A közönséges csavarvonal érintőjének képeiről

Átírás

1 A közönséges csavarvonal érintőjének képeiről Már régóta rajzoljuk a táblára a közönséges csavarvonal vetületeinek és síkba teríté - sének ábráit, a Gépészeti alapismeretek tantárgy óráin. Úgy tűnik, itt az ideje, ogy egy kicsivel megint előrébb lépjünk e témában. Azt a feladatot tűzzük magunk elé, ogy gondoljuk át és tegyük rendbe számítással és szerkesztéssel az egyenes körengerre írt más néven: közönséges csavarvonal érintőjéről szóló, eddig így még nem összerakott tudnivalókat. Eez tekintsük az 1. ábrát is! 1. ábra Keletkeztessük úgy a csavarvonalat, ogy egy R sugarú egyenes körengerre α szög alatt feltekerünk egy l osszúságú egyenes szakaszt! Más megfogalmazásban [ 1 ] : a csavarvonalat úgy kapatjuk meg, ogy egy papírlapra ferdén egyenest rajzo - lunk, majd a papírlapot engerré csavarjuk össze. A feltekerés fordítottja: a lefejtés; ezt is és a csavarvonal egy darabját is a szokásos módon vetületeivel ábrázoltuk az 1. ábrán. Most írjuk fel a csavarvonal paraméteres egyenletrendszerét, egy az 1. ábra szerinti OXYZ derékszögű koordináta - rendszerben! Egy görbepont koordinátái:

2 2 X Y Z ϕ = R cos ϕ, ϕ = R sin ϕ, ϕ = c ϕ. ( 1 ) A c állandót abból a feltételből atározzuk meg, ogy a a vetületi pont befutja a teljes kört, akkor a vetületi pont éppen menetmagasságnyira emelkedik az alapsík fölé; ( 1 / 3 ) - mal is: Z ϕ = 2π = c 2 π =, innen: c = 2 π. ( 2 ) Másfelől az 1. ábra lefejtést mutató része alapján: =, 2 R π majd ( 2 ) és ( 3 ) - mal: ( 3 ) c = R. ( 4 ) Ezután átírjuk az ( 1 / 1, 2 ) képleteket, φ kiküszöbölésével: ( 1 / 3 ) és ( 2 ) - vel: Z X ( Z ) = R cos, c Z Y ( Z ) = R sin ; c illetve: Z X ( Z ) = R cos 2 π, Z Y ( Z ) = R sin 2. π Nem feledkezünk meg ( 1 / 3 ) - ról sem, ami ( 2 ) - vel átírva így fest: Z ( ϕ ) = ϕ. 2π ( 5 / 1 ) ( 5 / 2 ) ( 6 )

3 3 Az ( 5 / 2 ) képletek szerint a csavarvonal elölnézeti képe koszinusz -, oldalnézeti képe szinusz - görbe, egyezésben az 1. ábra látvány - élményével. Az 1. ábrán bejelöltük egy csavarvonal - pont érintőjének árom vetületét, illetve az érintők ajlását megadó szögeket. Az 1. ábra szerint íratjuk, ogy dx ( Z ) tgψ ( Z ) =, dz dy ( Z ) ( 7 ) tg τ ( Z ) =. dz Most ( 5 / 2 ) deriválásával, ( 2 ) - vel is: dx ( Z ) 2π Z Y = R sin 2 π =, dz c dy ( Z ) 2π Z X = R cos 2. π = dz c ( 8 ) Majd ( 7 ) és ( 8 ) - cal, ( 1 ) - et és ( 4 ) - et is felasználva: Y R sin ϕ sin ϕ tgψ = = = ; c R X R cos ϕ cos ϕ tg τ = = =. c R Vagy kicsit átírva: sin ϕ tgψ ( ϕ ) = ; cos ϕ tg τ( ϕ ) =. ( 9 ) Az 1. ábrabéli rajz felépítése miatt a vízszintesez képest megadott ϑ, θ ajlás - szögekkel dolgozunk, így az 1. ábra szerint is: ψ + 90 ϑ = 180, innen: ϑ = ψ 90. Hasonlóan: τ + θ = 90, innen: ( 10 )

4 4 θ = 90 τ. Ezután ( 10 ) - zel íratjuk, ogy: 1 tg ϑ = tg ( ψ 90 ) = tg ( 90 ) ψ = tg ( 90 ψ ) = ctg ψ =, tgψ ( 11 ) ( 12 ) majd ( 9 / 1 ) és ( 12 ) - vel: tg ϑ( ϕ ) =. sin ϕ ( 13 ) Most ( 11 ) - gyel: 1 tgθ = tg ( 90 τ ) = ctg τ =, tgτ ( 14 ) így ( 9 / 2 ) és ( 14 ) - gyel: tgθ ( ϕ ) =. cos ϕ ( 15 ) Egy további asznos összefüggésez jutunk, a képezzük ( 13 ) és ( 15 ) ányadosát: tgθ( ϕ) cos ϕ sin ϕ = = = tg ϕ, tgϑ( ϕ) cos ϕ sin ϕ teát: tgθ = tgϕ tg ϑ. ( 16 ) Ez már független a csavarvonal α menetemelkedési szögétől. Két speciális eset, amik az ábrázolást még jobban segítetik ( 13 ) és ( 15 ) - tel: π π tgϑ ϕ = = = ϑ ϕ = = α, 2 sin 2 π 2 ( 17 ) tgθ( ϕ = 0) = = θ( ϕ = 0) = α. cos 0

5 5 A vetületi érintők szerkesztését azáltal is megkönnyítetjük, ogy megszerkesztjük a csavarvonal egy tetszőleges pontjában úzott érintőjének az alapsíkkal való D dö - féspontját 1. ábra. Ezt úgy oldjuk meg, ogy a felülnézeti képen a pontban úzott körérintőre felmérjük a K = Rφ körívosszat, amit a lefejtési ábráról közvetlenül is leveetünk, mint a Z ordinátáoz tartozó abszcisszát. Ezzel megkaptuk a D pon - tot, melyet az elölnézeti kép X tengelyére felvetítve kapjuk a D pontot. A D pont előáll, a az oldalnézeti kép Y tengelyére felmérjük az Y D koordinátát. Ezekkel az érintő vetületei mint a D, D, D egyenesek adódnak. Az eljárás magyarázata: az 1. ábra lefejtési rész - ábrája szerint felírató a Z = ( 18) R ϕ összefüggés, melyet a felülnézeti képen is megjelenítettünk v.ö.: [ 2 ]! A D döféspont koordinátái, az 1. ábráról leolvasatóan: X D ( ϕ ) = R cos ϕ + R ϕ sin ϕ = R ( cos ϕ + ϕ sin ϕ ), YD ( ϕ ) = R sin ϕ R ϕ cos ϕ = R ( sin ϕ ϕ cos ϕ ), ZD ( ) ϕ = 0. ( 19 ) További érdekesség, ogy a ( 13 ) és ( 15 ) képleteket másként is levezetetjük, a pontbeli t érintő vektor vetületeinek segítségével; így eljárva kapjuk, ogy: t sin α tg ϑ = = = =, t t sin ϕ t cos α sin ϕ sin ϕ X XY t sin α tg θ = = = =, t t cos ϕ t cos α cos ϕ cos ϕ Y XY egyezésben az előbbiekkel. A fentiekről készített axonometrikus vázlatot a 2. ábrán szemléletjük. Itt a g térgörbe φ - vel jellemezető E érintősíkját, benne az e érintő egyenesét, vala - mint az itteni pontoz tartozó t érintővektorát szemléltettük, utóbbit kiemelten is. A szürkére satírozott D derékszögű áromszög amely fontos szerepet játszik a csavarvonal elméletében megegyezik az 1. ábra D () képsíkba döntött árom - szögével, csak eredeti elyzetében ábrázolva azt. Ez a megoldási mód főként a deriváltakkal nem dolgozó tanulóknak, például a középiskolásoknak segítet a ( 13 ) és ( 15 ) képletek elyességének belátásában.

6 6 2. ábra Irodalom: [ 1 ] H. S. M. Coxeter: A geometriák alapjai Műszaki Könyvkiadó, Budapest, [ 2 ] Strommer Gyula: Ábrázoló geometria 2. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, Sződliget, október 28. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár