Két statikai alapfeladatról

Átírás

1 Két statikai alapfeladatról evezetés z alábbiakban két gakori és fontos síkbeli statikai alapfeladatot veszünk alaposabban szemügre kicsit másként két feladat: 1 Közös támadáspontú két erő eredőjének meghatározása számítással; 2 Eg erő felbontása két adott hatásvonalú összetevőre számítással ár a részletszámítások kicsit hosszadalmasnak tűnhetnek, az érdektelennek nem mondható eredmének miatt fontosnak tartjuk, hog a statikai tanulmánokat is foltató Olvasó találkozzon és foglalkozzon e kérdésekkel, illetve a megszokottól eltérő, az ittenihez hasonló téma - megközelítéssel kifejtés során csak elemi matematikát alkalmazunk, íg a számítások viszonlag egszerűek, továbbá eredméneink minden érdeklődő középiskolai tanuló számára érthetőek lehetnek Tárgalás 1 alapfeladat : Eredő meghatározása Tekintsük az 1 ábrát is! dott:, α ;, α Keresett:, α

2 2 Fenti jelölésekhez: 0, 0, 0; i 0, ahol i:,, Szavakkal: ~,, : a megfelelő vektorok ( iránított szakaszok ) hossza; ~ : iránszögek i z 1 ábra a Statika I aiómájának megfelelő alaphelzetet szemlélteti Először: határozzuk meg - et! z ábra szerint fennáll, hog: ( 1 ) ( 2 ) cos ; sin ; ( 3 / a, b ) cos ; sin ; ( 4 / a, b ) cos ; sin ; ( 5 / a, b ) most ( 1 ), ( 3 ), ( 4 ), ( 5 ) - tel: cos cos ; ( 6 ) majd ( 2 ), ( 3 ), ( 4 ), ( 5 ) - tel: sin sin ; ( 7 ) hozzávéve ezekhez az 2 ( 8 ) összefüggést is, ( 6 ), ( 7 ) és ( 8 ) a következőt adja: 2 cos cos sin sin 2 2 cos 2cos cos cos sin 2 sin sin sin cos sin 2 cos cos sin sin cos sin 2 cos

3 3 Itt felhasználtuk az ismert cos sin 1; cos cos sin sin cos cos trigonometriai azonosságokat z eredmén: 2 2 cos, ( 9 ) majd ebből 2 cos ( 10 ) Másodszor: határozzuk meg α - et! Ismét az 1 ábrából: tg ; ( 11 ) majd ( 6 ), ( 7 ) és ( 11 ) - gel: sin sin tg cos cos ( 12 ) Ebből α - et a következő lépésekkel határozzuk meg ld [ 1 ] a) Meghatározzuk azt az α* pozitív hegesszöget, melre nézve sin sin tg * * arctg ( 13 ) cos cos Ilen α* mindig eg és csak eg van b) Tudjuk ( 5 / a, b ) - ből, hog cos ; sin ; minthog pozitív, ezért cos és sin előjele megegezik és előjelével z előjel meghatározásánál a következő esetek lehetségesek: I: cos 0 ; sin ; II: cos 0 ; sin ; III: cos 0 ; sin ; ( 14 ) IV: cos 0 ; sin ( 14 ) - ben az első sor az I síknegedet, a második sor a II síknegedet, stb jelenti

4 4 helzet áttekintését a 2 ábra könníti meg c) Fenti előkészítés után α ívmértékben kifejezett értékei az alábbiak: I: *; II: *; III: *; IV: 2 * ( 15 ) d) fokban kifejezett szögérték: 180 ( 16 ) Megjegzések: M1 ( 10 ) összefüggés helességét lássa be az Olvasó a koszinusz - tétel közvetlen alkalmazásával is! M2 z ( 1 ) és ( 2 ) képletek a Statika vetületi tételét fogalmazzák meg

5 5 M3 ( 15 ) eredmének belátását segíthetik az alábbiak is Ha 0 tg, (#) I III I akkor 0 * / 2; de mivel tg tg k, (!) ahol k = 1, 2, stb, ezért (#) esetén *; * ; (az * 2 érték gakorlatilag uganoda visz, mint *); hasonlóképpen : ha tg 0, (##) IV akkor / 2 * 0; de mivel kikötöttük, hog az iránszögek nemnegatív értékűek, ezért 2 hozzáadásával "javítunk": * 2 2 *; továbbá (!) miatt : * II IV Látható, hog meg int előálltak a ( 15 ) szerinti eredmének Harmadszor: alkalmazzuk képleteinket az 1 ábra esetére! datok: = 8,246 kn; α = 14,04 ; = 4,717 kn; α = 57,99 ( 10 ) képlettel: 8,246 4,717 28,246 4,717 cos 57,99 14,04 kn; 12,093 kn Most a ( 12 ) képlettel:

6 6 8,246 sin14,04 4,717sin 57,99 tg 0,5714; 8, 246 cos14,04 4,717cos57,99 innen arctg0, ,75 29,8 Megjegzések: M4 szerkesztés és a számítás eredméneinek összehasonlítása jó egezést ad Fontos, hog ha csak lehetséges, mindig végezzünk ellenőrzést eredméneinkre! M5 Ne felejtsük el, hog zsebszámológépünk DEG üzemmódja esetén az arkusz - tangens függvén értéke átszámítva, rögtön fok mértékegségben adódik! M6 fenti számítás eg igen fontos tanulsága, hog már a két erő legegszerűbb esetében is nehézkes az eredő nagságának számítása, a ( 10 ) koszinusz - tételes képlet - alakkal komolabb eltévedések elkerülése érdekében az eredő iránszö - gének számításához ezért már nem erőltettük az általános háromszögben szokásos szinusz - tételes képlet - alak használatát, hanem az általánosítás felé mutató, a több erő esetében is kénelmesen alkalmazható, a derékszögű háromszöggel dolgozó képlet - fajtát alkalmaztuk Ennek az alapfeladatnak az apropóján átismételhettük az iránszög - meghatározással kapcsolatos főbb tudnivalókat is Most gűjtsük itt össze a haladó képleteinket! ; Pitagorasz - tétel tg, tangens szögfüggvén ahol N F i,; Fi, Fi cos i; i1 Vetületi tétel N F i,; Fi, Fi sin i i1 ( 17 ) Látható, hog a ( 17 ) képletek a derékszögű háromszögben értelmezett Pitagorasz - tételre és a tangens szögfüggvénre épülnek, felhasználva a vetületi tételt is E képleteket azonban már leginkább csak számszerűen alkalmazzuk, az N darab F i erőből álló, közös támadáspontú síkbeli erőrendszer esetén

7 7 2 alapfeladat: Erő összetevőire bontása Itt is felhasználjuk az 1 ábra szerinti jelöléseket és az előzőkben nert összefüggéseket dott:, α ; α, α Keresett:, Induljunk ki a ( 6 ) és ( 7 ) képletekből! cos cos ; ( 6 ) sin sin ; ( 7 ) Ezek eg két ismeretlenes, elsőfokú egenletrendszert képeznek, az, ismeretlenekre meghatározása: ld [ 2] ~ ( 6 ) sin α ( 7 ) cos α : cos sin cos sin sin cos sin cos sin cos ; ~ rendezés: cos sin sin cos cos sin sin cos sin cos ; ~ felhasználjuk az alábbi azonosságot: sin cos cos sin sin ; ~ egszerűbb alakba írjuk a rendezett egenletet: sin sin cos ; ~ kifejezzük - t: sin cos sin ( 18 ) meghatározása: ~ ( 7 ) cos α ( 6 ) sin α : sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin ; ~ rendezés: sin cos cos sin sin cos cos sin cos sin ; ~ felhasználjuk a fenti azonosságot és egszerűbb alakba írjuk a rendezett egenletet: sin cos sin ; ~ kifejezzük - t: cos sin sin ( 19 )

8 8 ( 18 ), ( 19 ) képletek az ( 5 ) összefüggésekkel már a feladat megoldását adják zonban tanulságos lesz még tovább alakítani ezeket Fejtsük ki ( 18 ) számlálóját, ( 5 ) - tel: SZ 18 sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos ; Most alkalmazzuk az alábbi azonosságot: sin cos cos sin sin ; ezzel kapjuk, hog SZ 18 sin, majd ezt ( 18 ) - ba visszatéve: sin sin ( 20 ) Hasonlóan eljárva: SZ 19 cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin, majd ezt ( 19 ) - be visszatéve: sin sin ( 21 ) Most vezessük be a következő jelöléseket ld az 1 ábrát is! :,, ; ( 22 ) ezekkel ( 20 ) és ( 21 ) íg alakul: sin sin ; sin sin ( 23 ) ( 24 )

9 9 lkalmazzuk képleteinket a korábbi eredménekből nerhető adatokkal! dott: = 12,093 kn, α = 29,75 ; α = 14,04 ; α = 57,99 Keresett:, Megoldás: ( 20 ) képlettel: sin 12,093 kn 8, 245 kn; sin sin 57,99 14,04 8,245 kn sin 57,99 29,75 ( 21 ) képlettel: sin 12, 093 kn 4, 718 kn; sin sin 57,99 14,04 4,718 kn sin 29, 75 14, 04 Látható, hog az itteni eredmének jól egeznek az első alapfeladat bemenő adataival, ahog azt el is vártuk Megjegzések: M7 Könnű észrevenni, hog a ( 23 ) és ( 24 ) összefüggések a szinusz - tétel közvetlen alkalmazásával nerhető eredmének M8 Felvetődhet a kérdés, hog ha a szinusz - tétellel ilen egszerűen előáll a megoldás, akkor előtte miért kellett annit dolgoznunk? válasz az, hog dolgozatunk tárga éppen az ilen, máshol leginkább elkerült levezetések végigvitele az összefüggések megvilágítása, illetve újabb képletek nerése céljából M9 második alapfeladat szerkesztéssel való megoldásáról nem esett szó, mivel az 1 ábra tanúsága szerint is ez az első alapfeladat megfordításának tekinthető M10 Nem elhanagolható szempont az sem, hog a síkbeli statikai problémák megoldása során alkalmazott eljárások, módszerek némelike kis továbbgondolással jól alkalmazható a térbeli problémák vizsgálatára is Ezek azonban már későbbi azaz felsőfokú tanulmánok tárgát képezik

10 10 efejezés z előzőekben két közismert, már - már triviálisnak tetsző feladatot oldottunk meg, általában és számszerűen is feladat - választást az indokolta, hog véleménünk szerint túl hamar sütik rá eg problémára a triviális jelzőt Néha úg tűnik, mintha a tankönvek, ill a szakkönvek szerzői restellnének foglalkozni ezekkel a kérdésekkel, hiszen ezeket úgis mindenki kívülről fújja vélhetik ők Tapasztalataink szerint azonban úg fest a dolog, mintha létezne eg lélektani gát, amel a vektorok, mint fizikai menniségek, és az alkalmazásokban előforduló matematikai tennivalók között húzódik Ezen akadál legőzésének biztos módja: ~ a probléma minél több nézőpontból történő megvilágítása, valamint ~ sok feladat számszerű megoldása Ez a dolgozat éppen ezzel foglalkozott, a két legegszerűbb alapfeladat kapcsán Kelt: Sződliget, 2008 február 19 Irodalomjegzék: [ 1 ] Kürschák József: nalízis és analitikus geometria udapest, 1923, Szerző kiadása [ 2 ] Kurt eer: Technische Mechanik für auingenieure S Hirzel Verlag Leipzig, 1954 Galgóczi Gula mérnöktanár