A(a; b) = 2. A(a; b) = a+b. Példák A(37; 49) = x 2x = x = : 2 x = x = x

Átírás

1 10. osztály:nevezetes középértékek Összeállította:Keszeg ttila 1 1 számtani közép efiníció 1. (Két nemnegatív szám számtani közepe) Két nemnegatív szám számtani közepének a két szám összegének a felét nevezzük. 1. Határozzuk meg 37 és 49 számtani közepét! (a; b) = a+b Példák Ebben a feladatban egyszerűen csak behelyettesítünk a képletbe: a+b (a; b) = (37; 49) = = 86 = 43. Februárban Marci 150 ezer forint nettó bért kapott, áprilisban pedig 16 ezer forintot. Marci bére márciusban és áprilisban is ugyanannyival növekedett. Mennyi Marci márciusi bére? Marci márciusi bére annyival több a februári bérénél, amennyivel az áprilisi bére több a márciusinál. Jelöljük Marci márciusi bérét x-szel. márciusi és februári fizetése közötti különbség x a fenti adatok értemében megegyezik az áprilisi és márciusi bér közötti különbséggel, ami x. Tehát mindösszesen annyi a dolgunk, hogy oldjuk meg a következő egyenletet: x = x + x x = x = : x = Ez azt jelenti, hogy Marci március havi fizetése forint. 3. Egy téglalap két szomszédos oldalának hossza a cm és b cm. Hány cm annak a négyzetnek az oldala, amelynek a téglalapéval megegyező a kerülete? Legyen a keresett négyzet oldala x cm. téglalap kerülete (a + b) cm, a négyzet kerülete 4x cm. kerületek egyenlők: 4x = a + b. négyzet oldala tehát a+b cmhosszú, azaz a téglalap két szomszédos oldala hosszának számtani közepe. 4. Állítás: trapéznál a párhuzamos oldalpárok számtani közepe maga a középvonal Ezt az állítást beszeretnénk bizonyítani. k = a+c

2 10. osztály:nevezetes középértékek Összeállította:Keszeg ttila F 1 kzpvonal F izonyítás. Először megrajzoljuk azokat a magasságvonalakat, amelyek a trapézunkak két derékszögű hátomszöggé és egy téglalappá darabolják. a F 1 G k H F E c F Teljesen egyértelmű, hogy az E és F derékszögű háromszögekben az F 1 G ÉS HF szakaszok hosza E és F. Ennek segítségével beláthatjuk a következőt: k = c + E + F = a + E+F = a + c a = a+c efiníció. (Két nemnegatív szám mértanii közepe) Két nemnegatív szám mértani közepén a két szám szorzatának négyzetgyökét értjük. G(a; b) = a b 1. Határozzuk meg 3 és 1 mértani közepét! Példák Ebben a feladatban egyszerűen csak behelyettesítünk a képletbe: G(a; b) = a b G(3; 1) = 3 1 = 36 = 6. Állítás: trapézban a két alap mértani közepének felel meg az a szakasz, amely párhuzamos ezekkel és két egymáshoz hasonló trapézra szeli az eredeti trapézt.

3 10. osztály:nevezetes középértékek Összeállította:Keszeg ttila 3 izonyítás. Szorgalmi feladat Ábra segítségnyújtásként : a m 1 F 1 G F m H c Tétel 1. Két nemnegatív a és b valós szám esetén a b a+b izonyítás. a b a+b Mivel a kiindulási feltételeink szerint a és b nemnegatív valós számok a ab és a+b sem negatívak, így ha az egyenlőtlenség mindkét oldalát négyzetre emeljük, egy az eredetivel ekvivalens állítást fogalmazunk meg. a b (a+b) Tudjuk, hogy (a + b) = a + ab + b. Ezért felírhatjuk a következőt: 4 a b a +ab+b Most szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát 4 gyel 4 4 a b a + ab + b Ha mindkét oldalból elveszünk 4 a b-t, a következőt kapjuk: 0 a ab + b Mivel a ab + b = (a b) felírhatjuk az egyenlőtlenséget más alakban: 0 (a b) Mivel egy szám négyzete mindig pozitív vagy nulla az utolsó egyenlőtlenség nyilvánvalóan igaz és ez által az eredeti is.

4 10. osztály:nevezetes középértékek Összeállította:Keszeg ttila 4 Tétel. Egy tetszőleges a > 0 valós számnak és reciprokának összege legalább a + 1 a izonyítás. Házi feladat. bizonyításnál segítségünkre lehet a következő ábra: efiníció 3. (Pozitív számok nevezetes közepei) z a 1, a ;... ; a n 1 ; a n nemnegatív valósz számok Számtani (aritmetikai) közepe: Mértani (geometriai) közepe: = a 1+a +...+a n n G = n a 1 a... a n Négyzetes (quadratikus) közepe: Q = a 1 +a +...+a n n Harmonikus közepe: 1 H = 1 a a an ha a 1, a ;... ; a n 1 ; a n > 0

5 10. osztály:nevezetes középértékek Összeállította:Keszeg ttila 5 Tétel 3. (Nevezetes közepek közötti összefüggés) H G Q z egyenlőség csak akkor teljesül, ha a 1 = a =... = a n 1 = a n Nevezetes közepek alkalmazásai 1. számtani közép: statisztikai átlag kiszámítása. mértani közép: átlagos növekedési ütem kiszámítása, magasságtétel, befogótétel 3. négyzetes közép: statisztikai szórás kiszámítása 4. harmonikus közép: átlagsebesség meghatározása Megjegyzés 1. számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség alkalmas lehet különböző mennyiségek minimumának illetve maximumának meghatározására. Gondolkodtató feladat Legfeljebb mekkora lehet annak a téglalap alakú teleknek a területe, amelyet 5 m hosszú kerítéssel tudunk körbekeríteni?