XXIV. NEMZETKÖZI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY Szabadka, április 8-12.

Átírás

1 XXIV NEMZETKÖZI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY Szabadka, 05 április 8- XII évfolyam A szabályos hatoldalú csonka gúla alapélei és ( a b ) A csonka gúla oldalfelülete megegyezik az alaplapok területének összegével Határozd meg a csonka gúla magasságát! Egy 99-es négyzetrácsba beírtuk a számokat -től 8-ig Bizonyítsd be, hogy a számok bármely elrendeződése mellett van két olyan szomszédos négyzet, amelyben a számok közötti különbség legalább 6 (Szomszédosnak tekintjük azokat a négyzeteket, amelyeknek közös oldaluk van) 3 Ha hegyesszög, akkor bizonyítsd be, hogy teljesül az 3 sin cos egyenlőtlenség! 4 Oldd meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: a b 5 Oldd meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: log 6 Egy 4 cm és egy 58 cm hosszú szakasz szög alatt metszi egymást Mekkora a szakaszok végpontjaival (mint csúcsokkal) alkotott négyszög pontos 3 területe, ha tg? 7 A feladatok kidolgozására 40 perc áll rendelkezésre Jó munkát!

2 A XXIV NMMV FELADATAINAK MEGOLDÁSAI XIIévfolyam XII/ A szabályos hatoldalú csonkagúla alapélei a és b ( a b ) A csonka gúla oldalfelülete megegyezik az alaplapok területének összegével Határozd meg a csonka gúla magasságát! (Angyal Andor, Szabadka, Vajdaság) Megoldás: Mivel a csonkagúla oldalfelülete megegyezik az alaplapok területének összegével, ezért a bh a 3 b ahol h a csonkagúla oldalmagassága Rendezés után azt kapjuk, hogy 3 a b h a b Ha H -val jelöljük a csonkagúla testmagasságát, akkor a Pitagorasz-tétel alkalmazásával a a 3 b 3 h H egyenlőséghez jutunk, ahonnan a következő módon kapjuk meg a keresett magasságot: a 3 b 3 3 a b 3 3 4a b H h a b Gyökvonás után adódik, hogy 4 a b 4 4 a b ab 3 H a b XII/ Egy 9 9 -es négyzetrácsba beírtuk a számokat -től 8-ig Bizonyítsd be, hogy a számok bármely elrendeződése mellett van két olyan szomszédos négyzet, amelyben a számok közötti különbség legalább 6 (Szomszédosnak tekintjük azokat a négyzeteket, amelyeknek közös oldaluk van) (Béres Zoltán, Szabadka, Vajdaság) Megoldás: Tekintsük azt a két négyzetet, amelybe az -es és a 8-es van beírva, és keressük a legrövidebb utat a szomszédos négyzeteken keresztül a két szám között Figyeljük meg, hogy ezen az úton, hány lépéssel tudunk végigmenni eset Az -es és a 8-es a két átellenes sarokban van Ekkor a legrövidebb út a két négyzet között 6 lépésből áll (8 jobbra és 8 balra), és létezik két ilyen út is, amelyeknek nincs közös négyzetük Ha feltesszük, hogy nincs 5-nél nagyobb különbség a szomszédos mezők között, akkor az út négyzeteibe írt egyetlen lehetséges számsor az,6,,6,,,7,76,8, ahol a szomszédos számok közötti különbség mindig 5 Ekkor a másik út, mely ezeket a számokat nem tartalmazhatja, szükségképpen tartalmaz egy 5-ösnél nagyobb lépést, mivel a második szám csak 6-nál kisebb lehet, és a további lehető legnagyobb, 5-ös lépésekkel sem érheti el a 8-et eset Az -es és a 8-es nem a két átellenes sarokban van Ekkor a legrövidebb út a két négyzet között rövidebb, mint 6 lépés Ha feltesszük, hogy nincs 5-nél nagyobb különbség a szomszédos mezők között, akkor legfeljebb 5 lépésből az elérhető legnagyobb szám a 76, így nem érhetjük el a 8-et

3 XII/3 Ha hegyesszög, akkor bizonyítsd be, hogy teljesül az 3 sin cos egyenlőtlenség! (Csikós Pajor Gizella, Szabadka, Vajdaság) Megoldás: Végezzük el a következő átalakításokat, alkalmazva a számtani és mértani közepek közötti összefüggést, valamint azt, hogy : sin sin cos sin cos sin cos sin cos sincos sin cos sin cos 3 sin XII/4 Oldd meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: (Olosz Ferenc, Szatmárnémeti, Erdély) IMegoldás: Az egyenlet értelmezett, ha, Az egyenletet balra rendezzük, majd hozzáadásával és kivonásával a , illetve alakra hozzuk A valós számok halmazán az a ab b 0 ab 0 Esetünkben keressük a 0 és megoldását és ez akkor és csak akkor teljesül, ha 4 0 egyenletek közös IIMegoldás: Az egyenlet értelmezett, ha 0, vagyis, Alkalmazzuk az egyenletre a következő ekvivalens átalakításokat: , Minden 0 lehetséges, azaz 4 0, 0, 0, esetén, tehát csak

4 XII/5 Oldd meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: log (Bence Mihály, Brassó, Erdély) Megoldás: Mivel nemnegatív értékekre az f ( ) függvény szigorúan monoton növekvő, ezért nemnegatív értékekre injektív is Felhasználva ezt a jelölést az adott egyenlet ekvivalens a f log f egyenlettel, ahonnan az függvény injektív tulajdonsága miatt következik, hogy Mivel valamint illetve a f log 0, ahonnan következik egyenlőtlenség, így érvényes, hogy 0, 0, log log és Ebből adódik, hogy csak a egyenlőség lehetséges Ekvivalens átalakításokkal megkapjuk, hogy, ahonnan négyzetre emelve mindkét oldalt a 4 egyenlet következik Elvégezve a műveleteket, majd rendezve a kapott kifejezést adódik, hogy , 4 illetve 0, amely egyenlet egyetlen megoldása 0

5 XII/6 Egy AB 4 cm és egy CD 58 cm hosszú szakasz szög alatt metszi egymást az O pontban Mekkora a szakaszok végpontjaival (mint csúcsokkal) alkotott ACBD négyszög pontos területe, ha tudjuk, hogy 3 tg 7 (Gecse Frigyes, Kisvárda, Magyarország) Megoldás: Legyenek E, F, G, H az ACBD négyszög oldalainak felezőpontjai A megszámozott alakzatok területét jelöljük t-vel, megfelelő indeszel ellátva A keresett területre fennáll a tacbd t t t t egyenlőség Az négyszög paralelogramma, mert egy-egy oldalpárja párhuzamos egy megfelelő adott szakasszal Mint háromszögek középvonalai EH AB cm, HG CD 9 cm Tudjuk (ha nem a paralelogrammára, akkor a háromszögre vonatkozóan), hogy tefgh EH HG sin 9 sin A háromszögek középvonalainak és a paralelogramma átlóinak tulajdonságait felhasználjva adódik, hogy, t t t, Innen Ennélfogva Az ismert t ACBD t t t 6 7 t t t 8 9, 3 0? t t t 4 5 tefgh t t t3 t4 t5 t6 t 9 sin t t t t t 9 sin ACBD 3 4 sin tg tg képlet alapján (ha nem ismerjük, vezessük le) adódik, hogy 3 7 sin Végül tacbd 9 88 cm 9 EFGH