Példa: Háromszög síkidom másodrendű nyomatékainak számítása

Átírás

1 Példa: Háromszög síkidom másodrendű nyomatékainak számítása Készítette: Dr. Kossa Attila BME, Műszaki Mechanikai Tanszék. február 6. Határozzuk meg az alábbi ábrán látható derékszögű háromszög síkidom másodrendű nyomatékait a súlyponton átmenő y- és z-tengelyekre, illetve az yz-tengelypárra! Határozzuk meg a főirányok helyzetét, valamint a fő másodrendű nyomatékokat paraméteresen!. ábra.

2 Megoldás A számítás egyszerűsítése miatt célszerű felvenni az alábbi ábrán jelölt u és v koordinátatengelyeket, mivel ebben a koordinátarendszerben egyszerűbb megadni a számítási képletben szereplő integrálási határokat. A súlyponti y- és z- tengelyekre a másodrendű nyomatékokat számíthatjuk úgy, hogy az u- és v-tengelyekre kiszámítjuk, majd a Steinertétel segítségével átszámítjuk az y- és z-tengelyekre.. ábra. Az u-tengelyre számított másodrendű nyomaték az alábbi alakban írható: I u = v da. ) A) A felületi integrált átírhatjuk a da =dvdu alakban, ekkor egy kettős integrált kell számítani. A síkidomhoz tartozó területet pedig leírhatjuk úgy, hogy azt mondjuk, hogy az u változó "megy" -tól b értékig, miközben a v változó pedig -tól a felső határoló élig, melynek egyenlete megadható az alábbi formában: h h u. Tehát ) kifejezés az alábbi b alakban írható: I u = = A) v da = b b h hu b h h h b u ) ) 4 b v dvdu = b [ v h h b u ) du = b h h ) b u du ) = bh. )

3 A v-tengelyre számított másodrendű nyomaték: I u = = A) u da = h h b bv h b b b h v ) ) 4 h u dudv = h [ u b b h v ) dv = h b bv ) dv 4) h = hb. 5) Az uv-tengelypárra számított másodrendű nyomaték felírása: I uv = A) = uvda = [ h u b h h b u ) h u b uvdvdu = b [ uv h h b u ) du = b u h h ) b u du6) + h u 4 b = b h 4b 4. 7) Amennyiben a kettős integrált fordított sorrendben számítjuk, akkor is ugyanerre az eredményre jutunk: I uv = A) = uvda = [ b v h b b h v ) b v h + b v 4 4h uvdudv = h h [ u v b b h v ) dv = h v b b ) h v dv 8) = b h 4. 9) A súlyponton átmenő y- és z-tengelyekre számított másodrendű nyomatékokat a Steinertétel segítségével számíthatjuk: ) h I y = I u A = bh h 9 bh = bh 6. ) Fontos megjegyezni, hogy a fenti kifejezésben a Steiner-tag azért negatív előjellel szerepel, mert az u-tengelyről számítjuk át a másodrendű nyomatékot a súlyponton átmenő y- tengelyre és a párhuzamos tengelykre vonatkozó összefüggéseknél mindig a súlyponton átmenő tengelyre a legkisebb a tengelyre számított másodrendű nyomaték. Ha ettől távolodunk akkor nő az érték. A z-tengelyre számított másodrendű nyomaték: ) b I z = I v A = hb b 9 bh = hb 6. ) Az yz-tengelypárra számított másodrendű nyomaték számítása: I yz = I uv b ) h ) A = b h 4 bh 9 bh = h b. )

4 Az yz koordinátarendszerben a másodrendű nyomaték tenzora : [ bh b h [ I = Iy I yz = 6 y,z) I yz I z b h hb = bh b h b h hb 6. ) Fő másodrendű nyomatékok és főirányok számítása A fő másodrendű nyomatékok a másodrendű nyomték tenzorának sajátértékeivel egyenlőek. Vagyis a ) szerinti mátrix sajátértékeit kell meghatároznunk, ami az alábbi karakterisztikus egyenlet megoldásával kapunk: deti λe) =, 4) ahol E a másodrendű egységtenzor. Kifejtve a fenti kifejezést kapjuk, hogy [ bh b h [ ) det λ =, 5) b h hb det bh ) hb 6 λ 6 λ λ + A fenti másodfokú egyenlet gyökei: bh 6 λ b h b h hb 6 λ ) b h bh 6 hb 6 λ = bh b +h + ) b 4 b h +h 4 λ = bh =, 6) ) ) b h =, 7) )λ+ b4 h 4 =. 8) 8, 9) b +h ) b 4 b h +h 4. ) A nagyobbik gyök jelenti az -es fő másodrendű nyomatékot, míg a kisebbik a -es. Tehát: I = bh b +h + b 4 b h +h 4), ) I = bh b +h b 4 b h +h 4). ) Az -es főirányt a λ sajátértékhez tartozó s sajátvektor iránya jelöli ki. Ennek számítása: I λ E) s =, ) A mellékátlóban lévő elemeket negatív előjellel kell beírni! 4

5 bh bh 6 λ b h [ s b h hb = 6 λ s h b b 4 b h +h 4) b h b h [ bh b h b 4 b h +h 4) ami egyszerűsítés után szorzás /bh)-val) az alábbi alakra hozható: h b b 4 b h +h 4 bh [ s bh b h = b 4 b h +h 4 s, 4) [ = s [ s [ 5). 6) Célszerű az s sajátvektor komponenseit felírni az s =cosα és s =sinα alakban. Ekkor az y-tengelytől pozitív értelemben mért α szög jelöli ki az -es sajátvektor irányát. A 6) vektoregyenlet első sora ez esetben az alábbi: h b b 4 b h +h 4 ) cosα+bh)sinα =, 7) amiből az α szög kifejezhető: Az erre merőleges irány pedig a -es főirány. α = arctg h b ) b 4 b h +h 4. 8) bh Numerikus számpélda Legyen b = 75 mm és h = mm. Ez esetben a fő másodrendű nyomatékok ) és ) alapján: I = 75 I = ) = ,95 mm 4, 9) 75 + ) = 4 6,55 mm 4. ) Az -es főiránynak az y-tengellyel bezárt szöge 8) felhasználásával: α = arctg 75 ) =,4859 rad = 77,7. ) 75 A főirányok helyzetét az alábbi ábra szemlélteti. 5

6 . ábra. Összefoglalás: Tetszőleges síkidom főtengelyeinek meghatározása A síkidom súlypontjába helyezett általános helyzetű derékszögű xy koordináta-rendszerben a másodrendű nyomaték tenzorának mátrixa az alábbi alakú: I = x,y) [ Ix I xy I xy I y. ) A mátrixban szereplő mennyiségek felhasználásával számítható az I és I fő másodrendű nyomatékok az alábbi összefüggésekkel: I, = I x +I y ± I x I y ) +4I xy. ) Az -es főirány főtengely iránya) és az x-tengely által bezárt szög: ) Ix I α = arctg. 4) Az erre merőleges irány pedig a -es főtengely irányát adja meg: I xy ) Ix I α = arctg. 5) I xy részletes levezetés: Muttnyánszky Ádám: Szilárdságtan. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 98., 54. oldal. 6