Érdekes geometriai számítások Téma: A kardáncsukló kinematikai alapegyenletének levezetése gömbháromszögtani alapon

Átírás

1 Érdekes geometriai számítások 7. Folytatjuk a sorozatot. 7. Téma: A kardáncsukló kinematikai alapegyenletének levezetése gömbháromszögtani alapon Korábbi dolgozatainkban már többféle módon is bemutattuk a kardáncsukló alap egyenletének a levezetését. Ezek: A kardáncsukló kinematikája 1. A kardáncsukló kinematikája 2. Most az ismert gömbháromszögtani összefüggés alkalmazásával történő levezetést mutatjuk be, [ 1 ] alapján. Ehhez tekintsük az 1. ábrát is! 1. ábra

2 2 Itt egy kardáncsukló szemlélhető, melynek egyik villája az X tengely, a másik villája az Y tengely körül forog. Emlékeztetőül: a kardáncsukló úgy épül fel, hogy a kardán - kereszt O pont - ban merőlegesen metsződő rúdjai az AA 1, ill. a BB 1 végükön egy - egy csappal csuklósan kapcsolódnak egy - egy villához, melyek a hajtó X, és a hajtott Y tengelyhez fixen vannak rögzítve 2. ábra; forrása: 2. ábra Működésének célja: az egymással α hegyesszöget bezáró X és Y tengelyek között a forgó mozgás és a forgatónyomaték átvitele. A forgás során az X tengelyhez rögzített A és A 1 keresztvégek egy X - re merőleges síkban, míg az Y tengelyhez erősített villa - és keresztvégek egy Y - ra merőleges síkban írnak le egy kört. E síkok éppen α szöget zárnak be egymással. Most forduljon el a szerkezet az X tengely körül φ szöggel! Keressük, hogy ekkor az Y tengely körül mekkora ψ szögelfordulás jön létre. Az α, φ, ψ szögek közti összefüggést gömbháromszögtani alapon írjuk fel. A mozgás kezdetén a kereszt egyik végei az A 0 és B 0 térbeli pontban találhatók. A mozgás kezdete után t idővel az előbbi keresztvégek már az A, ill. a B pontban vannak. A vizsgálandó gömbi háromszög: az A 0 A B gömbháromszög. Most felsoroljuk a jellemző szögeket 1. ábra: π π AB ) = ; A0B 0 ) = ; A0A ) = ϕ ; 2 2 B0B ) = ψ ; π A0B) A0B0 ) B0B ) ; ( 1 ) = + = + ψ 2 A 0 = α. Majd felírjuk az oldal - koszinusztételt: cos AB = cos A A cos A B + sin A A sin A B cos A ; ( 2 ) ( )) ) ( 0 ) ( 0 )) ( 0 )) ( 0 )) ( 0 )

3 3 ezután ( 1 ) és ( 2 ) - vel: π π π cos = cos ϕ cos + ψ + sin ϕ sin + ψ cos α Most figyelembe vesszük, hogy π cos = 0, 2 π cos + ψ = sin ψ, 2 π sin + ψ = + cos ψ, 2 ( 3 ) ( 4 ) így ( 3 ) és ( 4 ) - gyel: 0 = cos ϕ sin ψ + sin ϕ cos ψ cos α ; ( ) rendezve: cos ϕ sin ψ = sin ϕ cos ψ cos α ; tovább alakítva: sin ψ cos ψ sin ϕ = cos α, cos ϕ innen pedig: tgψ tgφ cos. = α ( 5 ) Ezzel a kitűzött feladatot megoldottuk. Megjegyzések: M1. Figyelemre méltó tény, hogy ezt a szép és viszonylag egyszerű levezetést már 110 évvel ezelőtt is tartalmazták a tankönyvek [ 1 ]. M2. A gömbháromszög oldalára felírható koszinusztétel levezetése megtalálható az egyik előző dolgozatunkban is, melynek címe: Érdekes geometriai számítások 5. M3. Az 1. ábrát [ 1 ] - ből kölcsönöztük, majd kicsit kiegészítettük és kiszíneztük.

4 4 M4. A szakirodalomban gyakori [ 2 ], hogy a levezetés eredményét ( 5 ) helyett a tgφ tgψ = cos α alakban adják meg. Most vizsgáljuk meg ezt a látszólagos ellentmondást ( ismét? )! Ehhez tekintsük a 3. ábrát is! ( 6 ) 3. ábra Itt a hajtó és hajtott villák két különböző, egymáshoz képest 90 fokkal elforgatott helyzetét szemlélhetjük, 1. eset és 2. eset elnevezéssel illetve azokat. Most legyen az 1. eset a bal oldali ábrarészen felvett helyzetű; ekkor a hozzá tartozó összefüggést az itteni levezetés szerint felírva: tgψ = cos α tgφ. ( 7 ) 1 1 Ekkor a bal oldali ( zöld ) tengely a hajtó, a jobb oldali ( piros ) a hajtott tengely. Majd legyen a 2. eset a jobb oldali ábrarészen felvett helyzetű; ekkor a hozzá tartozó összefüggés úgy alakul ki, hogy megnézzük: mely villa van az 1. esetnek megfelelő helyzetben, amire felírhatjuk a ( 7 ) képlet megfelelőjét. Minthogy a 2. esetben a jobb oldali ( piros ) tengelyhez tartozó villa áll ugyanolyan helyzetben, mint az 1. esetben, ezért átmenetileg a piros tengelyt tekintve hajtó tengelynek, a zöldet pedig hajtottnak, ezt kapjuk: tgφ = cos α tgψ. ( 8 ) 2 2 Átrendezve: tgφ cos α 2 tgψ 2 =. ( 9 )

5 5 Ezután gondolatban fordítsuk meg a hajtás irányát: legyen megint a zöld a hajtó, a piros a hajtott tengely! Minthogy az a fizikai körülmény, hogy a motort a zöld vagy a piros tengelyhez kapcsoljuk, teljesen érintetlenül hagyja a fentiekben ismertetett geometriai helyzetet, jogos a megállapítás, hogy a hajtás irányának megfordítása nem érinti a geometriai viszonyokat, tehát az erre alapozott képleteket sem. Következésképpen a ( 9 ) képlet is érvényes, a ( 7 ) képlet mellett. Egyedülálló kardáncsukló esetében tehát csak arról van szó, hogy a mozgás kezdetét milyen villa - helyzettel jellemezzük, vagyis ekkor a ( 7 ), ill. a ( 9 ) képlet egyaránt alkalmas lehet a jelenség leírására. A dolog akkor kezd el érdekessé és fontossá válni, amikor két kardáncsuklót kötünk egymás után, kardántengellyel [ 2 ]. Ekkor ugyanis a működés szempontjából más a helyzet, ha a kardántengely két végén elhelyezkedő villák síkja párhuzamos, mint ha merőleges helyzetű, egymáshoz képest. M5. Az előbbi okoskodást egy kis matematikával még megnyugtatóbbá lehet tenni. ( A megnyugvásra szüksége lehet az Olvasónak, ha nem volt túl meggyőző számára a fenti okoskodás, amit akár a faramuci jelzővel is illethet. ) Az előző megjegyzésben arról volt szó, hogy az elfordulási szögek kezdőhelyzetének megválasztása befolyásolja a képlet - alakot: ( 7 ), vagy ( 9 ) áll elő. Most azt vizsgál - juk meg, hogy milyen hatással bír a képletek alakjára egy π ϕ = ϕ ±, 2 ψ = ψ ± π ( 10 ) 2 szerinti helyettesítés a változókban. Ezért most helyettesítsük ( 10 ) - et ( 5 ) - be! Részletezve: tgψ = tgφ cos α ; ( a ) π π tg ψ ± = tg ϕ ± cos α ; 2 2 ( b ) de az ismert azonossággal: tgx ± 1 tgx ± tgy tgy tg ( x ± y) = =, 1 tgx tgy 1 tgx tgy így ( b ) és ( c ) szerint: ( c )

6 6 tgψ ± 1 π tg π 2 ± 1 1 tg ψ ± = = =, 2 1 tgψ tgψ tgψ π tg 2 tehát: π 1 tgψ = tg ψ ± =, 2 tgψ majd a másik változóval ugyanígy: π 1 tgφ = tg ϕ ± =. 2 tgϕ Most az ( a ), ( d ) és ( e ) képletekkel: 1 1 cos, tgψ = tgϕ α ( d ) ( e ) innen: tg ψ = tgϕ cos α ( f ) Látjuk, hogy az eredeti szöghelyzethez képest 90 fokkal elforgatott induló helyzetre az ( a ) helyett az ( f ) képlet - alak áll elő, egyezésben ( 9 ) - cel. Irodalom: [ 1 ] Hans Lorenz: Lehrbuch der technischen Physik, Band I., Technische Mechanik starrer Systeme, 21. oldal Verlag von R. Oldenbourg, München und Berlin, [ 2 ] Sz. N. Kozsevnyikov: A mechanizmusok és gépek elmélete, I. rész, oldal Tankönyvkiadó, Budapest, Sződliget, június 24. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár