Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II."

Átírás

1 Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel: a 2 = a 1 q. Megjegyzés: A mértani sorozat bármelyik elemének (a másodiktól kezdve) és az azt megelőző tagjának hányadosa állandó. Ezt az állandó hányadost a sorozat kvóciensének (hányadosának) nevezzük. Jele: q. TÉTEL: (Képzési szabály) Ha egy mértani sorozat első tagja a 1, kvóciense q, akkor n edik tagja megkapható a következő összefüggés segítségével: a n = a 1 q n 1. TÉTEL: A különböző tagokból álló (a n ) mértani sorozat első n elemének összege: S n = a 1 qn 1 q 1. Megjegyzés: Amennyiben q = 1, akkor a sorozat első n tagjának összege: S n = n a 1. TÉTEL: A mértani sorozat bármely elemének négyzete (a másodiktól kezdve) egyenlő a tőle szimmetrikusan elhelyezkedő elemek szorzatával. Jelölés: a n 2 = a n k a n+k. Megjegyzés: Bármely elem abszolút értéke (a másodiktól kezdve) egyenlő a tőle szimmetrikusan elhelyezkedő elemek mértani közepével. Jelölés: a n = a n k a n+k. 1

2 Kamatos - kamat számítása: Ha T n nel jelöljük az n edik év (vagy más időszak) végén felvehető összeget, T 0 lal az induló tőkét (a kezdetkor betett összeget), p vel a százaléklábat (évente ennyi százalékkal növekszik a betett összeg), n nel az évek (vagy más időszakok) számát, akkor a betett összeg növekedése a következő képlettel írható le: T n = T 0 (1 + p 100 )n. Az értékcsökkenés a következő képlettel írható le: T n = T 0 (1 p 100 )n. Gyűjtőjáradék számítása: Ha minden év elején ugyanakkora T 0 értéket teszünk be a bankba, s ez évente p százalékkal kamatozik, akkor az n edik év végén felvehető összeg a következő képlettel írható le: T n = T 0 (1 + p ) ( p 100 )n 1 p 100. Törlesztőrészlet számítása: Ha egy T 0 nagyságú, p százalékos kamatozású kölcsönt kell visszafizetnünk n év alatt úgy, hogy minden évben ugyanakkora T n összeget fizetünk vissza, akkor a T n törlesztő részlet nagysága a következő képlettel írható le: T n = T 0 p ( )n p 100 (1 + p 100 )n 1. Nevezetes összegek: Az első n pozitív természetes szám összege: n = n (n+1) Az első n pozitív természetes szám négyzetének összege: n 2 = 2 n (n+1) (2n+1) 6 Az első n pozitív természetes szám köbének összege: n 3 = n2 (n+1) 2 4 2

3 1. Egy mértani sorozat harmadik eleme 4, hetedik eleme 64. Számítsd ki a sorozat második tagját! Először számítsuk ki a sorozat hányadosát. a 7 = a 3 q 4 64 = 4q 4 q 1 = 2 és q 2 = 2 A feladatnak két sorozat is megoldása, így mindkettőnek ki kell számolnunk a hiányzó adatát: q = 2 esetén: a 3 = a 2 q 4 = 2a 2 a 2 = 2 q = 2 esetén: a 3 = a 2 q 4 = ( 2) a 2 a 2 = 2 2. Egy mértani sorozat első tagja 7, kvóciense 2. Írd fel a sorozat általános (n - edik) tagját! Mennyi a sorozat első 5 tagjának összege? Tagja - e a sorozatnak a 448? Írjuk fel a sorozat általános (n - edik) tagját: a n = a 1 q n 1 a n = 7 2 n 1 Írjuk fel a sorozat első 5 tagjának összegét: S n = a 1 qn 1 q 1 S 5 = = 217 Amennyiben tagja a sorozatnak a 448, akkor legyen a n = 448, s számoljuk ki az n értékét. 7 2 n 1 = n 1 = 64 A kitevőből az ismeretlent logaritmus bevezetésével tüntethetjük el. lg 2 n 1 = lg 64 (n 1) lg 2 = lg 64 n 1 = lg 64 lg 2 Az egyenletet megoldva azt kapjuk, hogy n = 7. Ezek alapján a sorozat hetedik tagja a

4 3. Egy mértani sorozat negyedik és második tagjának különbsége 18. Az ötödik és harmadik tag különbsége 36. Mennyi a sorozat első tagja és hányadosa? Az adatokat a 1 és q segítségével felírva a következő egyenletrendszert kapjuk: a 4 a 2 = 18 a 5 a 3 = 36 } a 1 q 3 a 1 q = 18 a 1 q 4 a 1 q 2 = 36 } a 1 q (q 2 1) = 18 a 1 q 2 (q 2 1) = 36 } A második egyenletet elosztva az első egyenlettel a következő adódik: q = 2. Ezt helyettesítsük vissza az első egyenletbe, s rendezés után azt kapjuk, hogy a 1 = Egy mértani sorozat második eleme 6, ötödik eleme 162. Mennyi olyan tagja van a sorozatnak, amely legalább kétjegyű, legfeljebb háromjegyű? Először számoljuk ki a sorozat első elemét és hányadosát. a 5 = a 2 q = 6q 3 q = 3 a 2 = a 1 q 6 = 3a 1 a 1 = 2 A legkisebb kétjegyű szám a 10, a legnagyobb háromjegyű szám a 999, és tudjuk, hogy a kérdésnek megfelelő tagok ezen két szám közé esnek. A keresett elemeket az általános tag képletével számíthatjuk ki, így felírható a következő: 10 a n n n 1 498,5 A kitevőből az ismeretlent logaritmus bevezetésével tüntethetjük el. lg 15 lg 3 n lg 1498,5 lg 15 n lg 3 lg 1498,5 lg 15 lg 3 n lg 1498,5 lg 3 Ebből az n edik tagra azt kapjuk, hogy 2,5 n 6,65. Mivel n csak egész szám lehet így a következő egyenlőtlenség adódik: 3 n 6. Ezek alapján 4 olyan tagja van a sorozatnak, amely legalább kétjegyű, legfeljebb háromjegyű. 4

5 5. Egy növekvő mértani sorozat első három tagjának összege 31. Az első és harmadik tag összege 26. Mennyi a sorozat első tagja és kvóciense? Az adatokat felírva a következő egyenletrendszert kapjuk: a 1 + a 3 = 26 a 1 + a 2 + a 3 = 31 } a 1 + a 1 q 2 = 26 a 1 + a 1 q + a 1 q 2 = 31 } A második egyenletből az elsőt kivonva, rendezés után a következő adódik: a 1 = 5 q. Ezt helyettesítsük vissza az első egyenletbe, s azt kapjuk, hogy 5 + 5q = 26. q Ebből a következő másodfokú egyenlet adódik: 5q 2 26q + 5 = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai q 1 = 5 és q 2 = 1 5. Mivel a sorozat növekvő, ezért a q 2 nem felel meg a feladatnak. A q 1 = 5 visszahelyettesítése után a következő adódik: a 1 = 5 5 = Egy mértani sorozat első három tagjának összege 112, a következő három tagjának összege 14. Mennyi a sorozat első tagja és hányadosa? Az adatokat felírva a következő egyenletrendszert kapjuk: a 1 + a 1 q + a 1 q 2 = 112 a 1 q 3 + a 1 q 4 + a 1 q 5 = 14 } a 1 (1 + q + q 2 ) = 112 a 1 q 3 (1 + q + q 2 ) = 14 } A második egyenletet elosztva az első egyenlettel, rendezés után a következő adódik: q = 1 2. Ezt visszahelyettesítve az első egyenletbe, rendezés után azt kapjuk, hogy a 1 = 64. 5

6 7. Egy mértani sorozat harmadik tagja 36 tal nagyobb a másodiknál. E kéttag szorzata 243. Mennyi a sorozat első tagja? Legyen a 3 = a Írjuk fel a szöveg alapján a következő egyenletet: a 2 (a ) = 243. Ebből rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: a a = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldása a 21 = 9 és a 22 = 27. Ha a 2 = 9, akkor a 3 = 27 és q = 3. Ekkor a 1 = 3. Ha a 2 = 27, akkor a 3 = 9 és q = 1 3. Ekkor a 1 = Egy mértani sorozat ötödik és hetedik tagja is 12. Mennyi az első tíz tag összege? A szöveg alapján írjuk fel a következő egyenletet: 12 = ( 12) q 2. Ezt rendezve azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldása q 1 = 1 és q 2 = 1. Ha q = 1, akkor a 1 = 12 és S 10 = 10 ( 12) = 120. Ha q = 1, akkor a 1 = 12 és S 10 = 12 ( 1) = Hány tagot kell összeadnunk az első tagtól kezdve az a n = 3 2 n sorozatból, hogy az összeg 1 milliónál nagyobb legyen? A szöveg alapján a következő adatokat tudjuk: a 1 = 6 és q = 2. Írjuk fel az első n tag összegét: 6 2n Az egyenlőtlenség megoldása: n 17,34. Ezek alapján legalább 18 tagot kell összeadni a feltétel teljesüléséhez. 6

7 10. Egy számtani sorozat második tagja 7, s e sorozat első, harmadik és nyolcadik tagja egy mértani sorozat három egymást követő tagja. Határozd meg a mértani sorozat hányadosát! A mértani sorozat tagjai: 7 d 7 + d 7 + 6d A mértani sorozat definíciója szerint a szomszédos tagok hányadosa megegyezik, vagyis felírhatjuk a következő törtes egyenletet: 7 + d = 7 + 6d. 7 d 7 + d Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: d 2 3d = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai d 1 = 0 és d 2 = 3. Ezek alapján, ha d = 0, akkor a sorozat tagjai 7; 7; 7, vagyis q = 1. Ha pedig d = 3, akkor a sorozat tagjai 4; 10; 25, vagyis q = Egy számtani sorozat első négy tagjához rendre 5 öt, 6 ot, 9 et és 15 öt adva egy mértani sorozat egymást követő tagjait kapjuk. Határozd meg a mértani sorozat hányadosát! A számtani sorozat tagjai: a 2 d a 2 a 2 + d a 2 + 2d A mértani sorozat tagjai: a 2 d + 5 a a 2 + d + 9 a 2 + 2d + 15 A mértani sorozat alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: a = a 2 + d + 9 a 2 d + 5 a a 2 + d + 9 a = a 2 + 2d + 15 a 2 + d + 9 } Az egyenletrendszert rendezve azt kapjuk, hogy a 2 = 2d. Ezt visszahelyettesítve adódik, hogy d 1 = 3 és d 2 = 3. Ha d = 3, akkor a 2 = 6 és a sorozat tagjai: 8; 12; 18; 27. Ezek alapján q = 3 2. Ha d = 3, akkor a 2 = 6 és a sorozat tagjai: 2; 0; 0; 3. Ez nem mértani sorozat. 7

8 12. Egy növekvő számtani sorozat első három elemének összege 54. Ha az első elemet változatlanul hagyjuk, a másodikat 9 - cel, a harmadikat 6 - tal csökkentjük, akkor egy mértani sorozat három egymást követő elemét kapjuk. Határozd meg a számtani sorozat és a mértani sorozat tagjait! A számtani sorozat tagjai: a 2 d a 2 a 2 + d A mértani sorozat tagjai: a 2 d a 2 9 a 2 + d 6 A számtani sorozat tagjait összeadva a következő adódik: a 2 = 18. Ezt helyettesítsük vissza a mértani sorozat tagjaiba: 18 d d A mértani sorozat definíciója szerint a szomszédos tagok hányadosa megegyezik, vagyis felírhatjuk a következő törtes egyenletet: 9 18 d 12 + d =. 9 Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: d 2 6d 135 = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai d 1 = 15 és d 2 = 9. Mivel növekvő számtani sorozatról van szó, így a d 2 nem felel meg a feladatnak. Ezek alapján, ha d = 15, akkor a számtani sorozat tagjai 3, 18, 33; a mértanié pedig 3, 9, Egy számtani sorozat első öt tagjának összege 20. A második, a harmadik és az ötödik tag ebben a sorrendben egy mértani sorozat három egymást követő tagja. Határozd meg a számtani sorozat és a mértani sorozat tagjait! A számtani sorozat tagjai: a 3 2d a 3 d a 3 a 3 + d a 3 + 2d A mértani sorozat tagjai: a 3 d a 3 a 3 + 2d A számtani sorozat tagjait összeadva a következő adódik: a 3 = 4. 8

9 Ezt helyettesítsük vissza a mértani sorozat tagjaiba: 4 d d A mértani sorozat definíciója szerint a szomszédos tagok hányadosa megegyezik, vagyis felírhatjuk a következő törtes egyenletet: 4 = 4 + 2d 4 d 4. Az egyenlet rendezése után a következő hiányos másodfokú egyenlet adódik: 2d 2 4d = 0. Az egyenlet bal oldalát alakítsuk szorzattá a következőképpen: 2d (d 2) = 0. Ebből következik, hogy az egyenlet megoldásai d 1 = 0 és d 2 = 2. Ezek alapján, ha d = 2, akkor a számtani sorozat tagjai 0, 2, 4, 6, 8; a mértanié pedig 2, 4, 8. Amennyiben d = 0, akkor a számtani sorozat tagjai 4, 4, 4, 4, 4; a mértanié pedig 4, 4, Egy mértani sorozat első három tagjának összege 35. Ha a harmadik számot 5 - tel csökkentjük, egy számtani sorozat három egymást követő tagját kapjuk. Határozd meg a számtani sorozat és a mértani sorozat tagjait! A számtani sorozat tagjai: a 2 d a 2 a 2 + d A mértani sorozat tagjai: a 2 d a 2 a 2 + d + 5 A számtani sorozat tagjait összeadva a következő adódik: a 2 = 10. Ezt helyettesítsük vissza a mértani sorozat tagjaiba: 10 d d A mértani sorozat definíciója szerint a szomszédos tagok hányadosa megegyezik, vagyis felírhatjuk a következő törtes egyenletet: d = 15 + d 10. Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: d 2 + 5d 50 = 0. 9

10 A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai d 1 = 5 és d 2 = 10. Ezek alapján, ha d = 5, akkor a számtani sorozat tagjai 5, 10, 15; a mértanié pedig 5, 10, 20. Amennyiben d = 10, akkor a számtani sorozat tagjai 20, 10, 0; a mértanié pedig 20, 10, Egy mértani sorozat első három elemének összege 42. Ugyanezek a számok egy növekvő számtani sorozat első, második és hatodik elemei. Melyek ezek a számok? A számtani sorozat tagjai: a 1 a 1 + d a 1 + 5d A mértani sorozat tagjai: a 1 a 1 + d a 1 + 5d A számtani sorozat tagjait összeadva a következő adódik: a 1 = 14 2d. Ezt helyettesítsük vissza a mértani sorozat tagjaiba: 14 2d 14 d d A mértani sorozat definíciója szerint a szomszédos tagok hányadosa megegyezik, vagyis felírhatjuk a következő törtes egyenletet: 14 d 14 2d = d 14 d. Az egyenlet rendezése után a következő hiányos másodfokú egyenlet adódik: 7d 2 42d = 0. Az egyenlet bal oldalát alakítsuk szorzattá a következőképpen: 7d (d 6) = 0. Ebből következik, hogy az egyenlet megoldásai d 1 = 0 és d 2 = 6. Ezek alapján, ha d = 0, akkor a 1 = 14 és a mértani sorozat tagjai 14, 14, 14. Amennyiben d = 6, akkor a 1 = 2 és a mértani sorozat tagjai 2, 8,

11 16. Egy mértani sorozat három egymást követő tagjához rendre 1 - et, 14 - et és 2 - t adva egy számtani sorozat három egymást követő tagját kapjuk, melyek összege 150. Határozd meg a számtani sorozat és a mértani sorozat tagjait! A számtani sorozat tagjai: a 2 d a 2 a 2 + d A mértani sorozat tagjai: a 2 d 1 a 2 14 a 2 + d 2 A számtani sorozat tagjait összeadva a következő adódik: a 2 = 50. Ezt helyettesítsük vissza a mértani sorozat tagjaiba: 49 d d A mértani sorozat definíciója szerint a szomszédos tagok hányadosa megegyezik, vagyis felírhatjuk a következő törtes egyenletet: d = 48 + d 36. Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: d 2 d 1056 = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai d 1 = 33 és d 2 = 32. Ezek alapján, ha d = 33, akkor számtani sorozat tagjai 17, 50, 83; a mértanié pedig 16, 36, 81. Amennyiben d = 32, akkor számtani sorozat tagjai 82, 50, 18; a mértanié pedig 81, 36, Egy számtani sorozat három egymást követő tagjához rendre 6 - ot, 7 - et és 12 - t adva egy olyan mértani sorozat három egymást követő tagját kapjuk, melyek szorzata Határozzuk meg a számtani sorozat és a mértani sorozat tagjait! A számtani sorozat tagjai: a 2 d a 2 a 2 + d A mértani sorozat tagjai: a 2 d + 6 a a 2 + d + 12 A mértani sorozat elemeire igaz, hogy egy elem négyzete egyenlő a tőle szimmetrikusan elhelyezkedő elemek szorzatával, vagyis felírhatjuk a következő egyenletet: (a 2 d + 6) (a 2 + d + 12) = (a 2 + 7) 2. 11

12 A szöveg alapján így felírhatjuk a következő egyenletet: (a 2 + 7) (a 2 + 7) 2 = Az egyenletet rendezve azt kapjuk, hogy a 2 = 17. Ezt helyettesítsük vissza a mértani sorozat tagjaiba: 23 d d A mértani sorozat definíciója szerint a szomszédos tagok hányadosa megegyezik, vagyis felírhatjuk a következő törtes egyenletet: d = 29 + d 24. Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: d 2 + 6d 91 = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai d 1 = 7 és d 2 = 13. Ezek alapján, ha d = 7, akkor a számtani sorozat tagjai 10, 17, 24; a mértanié pedig 16, 24, 36. Amennyiben d = 13, akkor a számtani sorozat tagjai 30, 17, 4; a mértanié pedig 36, 24, Egy mértani sorozat három egymást követő tagjának szorzata 64. Ha az első elemhez hozzáadunk 1 et, a másodikhoz 4 et, a harmadikhoz pedig 5 öt, akkor egy számtani sorozat három egymást követő tagját kapjuk. Melyek a sorozatok tagjai? A mértani sorozat tagjai: a 2 q a 2 a 2 q A számtani sorozat tagjai: a 2 q + 1 a a 2 q + 5 A mértani sorozat tagjait összeszorozva a következő adódik: a 2 = 4. Ezt helyettesítsük vissza a számtani sorozat tagjaiba: 4 q q + 5 A számtani sorozat definíciója szerint a szomszédos tagok különbsége megegyezik, vagyis felírhatjuk a következő egyenletet: 8 ( 4 + 1) = 4q q 12

13 Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: 2q 2 5q + 2 = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai q 1 = 2 és q 2 = 1 2. Ezek alapján, ha q = 2, akkor a mértani sorozat tagjai 2, 4, 8; a számtanié pedig 3, 8, 13. Amennyiben q = 1, akkor a mértani sorozat tagjai 8, 4, 2; a számtanié pedig 9, 8, Egy mértani sorozat első tagja 0, 1. Az első négy tag összege 1 gyel nagyobb a sorozat hányadosánál. Határozd meg a sorozat első négy tagját! A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 0,1 q4 1 q 1 = q + 1. Ezt alakítsuk át a következőképpen: 0,1 (q2 + 1) (q 1) (q + 1) q 1 = q + 1. Ezt megoldva azt kapjuk, hogy q 1 = 1, q 2 = 3 és q 3 = 3. Ezek alapján három sorozat is megfelel az adott feltételnek: Ha q = 1, akkor a sorozat első négy tagja: a 1 = 0,1; a 2 = 0,1; a 3 = 0,1; a 4 = 0,1. Ha q = 3, akkor a sorozat első négy tagja: a 1 = 0,1; a 2 = 0,3; a 3 = 0,9; a 4 = 2,7. Ha q = 3, akkor a sorozat első négy tagja: a 1 = 0,1; a 2 = 0,3; a 3 = 0,9; a 4 = 2, Öt szám közül az első három egy mértani, a négy utolsó pedig egy számtani sorozat egymást követő tagjai. A négy utolsó szám összege 20, a második és az ötödik szám szorzata 16. Melyik ez az öt szám? Legyen az öt szám: a; b; c; d; e. A számtani sorozat tulajdonságából a következő adódik: b + e = c + d. 13

14 A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: b + e = 10 b e = 16 } Az első egyenletet átrendezve adódik, hogy b = 10 e. Ezt behelyettesítve a második egyenletbe, a következő adódik: e 2 10e + 16 = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai e 1 = 2 és e 2 = 8. Amennyiben e = 2, akkor b = 8. Ekkor a számtani sorozat tulajdonságából azt kapjuk, hogy c = 6 és d = 4. A mértani sorozat tulajdonságából pedig 8 a = 6 8 adódik, vagyis a = Amennyiben e = 8, akkor b = 2. Ekkor a számtani sorozat tulajdonságából azt kapjuk, hogy c = 4 és d = 6. A mértani sorozat tulajdonságából pedig 2 = 4 adódik, vagyis a = 1. a 2 Ezek alapján a lehetséges számötösök: 1; 2; 4; 6; 8 és 8; 6; 4; 2; A Papp család betesz a bankba Ft - ot 5 évre, évi 7 % - os kamatozással. Mennyi pénzt vehetnek ki az ötödik év végén? (Az értéket ezres kerekítéssel add meg!) A kamatos - kamat számítás képletével a következő adódik: ,07 5 = Ezek alapján 5 év után kb Ft - ot vehet majd ki a bankból a Papp család. 22. Beteszünk a bankba Ft - ot évi 11 % - os kamatozással. Mennyi év után vehetjük ki a pénzünket, ha minimum Ft - ot szeretnénk kivenni majd? A kamatos - kamat számítás képletével felírhatjuk a következő egyenlőtlenséget: ,11 n ,11 n 20 14

15 A kitevőből az ismeretlent logaritmus bevezetésével tüntethetjük el. lg 1,11 n lg 20 n lg 1,11 lg 20 n lg 20 lg 1,11 28,7 Ezek alapján kb. 29 év után vehetjük ki a pénzünket a bankból. 23. Egy autó ára újonnan Ft. Mennyi százalékkal csökken az autó ára minden évben, ha 3 év után Ft - ért tudjuk majd eladni? (A megoldást egészre kerekítve add meg!) A kamatos - kamat számítás képletével felírhatjuk a következő egyenletet: (1 p 100 )3 = Az egyenlet rendezése után a következő adódik: p 12,06. Ezek alapján kb. 12 % - kal csökken minden évben az autó ára. 24. Egy bankba a Kovács család minden év elején betesz Ft - ot, mely év végén 5 % - ot kamatozik. 20 év után mekkora összeget tudnak majd kivenni a bankból? (Az értéket ezres kerekítéssel add meg!) Az első év végén kivehető összeg: ,05. A második év végén: ( , ) 1,05 = , ,05. A huszadik év végén felvehető összeg: , , ,05 = ,05 (1 + 1, ,05 19 ) = ,05 1 1, , Ezek alapján 20 év után kb Ft - ot vehet majd ki a bankból a Kovács család. A gyűjtőjáradék számítás képletébe való behelyettesítéssel ellenőrizhetjük a kapott megoldást. 15

16 25. Valaki 40 éves korában életbiztosítást köt a következő feltételekkel. Minden év elején azonos összeget fizet be a biztosító társasághoz, és 70 éves korában 5 millió forintot kap. A befizetett pénz 8 % - kal kamatozik. Mekkora összeget kell befizetnie minden év elején? (Az értéket ezres kerekítéssel add meg!) Legyen az évente befizetett összeg: x. Ekkor az első év végén a kamatozással keletkező összeg: x 1,08. A második év végén: (x 1,08 + x) 1,08 = x 1, x 1,08. A harmincadik év végén felvehető összeg: x 1, x 1, x 1,08 = x 1,08 (1 + 1, ,08 29 ) = = x 1,08 1 1, ,08 1 Ebből felírható a következő egyenlet: x 1,08 1 1, ,08 1 = Az egyenlet rendezése után a következő adódik: x Ezek alapján kb Ft - ot kell befizetnie az illetőnek minden év elején. A gyűjtőjáradék számítás képletébe való behelyettesítéssel ellenőrizhetjük a kapott megoldást. 26. Kovács Zoltán 30 évesen lakást szeretne venni. Ehhez felvesz 9 millió kölcsönt, 15 évre évi 7 % - os kamatozással. Mekkora lesz az éves törlesztőrészlete? (A törlesztőrészletet ezres kerekítéssel add meg!) Legyen az éves törlesztőrészlet: x. A 15. év végére visszafizetendő összeg: , Mivel a befizetett összeg is kamatozik minden év végén, így a 15. év végére befizetett összeg: x 1, x 1, x 1, x 1,07 + x = = x (1 + 1,07 + 1, ,07 14 ) = x 1 1, ,

17 Ebből felírható a következő egyenlet: x 1 1, ,07 1 = ,0715. Az egyenlet rendezése után a következő adódik: x Ezek alapján az éves törlesztőrészlet kb Ft lesz. A törlesztőrészlet számítás képletébe való behelyettesítéssel ellenőrizhetjük a kapott megoldást. 27. A Futó család új lakást akar vásárolni. Ehhez kölcsönt vesznek fel, méghozzá 10 millió Ft - ot 20 évre, évi 6 % - os kedvezményes kamatra. Minden év végén úgy törlesztenék a kölcsönt és kamatait, hogy 20 éven át minden évben ugyanakkora összeget akarnak befizetni. Mekkora legyen ez az összeg? (Az értéket ezres kerekítéssel add meg!) Legyen az éves törlesztőrészlet: x. Az első év végén fennmaradó összeg: ,06 x. A második végén: ( ,06 x) 1,06 x = ,06 2 x 1,06 x. A huszadik év végén: ,06 20 x 1,06 19 x 1,06 18 x 1,06 x = ,06 20 x (1 + 1,06 + 1, ,06 19 ) = ,06 20 x 1 1, ,06 1 Ebből felírható a következő egyenlet: ,06 20 x 1 1, ,06 1 = 0. Az egyenlet rendezése után a következő adódik: x Ezek alapján az éves törlesztőrészletnek kb Ft nak kell lennie. A törlesztőrészlet számítás képletébe való behelyettesítéssel ellenőrizhetjük a kapott megoldást. 17

18 28. András munkába állás során két ajánlat közül választhat. Az első szerint a kezdő fizetése Ft lenne és minden hónapban Ft tal növelnék meg az előző havi jövedelmét. A második szerint a kezdő fizetése Ft lenne és minden hónapban az előző havi jövedelmét 3 % - kal növelnék. Melyik ajánlatot válassza, ha 5 évre tervez előre, s a legtöbbet szeretné keresni ezen időszak alatt, s melyiket, ha az utolsó hónapban? Változik e az álláspontja, ha legalább 6 évre tervez? Az 5 év alatt összesen 60 hónapon keresztül kap fizetést András. Az első ajánlat során a fizetések egy számtani sorozat egymást követő tagjai. A sorozat első tagja , differenciája Számítsuk ki az utolsó havi fizetését: a 60 = = Számítsuk ki az 5 év alatt szerzett összjövedelmét: S 60 = = A második ajánlat során a fizetések egy mértani sorozat egymást követő tagjai. A sorozat első tagja , kvóciense 1,03. Számítsuk ki az utolsó havi fizetését: a 60 = , Számítsuk ki az 5 év alatt szerzett összjövedelmét: S 60 = , , Ezek alapján 5 év elteltével, az utolsó hónapot szem előtt tartva a másodikat, az összjövedelmet figyelve pedig az elsőt kell választania. Végül számítsuk ki a 6 éves (72 hónap) összjövedelmeket: S 72 = = S 72 = , , Ezek alapján 6 év elteltével minden tekintetben a második ajánlat lesz a kedvezőbb. 18

19 29. Egy 60 - os szög egyik szárán jelölünk ki egy P pontot. Ebből a másik szárra állítsunk merőlegest, amelynek talppontja a másik száron legyen P 1. Innen újabb merőleges metszi ki az előző szárból P 2 t. Folyatassuk ezt végtelensokszor. A PP 1 szakaszt jelöljük a 1 gyel. Mekkora lesz a nyolcadik merőleges szakasz hossza, illetve az első nyolc szakasz hosszának összege? Tekintsük a következő ábrát: Legyen az OP távolság x. Tekintsük az első néhány merőleges szakasz hosszát: a 1 = x sin 60 = x 3 2 ; a 2 = a 1 sin 30 = x 3 4 ; a 3 = a 2 sin 30 = x 3 8 ; A merőleges szakaszok hosszai mértani sorozatot alkotnak, ahol q = 1 2. Ezek alapján a megoldások: a 8 = x 3 2 (1 2 )7 = x S 8 = x 3 ( ) = x = x ,725x 19

20 30. Egy egységnégyzetnek felezzük meg az oldalait, s a második négyzet az oldalfelező pontok alkotta négyszög lesz. Ezután ennek felezzük meg az oldalait és kapunk egy kisebb négyzetet. 100 lépés után mennyi lesz a keletkező négyzetek kerületeinek és területeinek összege? Tekintsük a következő ábrát: Tekintsük az első néhány négyzetoldal hosszát: a 1 = 2 2 ; a 2 = a = 1 2 ; a 3 = a = 2 4 ; Tekintsük az első néhány kerület nagyságát: K 1 = 2 2; K 2 = 2; K 3 = 2; Tekintsük az első néhány terület nagyságát: T 1 = 1 2 ; T 2 = 1 4 ; T 3 = 1 8 ; A kerületek és területek mértani sorozatot alkotnak, ahol q = 2 2, illetve q = 1 2. Ezek alapján a megoldások: 100 S K100 = 2 2 ( 2 2 ) 1 9, S T100 = 1 2 (1 2 ) = 1 20

21 31. A 7 egység oldalhosszúságú négyzet oldalait osszuk fel az egyik csúcspontjától kezdve 3: 4 aránybban. A kapott osztópontok ismét négyzetet határoznak meg. Ennek az oldalait is osszuk fel az adott arányban. Folytassuk ezt végtelen sokszor. Mekkora lesz a hetedik négyzet oldala, illetve az első hét négyzet kerületének, területének összege? Tekintsük a következő ábrát: Tekintsük az első néhány négyzetoldal hosszát: a 1 = 7; a 2 = a = 5; a 3 = a = 25 7 ; Tekintsük az első néhány kerület nagyságát: K 1 = 28; K 2 = 20; K 3 = ; Tekintsük az első néhány terület nagyságát: T 1 = 49; T 2 = 25; T 3 = ; Az oldalak, a kerületek és a területek mértani sorozatot alkotnak, ahol q = 5 25, illetve q = Ezek alapján a megoldások: a 7 = 7 ( 5 7 )6 = ,93 S K7 = 28 (5 7 ) ,17 S T7 = 49 (25 49 ) = 49 21

22 32. Egy a oldalú négyzetbe érintőkört írunk, ebbe négyzetet, amibe ismét kört. Ezt így folytatva mekkora lesz a hatodik négyzet oldala, illetve a hatodik kör sugara? Mekkora az első hat négyzet, illetve kör kerületének összege? Tekintsük a következő ábrát: Legyen a négyzetek oldalhossza a 1 ; a 2 ;, a beírt körök sugarának hossza: r 1 ; r 2 ;. Tekintsük az első néhány négyzetoldal hosszát: a 1 = a; a 2 = a = a 2 2 ; a 3 = a = a 1 2 ; Tekintsük az első néhány sugár hosszát: r 1 = a = a 1 2 ; r 2 = a = a 2 4 ; r 3 = a = a 1 4 ; Tekintsük az első néhány négyzet kerületét: K 1 = 4a; K 2 = a 2 2; K 3 = 2a; Tekintsük az első néhány kör kerületét: k 1 = a π; k 2 = a 2 2 π; k 3 = a 1 2 π; Az oldalak, sugarak és kerületek mértani sorozatot alkotnak, ahol q =

23 Ezek alapján a megoldások: a 6 = a ( 2 5 ) = a r 6 = a ( 2) = a S ak6 = 4a ( 2 2 ) = 4a 6 S rk6 = a π ( 2 2 ) = 4a = a π 7 (2 + 2) (2 + 2) = a 11,95a ,39a 33. Egy derékszögű háromszög oldalai rendre egy mértani sorozat egymást követő tagjai. Mekkorák a háromszög szögei? Legyenek a háromszög oldalai: a 1 a 1 q a 1 q 2 Alkalmazzuk a Pitagorasz tételt: a a 1 2 q 2 = a 1 2 q 4. Ebből rendezés után a következő egyenlet adódik: q 4 q 2 1 = 0. Legyen b = q 2, s a behelyettesítés után azt kapjuk, hogy b 2 b 1 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai b 1 = 1+ 5 A b 2 értéke nem felel meg a feladatnak. 2 és b 2 = A b 1 visszahelyettesítése után a következő adódik: q 2 = A háromszög szögeit így kiszámíthatjuk a szögfüggvények segítségével: sin α = a 1 a 1 q 2 = 1 q 2 = α 38,17 cos β = a 1 a 1 q 2 = 1 q 2 = β 51,83 23

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk:

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 11. Sorozatok I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy számtani sorozat harmadik eleme 15, a nyolcadik eleme 30. Mely n természetes számra igaz, hogy a sorozat első n elemének összege 6? A szokásos jelöléseket

Részletesebben

SZÁMTANI SOROZATOK. Egyszerű feladatok. 1. Egy számtani sorozatban:

SZÁMTANI SOROZATOK. Egyszerű feladatok. 1. Egy számtani sorozatban: SZÁMTANI SOROZATOK Egyszerű feladatok. Egy számtani sorozatban: a) a, a 29, a? 0 b) a, a, a?, a? 80 c) a, a 99, a?, a? 0 20 d) a 2, a2 29, a?, a90? 2 e) a, a, a?, a00? 2. Hány eleme van az alábbi sorozatoknak:

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Sorozatok - kidolgozott típuspéldák

Sorozatok - kidolgozott típuspéldák 1. oldal, összesen: 8 oldal Sorozatok - kidolgozott típuspéldák Elmélet: Számtani sorozat: a 1 a sorozat első tagja, d a különbsége a sorozat bármelyik tagját kifejezhetjük a 1 és d segítségével: a n =

Részletesebben

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24 OKTATÁSI MINISZTÉRIUM M/D/13 Dolgozók gimnáziuma Dolgozók szakközépiskolája Szakmunkások szakközépiskolája intenzív tagozat) 003. május ) Határozza meg a következő egyenlet racionális gyökét! 1 3 4 + 5

Részletesebben

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny 2003. április 14. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. feladat Egy számtani sorozatot az első eleme és különbsége egyértelműen meghatározza, azt

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek X.

Egyenletek, egyenlőtlenségek X. Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. EMELT SZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. október. EMELT SZINT ) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket: a) b) lg 8 0 6 I. (5 pont) (5 pont) a) A logaritmus értelmezése alapján: 80 ( vagy ) Egy szorzat

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont) 1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)

Részletesebben

A 2006-2007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója

A 2006-2007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója SZAKKÖZÉPISKOLA A 006-007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója. Feladat: Egy számtani sorozat három egymást követő tagjához rendre 3-at, -et, 3-at adva

Részletesebben

Érettségi feladatok: Sorozatok

Érettségi feladatok: Sorozatok Érettségi feladatok: Sorozatok 2005. május 10. 8. Egy mértani sorozat első tagja 8, hányadosa 2. Számítsa ki a sorozat ötödik tagját! 14. Egy számtani sorozat második tagja 17, harmadik tagja 21. a) Mekkora

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1 Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az

Részletesebben

A 2016/2017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA)

A 2016/2017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Oktatási Hivatal A 016/017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató 1. Egy húrtrapéz pontosan

Részletesebben

Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója?

Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Feladatok 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy négyzet

Részletesebben

V. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 11. évfolyam

V. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 11. évfolyam 01/01 1. Ha egy kétjegyű szám számjegyeit felcseréljük, akkor a kapott kétjegyű szám értéke az eredeti szám értékénél 108 %-kal nagyobb. Melyik ez a kétjegyű szám? Jelölje a kétjegyű számot xy. 08 A feltételnek

Részletesebben

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész Pataki János, november Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november I rész feladat Oldja meg az alábbi egyenleteket: a) log 7 log log log 7 ; b) ( )

Részletesebben

V. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 12. évfolyam

V. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 12. évfolyam 01/01 1. évfolyam 1. Egy röplabda bajnokságban minden csapat pontosan egyszer játszik a többi csapat mindegyikével. A bajnokságból még két forduló van hátra és eddig 104 mérkőzést játszottak le. Hány csapat

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VIII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VIII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VIII. 1. Melyik az a szám, amelynek a felét és az ötödét összeszorozva, a szám hétszeresét kapjuk? Legyen a keresett szám:. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet:

Részletesebben

Megoldás A számtani sorozat első három eleme kifejezhető a második elemmel és a differenciával. Összegük így a 2. d =33, azaz 3a 2. a 2.

Megoldás A számtani sorozat első három eleme kifejezhető a második elemmel és a differenciával. Összegük így a 2. d =33, azaz 3a 2. a 2. 1. Egy 33-as létszámú zenetagozatos osztályban hegedülni és zongorázni tanulnak a diákok. Minden diák játszik legalább egy hangszeren. Azok száma, akik mindkét hangszeren játszanak, akik csak hegedülnek,

Részletesebben

Szélsőérték feladatok megoldása

Szélsőérték feladatok megoldása Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =

Részletesebben

Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek

Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek 2013. 11.19. Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek csoportosítása szögeik szerint (hegyes-,

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.

Részletesebben

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek?

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek? Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6 Elsőfokú 2005. május 28. 1. Mely x valós számokra igaz, hogy x 7? 13. a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x 1 2x 4 2 5 2005.

Részletesebben

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-3.1.4-08/-009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár, 010.

Részletesebben

Magasabbfokú egyenletek

Magasabbfokú egyenletek 86 Magasabbfokú egyenletek Magasabbfokú egyenletek 5 90 a) =! ; b) =! ; c) = 5, 9 a) Legyen = y Új egyenletünk: y - 5y+ = 0 Ennek gyökei: y=, y= Tehát egyenletünk gyökei:, =!,, =! b) Új egyenletünk: y

Részletesebben

Pitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2

Pitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Pitagorasz-tétel A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy

Részletesebben

Bolyai János Matematikai Társulat. 1. Az a és b valós számra a 2 + b 2 = 1 teljesül, ahol ab 0. Határozzuk meg az. szorzat minimumát. Megoldás.

Bolyai János Matematikai Társulat. 1. Az a és b valós számra a 2 + b 2 = 1 teljesül, ahol ab 0. Határozzuk meg az. szorzat minimumát. Megoldás. Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási Minisztérium Alapkezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 005/00-os tanév első iskolai) forduló haladók II. kategória nem speciális

Részletesebben

Gyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van!

Gyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van! 1. Melyik a nagyobb? a) 6 5 vagy 5 7 b) vagy 11 10 vagy Gyökvonás 5 11 vagy 6 8 55 e) 7 vagy 60 16 1. Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket! a) 7 18 b) 1 5 75 8 160 810 650 8a 5 a 7a e) 15a

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

4. A kézfogások száma pont Összesen: 2 pont

4. A kézfogások száma pont Összesen: 2 pont I. 1. A páros számokat tartalmazó részhalmazok: 6 ; 8 ; 6 ; 8. { } { } { }. 5 ( a ) 17 Összesen: t = = a a Összesen: ot kaphat a vizsgázó, ha csak két helyes részhalmazt ír fel. Szintén jár, ha a helyes

Részletesebben

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész Kisérettségi feladatsorok matematikából I. rész. Egy deltoid két szomszédos szöge 7 és 0. Mekkora lehet a hiányzó két szög? pont. Hozza egyszerűbb alakra a kifejezést, majd számolja ki az értékét, ha a=

Részletesebben

Sorozatok begyakorló feladatok

Sorozatok begyakorló feladatok Sorozatok begyakorló feladatok I. Sorozatok elemeinek meghatározása 1. Írjuk fel a következő sorozatok első öt elemét és ábrázoljuk az elemeket n függvényében! a n = 4n 5 b n = 5 n 2 c n = 0,5 n 2 d n

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer! MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok

Részletesebben

Számtani- és mértani sorozatos feladatok (középszint)

Számtani- és mértani sorozatos feladatok (középszint) Számtani- és mértani sorozatos feladatok (középszint) (KSZÉV Minta (2) 2004.05/II/16) a) Egy számtani sorozat első tagja 9, különbsége pedig 4. Adja meg e számtani sorozat első 5 tagjának az összegét!

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÁSA: MATEMATIKA, KÖZÉP SZINT. 3, ahonnan 2 x = 3, tehát. x =. 2

PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÁSA: MATEMATIKA, KÖZÉP SZINT. 3, ahonnan 2 x = 3, tehát. x =. 2 FELADATSOR MEGOLDÁSA I. rész 1.1.) a) igaz b) hamis. 1..) A helyes megoldás: b) R = r 1..) x = 7 = ahonnan x = tehát x =. 1.4.) Az oszlopdiagramból kiolvasható hogy a két üzem termelése között a legnagyobb

Részletesebben

Pénzügyi számítások 1. ÁFA. 2015. december 2.

Pénzügyi számítások 1. ÁFA. 2015. december 2. Pénzügyi számítások 2015. december 2. 1. ÁFA Nettó ár= Tiszta ár, adót nem tartalmaz, Bruttó ár=fogyasztói ár=adóval terhelt érték= Nettó ár+ ÁFA A jelenlegi ÁFA a nettó ár 27%-a. Összefüggések: bruttó

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

1. Feladatsor. I. rész

1. Feladatsor. I. rész . feladatsor. Feladatsor I. rész. Mely x valós számokra lesz ebben a sorrendben a cos x, a sinx és a tg x egy mértani sorozat három egymást követő tagja?... (). Egy rombusz egyik átlója 0 cm, beírható

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II.

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II. Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára II. 1. Alakítsuk át a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetek jelenjenek meg: a) x 2 2x + b) x 2 6x + 10 c) x 2 + x + 1 d) x 2 12x + 11 e) 2x 2

Részletesebben

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatásért Közalapítvány támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Határozzuk

Részletesebben

KOMPETENCIA ALAPÚ LEVELEZŐ MATEMATIKA VERSENY

KOMPETENCIA ALAPÚ LEVELEZŐ MATEMATIKA VERSENY Név:.Iskola: KOMPETENCIA ALAPÚ LEVELEZŐ MATEMATIKA VERSENY 2012. november 12. 12. évfolyam I. forduló Pótlapok száma db Matematika 12. évfolyam 1. forduló 1. Az alábbiakban számtani sorozatokat adtunk

Részletesebben

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny 9. osztály 1. feladat: Oldjuk meg a természetes számok halmazán az 1 1 1 egyenletet? x y 009 Kántor Sándor (Debrecen). feladat: B Az ABCD deltoidban az A és C csúcsnál derékszög van, és a BD átló 1 cm.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1. Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)

Részletesebben

SOROZATOK. A sorozat tagjai: az első tag a 1, a második tag a 2, a harmadik tag a 3,...

SOROZATOK. A sorozat tagjai: az első tag a 1, a második tag a 2, a harmadik tag a 3,... SOROZATOK Definíció: A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete számhalmaz. Jelölése: (a n ) A sorozat tagjai: az első tag a 1, a második

Részletesebben

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok

Részletesebben

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek 9 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek /I a) Az egyenlet bal oldala a nemnegatív számok halmazán, a jobb oldal minden valós szám esetén

Részletesebben

PÉNZÜGYI SZÁMÍTÁSOK. I. Kamatos kamat számítása

PÉNZÜGYI SZÁMÍTÁSOK. I. Kamatos kamat számítása PÉNZÜGYI SZÁMÍTÁSOK I. Kamatos kamat számítása Kamat: a kölcsönök után az adós által időarányosan fizetendő pénzösszeg. Kamatláb: 100 pénzegység egy meghatározott időre, a kamatidőre vonatkozó kamata.

Részletesebben

Hatvány, gyök, normálalak

Hatvány, gyök, normálalak Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő

Részletesebben

1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT:

1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT: 1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT: a) ( 7) + ( 12) = 19 b) ( 24) + (+15) = 9 c) ( 5) + ( 27) = 32 d) (+19) + (+11) = +30 e) ( 7) ( 25) = +175 f) ( 5) (+14) = 70 g) ( 36) (+6)

Részletesebben

( ) ( ) Bontsuk fel a zárójeleket: *1 pont Mindkét oldalon vonjunk össze, majd rendezzük az egyenletet: 34 = 2 x,

( ) ( ) Bontsuk fel a zárójeleket: *1 pont Mindkét oldalon vonjunk össze, majd rendezzük az egyenletet: 34 = 2 x, 1. Egy 31 fős osztály játékos rókavadászaton vett részt. Az erdőben elrejtett papír rókafejeket kellett összegyűjteniük. Minden lány 4 rókafejet talált, a fiúk mindegyike pedig 5 darabot. Ha minden lány

Részletesebben

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van

Részletesebben

XXIV. NEMZETKÖZI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY Szabadka, április 8-12.

XXIV. NEMZETKÖZI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY Szabadka, április 8-12. XXIV. NEMZETKÖZI MGYR MTEMTIKVERSENY Szabadka, 05. április 8-. IX. évfolyam. Egy -as négyzetháló négyzeteibe a bal felső mezőből indulva soronként sorra beirjuk az,,3,,400 pozitív egész számokat. Ezután

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a Például: 1 ; 8 8 M 1 ; 10 5 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. május 06. KÖZÉPSZINT I. nyílt intervallum két különböző elemét! ( pont) ( pont) ) Egy 7-tagú társaságban mindenki mindenkivel egyszer

Részletesebben

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5 Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!

Részletesebben

= 0. 1 pont. Összesen: 12 pont

= 0. 1 pont. Összesen: 12 pont 1. Egy számtani sorozat páros sorszámú, illetve páratlan sorszámú tagjai is számtani sorozatot alkotnak. Páratlan sorszámú tag összesen 11 darab van, páros sorszámú pedig 10. A feladat feltétele szerint:

Részletesebben

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek V.

Egyenletek, egyenlőtlenségek V. Egyenletek, egyenlőtlenségek V. DEFINÍCIÓ: (Másodfokú egyenlet) Az ax + bx + c = 0 alakban felírható egyenletet (a, b, c R; a 0), ahol x a változó, másodfokú egyenletnek nevezzük. TÉTEL: Az ax + bx + c

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

Minden feladat teljes megoldása 7 pont

Minden feladat teljes megoldása 7 pont Telefon: 7-8900 Fax: 7-8901 4. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ 1. nap HETEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Minden feladat teljes megoldása 7 pont 1. 9 kg mogyorót vásároltunk,

Részletesebben

11. osztály. 1. Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! (10 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: 2 ( + yz + zx) = 22.

11. osztály. 1. Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! (10 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: 2 ( + yz + zx) = 22. osztály Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! y + yz = 8 yz + z = 9 z + y = 5 (0 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: ( + yz + z) = Ebből kivonva az egyenleteket: y =, yz = 6, z

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a és b befogójú derékszögű háromszögnek

Részletesebben

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból

Részletesebben

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív

Részletesebben

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 01/01-ös tanév első iskolai) forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Adott az alábbi két egyenletrendszer:

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. május 7. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. május 7. EMELT SZINT 1) Jelölje A az pedig az x 4 0 x 3 x 3 4 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 013. május 7. EMELT SZINT Elemei felsorolásával adja meg az A B I. egyenlőtlenség egész megoldásainak a halmazát, B egyenlőtlenség egész megoldásainak

Részletesebben

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Dobos Sándor; dátum: november. I. rész

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Dobos Sándor; dátum: november. I. rész Dobos Sándor, 005 november melt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Dobos Sándor; dátum: 005 november I rész 1 feladat Adott a síkon két kör, meghúztuk a közös külső és belső érintőiket

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. május 3. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. május 3. KÖZÉPSZINT MATMATIKA ÉRTTSÉGI 011. május 3. KÖZÉPSZINT 1) gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6 b b 36 6 I. Az egyszerűsítés utáni alak: b 6 Összesen: pont ) A, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával

Részletesebben

Másodfokú egyenletek. 2. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő,a valós számok halmazán értelmezett függvényeket!

Másodfokú egyenletek. 2. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő,a valós számok halmazán értelmezett függvényeket! Másodfokú egyenletek 1. Alakítsuk teljes négyzetté a következő kifejezéseket! a.) - 4 + 4 b.) - 6 + 8 c.) + 8 - d.) - 4 + 9 e.) - + 8 - f.) - - 4 + 3 g.) + 8-5 h.) - 4 + 3 i.) -3 + 6 + 1. Ábrázoljuk és

Részletesebben

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög, 52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes

Részletesebben

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2 10. Tétel Háromszög Tulajdonságok: - Háromszögnek nevezzük a sokszöget, ha 3 oldala, 3 csúcsa és 3 szöge van - A háromszög belső szögeinek összege 180 o - A háromszög külső szögeinek összege 360 o - A

Részletesebben

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY Koszinusztétel Tétel: Bármely háromszögben az egyik oldal négyzetét megkapjuk, ha a másik két oldal négyzetének összegéből kivonjuk e két oldal és az általuk közbezárt szög koszinuszának kétszeres szorzatát.

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két

Részletesebben

A III. forduló megoldásai

A III. forduló megoldásai A III. forduló megoldásai 1. Egy dobozban pénzérmék és golyók vannak, amelyek vagy ezüstből, vagy aranyból készültek. A dobozban lévő tárgyak 20%-a golyó, a pénzérmék 40%-a ezüst. A dobozban levő tárgyak

Részletesebben

P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ. 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP

P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ. 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP J UHÁSZ I STVÁN P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ T é m a k ö r ö k é s p r ó b a f e l a d a t s o r 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP 1. oldal 9. OSZTÁLYOS PÓTVIZSGA TÉMAKÖRÖK: I.

Részletesebben

Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú )

Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú ) Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú ) 1. A négyzetgyök fogalma, a négyzetgyökvonás művelete 2. A négyzetgyökvonás azonosságai 3. Műveletek négyzetgyökökkel 4. A nevező gyöktelenítése

Részletesebben

XI.5. LÉGY TE A TANÁR! A feladatsor jellemzői

XI.5. LÉGY TE A TANÁR! A feladatsor jellemzői XI.5. LÉGY TE A TANÁR! Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Algebrai, geometriai, kombinatorikai és valószínűségszámítási tipikus gondolkodási hibák, buktatók. Előzmények Mérlegelv, másodfokú egyenletek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 10. KÖZÉP SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 10. KÖZÉP SZINT I. 1) Adott két pont: A ; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 005. május 10. KÖZÉP SZINT I. és B 1; Írja fel az AB szakasz 1 1 F ; F ;1 ) Az ábrán egy ; intervallumon

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Tartalom. Speciális pénzáramlások. Feladatmegoldás, jelenértékszámítások 2010.10.19. 8. hét. Speciális pénzáramlások. Örökjáradék:

Tartalom. Speciális pénzáramlások. Feladatmegoldás, jelenértékszámítások 2010.10.19. 8. hét. Speciális pénzáramlások. Örökjáradék: Feladatmegoldás, jelenértékszámítások 8. hét 2010.10.26. 1 Tartalom Speciális pénzáramlások Örökjáradék: Olyan végtelen számú tagból álló pénzáramlás, amelynek minden eleme megegyezik. Növekvő örökjáradék:

Részletesebben