos ~ az alsó ág: r 1 z,alsó a sin tgr sin a r sin tg, cos cos 1sin z,alsó a r sin. cos vagy ( 20 ) ( 21 ) Most ( 17 ), ( 20 ), ( 21 ) - gyel:

12 12 1 sin z,felső a x (R r), cos 1sin z,alsó a x (R r). cos ( 22 ) ( 23 ) Most fordítsuk figyelmünket az α szöget tartalmazó tényezőkre! Ehhez tekintsük a 10. ábrát is! Eszerint: 1sin tg, cos 2 ( 24 ) 1sin tg 90 cos 2 tg ( 25 ) 10. ábra Most ( 22 ) és ( 24 ) - gyel: 1sin z,felső a x (R r) a x (R r) tg, cos 2 ( 26 ) majd ( 23 ) és ( 25 ) - tel: 1sin z,alsó a x (R r) a x (R r) tg 90. cos 2 ( 27 ) A ( 26 ) és ( 27 ) egyenletek két, egymásra merőleges egyenes egyenletét adják. Ez azt jelenti, hogy az R = r esetben a jobb oldali áthatási görbe - vetület szétesett két, egymásra merőleges egyenesre ld. az 11. ábrát is!

13 ábra Látható, hogy az egyenlő sugarú hengerek esetében az és az szögek éppen a hengerek tengelyei által bezárt szögek felezőit jelölik ki, vagyis az áthatási egyenesek merőlegesek egymásra és szögfelező helyzetűek is. Minthogy az egyenesek a körhengerek ferde metszeteit jelentik, így az áthatási görbék: térbeli ellipszisek. Az ellipszisek tengelyei [ 2r ; 2r / cos ( α + β / 2 )] és [ 2r ; 2r / cos ( α + β / 2 90 )] nagyságúak. A mondott egyenesek az R > r eset hiperboláinak aszimptotái. Az a tény, hogy az egyenes szakaszok merőlegesek egymásra, még úgy is belátható, hogy ezek a szakaszok egy a = 2r / sin β oldalhosszúságú rombusz átlói, ezek pedig merőlegesek egymásra ld.: [ 4 ]! Hasonlóan: a rombusz átlói felezik a szögeket. Megjegyezzük, hogy feladatunk megoldásának egy az ittenitől kissé eltérő módját találjuk a [ 5 ] munkában. Innen származik a 12. ábra is, mely a fenti feladat gyakorlati fontosságát is szemlélteti. 12. ábra

14 14 Feladatok F1. Az Olvasó készítse el a 2. ábra megfelelőjét, az ( S1 ) esetre! F2. Az Olvasó állítsa elő az ( S2 ) specializáció R r, β = 90 eredményeit! F3. Az Olvasó készítsen egy rövid, tömör jelentést feladatunk itteni és [ 5 ] - beli megoldási módja közti lényeges hasonlóságokról, ill. különbözőségekről! F4. Az Olvasó írja fel az ábrázolt esetekre: ~ a vetületi görbék konkrét számadatokkal bíró, hiányzó paraméteres egyenletrendszerét; ~ a vetületi görbék O( xyz ) koordináta - rendszerbeli egyenletét! Irodalom: [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] Baky Miklós: Zsebszámológép programok TK 1050 Műszaki Könyvkiadó, Budapest, [ 4 ] I. N: Bronstejn ~ K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv Műszaki Könyvkiadó, Budapest, több kiadásban [ 5 ] SS2007.pdf Sződliget, június 21. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár