További adalékok a merőleges axonometriához

Átírás

1 1 További adalékok a merőleges axonometriához Egy szép összefoglaló munkát [ 1 ] találtunk az interneten, melynek előző dolgoza - tunkhoz csatlakozó részeit itt dolgozzuk fel. Előző dolgozatunk címe: Kiegészítés a merőleges axonometriához. Ebben szó volt a rövidülési háromszögről is, de ott nem említettük, hogy találkoztunk másfajta levezetéssel is. Most ezt pótoljuk, a nekünk leginkább tetsző módon. Onnan kezdjük, hogy [ 1 ] - ben elmondják, megmutatják, hogy hogyan szerkesztendő meg a merőleges axonometrikus tengelykereszt, ha adottak az r, s, t rövidülések 1. ábra. 1. ábra [ 1 ] Az utasítások, ha r:s:t = 4:5:6 az alábbiak: ~ szerkesszünk egy r 2 :s 2 :t 2 = 16 :25:36 oldalarányokkal bíró háromszöget, úgy, hogy a t 2 - hez tartozó oldal vízszintes legyen; ~ ezen háromszög felső csúcsa lesz az axonometrikus tengelykereszt kezdőpontja; ~ e csúcson át függőleges egyenest húzunk, ez lesz az axonometrikus z - tengely; ~ e csúcson át vízszintes egyenest húzunk, melynek a háromszög oldalaival bezárt szögeit megfelezzük, és a kapott szögfelezők lesznek az axonometrikus x és y tengelyek. Ezzel előállt az előírt rövidülési arányokhoz tartozó merőleges axonometrikus tengely - kereszt. Ezt már az előző dolgozatban is megbeszéltük, itt csak bemelegítettünk vele. Most tekintsük a 2. ábrát! Ennek felirata: Euler - szögek. Ezek az elméleti fizikában, először is a Mechanikában előforduló szögek, merev testek forgó mozgásának leírásában v. ö.: [ 2 ]. A 3. ábrán az összes Euler - szöget feltüntették.

2 2 2. ábra [ 1 ] 3. ábra [ 2 ] A 2. és a 3. ábrán az összetartozó szögeket egyformán jelölték, nyilván a szakmai hagyo - mányok miatt. Látható, hogy a 2. ábrán a φ szöget nem alkalmazták. Eszerint a 2. ábra egy olyan forgatás - sorozat leírásához készült, melynek során egy OXYZ derékszögű koordi - náta ~ rendszert a következőképpen vihetnek át egy OX 2 Y 2 Z 2 koordináta - rendszerbe: ~ 1. forgatás az OY tengely körül ϑ - val: ekkor előáll az OX 1 Y 1 Z 1 rendszer, és Y 1 = Y; ~ 2. forgatás az OZ 1 tengely körül ψ - vel: ekkor előáll az OX 2 Y 2 Z 2 rendszer, és Z 2 = Z 1. Most elvégezzük az egységvektorok transzformációját. Ehhez tekintsük a 4. ábrát is!

3 3 4. ábra Itt az 1. forgatást szemléltettük. Írhatjuk a régi és az új egységvektorokra, hogy ( 1 ) ( 2 ) A 2. forgatást az 5. ábra szemlélteti. 5. ábra

4 4 Ez alapján írhatjuk, hogy ( 3 ) ( 4 ) Most ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ), ( 4 ) szerint:. Utóbbiakat kifejtve és figyelembe véve, hogy hogy: Elvégezzük az ( 2 ) - vel is kapjuk, ( 5 ) ( 6 ) ( 7 ) ( 8 ) helyettesítéseket, majd ( 5 ), ( 6 ), ( 7 ), és ( 8 ) szerint kapjuk, hogy ( 9 ) ( 10 ) ( 11 ) A ( 9 ), ( 10 ), ( 11 ) képletekkel leírt egységvektorok már megfelelnek a 2. ábra térbeli a, b, c vektorainak. Ha az OYZ koordinátasík az axonometrikus képsík, akkor az a, b, c vektorok erre vett merőleges vetületének első koordinátái zérusok lesznek, így az axonometrikus tengelyek egységvektorai az alábbiak: ( 12 ) ( 13 ) ( 14 ) Az utóbbiakat szemlélteti a 6. ábra. Ezzel előttünk állnak a Euler - szögekhez tartozó axonometrikus egységek is, ezzel együtt pedig az ( r, s, t ) rövidülési tényezők is, hiszen ( 15 ) Részletezve:

5 5 6. ábra ( 16 ) ( 17 ) ( 18 ) Most elvégezzük a következő műveleteket is [ 3 ] : tehát: ezekkel: ( * ) ( 19 ) Egyenlőség ( * ) szerint esetén áll fenn. Figyelem: t nemnegatív szám! Hasonlóképpen: ( ** ) ezekkel:

6 6 tehát: ( 20 ) Egyenlőség ( ** ) szerint esetében áll fenn. Ugyanígy: tehát: ( *** ) ezekkel: ( 21 ) Egyenlőség ( *** ) szerint esetében áll fenn. Az egyenlőségek eseteit rendszerint elhagyhatjuk, hiszen a merőleges axonometrikus tengelykeresztnek általános helyzetűnek, nem elfajulónak kell lennie. [ 3 ] - ban a ( 19 ), ( 20 ), ( 21 ) szerinti felírást választották, míg máshol általában az egyenlőséget nem engedik meg e relációkban. Ekkor mondhatjuk, hogy merőleges axonometriában két rövidülés négyzetének összege nagyobb a harmadik rövidülés négyzeténél. Ezt az ismert tételt korábbi dolgozatokban már többféleképpen levezettük, illetve igazoltuk. A tárgyalás ezen pontján szokás venni a rövidülések négyzetösszegét: tehát: ( 22 ) ahogyan azt már többször is igazoltuk, korábban. A ( 16 ), ( 17 ), ( 18 ) képletek a rövidülési együtthatókat fejezték ki az Euler - szögekkel. Most fejezzük ki a Euler - szögeket a rövidülési együtthatókkal! ( 18 ) - ból közvetlenül kapjuk, hogy. ( 23 ) Majd a ( 21 ) előtti átalakítást felhasználva, ( 18 ) - cal is: innen: innen:

7 7 ( 24 ) A másik kötelező gyakorlat az alábbi vagy egy hasonló számpélda. Ha az 1. ábra esetének megfelelően akkor ( a ) ekkor ( a ) - t ( 22 ) - be helyettesítve: ( b ) most ( a ) és ( b ) - vel: ( c ) ( d ) ( e ) Az ezekhez a rövidülési együtthatókhoz tartozó Euler - szögek, ( 23 ) és ( 24 ) szerint: ( f ) ( g ) Megjegyzések: M1. A szövegben mi a 2. ábra jelöléseihez képest az alábbi változtatásokat alkalmaztuk: M2. A ( 20 ) előtti átalakításból: innen: ( 25 )

8 8 M3. A ( c ), ( d ), ( e ) rövidülésekkel bíró tengelykereszt alkalmazásával megrajzolt kocka képe a 7. ábra szerinti. 7. ábra [ 1 ] M4. A ( 8 ) szerinti átírásra azért van szükség, mert [ 1 ] - ben a ψ szöget a ( η ) tengely - től mérik, a 2. ábráról is leolvashatóan. Másképpen fogalmazva: a ( j ) egységvektor forgatásának eredményeként a ( j 2 ) egységvektor áll elő. M5. [ 1 ] - ben ezt nem hangsúlyozták ki, de a mintapéldájukhoz választott r:s:t = 4:5:6 viszonyok megfelelnek a fentebb kimondott ( 26 ) feltételeknek. Ugyanis: ( h ) Az r:s:t = 4:5:6 viszonyok szerinti, a 7. ábrán szemléltetett ábrázolásnak csak azután kezdünk hozzá, miután meggyőződtünk róla, hogy a választott r:s:t rövidülési viszonyok ( h ) szerint valóban kielégítik a ( 26 ) feltételeket. M6. Ha a számítógépes ábrázolásra is tekintettel megengedjük a ( 19 ), ( 20 ) és ( 21 ) relációkban az egyenlőséget is, az azt jelenti, hogy a három közül valamelyik rövidülési együttható bizonyosan egységnyi lesz, vagyis a hozzá tartozó axonometrikus tengelyen a méretaránnyal módosított valódi koordinátát mérjük fel. Megeshet az is, hogy valame - lyik rövidülési tényező zérussá válik; ekkor a hozzá tartozó tengelyre nem mérünk fel mé - retet. Ajánljuk, hogy az Olvasó vegye végig ezeket az elfajuló eseteket.

9 9 Irodalom: [ 1 ] Hans Walser: Raumgeometrie, Modul 1, Der Würfel, Mathematisches Institut, Uni Basel, [ 2 ] Budó Ágoston: Mechanika 5. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, [ 3 ] Eduard Stiefel: Lehrbuch der darstellenden Geometrie 2. Auflage, Springer Basel AG, Sződliget, Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár