Ismét a fahengeres keresztmetszetű gerenda témájáról. 1. ábra forrása: [ 1 ]

Átírás

1 1 Ismét a fahengeres keresztmetszetű gerenda témájáról Az 1. ábrával már korábban is találkozhatott az Olvasó. 1. ábra forrása: [ 1 ] Ezen azt láthatjuk, hogy bizonyos esetekben a fűrészelt fagerenda a hosszának egy szaka - szán ép élű, egy másik szakaszán pedig fahengeres keresztmetszetű lesz. Az alábbi vizs - gálatok ezzel a jelenséggel kapcsolatosak. Ehhez tekintsük a 2. ábrát is! 2. ábra Itt azt látjuk, hogy a L hosszúságú gerenda egy l hosszúságú szakasza fahengeres keresztmetszetű, a többi pedig ép élű. Az ép élű gerenda keresztmetszeti méretei B és H. Az eredeti egyenes csonkakúp félnyílásszöge: α. A tompaélűség paraméterei: b 1 és h 1.

2 2 A csonkakúp kisebbik alapköre r 0, a nagyobbik pedig R sugarú. A feladat: Adott: d 0, D, L, B, H. Keresett: b 1, h 1, l. A megoldás: A megoldáshoz először felírjuk az egyenes csonka körkúp egyenletét. A kúp tengelye a z tengely; egy z koordinátájával adott keresztmetszetében a kúppaláston fekvő pontok egy r (z ) sugarú körön helyezkednek el. Ennek a körnek az egyenlete: ( 1 ) Másrészt viszont a keresztmetszeti sugár képlete a 2. ábra szerint: ahol: ( 2 ) ( 3 ) Most ( 1 ) és ( 2 ) - vel:. ( 4 ) A ( 4 ) egyenletet több mindenre használhatjuk; először az l hosszat határozzuk meg a segítségével. Az l hosszúságú szakasz tő felőli végén r( l ) = r 1 ; ámde a 2. ábra szerint: ( 5 / 1 ) azaz: ( 5 / 2 ) Most ( 4 ) és ( 5 / 1 ) - gyel: pozitív négyzetgyökvonás és beszorzás után: rendezve:

3 3 ( 6 ) majd ( 3 ) és ( 6 ) - tal: tehát: ( 7 ) Ezután meghatározzuk a tompaélűség paramétereit. A 2. ábra alapján, Pitagorász tételével: innen: tehát: ( 8 ) Teljesen hasonlóan eljárva: innen: tehát: ( 9 ) Ezzel kitűzött feladatunkat megoldottuk. Megjegyzések: M1. A ( 7 ) képlet szerint, ha ekkor az egész gerenda ép élű lesz, hiszen már a csúcs felőli kisebbik átmérőjű bütüje körébe is beírható egy ép élű téglalap.

4 4 Továbbá az is kiolvasható ( 7 ) - ből, hogy, ha azaz, ha ( 5 / 2 ) - vel is: Ekkor a gerenda a teljes L hossza mentén fahengeres keresztmetszetű lesz, csak a tő felőli bütü D átmérőjű körébe írható bele az ép élű téglalap. M2. A 2. ábra jobb oldali részén az oldalnézeti képen vázolt görbe pontosan is meg - rajzolható. Ehhez felírjuk a görbe egyenletét. A görbe a csonkakúpnak az egyenletű függőleges síkokkal való metszése során előálló két hiperbola lesz. Ekkor ( 4 ) - gyel is: eből: innen: ( 10 ) Adatok az ábrázoláshoz: B = 12 cm; H = 16 cm; h 1 = 2 cm; h = H 2 h 1 = 16 cm 4 cm = 12 cm; R = 13 cm, D = 26 cm, L = 260 cm. Ezekkel az adatokkal és ( 10 ) - zel a két hiperbola - ág egyenlete: ( e )

5 5 Az ( e ) függvény képe a 3. ábrán szemlélhető meg. 3. ábra Látjuk, hogy a Graph szoftver grafikonja és a számítás ugyanazokat az eredményeket szolgáltatja, ha nem akarunk hamar kerekíteni. Ellenkező esetben komolyabb eltérések állnak elő az itt kiszámított és a grafikon által szolgáltatott eredmények között. Ennek valószínűleg a hiperbola - ág és a vízszintes egyenes lapos metsződése az oka. M3. A 2. és a 3. ábra hosszléptéke nem ugyanaz; az oldalnézeti kép a 2. ábrán torzítva lett, annak érdekében, hogy kiférjen a papírlapra. M4. Az 1. és a 2. ábráról jól látható, hogy van még két másik hiperbola is, melyek a csonkakúpnak az síkokkal való metszetgörbéiként adódnak. Ennek képlete az eddigiekkel analóg módon nyerhető. Felírását az érdeklődő Olvasóra bízzuk. M5. A Δh paraméter változása a gerenda hossza mentén a 3. ábra szerinti; ez ugyanis a piros hiperbola és a kék vízszintes egyenes közötti függőleges szakasz hossza: ( 11 )

6 6 M6. A 2. ábrán jelölt, l P = L l hosszúságú szakaszon a kifűrészelt gerenda átmérőjére, vagyis utóbbi összefüggés alkalmas a méretek számítására. Ezért ezt a szakaszt pitagorászi zónának is nevezik ha jól értettük a [ 2 ] - ben olvasottakat. M7. A tompaélűség / fahengeresség megengedése körül úgy érzékeljük lehet némi bizonytalanság, szakmai körökben is. Tény, hogy számos érv szól mellette és ellene. Ezzel kapcsolatban utalunk korábbi, hasonló témájú dolgozatainkra is. M8. Még mindig tartja magát a gömb szó helytelen használata: gömbfa, fagömbösség. Ilyet mutat a 4. és 5. ábra is. 4. ábra forrása: [ 3 ] 5. ábra forrása: [ 4 ] Látjuk, hogy az 5. ábrán a fahiba mértékének korlátozása így fest, az itteni jelölésekkel: b 1 / B 1 /10. M9. A 6. ábrán látható talpfa és váltóalj - keresztmetszetek tompaélűsége úgy tűnik nem számít fahibának, ellentétben a hagyományos fűrészáruk több esetével.

7 7 6. ábra forrása: [ 5 ] Források: [ 1 ] Sobó Jenő: Középítéstan I. Reprint kiadás, Soproni Egyetem, [ 2 ] Hargitai László: Fűrészáru Szaktudás Kiadó Ház, Budapest, [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] Sződliget, Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár