Vontatás III. A feladat

Átírás

1 Vontatás III Ebben a részben ázoljuk a ontatási feladat egy lehetséges numerikus megoldási módját Ezt az I részben ismertetett alapegyenletre építjük fel Itt az egy ontatott kerékpár esetét izsgáljuk feladat dott: a kerékpár pontjának g pályagörbéje és az pont e pálya menti sebessége Keresett: a kerékpár pontjának g pályagörbéje és a pont e pálya menti sebessége megoldás Először: nézzük a sebességek kérdését, általában! Ehhez tekintsük az 1 ábrát! Ennek alapján: 1 ábra t, ( 1 ) ahol t a pontbeli érintő egységektor Ennek kifejezése: t 1cos i 1sin j ; ( )

2 a mellékábra szerint: 1 cos, 1 tg tg sin ; 1 tg ( 3 ) most ( ) és ( 3 ) - mal: 1 tg t i j ; ( 4 ) 1 tg 1 tg tudjuk, hogy független áltozónak x - et álaszta : dy tg y ', ( 5 ) dx így ( 4 ) és ( 5 ) - tel: 1 y ' i y ' j t i j ( 6 ) 1 y ' 1 y ' 1 y ' Most ( 1 ) és ( 6 ) - tal ld [ 1 ] is! : i y ' j 1 y ' lkalmazzuk ( 7 ) - et a kerékpár és pontjára! Ekkor: i y ', 1 y ' j ( 7 ) ( 8 ) i y ' j ( 9 ) 1 y ' pont g pályamenti sebességének nagysága: dx dy dt dt dt ( 10 )

3 3 Most ( 9 ) és ( 10 ) - zel: dx dy i y ' j dt dt 1 y', ( 11 ) agy egyszerűbben: dx dy,x,y dt dt i j i j ( 1 ) Valamint az I rész ( 1 ) képletéel is: cos, ( 13 ) így ( 9 ) és ( 13 ) - mal: i y ' cos 1 y ' j ( 14 ) ( 14 ) képlet szerint a pont sebességektorának meghatározásához ismerni kell a pont pályájának y (x) egyenletét, az ebből adódó y ' (x) első deriáltját, az pont g pályamenti sebessége nagyságának ( 15 ) dt kifejezését, alamint az e pályaérintő és a kerékpár rúdtengely által bezárt φ szöget Megjegyezzük, hogy a ( 14 ) képletben szereplő y' - ben is benne an ( 14 ) képlet csak egy lehetséges felírási mód; más, egyenértékű alakok is előjöhetnek Ha az s íhossz - koordinátáal dolgozunk ábra, akkor a jellemző kapcsolatok az alábbiak [ 1 ], [ ], [ 3 ] ábra

4 4 ( s ) pont helyektora: r (s) x (s) i y (s) j ; ( 16 ) z érintő egységektor, ( 16 ) - tal is: d r (s) dx (s) dy (s) t (s) i j ; ( 17 ) Most ( ) és ( 17 ) összehasonlításából: dx (s) cos, dy (s) ( 18 ) sin görbület - ektor, ( 17 ) - tel is: d t(s) d r (s) d x (s) d y (s) κ i j ; ( 19 ) majd ( 18 ) és ( 19 ) - ből: d x (s) d x, sin, d y (s) d ( 0 ) y, cos Ezután ( 19 ) és ( 0 ) - szal: d d d κ sin i cos j sin i cos j ( 1 ) De az 1 ábra szerint a normális egységektor: n 1sin i 1 cos j, ( ) így ( 1 ) és ( ) - el: d κ n n, ( 3 ) ahol alkalmaztuk a pontbeli görbületre a d ( 4 ) szokásos jelölést görbület - ektor abszolút értéke: κ n n n n 1 (s) d (s) 1, (s) ( 5 )

5 5 ahol beezettük a d (s) 1 (s) ( 6 ) képlettel definiált pontbeli ρ görbületi sugarat is Másfelől ( 19 ) - cel is: d x (s) d y (s) d x (s) d y (s) κ κ κ i j ( 7 ) Majd ( 5 ) és ( 7 ) összehasonlításából: d y (s) 1 d x (s) (s) ( 8 ) fentiekben összefoglaltuk a legfontosabb, a görbepályák meghatározása során előfordulható összefüggéseket Megjegyezzük, hogy a pontbeli görbület ( 4 ) szerint pozití, nulla agy negatí mennyiség is lehet, míg a ( 6 ) szerinti görbületi sugarat nemnegatí mennyiségnek tekintjük pontbeli sebesség kifejezései: dr s(t) dr (t) dt dt dt (t) t s(t) t, ( 9 ) ami természetesen megismétli ( 1 ) - et Másfelől ( ) és ( 9 ) - cel: t cos i sin j cos i sin j i j, x, y, ahol beezettük az ( Oxy ) - renzerbeli x, cos, y, sin ( 30 ) ( 31 ) sebesség - koordinátákat is

6 6 Másozor: foglalkozzunk a g pályagörbe előállításáal! Ehhez tekintsük a 3 ábrát is! 3 ábra pont sebesség - koordinátái a 0 1, agyis az első nöekmény - szakaszon: x,01 x,,01, t y,01 y,,01 t ( 3 ) sebesség nagysága ugyanitt: t t x,01 y,01,01 ( 33 ) pont sebességektora irányára az első nöekmény - szakaszon, például: x t,01 x x,,01,01 cos x,,01,01 x,01 y,01 x,01 y,01 t t ( 34 )

7 7 Látjuk, hogy ezekhez a mennyiségekhez a pont koordináta - nöekményeit kell meghatároznunk Ezek a köetkezőképpen számíthatóak 3 ábra szerint: x sin sin sin sin ( 35 ) 1,1,1 y cos cos cos cos ( 36 ) 1,1,1 Ezután: x x x, ( 37 ),1 1 y,1 y y 1 ( 38 ) z itteni felétel mellett: 1 0, s1 1 t 0, ( 39 ) azaz 1 ezzel: s1 1 t ; ( 40 ) 1 t,1 1 ( 41 ) Most ( 35 ) és ( 41 ) - gyel: 1 t x1 sin,1 sin sin sin ; ( 4 ) majd ( 37 ) és ( 4 ) - el: 1 t x,1 x sin sin ( 43 ) Hasonlóképpen ( 36 ) és ( 41 ) - gyel: 1 t y1 cos,1 cos cos cos ; ( 44 ) majd ( 38 ) és ( 44 ) -gyel: 1t y,1 y cos cos ( 45 )

8 8 ( 43 ) és ( 45 ) képletek adják meg az előírt g görbén mozgó pont 1 - beli koordinátáit, hiszen ezekben a képletekben már minden mennyiség ismert / adott Ismét a 3 ábra szerint a 0 pont koordinátái ö az ( I - 1 ) képlettel! :,0 x x lcos ; ( 46 ) y y lsin ( 47 ),0 1 pont koordinátáihoz: x x lcos ; ( 48 ),1,1,1,1,1,1,1,1 y y lsin ( 49 ) Fentiekben: ( 50 ),1 1 Itt adott, 1 még meghatározandó Ezt az I rész ( 1 *) képletére alapozzuk: 1 sin d, l ( I - 1* ) innen: 1 sin 1 s 1 l ( 51 ) Most ( 50 ) és ( 51 ) - gyel: 1 sin,1 s 1 ; l ( 5 ) majd ( 39 ) és ( 5 ) - el: 1 sin,1 1 t l ( 53 ) Most kiszámítjuk a ( 48 ), ( 49 ) - ben szereplő argumentumot; ( 41 ) és ( 53 ) - mal: 1 t 1 sin,1,1 1 t l azaz: 1 t sin, l

9 9 t sin l 1,1,1 ( 54 ) Most már számíthatók a 1 pont koordinátái; a ( 43 ), ( 48 ), ( 54 ) képleteket összegyűjte x,1 - hez: x,1 x,1 lcos,1,1; 1 t x,1 x sin sin ; t sin 1,1,1 l a ( 45 ), ( 49 ), ( 54 ) képleteket összegyűjte y,1 - hez: y,1 y,1 lsin,1,1; 1 t y,1 y cos cos ; t sin 1,1,1 l ( 55 ) ( 56 ) Ezután a pont koordináta - nöekményei az első nöekmény - szakaszon: x x x, ( 57 ),01,1,0 ahol a képleteket ismét összegyűjte az ( 55 ) és ( 46 ) képletekkel: x,1 x,1 lcos,1,1; 1 t x,1 x sin sin ; 1 t,1,1 sin ; ( 58 ) l x,0 x lcos Toábbá:

10 10 y y y, ( 59 ),01,1,0 ahol a képleteket ismét összegyűjte az ( 56 ) és ( 47 ) képletekkel: y,1 y,1 lsin,1,1 ; 1 t y,1 y cos cos ; t sin ; l y,0 y lsin 1,1,1 ( 60 ) z ( 57 ), ( 58 ), illete az ( 59 ), ( 60 ) képletekkel számíthatóak a 1 pont koordinátái és koordináta - nöekményei az első nöekmény - szakaszon, amikkel pedig már elégezhető a 1 pont ábrázolása és sebesség - adatainak a meghatározása is, a ( 3 ),( 33 ) és a ( 34 ) képletekkel Összefoglala: az l hosszúságú kerékpárnak a mozgás t = 0 időpillanatában ismerjük az 0 x ; y ; ; ; 1; ( 61 ) bemenő adatait, majd a fenti képletekkel meghatározzuk a Δt idő alatti megáltozott értékeiket, melyekkel meghatározhatók az adott g pálya görbéhez és ( t ) pályasebesség - függényhez tartozó g ontatási görbe és ( t ) pályasebesség - függény, pontról pontra Még el kell égeznünk a s(t), s(t) adottnak ett függények előállítását 1) Ha a g görbe y (x) f (x) ( 6 ) alakban adott, akkor ( 5 ) szerint dy (x) df (x) tg (x), dx dx ( 63 ) innen: df (x) (x) arctg dx ( 64 ) Majd ( 6 ) szerint: 1 dx(s) d (x) dx d (x) dx ; ( 65 ) dx dx de ( 64 ) - ből:

11 11 d f (x) d (x) d df (x) dx arctg, dx dx dx df (x) 1 dx alamint ( 3 / 1 ), ( 5 ) és ( 18 / 1 ) szerint: dx 1 1 cos, 1 tg df (x) 1 dx így ( 65 ), ( 66 ) és ( 67 ) - tel: ( 66 ) ( 67 ) d f (x) d f (x) 1 1 (x) df (x) 1 df (x) df (x) 1 dx 1 dx dx x ;f (x ) pontjában: dx dx 3/ g görbe tetszőleges 1 1 (x ) ( 68 ) ; ( 69 ) így például az x x kezdőpontban ( 69 ) - cel: 1 1 (x ) ( 70 ) ) Ha a g görbe x y x (s), y (s) ( 71 ) alakban adott, akkor például ( 18 ) - ból: dy(s) sin (s) tg (s), cos (s) dx(s) ( 7 ) innen az érintő hajlásszöge:

12 1 dy(s) (s) arctg dx(s) ( 73 ) Ezzel: (s s ), ( 74 ) ahol s ismert / adott íkoordináta Ezután ( 8 ) - ból: 1 d x(s) d y(s) (s), ( 75 ) majd ( 75 ) - ből: 1 1 (s s ) ( 76 ) Ezzel a feladatot megoldottuk; ugyanis a második nöekményi szakaszon 0 helyébe 1, 0 helyébe 1 lép, stb Erre az eli megoldásra kell programot írni, majd azt működtete kirajzolni az és kerékpár - pontok által leírt görbéket már ismert g görbe - pontokra közelítő függény is illeszthető, illete például spline - interpoláció alkalmazható Irodalom: [ 1 ] I N ronstejn ~ K Szemengyaje: Matematikai zsebköny 6 átdolgozott kiadás, Műszaki Könykiadó, udapest, 1987 [ ] ach Zs álné ~ Frey Tamás: Vektor - és tenzoranalízis Műszaki Könykiadó, udapest, 1960 [ 3 ] Kurt eyer: Technische Mechanik für auingenieure S Hirzel Verlag, Leipzig, 1954 Sződliget, 010 augusztus 8 Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár