Ehhez tekintsük a 2. ábrát is! A födém és a fal síkját tekintsük egy - egy koordinátasíknak, így a létra tömegközéppontjának koordinátái: ( 2 )

Átírás

1 1 A lecsúszó létra mozgásáról Egy korábbi létrás dolgozatunkban melynek címe: Létra - feladat foglalkoztunk a csak önsúlyával terhelt, függőleges falnak támasztott, vízszintes födémen álló létra egyensúlyá - nak kérdéskörével 1. ábra. 1. ábra forrása: [ 1 ] Itt megállapítottuk, hogy a létra egyensúlyban marad, ha a vízszintessel bezárt hajlásszö - gére fennáll, hogy ( 1 ) ahol μ 1 és μ 2 az alsó és a felső támaszkodó felületek közt fellépő tapadási súrlódási ténye - zők. Az alábbi feladatban már nem az egyensúly, hanem a mozgás vizsgálata a cél; úgy vesz - szük, hogy a létra megcsúszott, alja a vízszintes, teteje pedig a függőleges támasztó sík mentén csúszik, ahol a mozgást éppen a súrlódás lassítja, annak energia - emésztő hatása miatt. A csúszás során fellépő súrlódási tényezőre: μ 1, cs = μ 2, cs = μ egyszerűsítő felvétellel élünk. A feladat kiírása és [ 2 ] - t is felhasználó megoldása az alábbi. A feladat Egy 2a hosszúságú, egyenletes tömegeloszlású, M tömegű létrát egy függőleges fal és egy vízszintes födém támaszt meg, melyeken a létra csúszásnak indult. A csúszó súrlódási té - nyező μ. Írjuk le a létra mozgását! A megoldás Ehhez tekintsük a 2. ábrát is! A födém és a fal síkját tekintsük egy - egy koordinátasíknak, így a létra tömegközéppontjának koordinátái: ( 2 )

2 2 2. ábra forrása: [ 2 ] A létrára ható erők: ~ a létra tömegközéppontjában működő G = Mg nagyságú súlyerő; ~ a födém által a létrára kifejtett R nagyságú függőleges reakcióerő,valamint a vízszintes, μr nagyságú súrlódóerő; ~ a fal által a létrára kifejtett S nagyságú vízszintes reakcióerő, valamint a μs nagyságú függőleges súrlódóerő. A súrlódási erők is reakcióerők, melyek iránya olyan, hogy a csúszást akadályozni igyek - szenek. A mozgás alapvető paramétere / változója a θ szögkoordináta, hiszen a tömegközéppont mozgását is ezzel fejeztük ki a ( 2 ) egyenletekkel. A létra mozgását tömegközéppontja haladó, valamint tömegközéppontja körüli forgó mozgásával jellemezhetjük. A tömegközéppont haladó mozgásának vetületi egyenletei: ( 3 ) ( 4 ) A létra tömegközéppontja körüli forgását leíró nyomatéki egyenlethez: ( 5 ) itt I C a C tömegközépponton átmenő vízszintes tengelyre vett ( tömeg - )tehetetlenségi nyomaték, β a szöggyorsulás skalárja, k az inerciasugár. Ámde a C tömegközéppontra / centrumra vett eredő forgatónyomaték kifejezése: ( 6 )

3 3 Majd ( 5 ) és ( 6 ) - tal: innen: ( 7 ) Most átírjuk a ( 3 ) és ( 4 ) egyenleteket: ( 3 / 1 ) ( 4 / 1 ) A ( 3 / 1 ) és ( 4 / 1 ) egyenletekből álló lineáris egyenletrendszert a Cramer - szabállyal oldjuk meg: ( 8 ) ( 9 ) Most ( 7 ), ( 8 ) és ( 9 ) - cel: innen: azaz:

4 4 Ezután ( 2 ) idő szerinti kétszeri differenciálásával: ( 10 ) ( 11 ) ( 12 ) Most ( 10 ), ( 11 ) és ( 12 ) - vel: ( 13 ) rendezve:

5 5 folytatva a rendezést: ( 14 ) Bevezetjük a ( 15 ) jelöléssel / összefüggéssel a súrlódási kúp ρ félnyílásszögét. Kiszámítjuk a μ - s tényzőket: ( 16 )

6 6 ( 17 ) ( 18 ) Most ( 14 ), ( 16 ), ( 17 ), ( 18 ) - cal: innen: innen: ( 19 ) A ( 19 ) egyenlet egyezik a [ 2 ] - ben is megtalálható, más úton levezetett mozgás - egyenlettel. Most térjünk vissza az ( 1 ) egyenlethez! Minthogy már nincs egyensúly, így a szögválto - zónkra vonatkozó α θ cserével, valamint a tapadási súrlódási tényezőkre is alkalmazott μ 1 = μ 2 = μ 0 egyszerűsítő felvétellel ( 1 ) alapján ( is ) írhatjuk, hogy ( 20 ) Egy speciális eset: így ( 19 ) és ( 21 ) - gyel a súrlódásmentesen csúszó létra mozgásegyenlete: ( 21 ) ( 22 ) A ( 22 ) egyenlet is egyezik a [ 2 ] - ben más úton levezetett megfelelőjével. Látjuk, hogy a ( 19 ) és ( 22 ) differenciálegyenletek nem lineárisak, így várhatóan matematikai nehézségek lépnek majd fel megoldásuk során. Nézzük, mire jutunk ezekkel! Először is rövidítő jelöléseket vezetünk be: ( 23 )

7 7 Most ( 19 ) és ( 23 ) szerint: ( 24 ) új változót vezetünk be: ( 25 ) majd ( 24 ) és ( 25 ) - tel: ( 26 ) Ezután egy fogást alkalmazunk: ( 27 ) most ( 26 ) és ( 27 ) - tel: ( 28 ) ismét új változó vezetünk be: ( 29 ) majd ( 28 ) és ( 29 ) - cel: ( 30 ) rendezve: ( 31 ) A ( 31 ) egyenlet már lineáris, ezzel könnyebben boldogulunk. Ugyanis egy elsőrendű lineáris differenciálegyenlet általános alakja [ 3 ] : melynek általános megoldása: ( 32 ) ( 33 ) Elvégezzük a szükséges megfeleltetéseket, ( 31 ) és ( 32 ) összevetésével:

8 8 ( 34 ) most ( 33 ) és ( 34 ) - gyel: ( 35 ) átalakítva: majd ( 36 ) Integráltáblázatból [ 3 ] : ( 37 ) most ( 36 ) és ( 37 ) összevetéséből: átalakítva: tehát: ( 38 ) Most ( 29 ) és ( 38 ) szerint: ( 39 ) majd ( 25 ) és ( 39 ) szerint: ( 40 )

9 9 a kezdeti feltételek: ( 41 ) ezután ( 40 ) és ( 41 ) - gyel: innen: ( 42 ) Itt ( 15 ) és ( 20 ) szerint: ( 43 ) Most ( 40 ) - ből: ( 44 ) itt a ( ) előjelet az indokolja, hogy az idő múlásával a rúd θ hajlásszöge csökken. ( 44 ) - ből a változók szétválasztásával: majd integrálva: vagyis ( 45 ) Ez az idő kifejezése az integrál felső határának függvényében. Ennek inverz függvénye a szögelfordulás az idő függvényében:

10 10 ( 46 ) A ( 45 ) - ben szereplő integrált zárt alakú képlettel nem tudjuk felírni, így numerikus, illetve grafikus eljárásokra van / lenne szükség a tényleges időfüggvények felírásához. A többes szám indokolt, hiszen ( 2 ) szerint a tömegközéppont koordinátáira: ( 2 / 1 ) Ezzel feladatunkat elvileg megoldottuk. Megjegyzések: M1. A ( 2 ) képlet tanúsága szerint a létra C tömegközéppontja egy O középpontú, a su - garú köríven mozog, ahol O a 2. ábrán a falsík és a födémsík vonalának metszéspontja; ugyanis amíg a létra felső vége érintkezik a fallal : ( 47 ) ( 47 ) pedig egy ilyen kör implicit egyenlete 3. ábra. 3. ábra M2. A [ 2 ] műben csak a ( 19 ) képlet ottani megfelelőjéig foglalkoztak a megoldással. M3. A ( 19 ) típusú nemlineáris differenciálegyenlet már régebbről is ismerős; egy korábbi dolgozatunkban melynek címe: A ledőlő fa szögsebességéről egy hasonlóval foglal - koztunk. Igazából e sorok íróját is meglepte az a tény, hogy a fent vázolt modell ugyan -

11 11 olyan típusú alapegyenletre vezet, mint a ledőlő fa esetében: a csúszó súrlódás miatt a szögsebesség négyzetével arányos ellenálló nyomaték esete állt itt is elő. M4. A lecsúszó létra földet éréséig eltelő T idő meghatározható feltéve, hogy a létra végig nem válik el a faltól, ha a ( 45 ) képletben a helyettesítéssel élünk: vagy ( 48 ) M5. Most pár szót az inerciasugár meghatározásáról. Egy homogén vékony rúdnak a rúdra merőleges és a C súlyponton átmenő tengelyre vonatkozó ( tömeg - )tehetetlenségi nyomatéka az itteni jelölésekkel ld.[ 4 ]! : ( 49 ) Ámde ( 5 ) szerint: így ( 49 ) és ( 50 ) - nel: ( 50 ) ( 51 ) Most ( 23 / 1 ) és ( 51 ) - gyel: tehát: ( 52 ) M6. Bár a feladatot még mindig síkproblémának tekinthetjük, ám az itt részletezettnél bonyolultabb számításokra jutunk akkor is, ha a helyzetet az 1. ábra szerint vesszük fel, vagyis ha a csúszó súrlódási tényezők alul és felül ( jelentősen ) eltérnek egymástól. Ezt az esetet sem vizsgáljuk tovább. M7. Talán zavaró lehet, hogy a 3. ábrán a csúszó rúd kezdő helyzete viszonylag meredek.

12 12 Ezt azért vettük fel így, hogy a geometriai lényeg a rajzban jobban kidomborodjon. M8. Meglehet, hogy korábbi dolgozatunk ld. M3.! némely képletében az idő szerinti deriválást jelentő pont nem igazán jól kivehető. Ez sajnos néha megesik. M9. Az [ 5 ] műben a súrlódásmentesen lecsúszó létra feladatánál megemlítik, hogy egy bizonyos hajlásszög esetén a létra elválik a függőleges faltól. A részletes számítás [ 6 ] - tal is az alábbi. A létra abban a pillanatban válik el a faltól, amikor előáll, hogy ( 53 ) súrlódásmentes esetben ( 54 ) így ( 8 ), ( 11 ), ( 53 ) és ( 54 ) szerint ekkor: vagyis az elválás feltétele: ( 55 ) A súrlódásmentes mozgásegyenlet ( 22 ) szerint: ( 22 ) majd ( 51 ) és ( 22 ) - vel: ( 56 ) A korábbi fogással élve: ( 57 ) ezután ( 56 ) és ( 57 ) - tel: átszorozva: integrálva:

13 13 ( 58 ) azaz: Most ( 55 ), ( 56 ) és ( 58 ) - cal: egyszerűsítve: osztva innen: - val: ( 59 ) A súrlódásmentes lecsúszás esetében tehát az ( 59 ) szerinti hajlásszögnél válik el a létra a faltól. M10. Ezek után adja magát a kérdés, hogy vajon jó - e a ( 48 ) szerinti lecsúszási időt megadó képlet. Ugyanis: ha már a földet érés előtt elválik a létra a faltól, akkor az elválás utáni mozgás egyenletei mások lesznek, így a lecsúszási idő is két részből tevődik össze. Továbbá a létra tömegközéppontjának pályája is eltér a körívtől a második szakaszon. E kérdés további vizsgálatára itt nem vállalkozunk. A látott irodalmi források sem mind bolygatják ezt a kérdést; helyette pl. [ 6 ] egy az alján állandó sebességű csúszással foglal - kozik. Azonban a [ 7 ] dolgozatban tovább mennek: megvizsgálják a faltól való elválás utáni mozgásegyenleteket is, valamint kísérleti eredményeket is bemutatnak. Tetszetős. M11. Gyanítjuk, hogy a lecsúszó létra teljes mozgásának leírásához célszerű numerikus eljárásokat használni, az érintkezési és az elválási szakaszhoz tartozó két differenciál - egyenlet ~ rendszer együttes megoldásához. Az ilyen matematikai ~ fizikai feladatok numerikus megoldása ma már szokásos - nak számíthat. M12. Nem feledhetjük, hogy a súrlódási viszonyok alapvetően befolyásolják az eredmé - nyeket; egy tényleges mérés - sorozat eredményeinek kiértékelése alapján tudnánk mon - dani valamit a súrlódási tényező(k) értékéről. M13. Úgy tűnik, elég sokan és sokat foglalkoztak ezzel a problémával, így az érdeklődő Olvasó bizonyosan találhat még meglepő és tanulságos írásokat e témában: a tankönyvi példáktól a szakdolgozatokig. Reméljük, jelen írásunk is figyelemfelkeltő volt.

14 14 Források: [ 1 ] Red. O. Ja. Szavcsenko: Zadacsi po fizike 3. kiadás, Novoszibirszk, Novoszibirszkij goszudarsztvennüj unyiverszityet, [ 2 ] William Fogg Osgood: Mechanics 3. Reprint kiadás, New York, The Macmillan Company, [ 3 ] I. N. Bronstejn ~ K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv 2. kiadás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, [ 4 ] Budó Ágoston: Kísérleti fizika I. 6. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, [ 5 ] R. Douglas Gregory: Classical Mechanics Cambridge, Cambridge University Press, [ 6 ] [ 7 ] =8&ved=2ahUKEwjUmtqu16neAhXOY1AKHaOUCIo4FBAWMAB6BAgJEAI&url=htt ps%3a%2f%2fadvlabs.aapt.org%2fwiki%2ffile%253a4399&usg=aovvaw3qh12per V4adKPMrcB01W9 Sződliget, Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár