Az ötszög keresztmetszetű élszarufa keresztmetszeti jellemzőiről

Átírás

1 1 Az ötszög keresztmetszetű élszarufa keresztmetszeti jellemzőiről Bevezetés A kontytetők és az összetett alaprajzú tetők akár nyeregtetők szerkezeti elemei között megtaláljuk az él - és a vápaszarufákat is 1. ábra. 1. ábra forrása: Ezek keresztmetszete ötszögletű, ha azt akarjuk, hogy az él - vagy a vápaszarufa pontosan illeszkedjen a tetősíkokhoz. A mai számítógépes világban gyakran találkozhatunk ilyen módon megjelenített tető - szerkezeti részletekkel; hasonlók láthatók az 1. ábrán is. ( Ez egy makettet szemléltet. ) Annál kevésbé találunk olyan elemzéseket, melyek érdemben vizsgálnák az él - és vápa - szarufák erőtani viselkedését. Ennek okai sokfélék lehetnek; ilyenek pl.: ~ a szükséges erőtani számítások hosszúak, bonyolultak, leginkább közelítőek; ~ az erőtani modell felvétele / a tetőszerkezet feltételezett viselkedése bizonytalan; ~ az alkalmazott faanyagok anyagjellemzői kevéssé megbízhatóak, illetve a szabvány által előírt értékek nehezen biztosíthatók, stb. Ennek ellenére látunk néha olyan internetes oldalakat, ahol összetettebb tetőszerkezet erő - tani vizsgálatának eredményeit közlik. Sajnos, ezzel kevéssé vagyunk kisegítve, hiszen erről csak annyit tudhatunk / sejthetünk, hogy a vonatkozó szabványok, valamint az épí - tészeti program tervezői által adott / felvett erőtani modellhez tartozó számítások eredmé - nyeként álltak elő.

2 2 A következőkben ez egy hosszabb időszak is lehet megkísérelünk használható érveket, gondolatokat, számításokat közreadni ebben a mostohagyerek témakörben. Máris kezdjük, a keresztmetszeti jellemzők számításával. Az ötszög alakú élszarufa - keresztmetszet néhány jellemzőjének meghatározása Itt a húzás - nyomás - hajlítással kapcsolatos geometriai adatok előállításáról lesz szó. Ezek: ~ a keresztmetszeti síkidom területe; ~ a keresztmetszeti síkidom elsőrendű vagy statikai nyomatékai; ~ a keresztmetszeti síkidom másodrendű nyomatékai. Most tekintsük a 2. ábrát! 2. ábra Ezt egy korábbi dolgozatunkból vettük át, melynek címe: Az ötszög keresztmetszetű élszarufa keresztmetszetének kialakításáról. Itt azt láthatjuk, hogy az élszarufák keresztmetszetének két különböző kialakítása is lehet - séges. Mi itt az 1. típusúval foglalkozunk, vagyis azzal, amelyiknél az élszarufa felső éle éppen középen helyezkedik el. Lényeges, hogy a kiindulási alap mindig a szabványos fűrészáru, melynek keresztmetszete egy b x h befoglaló méretű téglalap. Az itt elvégzendő számításokkal máshol még nem találkoztunk, pont ezen a módon. Természetesen a szilárdságtani szakirodalomban, mérnöki kézikönyvekben találhatók olyan képletek, melyek a mi keresztmetszeteinket alkotó téglalapra, háromszögre, illetve trapézra vonatkoznak, amelyekből összerakhattuk volna eredményeinket. Úgy döntöttünk, hogy nem ezt az utat járjuk, hanem közvetlenül a definíciós képletekből kiindulva végez - zük a számításokat. Ez valószínűleg könnyebben áttekinthető, kevesebb tévesztési lehető - séggel. Az előkészületekhez, ismétléshez ajánlott irodalom:[ 1 ]. Először tekintsük a számításainkhoz alkalmazott koordináta - rendszert 3. ábra!

3 3 Ebben feltüntettük a számításaink alapadatait is; ezek: b, h, γ 1, γ 2, melyek előre ismertek. 3. ábra 1. A keresztmetszeti síkidom területének számítása A 3. ábra alapján: ( 1 ) ( 2 ) így ( 1 ) és ( 2 ) - vel: ( 3 ) 2. Az X tengelyre vett statikai nyomaték számítása Ehhez tekintsük a 4. ábrát! Ez alapján és a definíció szerint: ( 4 ) Az első összeadandó számítását részletezzük. ( A másodikat nem, mert az teljesen hasonlóan megy. )

4 4 4. ábra ( 5 ) mivel a felső határoló egyenes egyenlete: ( 6 ) így ( 5 ) és ( 6 ) - tal: ( 7 ) Részletezve: ( 8 ) majd ( 7 ) és ( 8 ) - cal:

5 5 ( 9 ) Hasonló számítással, illetve indexcserével: ( 10 ) Most ( 4 ), ( 9 ) és ( 10 ) - zel: ( 11 ) Ismét definíció szerint a keresztmetszeti síkidom S súlypontjának Y S koordinátájára: ( 12 ) Most ( 3 ), ( 11 ) és ( 12 ) - vel: ( 13 ) 1. Speciális eset 5 / a ábra : ( 14 ) ekkor ( 13 ) és ( 14 ) szerint:

6 6 ( 15 ) 5. ábra 2. Speciális eset 5 / b ábra: ekkor ( 15 ) és ( 16 ) szerint: ( 16 ) ( 17 ) ahogyan azt a szemlélet alapján vártuk is. 3. Az Y tengelyre vett statikai nyomaték számítása Definíció szerint: ( 18 ) ( 18 ) első összeadandója részletezve, a 4. ábrával is:

7 7 ( 19 ) ( 18 ) második összeadandója részletezve, a 6. ábrával is: 6. ábra ( 20 )

8 8 Majd ( 18 ), ( 19 ) és ( 20 ) - szal: ( 21 ) Ismét definíció szerint a keresztmetszeti síkidom S súlypontjának X S koordinátájára: ( 22 ) Most ( 3 ), ( 21 ) és ( 22 ) szerint: ( 23 ) 1. Speciális eset 5 / a ábra : ( 14 ) ekkor ( 23 ) és ( 14 ) szerint: ( 24 ) 2. Speciális eset 5 / b ábra: minthogy ( 24 ) független γ - tól, így ( 16 ) és ( 24 ) - ből: ( 16 ) ( 25 ) A ( 24 ) és ( 25 ) képleteket a szemlélet alapján is vártuk, a szimmetria miatt.

9 9 4. Az X tengelyre vett másodrendű nyomaték számítása Definíció szerint: ( 26 ) Az első összeadandó számítását részletezzük. ( A másodikat nem, mert az teljesen hasonlóan megy. ) A 4. ábrával is: ( 27 ) helyettesítéssel: ( 28 ) most ( 27 ) és ( 28 ) - cal: ( 29 ) Felhasználjuk az alábbi azonosságot: ( 30 ) most ( 29 ) és ( 30 ) - cal: ( 31 ) a szorzatokat részletezve: ( 32 ) hasonlóan:

10 10 ( 33 ) most ( 31 ), ( 32 ), ( 33 ) szerint: ( 34 ) Hasonló számítással, illetve indexcserével: ( 35 ) Majd ( 26 ), ( 34 ) és ( 35 ) - tel: ( 36 ) 1. Speciális eset 5 / a ábra : ekkor ( 36 ) és ( 14 ) - gyel: ( 14 ) ( 37 ) 2. Speciális eset 5 / b ábra: ekkor ( 37 ) és ( 16 ) szerint: ( 16 ) ( 38 ) Ez megint egy ismert eredmény [ 1 ].

11 11 5. Az Y tengelyre vett másodrendű nyomaték számítása Definíció szerint: ( 39 ) ( 39 ) első tagjának részletezése: ( 40 ) ( 39 ) második tagjának részletezése:

12 12 ( 41 ) Most ( 39 ), ( 40 ) és ( 41 ) - gyel: ( 42 ) 1. Speciális eset 5 / a ábra : ( 14 ) ekkor ( 42 ) és ( 14 ) - gyel: ( 43 ) 2. Speciális eset 5 / b ábra: ekkor ( 43 ) és ( 16 ) szerint: ( 16 ) ( 44 ) 6. Az XY tengelypárra vett deviációs másodrendű nyomaték számítása Definíció szerint: ( 45 ) ( 45 ) első tagjának részletezése:

13 13 ( 46 ) Átalakításokkal: tehát ( 46 ) - ból: ( 47 )

14 14 ( 45 ) második tagjának részletezése: Átalakításokkal: ( 48 ) Most ( 45 ), ( 47 ) és ( 48 ) - cal:

15 15 ( 49 ) 1. Speciális eset 5 / a ábra : ekkor ( 49 ) és ( 14 ) - gyel: ( 14 ) ( 50 ) 2. Speciális eset 5 / b ábra: ekkor ( 50 ) és ( 16 ) - tal: ( 16 ) ( 51 ) Ez megint egy ismert eredmény [ 1 ]. Megjegyzések: M1. Képleteinket bár egyszerűbb esetekre jó eredményt adtak még további ellenőr - zésnek kell alávetni. Ugyanis ha pl. a ( 43 ) képlet zárójelében + előjel állna, a ( 16 ) és ( 43 ) képletek akkor is a helyes ( 44 ) eredményt adnák. Vagyis egy speciális esetre kapott helyes eredmény még nem garantálja az általánosabb esetre vonatkozó képlet jóságát. Ez az ellenőrzés történhet számszerű adatokkal bíró esetekben, pl. numerikus integrálás segítségével. Az analitikusan és a numerikusan meghatározott integrállal kapott eredmé - nyek egyezése már eléggé meggyőző lehet, a levezetett képlet jóságára nézve. A mondottakat két konkrét számpéldával szemléltetjük. 1. SZÁMPÉLDA

16 16 Ellenőrizendő az ( 43 ) képlet! Adatok: b = 10 cm; h = 14 cm; γ = 45. ( A ) Most ( 43 ) és ( A ) - val: ( a ) Majd a numerikus integráláshoz előkészületként: ( b ) Ezután a Graph ingyenes szoftvert alkalmazva, numerikus integrálással kapjuk, hogy: tehát megállapíthatjuk, hogy ( c ) vagyis a ( 43 ) képlet valószínűleg helyes. 2. SZÁMPÉLDA Ellenőrizendő az ( 50 ) képlet! Adatok: b = 10 cm; h = 14 cm; γ = 45. ( A ) Most ( 50 ) és ( A ) - val: Majd a numerikus integráláshoz előkészületként: ( d ) ( e )

17 Ezután a Graph ingyenes szoftvert alkalmazva, numerikus integrálással kapjuk, hogy: 17 tehát megállapíthatjuk, hogy vagyis az ( 50 ) képlet valószínűleg helyes. M2. Gyakori, hogy a keresztmetszeti jellemzők számítását eleve numerikus integrálással végzik, nem foglalkoznak zárt alakú pontos képletek előállításával. Ilyen közelítő kép - leteket találunk pl. [ 1 ] - ben is, melyeket a trapézszabály alkalmazásával nyertek. M3. A zárt alakú pontos képletek felírását azért is szorgalmazzuk, mert nem mindenki tud saját számítógépi programot készíteni és működtetni. Bár a nagyobb tervező irodák, egye - temi tanszékek, kutató intézmények bizonyára rendelkeznek a szükséges tárgyi és szemé - lyi erőforrásokkal, azonban a mezei felhasználó dolgozóknak pl: ilyenek lehetnek a mérnökök és a tanárok szükségük lehet számításaikhoz a szakirodalomban nem fellelt fenti képletekre is. M4. A 2. ábra jobb oldalán látható 2. típusú élszarufa - keresztmetszet jellemzőinek szá - mítása a fentiekhez hasonlóan végezhető el, a megfelelő újabb képletek előállításával. Megeshet, hogy ezt nem végezzük el, hanem az alábbi kézenfekvő egyszerűsítéssel élünk: a b x h 0 méretű dolgozó keresztmetszet - részre, azaz téglalapra alkalmazzuk az ismert szilárdságtani képleteket. Ezt azzal is indokolhatjuk, hogy ennél a keresztmetszet - alaknál kisebb a b x h befoglaló méretű téglalap gyengítése, így a felső ferde részeket úgy tekint - jük, mint egy rászerelt támasztó felület részeit. A hazai építési gyakorlatban ténylegesen előfordul ez a ráépítés, csak nem igazán megmunkáltan, hanem pl. léceknek a szarugeren - dára való rászegezésével. M5. A nagy kérdés, amit eddig még nem tettünk fel, hogy mire használjuk a nem annyira egyszerű képleteinket. Erre a választ talán későbbi dolgozatainkban adjuk meg. Ne feled - jük, hogy képleteink bemenő adatait ismernünk kell, amelyek szintén valamely ( elő )ter - vezési munka eredményeként állnak elő. Ezek főként geometriai, mechanikai, gazdasági és építés - technológiai természetűek lehetnek. Terveink szerint ezekhez hasonló kérdésekre a későbbiekben még visszatérünk.

18 18 Ajánlott irodalom: [ 1 ] Muttnyánszky Ádám: Szilárdságtan Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1981., 136. o, 148. o. Sződliget, Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár