A merőleges axonometria néhány régi - új összefüggéséről

Átírás

1 1 A merőleges axonometria néhány régi - új összefüggéséről Most néhány régebben már megbeszélt összefüggés újabb igazolását adjuk meg, illetve más, eddig még nem látott képlet - alakokat állítunk elő. Ehhez tekintsük az 1. ábrát is! 1. ábra Ez már egy korábbi dolgozatunkban is szerepelt, melynek címe: Az orthogonális axonometria alapösszefüggéseiről, illetve azok alkalmazásáról. Az 1. ábrán a merőleges axonometria megalapozását szolgáló Π képsíkot láthatjuk, a rajta értelmezett segédmennyiségekkel együtt, valamint a vektort, amely a képsík egy normálvektora, és egyúttal a merőleges vetítés irányvektora is. A d vektor iránycosinusaira fennáll, hogy cos +cos δ +cos δ 1 ; ( 1 ) másrészt a mellékábrák szerint: cos, cos, cos. ( 2 )

2 2 Itt ( u, v, w ) a képsík tengelymetszetei, melyekre előírjuk, hogy 0 <,,!" <. ( 3 ) Most ( 1 ) és ( 2 ) - vel: $ % +$ % +$ % 1. ( 4 ) Utóbbit átalakítva: + +. ( 5 ) Tovább alakítva: ( + +, ( 6 ) ebből pedig: ) ( * +, * -, *.. ( 7 ) A merőleges axonometrikus ábrázolás rövidülési tényezői, definíció szerint 1. ábra : / 0 1, / 2 3, / 4 5. ( 8 ) Ámde az 1. ábra mellékábrái és ( 2 )szerint: 1 cos6 sin90 6 " sin <1 cos (1 $ %, ( 9 / 1 ) 3 cos6 sin90 6 " sin <1 cos (1 $ %, ( 9 / 2 ) 5 cos6 sin90 6 " sin <1 cos (1 $ %. ( 9 / 3 ) Most ( 8 ) és ( 9 ) - cel: / 0 (1 $ %, ( 10 / 1 ) / 2 (1 $ %, ( 10 / 2 ) / 4 (1 $ %. ( 10 / 3 )

3 3 Ezután ( 7 ) - ből: $ % ) $ % ) $ % ) Most ( 11 ) - ből: 1 $ % 1 1 $ % 1 1 $ % 1 * +, * -, *. * +, * -, *. * +, * -, *., + -,+. - +,,-.. +,. -,,$ + - %,$ +. %, ( 11 / 1 ),$ - + %,$ -. %, ( 11 / 2 ),$. + %,$. - %. ( 11 / 3 ),$ + - %,$ +. %? $ + - %,$ +. %, ( 12 / 1 ),$ + - %,$ +. %,$ + - %,$ +. %,$ + - %,$ +. %,$ - + %,$ -. %? $ - + %,$ -. %, ( 12 / 2 ),$ - + %,$ -. %,$ - + %,$ -. %,$ - + %,$ -. %,$. + %,$. - %? $. + %,$. - %. ( 12 / 3 ),$. + %,$. - %,$. + %,$. - %,$. + %,$. - % Majd ( 10 ) és ( 12 ) - vel: / 0 $+ - %,$ +. %,$ + - %,$ +. %, ( 13 / 1 ) / 2 $- + %,$ -. %,$ - + %,$ -. %, ( 13 / 2 ) / 4 $. + %,$. - %,$. + %,$. - %. ( 13 / 3 ) Most átalakítjuk a ( 13 ) képleteket. / 0 + $ / 2 - $ / 4. $ - %,$ +. %,$ + - %,$ +. % + %,$ -. %,$ - + %,$ -. % + %,$. - %,$. + %,$. - %,,,, ",,, ( 14 / 1 ),,,, ",,, ( 14 / 2 ),, ". ( 14 / 3 ),,,, Most képezzük a ( 14 ) egyenletek összegét!

4 4 Először: két egyenlet összegével; így kapjuk, hogy / 0 +/ 2 / 2 +/ 4,,, +,, ",,,,,, ( 15 / 1 ),,, +,, ",,,,, ( 15 / 2 ) / 4 +/ 0,,, +,,,, ",,,. ( 15 / 3 ) Most rendezzük el az utóbbiakat a következőképpen! / 0 +/ 2, ",,, 4, ",, ( 16 / 1 ) / 2 +/ 4, ",,, 0, ",, ( 16 / 2 ) / 4 +/ 0, ",,, 2, ",, ( 16 / 3 ) A ( 16 ) képletekről azonnal leolvashatók az alábbi A B +@ C B >@ E C B +@ E B >@ A E B +@ A B >@ C B. ( 17 ) A ( 17 ) relációk alapján megfogalmazható az alábbi Tétel: merőleges axonometriában bármely két rövidülési tényező négyzetösszege mindig nagyobb a harmadik rövidülési tényező négyzeténél. Másodszor: ( 14 ) mindhárom egyenletének összegét képezve kapjuk pl. ( 16 / 1 ) - ből: / 0 +/ 2 +/ 4, ",,,,, 2 2,,, A B +@ C B +@ E B B. ( 18 ) Eszerint fennáll a következő Tétel: merőleges axonometriában a rövidülési tényezők négyzetösszege 2 - vel egyenlő. A ( 17 ) és ( 18 ) szerinti összefüggéseket eddig is ismertük és alkalmaztuk; most egy másik levezetésüket adtuk elő. Végül a rövidülések kifejezései ( 13 ) - A G $H I %B,$ H J K,$ H I %B,$ H C G $ I H %B,$ I J J %B K,$ I H %B,$ I E G $ J H %B,$ J I %B J %B K,$ J H %B,$ J I %B. ( 19 ) Innen leolvasható, hogy a rövidülési tényezők ( 19 ) szerint ismertté válnak az ( u, v, w ) adatok, illetve ezek arányainak megadásával.

5 5 Tudjuk, hogy a gyakorlati alkalmazások során sokszor csak felvesszük a rövidüléseket. Itt újra átvesszük, hogy ez hogyan tehető meg. Vegyük fel az ( l, m, n ) pozitív számokat, majd vizsgáljuk meg, hogy alkalmasak - e arra, hogy szerepeljenek az alábbi arány - sorban: q x : q y : q z l : m : n. ( a ) Más szavakkal: megvalósítható - e egy olyan merőleges axonometrikus ábrázolás, ahol a rövidülések arányai éppen az ( l, m, n ) számok arányaival adottak. Ennek eldöntéséhez alkalmazzuk a ( 17 ) és a ( 18 ) tételeket! Először: ha ( a ) fennáll, akkor a rövidülési tényezők felírhatóak az alábbi alakban: / 0 L M, / 2 L N, / 4 L O. ( b ) Másodszor: ahhoz, hogy ( a ) - val létrejöhessen egy merőleges axonometrikus ábrázolás, szükséges, hogy fennálljon ( 17 ). Ekkor azonban ( 17 ) és ( b ) szerint kell, hogy: L M" +L N" > L O" Q B +R B > S B ; ( c / 1 ) L N" +L O" >L M" R B +S B > Q B ; ( c / 2 ) L O" +L M" > L N" S B +Q B > R B. ( c / 3 ) Harmadszor: ahhoz, hogy ( a ) - val létrejöhessen egy merőleges axonometrikus ábrázolás, szükséges, hogy fennálljon ( 18 ). Ekkor azonban ( 18 ) és ( b ) szerint: L M" +L N" +L O" 2, innen: L M +N +O " 2, innen pedig: L (. ( d ) T,U,V Végül ( b ) és ( d ) - A Q,R,S"( B QB Q B,R B,S C Q,R,S" ( B RB Q B,R B,S B, ( e / 1 ) ( e / 2 E Q,R,S"( B SB Q B,R B,S B. ( e / 3 ) Megjegyezzük ahogyan azt már korábban is megtettük, hogy a ( c ) képletsor szerint az ( l, m, n ) számok nem képezhetnek pitagorászi számhármast. Ekkor ugyanis ( c ) - ben valamelyik egyenlőtlenség egyenlőségbe menne át, vagyis az ilyen számok arányaival nem lenne megvalósítható egy merőleges axonometrikus ábrázolás. Ilyen például a ( 3, 4, 5 ).

6 6 Összefoglalva a rövidülési együtthatók megválasztásával kapcsolatos főbb tudnivalókat: 1.) A ( 3 ) szerinti ( u, v, w ) tengelymetszeti számhármas megadása esetén a rövidülési együtthatók a ( 19 ) képletekkel számíthatók ki; 2.) A ( c ) - nek eleget tevő ( l, m, n ) számhármas megadása esetén a rövidülési együtthatók az ( e ) képletekkel számíthatók ki. Következő feladatként azt tűzzük magunk elé, hogy írjuk fel a merőleges axonometrikus ábrázolás egyenleteit, csak a rövidülési tényezőkkel, a léptéktényezővel, valamint az ábrá - zolandó térbeli pont koordinátáival. Ehhez tekintsük a 2. ábrát is! 2. ábra Itt megismételtük az 1. ábrán látható, az ( O a x y z ) merőleges axonometrikus tengelykeresz - tet is tartalmazó részletet, az ( O a x y ) tengelykereszttel is. Ezekkel az ( O X Y Z ) térbeli koordináta - rendszerben adott tetszőleges térbeli P ( X P, Y P, Z P ) pont K ( x K, y K ) kép - pontjának ábrázolási koordinátái a 2. ábráról is leolvashatóan így festenek: W XY / 0 Z [ cos\+/ 2 ] [ cos^, ( 20 ) _ XY / 0 Z [ sin\ / 2 ] [ sin^ +/ 4 `[. ( 21 ) Annak érdekében, hogy a rajzi méretarányt változtatni tudjuk, bevezetjük az L lépték - tényezőt; ezzel: Wa XY b W XY, _a XY b _ XY. ( 22 )

7 7 Most ( 20 ), ( 21 ) és ( 22 ) szerint a rajzi képkoordináták: Wa XY b c / 0 Z [ cos\+/ 2 ] [ cos^ d, ( 23 ) _a XY b c / 0 Z [ sin\ / 2 ] [ sin^ +/ 4 `[ d. ( 24 ) A közvetlen feladat az ábrázolás α és β szögei szögfüggvényeinek kifejezése a rövidülési tényezőkkel. 3. / 1 ábra 3. / 2 ábra A 3. / 2 ábráról merőleges szárú szögek miatt leolvashatóak az alábbi szögösszefüg - gések: \ 90 e, ( 25 ) ^ 90 f. ( 26 ) Most a µ és λ szögek valamilyen szögfüggvényeire kívánunk szert tenni. Cos - tétellel: g h +i 2 h i cose cose j,k?l ; ( 27 ) most figyelembe véve a 3. / 1 ábráról is leolvasható g +!, h +!, i + ( 28 ) összefüggéseket is, ( 27 ) - ből kapjuk, hogy: cose,,,?? j k tehát: j k j k j k,,,

8 8 cose. ( 29 ),, Hasonlóan: h g + i 2 g i cosf cosf l, k? j l k ; ( 30 ) most ( 28 ) és ( 30 ) - cal: cosf,,,?? l k l k l k tehát:,,, cosf. ( 31 ),, A teljesség kedvéért ugyanígy: i g + h 2 g h cosn cosn l, j? k l j ; ( 32 ) majd ( 28 ) és ( 32 ) - vel: cosn,,,?? l j l j l j tehát:,,, cosn. ( 33 ),, Most ( 25 ) és ( 26 ) - tal: sin\ sin90 e" cose, ( 34 ) sin^ sin90 f" cosf. ( 35 ) Majd ( 29 ) és ( 34 ) - gyel: sin\, ( 36 ),, illetve ( 31 ) és ( 35 ) - tel: sin^. ( 37 ),, Átalakításokat végzünk a ( 36 ) és ( 37 ) képleteken:

9 9 sin\ majd sin^,,,, (,$ + - % (,$. - % (,$ - + % (,$. + %, ( 38 ) (,$ + - %,$. - %,$ +. - %. ( 39 ) (,$ - + %,$. + %,$ -. + % Ezután átalakításokat végzünk a ( 13 ) képleteken: o p 1 ; ( 40 ) $ + - %,$ +. % o q 1 o r 1 $ - + %,$ -. % ; ( 41 ) $. + %,$. - %. ( 42 ) Most ( 40 ) és ( 42 ) összeszorzásával: $ o p 1% $ o r 1% $ + - %,$ +. % $. + %,$. - % $ + - % $. + %,$ + - % $. - %,$ +. % $. + %,$ +. % $. - % $. - %,$ +. - %,,$ + - % ; ( 43 ) majd ( 38 ) és ( 43 ) összehasonlításából: sin \ $ o p 1% $ o r 1%, ( 44 ) innen: sin\ ($ o p 1% $ o r 1%. ( 45 ) Ezután az ismert azonossággal és ( 44 ) - gyel: cos\ 1 sin \ (1 $ o p 1% $ o r 1%. ( 46 ) Hasonlóan eljárva: ( 41 ) és ( 42 ) összeszorzásával kapjuk, hogy: s o q 1t $ o r 1% $ -. + %,$. + %,$ - + %, $ - + %,$ -. % $. + %,$. - % $ - + % $. + %,$ - + % $. - %,$ -. % $. + %,$ -. % $. - % ; ( 47 )

10 10 most ( 39 ) és ( 47 ) összehasonlításával: sin ^ s o q 1t $ o r 1%, ( 48 ) innen: sin^ (s o q 1t $ o r 1%. ( 49 ) Ezután az ismert azonossággal és ( 48 ) - cal: cos^ <1 sin ^ (1 s o q 1t $ o r 1%. ( 50 ) Az ábrázolási összefüggések ( 23 ), ( 24 ), ( 45 ), ( 46 ), ( 49 ) és ( 50 ) szerint így alakulnak: Au vy w A (K $ A B K% $ E B K% y z +@ C (K s C B Kt $ E B K% { z ; ( 51 ) Cu vy w A ($ A B K% $ E B K% y C (s C B Kt $ E B K% { z +@ E } z. ( 52 ) Ezekhez hozzávéve még a ( 18 ) - ból E A C B ( 53 ) összefüggést is, megállapíthatjuk, hogy fennállnak az alábbiak: Wa XY ~ cb ;/ 0,/ 2 ; Z [,] [ d, ( 54 ) _a XY ~ cb ;/ 0,/ 2 ; Z [,] [,`[d. ( 55 ) Ezek alapján tényleg mondhatjuk, hogy az ábrázolás rögtön elvégezhető, ha adottak az ( L; q x, q y ; X P, Y P, Z P ) mennyiségek. A rövidülések megadásához pedig választhatjuk akár a ( 19 ), akár az ( e ) egyenleteket.

11 11 Megjegyzések: M1. Az ábrák még korábbi készítésénél felhasználtuk azon tételeket is, miszerint ~ a nyomháromszög hegyesszögű, ~ az axonometrikus tengelykereszt tengelyei a nyomháromszög magasságvonalai. E tételeket korábban már igazoltuk, így itt csak utalunk rájuk. M2. Bizonyára felvetődik az Olvasóban A kérdés: Honnan lehet azt tudni, hogy mit kell tenni annak érdekében, hogy pl. a ( 45 ) képlet elő - álljon? A válasz: Ezeket a képleteket korábban már más úton is levezettük, így itt csak arra kellett ügyelnünk, hogy az ismert végeredményekre jussunk, az itteni levezetés során is. M3. Az ( 51 ) és ( 52 ) képletekkel még sehol máshol nem találkoztunk, emlékeink szerint. Talán nem olyan egyszerűek és szépek, mint az α és β képletekkel dolgozó, a fent említett korábbi dolgozatunkban levezetett végeredményeink, viszont érdekesek és kifejezőek. Jó itt látni ezeket is. M4. Most jöhetne a szakirodalmi források felsorolása. Ez itt most elmarad, mert ilyen művek vagy nincsenek, vagy már korábban említve lettek. Megemlítjük viszont azt a tényt, hogy az egész dolgozat - folyam kiváltója néhány képlet volt, amiket Sors László zsebszámológép - programokkal foglalkozó könyvében találtunk, melyeknek gyakorlatilag semmi közük sem volt az ott hivatkozott szakirodalomhoz. Ez igencsak meglepő volt, ezért alaposabb kutatás - nak kellett kezdődni ebben az ügyben. Furcsa, de nagyon kevés hasonló jellegű, a témát szá - mítással kezelő munkára akadtunk. Ilyenek voltak Gino Loria ( olaszból németre fordított ) és Romsauer Lajos ábrázoló geometria tankönyvei, amiket a múlt század elején adtak ki. A helyzet azóta sem sokat javult, mert az analitikus geometriai tárgyalásmódú munkák meg sokszor nem az egyszerű földi halandók számára íródtak. Ez azt jelenti, hogy a mondandójuk kifejtése során ugyan illusztrációként megmutatják az itt is tárgyalt vetületképzési módokat, geometriai transzformációkat, ám szinte sohasem a gyakorlati felhasználás igényeit tartva szem előtt. Lelkük rajta Sződliget, Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár