Az R forgató mátrix [ 1 ] - beli képleteinek levezetése: I. rész

Átírás

1 Az R forgató mátri [ ] - beli képleteinek levezetése: I rész Az [ ] forrás kötetében a ( 49 ), ( 50 ) képletek nyilván mint közismertek nem lettek levezetve Minthogy az ottani további számítások miatt fontos ezek értése, ezért most levezetésüket a biztonság kedvéért itt részletezzük A hivatkozott ( 49 ) képlet: X Y Z X X Y Z Y X Y Z Z ( ) A hivatkozott ( 50 ) képlet: y z sin z sin y R sin z z sin sin y sin y ( ) A jelölés egy - tengely körüli forgatás forgásszögét és ennek értékét jelenti A szerzők [ ] - ben írják, hogy az [ R ] rotációs mátri közelítőleg írható a fenti alakba Ez a következőket is jelenti: ~ a θ i szögek ( i:, y, z ) kicsinyek, ezért ~ a valójában bővebb [ R] mátri ekkor a ( ) szerinti kifejezésre egyszerűsödik Feladatunk tehát: a) a forgatási mátri pontos alakjának felírása; b) a forgatási mátri közelítő alakjának képzése a) A forgatási mátri pontos alakjának levezetése Ezt a [ ] munka segítségével végezzük, ahol az igen részletes levezetés megtalálható Minthogy ez a kiadvány elég szűk körben ismert, ezért itt megismételjük az ottani számításokat Kényelmi okok miatt megtartjuk az ottani jelöléseket is, majd a végén átírjuk az eredményeket az [ ] szerinti jelölésekkel Megjegyzés: A [ ] munkát olyan szakember írta, akinek egyéb munkái is alapos felkészültségről és figyelemreméltó pedagógiai érzékről tanúskodnak Ajánlott!!

2 Először: tekintsük a tetszőleges térbeli P pont helyének megadására szolgáló r vektort, az ( Oyz ) és az ( O y z ) térbeli derékszögű koordináta-rendszerekben ld ábra! ábra r = i + y j + z k = i + y j + z k ( 3 ) Most szorozzuk végig skalárisan ( 3 ) egyenletet az i, j, k egységvektorokkal! r i = i i + y j i + z k i = i i + y j i + z k i ; ( 4 / ) r j = i j + y j j + z k j = i j + y j j + z k j ; ( 4 / ) r k = i k + y j k + z k k = i k + y j k + z k k ( 4 / 3 ) Ezután vegyük figyelembe, hogy i i = j j = k k = ; i j = j k = i k = 0, ( 5 / ) valamint, hogy i i = a, j i = a ; k i = a 3 ; i j = a ; j j = a ; k j = a 3 ; i k = a 3 ; j k = a 3 ; k k = a 33, ( 5 / )

3 3 a ( 4 ) és ( 5 ) egyenletekből: = a + a y + a 3 z ; y = a + a y + a 3 z ; z = a 3 + a 3 y + a 33 z ( 6 ) Mátrios írásmóddal írva ( 6 ) - ot: az a a a ' 3 y, a a a 3, ' y' z a3 a3 a 33 z ' r A r ( 7 / ) jelölésekkel: r Ar ' ( 7 / ) A ( 6 ) és a ( 7 / ) egyenletek az eredeti rendszerbeli koordinátákat adják meg az elforgatott rendszerbeli vesszős koordinátákkal Nekünk azonban éppen a fordított inverz kifejezésre van szükségünk Ennek előállítása érdekében az előzőkhöz hasonlóan eljárva: szorozzuk végig skalárisan ( 3 ) - at az i, j, k egység - vektorokkal! Ekkor: r i = i i + y j i + z k i = i i + y j i + z k i ; ( 8 / ) r j = i j + y j j + z k j = i j + y j j + z k j ; ( 8 / ) r k = i k + y j k + z k k = i k + y j k + z k k ( 8 / 3 ) Ezután vegyük figyelembe, hogy i i = j j = k k = ; i j = j k = i k = 0, ( 9 ) majd ( 5 / ) - vel is: = a + a y + a 3 z ; y = a + a y + a 3 z ; z = a 3 + a 3 y + a 33 z ( 0 ) Most ( 7 / ) és ( 7 / ) - höz hasonlóan eljárva: * r ' A r, ( / )

4 4 ahol A * a a a 3 a a a 3 a3 a 3 a 33 ( / ) Másodszor: határozzuk meg a forgató mátriok elemeit, a koordináta - tengelyek körül végzett φ i ( i:,, 3 ) szögű elforgatások függvényében! Ezt úgy tesszük, hogy az elforgatott véghelyzetet három, egymás után végzett forgatással érjük el Ehhez tekintsük a ábrát is! Az ábra forrása: [ ] ábra forgatás: ld a ábra bal oldali részét! Ez az =, i = i ( f ) feltételt jelenti, az y és a z tengelyek pedig az yz síkban φ szöggel elfordulnak az eredeti helyzetükhöz képest, az = tengely körül A számítás részletezve: r i y j zk i y j z k i y j z k i i y j zk i i y j z k i ; ii ji k i i i j i k i y z y z ; most ( 5 / ) és az analóg i i ; j i 0; k i 0 ( a ) összefüggések miatt is: ( / ) adódik Folytatva ugyanezen az úton: r i y j zk i y j z k i y j z k j

5 5 i y j zk j i y j z k j ; i j j j k j i j j j k j y z y z ; tekintettel az i j i j 0; j j ; k j 0 ( b / ) és az ábráról leolvasható j j ; k j sin ; ( b / ) összefüggésekre, az eredmény: y y zsin ( / ) Folytatva ugyanígy: r i y j zk i y j z k i y j z k k i y j zkk i y j z kk ; i k jk k k i k j k k k y z y z ; tekintettel az ( f ), ( a ), ( b ) képletekre, valamint az ábráról leolvasható jk sin ; k k ; k k ( c) összefüggésekre, az eredmény: z y sin z ( / 3 ) forgatás: ld a ábra középső részét! Ez az forgatás eredményeként előállt y tengely körül történik, φ szöggel; ekkor az y = y, j = j ( f ) feltétel érvényes A számítás részletezve az alábbi r i y j z k i y j z k i y j z k ; i i y j z ki i y j z k i ; i i j i k i i i j i k i y z y z ; tekintettel az ábráról is leolvasható i ; 0; i j i k i sin, ( a / ) valamint az ( f ) és az i i ; k i 0 ( a / ) összefüggésekre, az eredmény:

6 z sin ( 3 / ) Folytatva: r i y j z k i y j z k i y j z k ; j 6 i y j zk j i y j z k j ; i j j j k j i j j j k j y z y z ; felhasználva, hogy i j i j 0; j j j j ; k j k j 0; ( b ) i j 0; k j 0, kapjuk az eredményt: y y, ( 3 / ) ahogyan azt (f ) miatt vártuk is Folytatva: r i y j z k i y j z k i y j z k ; k i y j z kk i y j z k k ; i k j k k k i k j k k k y z y z ; felhasználva, hogy i k sin ; 0; ; j k j k k k ( c ) i k 0; j k 0; k k, kapjuk az eredményt: z sin z ( 3 / 3 ) 3 forgatás: ld a ábra jobb oldali részét! Ez a forgatás eredményeként előállt z tengely körül történik, φ 3 szöggel; ekkor a z z ', k k' ( f3 ) feltétel érvényes r i y j z k ' i' y' j' z' k' ' i' y' j' z k ; i' i y j z k i' ' i' y' j' z ' k' i' ; i i' j i' k i' i' i' j' i' k' i' y z ' y' z' ; felhasználjuk, hogy i 3; i' j i' 3 sin 3; 0; k i' k' i' ( a3 ) i' i' ; j' i' 0;

7 7 ezzel az eredmény: ' 3 y sin 3 ( 4 / ) Folytatva: r i y j z k ' i' y' j' z' k' ' i' y' j' z k ; j' i y j z k j' ' i' y' j' z ' k' j' ; i j' j j' k j' i' j' j' j' k' j' y z ' y' z ' ; felhasználjuk, hogy i j' 3 sin 3; 3; 0; j j' k j' k' j' ( b3 ) i' j' 0; j' j' ; k' j' 0; ezekkel az eredmény: y ' sin 3 y 3 ( 4 / ) Folytatva: r i y j z k ' i' y ' j' z ' k' ' i' y ' j' z k ; k' i y j z k k' ' i' y' j' z ' k' k' ; i k' j k' k k' i' k' j' k' k' k' y z ' y' z ' ; felhasználjuk, hogy i k' i k 0; j k' j k 0; k k' k k ; ( c3 ) i' k' 0; j' k' 0; k' k', ezekkel az eredmény: z ' z, ( 4 / 3 ) ahogyan azt elvártuk Harmadszor: hozzuk létre a kapcsolatot a P pont eredeti ( ; y; z ) és vesszős ( ; y ; z ) koordinátái között! Ezt úgy érjük el, hogy elvégezzük a kijelölt helyettesítéseket Induljunk ( 4 / ) - gyel, melybe helyettesítsük be ( 3 / ) és ( 3 / ), majd tovább a ( / ) és ( / 3 ) képleteket! Részletezve: ' y sin 3 3 z sin 3 y sin 3 sin z sin y sin 3 sin y z sin 3 y z sin 3 sin s ( 5 / ) in sin y sin sin sin z sin sin sin y sin sin sin z

8 8 Hasonlóképpen a ( 4 / ), ( 3 / ), ( 3 / ), ( / ), ( / ), ( / 3 ) képletekkel: 3 3 y' sin y sin sin z y 3 3 sin y sin sin z sin 3 3 y zsin sin sin 3 sin y z sin 3 c ( 5 / ) Végül a ( 4 / 3), ( 3 / 3), ( / ), ( / 3 ) képletekkel: z' sin z sin y sin z os sin sin sin y sin sin sin z sin sin y z ( 5 / 3 ) A ( 0 ) és a ( 5 ) egyenletek megfelelő együtthatóinak azonosságából kapjuk: a 3; a sin 3 sin sin 3; a3 sin sin 3 sin 3; a sin ; a sin sin sin ; a sin sin sin ; a sin ; a sin ; a Vagy mátri alakban, ( / ) szerint: ( 6 ) ; sin sin sin ; sin sin sin ; sin ; sin ; * A sin 3; 3 sin sin sin 3; sin 3 sin sin 3; Most alkalmazzuk az [ ] - beli jelöléseket, az alábbiak szerint: y 3 z ( 7 ) ; ; ( 8 ) Ekkor ( 7 ) és ( 8 ) alapján: ; sin sin sin ; sin sin sin ; sin y; sin y; y ( 9 ) y z z y z z y z * A y sin z; z sin sin y sin z; sin z sin y sin z; Ezzel előttünk áll a forgatási mátri pontos alakja Ahogy ( 9 ) - ből leolvasható, a mátri elemei az egyes szögelfordulások nemlineáris kifejezései A számítások annál egyszerűbbek lehetnek, minél egyszerűbbek a mátri elemei

9 9 b) A forgatási mátri egyszerűbb közelítő alakjának levezetése A mátri egyszerűbbé tételének az a lényege, hogy kihasználjuk, miszerint a θ szögel - fordulások kicsiny értékek; azaz jelképesen: 0 ( 0 ) Ha ( 0 ) fennáll, akkor érvényesek az alábbi közelítések is ld:[ 3 ] : 3 sin ; 6 ( ) A ( ) közelítő képletekből kiadódik, hogy milyen súlya van a forgatási mátri elemei egyszerűbbé tételének Nézzük a mátri harmadik sorát! 3 y sin y y ; ( a 6 3 ) y y y sin y ; 6 6 ( a 3 ) y y y y 4 ( a 33 ) Ha a fellépő szögfüggvények, szorzataik, ill szorzatösszegeik pontossága tekintetében megelégszünk az ívmértékben mért szögek első hatványával, akkor a ( ) képletből további közelítéssel: sin ; ( ) Ezen az alapon a forgatási mátri közelítő képlete: y z; sin z; sin y; R sin z; z; sin ; sin y; sin ; y ( 3 ) A ( 3 ) képlet már egyezik ( ) - vel További közelítéssel:

10 0 R y z z y ( 4 ) Irodalomjegyzék [ ] W F Chen ~ T Atsuta: Theory of Beam - Columns Volume I: In - Plane Behavior and Design Volume II: Space Behavior and Design Reprint, J Ross Publishing, Fort Lauderdale, 008 [ ] Dr Hoffmann Pál: Kábelipari Kézikönyv I / PRODINFORM Műszaki Tanácsadó Vállalat, Budapest, 983 [ 3 ] I N Bronstejn ~ K A Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 987 Sződliget, 008 augusztus Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár