Kerék gördüléséről. A feladat

Átírás

1 1 Kerék gördüléséről Nemrégen egy órán szóba került a címbeli téma, középiskolások előtt. Úgy látszott, nem nagyon értik, miről van szó. Persze, lehet, hogy még nem tartottak ott, vagy csak aludtak a fizika órán. Most megkíséreljük elővezetni e témát, magasabb matematika felhasználása nélkül. A középiskolai ismeretekre viszont számítunk. Az interneten talált [ 1 ] anyag segít ebben a munkában. Most tekintsük az 1. ábrát! Ezen a feladat kiírását és megoldásának kezdő lépését látjuk. A feladat 1. ábra forrása: [ 1 ] Az R sugarú kerék csúszás nélkül gördül, úgy, hogy S középpontja haladási sebessége v S, valamint a kerék ω szögsebességgel forog. A kerék egy tetszőleges K pontja a távolságra van az S középponttól, valamint egy adott pillanatban α szöget zár be a függőlegessel. Határozzuk meg ekkor a K pont sebességét! A megoldás Az 1. ábra alsó részén szemléltetik a csúszásmentes gördülés fizikai / geometriai lényegét: a kerék peremén kijelölt Q pont a φ szögelfordulás során az út felületével érintkezésbe

2 2 került, miután legördülve megtette a maga ( 1 ) körív - útját. Ugyanekkor azonban a kerék középpontja is elmozdult a haladás irányában, x utat megtéve. A tiszta azaz csúszásmentes gördülés feltétele, képlettel leírva: ( 2 ) Most ( 1 ) és ( 2 ) - vel: ( 3 ) ahol a szöget ívmértékben ( radiánban ) mérjük. A ( 3 ) képlet feldolgozása azaz nem csak elfogadása alapvetően fontos a megértés, vagyis a fizikai tanulmányokban való továbbhaladás szempontjából. A könnyebbség ked - véért a kezdő a ( 2 ) összefüggést tekintheti kísérleti / tapasztalati ténynek is. Most vegyük úgy, hogy a mozgás egyenletes! Ekkor a ( 3 ) egyenletet elosztva a φ szög - elfordulás és az x út megtételéhez szükséges t idővel, kapjuk, hogy ( 4 ) Ezután bevezetjük a definíciószerűen értelmezett ( 5 ) ( 6 ) skaláris sebességet és a skaláris szögsebességet. Most ( 4 ), ( 5 ) és ( 6 ) szerint: ( 7 ) A ( 7 ) egyenletet is hívják gördülési feltételnek. Ezután tekintsük a 2. ábrát! Itt azt látjuk, hogy a K pont v K sebességét úgy határozzák meg, hogy képezik az S kö - zéppont v S haladási sebességének és az S körüli forgás v f,s sebességének vektori összegét. Az eredő sebesség nagyságának meghatározására a koszinusztételt alkalmazzák. Ehhez az összetevő sebességek nagysága: ~ v S a ( 7 ) képlet szerinti, ~ ( 8 ) a rögzített tengely körül egyenletes forgómozgást végző pont esetében tanultak szerint. Most a koszinusztétel felírása, a 2. ábra szürkére színezett tompaszögű háromszögéből:

3 3 2. ábra forrása: [ 1 ] ( 9 ) majd alkalmazzuk, hogy így ( 9 ) és ( 10 ) szerint: ezután ( 7 ), ( 8 ) és ( 11 ) szerint: ezt más alakba írva: Pozitív négyzetgyököt vonva: ( 10 ) ( 11 ) ( 12 ) ( 13 / 1 ) ( 13 ) A ( 13 ) képlet adja meg a v K vektor v K nagyságát. Most vegyük szemügyre a 3. ábrát! Ezen azt látjuk, hogy a távolságra írhatjuk, a szürke háromszögre alkalmazott koszinusztétellel: ( 14 ) Pozitív négyzetgyökvonással: ( 15 )

4 4 3. ábra forrása: [ 1 ] Most ( 13 ) és ( 15 ) összevetésével: ( 16 ) Azt a fontos összefüggést kaptuk, hogy a kerék tetszőleges K pontja sebességének nagyságát úgy kapjuk, hogy a KP távolságot szorozzuk a forgás szögsebességével. Ha K = P, akkor amiért is a P pontot a forgás momentán pólusának, más néven momentán centrumának, azaz a rajta átmenő és az ábra síkjára merőleges egyenest a forgás pillanatnyi tengelyének nevezik. Ez több kérdést is felvet, amiket már a fentiek szerint a középiskolában is megbeszél - hetünk, a figyelmet rájuk irányíthatjuk. 1. A csúszásmentesen gördülő keréknek a mozgása folyamán mindig van egy olyan P pontja, melynek sebessége zérus. Ez már önmagában is meglepő lehet. 2. A fentiek szerint az ω szögsebességet nem csak a kerék S középpontjára vonatkoztat - hatjuk; a szögsebesség a kerék minden pontjára ugyanazon értékű. Ez is egy meglepő tény lehet, sokak számára. 3. A kerék sebességállapota többféleképpen is leírható: ~ a sebességek szuperponálásával / egymásra halmozásával / vektori összegzésével, ill. ~ a momentán centrum körüli forgással. Ezt is kell majd még emésztenie a tanulóknak. 4. A nem igazán részletezett ( 8 ) képlet felírásánál hivatkoztunk az egyenletes kör - mozgás mint az egyik legegyszerűbb és leggyakoribb mozgásfajta tanulása során kapott hasonló eredményre. Nem véletlenül hangsúlyoztuk, hogy az az álló tengely körüli forgás esetében kapott eredmény, hiszen az egyenletes gördülést két mozgás az álló tengely körüli forgás, valamint a forgástengely egyenletes haladó mozgása egy - másra halmozásával is leírhatjuk.

5 5 Megjegyzések: M1. Még nem esett szó arról, hogy v K merőleges PK egyenesére 3. ábra. Ennek belátása legyen az Olvasó feladata. M2. A vektoriális szorzat ismeretében írható, hogy 4. ábra : ( 17 ) 4. ábra M3. Az 5. ábra is azt szemlélteti, hogy a kerék gördülése két mozgás összetételével is származtatható. Ez egy pillanatfelvétel. Egy másik időpillanatban a helyzetkép hasonló, csak már egy másik P ponttal; a P pólus is mozog, más szóval: vándorol. Ezt mindenki láthatja a kerekes járművek mozgását figyelve. 5. ábra forrása: [ 2 ]

6 6 M4. Az 5. ábra jobb oldali részén azt látjuk, hogy a P ponttal egyazon átmérőn lévő felső kerékpont sebessége kétszerese a kerék ( itt ) O = S középpontja sebességének. E tény értelmezésében segíthet, ha felidézzük, hogy kerékpározunk, és menet közben lenézünk az első kerékre. Azt látjuk, hogy az első kerék bordái mintegy lehagynak minket. Úgy - e? M5. Úgy találjuk, az [ 1 ] munkában sokat tettek azért, hogy ne csak a gazdasági mérnö - kök, de a középiskolai tanulók is könnyebben megérthessék a tisztán gördülő kerék moz - gásának sajátosságait. A [ 2 ] mű pedig inkább már csak a tanároknak ajánlott olvasmány. M6. Nem felejtjük el, hogy a való életben gyakran találkozhatunk a kerék nem tiszta gördülésének eseteivel is; gondoljunk csak ~ a kerekét álló helyzetében elfüstölő motorkerékpárosra, vagy ~ az állóra fékezett kerekekkel csúszó motoros járművekre. Jelezzük, hogy a momentán centrum fogalma, illetve alkalmazása ezekben az esetekben is jó szolgálatot tehet. Ezekkel itt már nem foglalkozunk. Irodalom: [ 1 ] Ulrich Gabbert ~ Ingo Racke: Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 4. Auflage, Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag, München - Wien, [ 2 ] Szerk.: M. Csizmadia Béla ~ Nándori Ernő: Mechanika mérnököknek Mozgástan Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, Sződliget, Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár