Két naszád legkisebb távolsága. Az [ 1 ] gyűjteményben találtuk az alábbi feladatot és egy megoldását: 1. ábra.

Átírás

1 1 Két naszád legkisebb távolsága Az [ 1 ] gyűjteményben találtuk az alábbi feladatot és egy megoldását: 1. ábra. 1. ábra A feladat Az A és B, egymástól l távolságra lévő kikötőből egyidejűleg indul két naszád; az A - beli v 1, a B - beli v 2 sebességgel. Az AB egyenessel az első naszád mozgásának iránya α, a másodiké β szöget zár be. Mekkora lesz a két naszád közötti legkisebb távolság? A megoldás Itt az 1. ábrán megadottól eltérő úton járunk. Ehhez tekintsük a 2. ábrát is! Itt azt szemlélhetjük, hogy az első naszád s 1, a második s 2 távolságra jutott el t idő alatt, miközben a köztük mérhető pillanatnyi távolság δ. A 2. ábra alapján, Pitagorász tételével: ( 1 ) ( 2 ) ( 3 )

2 2 2. ábra Továbbá az állandó nagyságú sebességek és az egyszerre indulás feltételeivel: így ( 2 ), ( 3 ) és ( 4 ) - gyel: Most ( 1 ), ( 5 ) és ( 6 ) - tal: ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) ( 7 ) Differenciáljuk a ( 7 ) kifejezést a t idő szerint! Ekkor: ( 8 ) a szélsőérték létezésének szükséges feltétele: ( 9 ) mivel általában ( 10 ) ezért ( 8 ), ( 9 ), ( 10 ) - ből: majd:

3 3 majd: ( 11 ) Most ( 7 ) és ( 11 ) - gyel a legrövidebb távolság négyzete: átalakítva: majd: egyszerűsítve: pozitív négyzetgyökvonással mivel : ( 12 ) Ezek szerint a két naszád az indulástól számított t 0 idő múlva kerül a legközelebb, azaz δ 0 távolságra egymástól, a ( 11 ) és ( 12 ) képletek szerint számíthatóan.

4 4 Megjegyzések: M1. Egy az ittenihez igen hasonló feladatot már megoldottunk / tanulmányoztunk, az Egy további mozgástani szélsőérték - feladat című korábbi dolgozatunkban. M2. Az 1. ábra szerinti megoldással szintén a ( 12 ) szerinti, illetve azzal egyenértékű eredményre juthatunk. Itt felvetődik, hogy melyik a szebb / jobb megoldás. Bizonyára vannak olyanok, akik az 1. ábra szerinti megoldást szebbnek, elegánsabbnak vélik, ráadásul ott nincs szükség deriválásra sem. Egyszerűbben: egy középiskolás is megoldhatja, ha elég kreatív és gyakorlott. Mi itt direkt nem az 1. ábra szerinti megoldást követtük, hogy lássunk egy másfélét is. Ez inkább emlékeztet a fent említett korábbi dolgozatunkban alkalmazott megoldásra. M3. Hogy a fenti szélsőérték minimum, azt a szemléletre hagyatkozva is beláthatjuk, mellőzve a hosszadalmas számítást. Hogy a távolság minimális és nem maximális lesz a két naszád között, azt az α és β szögek 1. ábra szerinti felvétele garantálja: a két bejárt pálya - félegyenes metszi egymást, még ha a hajók esetleg nem is találkoznak. A találkozás feltétele: ( 13 ) most ( 12 ) és ( 13 ) szerint: ( 14 ) Ez az összefüggés az 1. ábra szemlélete alapján is belátható; ( 3 ) - ból: ami egyenértékű ( 14 ) - gyel. Majd ( 2 ) - ből: ( 15 ) A ( 15 ) eredmény előáll ( 11 ) - ből is, ( 14 ) - et alkalmazva.

5 5 M4. Gyanítjuk, hogy fenti eredményeink a gyakorlatban is hasznosíthatóak, legalábbis közelítőleg. Nem feledjük, hogy az áramlatok, a szél, akadályok, stb. módosíthatják a helyzetet, így a neki megfelelő szélsőérték is módosulhat. Ekkor tehát már egy másik feladatról van / lehet szó. M5. A fenti feladat már csak azért is idealizált, mert állandó nagyságú és irányú a haladási sebessége a naszádoknak. Egy kikötőből való kihajózásnál biztosan nem ez a helyzet. A kikötőből kiérve talán már igen. Akkor a feladat így értendő. M6. Már többször hivatkoztunk a haladási sebességek állandóságának feltételére. Az eredeti feladat ezt így nem mondja ki, vagyis erre csak következtettünk. Ez talán hiba. Ugyanis ha a v 1 és v 2 sebességek az idő függvényei, akkor az idő szerinti deriválás, így a ( 8 ) alapegyenlet is máshogyan alakul: sokkal bonyolultabb lesz, ahogyan a továbbiak is. Az, hogy ez egy nem igazán kezdőknek szánt feladat, talán mentheti ezt a helyzetet: az edzett feladatmegoldó sejtheti, hogy a sebességeknek az időben állandónak kell lenniük. Tény, hogy beleférhetett volna a feladat szövegébe még egy kevés információ. M7. Ha a sebességek nagysága és iránya is változó lehet, akkor az általánosabb üldözési görbe esete állhat elő. A civil tankönyvekben leginkább ennek egy egyszerűbb esetével foglalkoznak [ 2 ], [ 3 ]. Úgy tűnik, hogy manapság inkább numerikus módszereket alkalmazó számítógépi programokkal dolgoznak, így igazodva az esetlegesen változó feltételekhez. Ezen alkalmazások gyakran katonai jellegűek. Ilyenre láthatunk egy kellően leegyszerűsített példát [ 4 ] - ben. Források: [ 1 ] L. G. Aszlamazov ~ I. S. Szlobogyeckij: Zadacsi i nye tol ko po fizike Bibliotyecska Kvant, Vüpuszk 89., Bjuro Kvantum, Tyehnoszfera, Moszkva, [ 2 ] Rudolf Rothe: Matematika gépészmérnökök számára Műszaki Könyvkiadó, Budapest, [ 3 ] A. F. Bermant: Matematikai analízis II. rész Tankönyvkiadó, Budapest, [ 4 ] Baky Miklós: Zsebszámológép - programok PTK 1050 Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1985.

6 6 Sződliget, Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár