1. ábra forrása:

Átírás

1 1 A cérnaorsó, a kábeldob viselkedéséről A napokban láttam a tévében egy ismeretterjesztő műsort, ahol egy kábeldobot akartak nekigurítani egy roncsautónak. Különböző szögekben működtették a kábel szabad végére a húzóerőt, de a dob csak harmadik nekifutásra indult meg. Erről jutott eszembe, hogy essen erről néhány szó. Ehhez lássuk az 1. ábrát is! 1. ábra forrása: Itt szöveggel és ábrával elmagyarázzák, hogy a lényeg az, hogy a ( piros ) húzóerő hatás - vonala milyen helyzetű az orsó és az asztal érintkezési pontjához képest. a.) A bal oldali ábrarészen a húzóerő a zöld íves nyíl szerint az óra járásával egyezően forgat, az orsó jobbra gördül; b.) a középső ábrarészen a húzóerő az óra járásával ellentétesen forgat, az orsó balra gördül; c.) a jobb oldali ábrarészen a húzóerő hatásvonala éppen átmegy a támaszkodási ponton, így arra ( pontosabban: a ponton átmenő, az ábra síkjára merőleges egyenesre ) vett forgatónyomatéka zérus nagyságú, így az erő csúsztatni kezdi az orsót, forgás nélkül, itt jobbra.

2 2 A tévéműsorban említették a kritikus szög kifejezést is. Ez alatt valószínűleg a c.) esetnek megfelelő alábbi szöget értették 2. ábra : 2. ábra forrása: ( a ) ahol r i a belső, r a a külső határoló kör sugara. A 3. ábrán egy ilyen kísérlet lehetséges megvalósítási körülményei láthatók. 3. ábra forrása: Az alábbiakban mennyiségtanilag is megvizsgáljuk az 1. ábra szerinti erőbevezetési esetet. Ehhez tekintsük a 4. ábrát is!

3 3 4. ábra Itt az orsó t = 0 időpontbeli helyzetét ábrázoltuk, a reá ható erőkkel együtt, P = konst. A síkmozgást végző orsó mozgásegyenletei az alábbiak v. ö.: [ 1 ]! : ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) A mozgás folyamán végig fennáll, hogy A tiszta gördülés feltételével a C középpont helyzete: ( 4 ) ( 5 ) ebből idő szerinti differenciálással a középpont sebessége, ha : ( 6 / 1 ) ( 6 ) innen pedig a középpont gyorsulása: ( 7 ) A Coulomb - féle súrlódási erő kifejezése:. ( 8 ) Ezzel összeállítottuk a megoldáshoz szükséges egyenleteket.

4 4 Most ( 2 ) és ( 4 ) - ből: ( 9 ) Majd ( 1 ), ( 3 ) és ( 7 ) - ből kiszámítjuk azon súrlódó erő nagyságát, amely a tiszta gördülés megvalósításához szükséges: innen: ( 10 ) A legnagyobb súrlódó erő nagysága ( 8 ) és ( 9 ) szerint: Ezután az ( 11 ) ( 12 ) feltételből, ( 10 ), ( 11 ) és ( 12 ) szerint: ( 13 ) A ( 13 ) egyenlet adja meg a feladat paraméterei közötti fő kapcsolatot. Ebből most meghatározzuk azt a legkisebb μ min súrlódási tényezőt, amely mellett a csúszás még éppen nem következik be, vagyis az orsó ekkor még éppen gördül: ( 14 ) Egy számpéldához [ 2 ] adatatait vesszük: P = 100 N; m = 20 kg; α = 45 ; r = 0,25 m; R = 0,50 m; ρ = 0,40 m. ( A )

5 5 Itt ρ az inerciasugár, mellyel: ( 15 ) Most ( 14 ) és ( 15 ) szerint: ( 16 ) Most ( A ) és ( 16 ) - tal: ( E1 ) egyezésben a [ 2 ] - ben levezetés nélkül közölt végeredménnyel. Most határozzuk meg a gördülő mozgás jellemzőit! A gördülő mozgás gyorsulása az ( 1 ) és ( 10 ) egyenletekből: innen ( 15 ) - tel is: tehát a C középpont gyorsulása:

6 6 ( 17 ) Az orsó szöggyorsulása ( 7 ) - ből, ( 17 ) - cel is: ( 18 ) A ( 17 ) és a ( 18 ) képletek szerint a gyorsulás és a szöggyorsulás állandó mennyiségek. Ezek az állandók zérusok, ha ( 19 ) egyezésben ( a ) - val. A sebesség kifejezése ( 17 ) integrálásából, ( 6 / 1 ) - gyel is: ( 20 ) A szögsebesség kifejezése ( 6 ) - ból: ( 21 ) Az elmozdulás kifejezése ( 20 ) integrálásával: ( 22 ) A szögelfordulás kifejezése ( 5 ) - ből: ( 23 ) A ( 22 ) és ( 23 ) képletek szerint az orsó nyugalomban marad, azaz nem gördül ( 19 ) teljesülése esetén. Ismét [ 2 ] feladatát követve számítsuk ki v C és ω értékét t = 3 s elteltével! ( A t = 0 időpontban a rendszer nyugalomban van. ) Először ( 20 ) és ( A ) - val:

7 7 ( E2 ) egyezésben a [ 2 ] - ben levezetés nélkül közölt végeredménnyel. Hasonlóan ( 21 ) - ből: ( E3 ) egyezésben a [ 2 ] - ben levezetés nélkül közölt végeredménnyel. Megemlítjük, hogy x C,0 = 0 választással ( 22 ) - ből kapjuk, hogy: ( 22 / 1 ) Ez a jelölésektől eltekintve megegyezik a [ 3 ] - ban levezetés nélkül közölt végered - ménnyel. Most határozzuk meg a csúszó mozgás jellemzőit! Először [ 2 ] - t követve határozzuk meg a súrlódási tényező azon μ 1 értékét, amelynél a korong forgás nélkül mozog / csúszik! Ekkor ( 3 ) - ból, az ( 24 ) feltétellel, ( 8 ) és ( 9 ) - cel is: innen: azaz: ( 25) Ismét az ( A ) adatokkal, egy számszerű eredmény nyerése érdekében, ( 25 ) - ből:

8 8 ( E4 ) egyezésben a [ 2 ] - ben levezetés nélkül közölt végeredménnyel. Másodszor a mozgásegyenletek ( 1 ), ( 2 ) és ( 3 ) szerint így alakulnak: Most ( 28 ) - ból: ( 26 ) ( 27 ) ( 28 ) ( 29 ) Majd ( 26 ) és ( 29 ) - cel: ( 30 ) A ( 30 ) szerinti állandó gyorsulású csúszás bekövetkezik, ha a súrlódási tényező éppen a ( 25 ) szerinti érték. Más súrlódási tényezők mellett is lehet csúszás, ha ( 19 ) teljesül. Ekkor:. ( 31 ) Innen leolvasható, hogy egy v 0,cs > 0 kezdősebesség szükséges az egyenletes csúszó moz - gás megindításához. Ezek alapján mondhatjuk, hogy az 1. ábra szerinti szöveg még ponto - sítható, általános tájékoztatásnak azonban jó. Megjegyzések:

9 9 M1. A fentiekben elhanyagoltuk az orsó gördülési ellenállását. Az ezt is figyelembe vevő számításra találtunk példát [ 4 ] - ben. Itt azonban a húzóerő az orsódobot nem alulról, hanem felülről támadja. M2. Ajánljuk az érdeklődő Olvasónak, hogy a fenti számítást végezze el a dob felső részén támadó húzóerő esetére is. M3. Az [ 1 ] munkában az itteni ( 13 ) egyenlet megfelelőjét azon α* szög meghatározá - sára használják, amelynél az orsó csúszás nélkül gördül, adott súrlódási tényező mellett, a gördülési ellenállást elhanyagolva. Itt ezt a feladatot * - gal jelölték meg, vagyis a nehe - zebbek közé sorolták; talán ezért is mutatták meg a megoldását, illetve annak vázlatát. M4. Az [ 5 ] műben találtuk az alábbi feladatot és megoldását 5. ábra. 5. ábra Eszerint az elgurult spulnit akkor tudja visszaszerezni nagymama, a cérna végét húzva, ha a húzóerő hajlásszögére fennáll, hogy egyezésben az 1. ábra első ábrarészén látottakkal. M5. A [ 6 ] feladatgyűjteményben is találkoztunk egy hasonló feladattal. Itt Budde - t jelölik meg a feladat szerzőjeként. A [ 7 ] forrás nem részletezi a megoldást.

10 10 M6. Látjuk, ez tényleg nem igazán egyszerű feladat; több megoldás - fajtával, sok tévesz - tési lehetőséggel. A 3. ábrán látható vezető vájatok azt is mutatják, hogy a fenti feladat általában nem biztos, hogy síkprobléma: az orsó a vezető vájatok mint kényszerek nélkül egy függőleges tengely körül akár foroghat is. Ekkor új megoldás után kell nézni. Így tehát nem véletlen, hogy az 5. ábrán, a jobb oldali spulni - képen a húzott cérnavég pontosan középen, azaz az orsó egyik függőleges szimmetriasíkjában helyezkedik el. Irodalom: [ 1 ] Szerk. K. Sz. Kolesznyikov: Szbornyik zadacs po tyeoretyicseszkoj mehanyike 2. kiadás, Nauka, Moszkva, 1989., 196. és 423. o. [ 2 ] Hans G. Steger ~ Johann Sieghart ~ Erhard Glauninger: Műszaki mechanika 2. Szilárdságtan, kinematika, kinetika, hidromechanika, B+V Lap - és Könyv - kiadó Kft., Műszaki Könyvkiadó Kft., Budapest, 1994., 248. o. és 342. o. [ 3 ] I. V. Mescserszkij: Szbornyik zadacs po tyeoretyicseszkoj mehanyike 35. kiadás, Nauka, Moszkva, 1981., 330. o. [ 4 ] M. I. Baty ~ G. Ju. Dzsanelidze ~ A. Sz. Kelszon: Tyeoretyicseszkaja mehanyika v primerah i zadacsah, II. Gyinamika 5. kiadás, Nauka, Moszkva, 1972., 352. o. [ 5 ] J. P. Den Hartog: Mechanics Dover Publication Inc., New York, 1948., 418. és 450. o. [ 6 ] F. Wittenbauer ~ T. Pöschl: Aufgaben aus der Technischen Mechanik, I. Band Verlag von Julius Springer, Berlin, 1929., 123. és 310. o. [ 7 ] Emil Budde: Allgemeine Mechanik der Punkte und starren Systeme, 2. Band Druck und Verlag von Georg Reimer, Berlin, 1891., 758. o. Sződliget, Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár