Az összetett hajlítás képleteiről

Átírás

1 A össetett hajlítás képleteiről Beveetés A elemi silárdságtan ismereteit a tankönvek serői általában igekenek úg kifejteni, hog a kedő sámára se okoanak komolabb matematikai nehéségeket. A húásra / nomásra és ferde hajlításra igénbe vett egenes tartókban ébredő sigma - fesültségek és egéb menniségek sámításával kapcsolatban eg érdekes leveetés található [ 1 ] - ben, mellel máshol még nem találkotunk. A jelen dolgoatban et a némiképpen rendhagó, a elemi matematikát ötletesen alkalmaó sámítási eljárást néük meg köelebbről. A képletek leveetése, ill. manipulálása A elemi silárdságtan serint a N normálerővel és M hajlítónomatékú erőpárral terhelt egenes tengelű rúd normálfesültségei a sokásos feltevések mellett a superpoíció alkalmaásával határoható meg:, öss N M ( 1 ) ahol még ( 2 ) M M M. A továbbiakban alkalmaott jelöléseket segít értelmeni a 1. ábra, ahol a súlponti főtengelrendserben végendő munkát késítjük elő. Résletesebben kifejtve: 1. ábra

2 2 N N ; A ( 3 ) M M ; ( 4 ) M M ; ( 5 ) majd fentiekkel: N M M öss. ( 6 ) A Írjuk fel ( 6 ) - ot íg: öss a b c ; ( 7 ) a egütthatók össehasonlításából: N a ; ( a ) A M b ; ( b ) M ( c ) c. Tudjuk, hog idéet [ 1 ] - ből : A hajlítás tengele aon egenes, mel a selvén síkjában van, annak súlpontján meg kerestül, fekvése pedig olan, hog a vele párhuamos sávokban a derékfesültség állandó és arános a sávnak a hajlítás tengelétől mért távolságával. A továbbiakho tekintsük a 2. ábrát is! 2. ábra

3 3 Most ( 1 ), ( 2 ), ( 7 ) és a mondottak alapján: öss a A m, ( 8 ) ahol a fentiek serint: A m b c. ( 9 ) Most fejeük ki - t és - t ( m, n, φ ) - vel! A 2. ábra serint: rsin r sin cos cossin ( 10 ) rsin cos r cos sin. Hasonlóan: r cos rcos cos sin sin ( 11 ) r coscos r sin sin. Most figelemmel a r cos m, ( 12 ) r sin n kapcsolatokra is, ( 10 ), ( 11 ) és ( 12 ) - vel: n cos msin ; ( 13 ) mcos n sin. Most ( 9 ) és ( 13 ) - mal: Am bncosmsin cmcos nsin. ( 14 ) Átrendeve: A m mb sin ccos nbcos csin. ( 15 ) A egütthatók össehasonlításából: A b sin ccos ; ( 16 ) 0 bcos csin. ( 17 ) Most ( 17 ) - ből: b tg ; ( 18 ) c Most a ( b ), ( c ), ( 18 ) képletekkel: M M tg, tehát M M tg. M M ( 19 ) Most néük a 3. ábrát!

4 4 Megjegés: 1 Minthog 1, 2 eért ( 21 ) alapján fennáll, hog. 3. ábra Leolvasható, hog M tg, M ( 20 ) íg ( 19 ) és ( 20 ) serint a össetett hajlítás egik alapképlete: ( 21 ) tg tg. Eután a 3. ábra serint felírjuk, hog sin b b c, cos c b c ; majd ( 16 ) és ( 22 ) - vel: b c b c A b c. b c b c b c Most ( 23 ), ( b ) és ( c ) - vel: ( 22 ) ( 23 ) M M A. ( 24 ) Eután ( 8 ), (a ), ( 24 ) képletekkel:

5 5 N M M öss A m. ( 25 ) A ( 25 ) képlet a össetett hajlítás másik alapképlete. Most határouk meg a semleges tengel helét! A σ öss = 0 feltételből, ( 25 ) - tel: N M M A m0 0, innen: N m 0. M M A ( 26 ) ( 27 ) Látjuk, hog N > 0, aa húás esetén m 0 < 0. A semleges tengel általában párhuamos a hajlítás tengelével, attól m 0 távolságra helekedik el. Most vonjuk ki egmásból a ( 25 ) és ( 26 ) egenleteket! öss 0 öss; résleteve: 2 2 N M M M N M m m 0 öss A A Rendeve: M M öss m m 0. ( 28 ) Beveetve a t m m 0 ( 29 ) jelölést, ( 28 ) és ( 29 ) - cel: M M öss t. ( 30 ) Minthog t a semleges tengeltől merőlegesen mért távolság, kimondható: a normálfesültség egenesen arános a semleges tengeltől mért távolsággal.

6 6 A aránossági téneő a σ - sík esésvonalának meredeksége: tgψ. A fentieket a 4. ábrán semléltetjük. A ábra serint: öss t tg, ( 31 ) ahol ( 30 ) alapján M M tg. 4. ábra ( 32 ) A 4. ábrán a sigmafesültségi síkot élből semlélhetjük, ahol a húás + ferde hajlítás eg esetét ábráoltuk. A fesültségi síkot akkor látjuk íg, ha a n n hajlítás tengele iránából néük. Most oldjunk meg eg mintafeladatot v.ö.: [ 2 ]! Feladat Adott a 5. ábra serinti kialakítású és terhelésű tartó. 5. ábra Határouk meg a normálfesültségek eloslását, és ábráoljuk is at!

7 7 Megoldás: ~ A igénbevételi komponensek bármel kerestmetsetben, a súlpontra redukálva: N F; ( P 1 ) h M F ; 2 ( P 2 ) b M F. 2 ( P 3 ) A kerestmetseti jellemők: A b h; ( P 4 ) 3 2 bh h A ; ( P 5 ) 3 2 h b b A ( P 6 ) ~ A fesültség függvén - alakja, ( 6 ) - tal és fentiekkel is: h b N M M F F F öss A h b A A A F 1 6 6, A h b tehát F öss A h b ( P 7 ) ~ A hajlítás tengelének heletéhe, ( 19 ) - cel: M 2 b h F A 2 12 tg, 2 M h b b F A 2 12 h tehát

8 8 h tg. ( P 8 ) b A munkát serkestéssel foltatjuk ld. a 6. ábrát! 6. ábra Elősör megrajoljuk a hajlítás tengelének ( h. t. ) egenesét a S súlponton kerestül, majd kijelöljük a ettől a tengeltől legtávolabb elhelekedő A és B pontokat, meleken kerestül e tengellel párhuamosokat húunk. A ( h. t. ) - re merőlegesen felvett K K öss kerestmetsetre rajoljuk rá a - ábrát. Ehhe kisámítunk két függvénértéket, N a A és B pontnak megfelelően. b h F F A ; N, aa A A A 7. N ( P 9 )

9 9 b h F F B ; N, A A B 5. N aa ( P 10 ) A ( P 9 ) és ( P 10 ) kisámított értékekkel megrajoltuk a 6. ábra serinti sigma - öss egenest. Ellenőrés: a S ( 0 ; 0 ) pontban 1 kell, hog teljesüljön. N A kés ábra alapján berajoltuk a kerestmetset ( s. t. ) semleges tengelét is. Végül axonometrikus semléltető képet késítettünk a fesültségeloslásról ld. 7. ábra! 7. ábra Zársó Ebben a dolgoatban igeketünk bemutatni eg másfajta, talán ritkábban előforduló megoldási módot is, a össetett igénbevételek köött igen fontos serepet játsó fenti esetre. A sámítások során eges menniségekről kiderült, hog egserű és semléletes geometriai jelentésük van, íg segíthetik a serkestéses megoldás megértését is. At javasoljuk, hog a tanuló egaránt hasnálja a sokásos és a itteni megköelítési módot, a célserűséget sem előtt tartva!

10 10 rodalomjegék [ 1 ] Kövesi Antal: Silárdságtan és gakorlati példák gűjteméne Nehéipari Könvkiadó, [ 2 ] Sigurd Falk: Műsaki mechanika. A rugalmas test mechanikája Műsaki Könvkiadó, Budapest, Sődliget, augustus 24. Össeállította: Galgóci Gula mérnöktanár