MATEMATIKA ÉRETTSÉGI október 21. EMELT SZINT

Átírás

1 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. október. EMELT SZINT ) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket: a) b) lg I. (5 pont) (5 pont) a) A logaritmus értelmezése alapján: 80 ( vagy ) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0. azaz ha lg 8 0. eset:. eset: 0 0 vagy lg 8 0 lg 8 lg Az 8 9 vagy nem eleme az értelmezési tartománynak. Az értelmezési tartomány és voltak. ; - elemei a megoldások, mert az átalakítások ekvivalensek M b) Ha akkor a megoldandó egyenlet:.eset: (, Csak az 0, akkor az egyenlet 0-ra redukált alakja.eset: ( Csak az ). Az egyenlet gyökei: megoldása az egyenletnek az ; 60 ; ha 0, 0 feltétel miatt 6 0, 0 ). Az egyenlet gyökei: ; megoldása az egyenletnek az 0 feltétel miatt Összesen: 0 pont ) A mosogatógépünkön háromféle program van. Egy mosogatáshoz az A program 0%-kal több elektromos energiát, viszont 0%-kal kevesebb vizet használ, mint a B program. A B program 0%-kal kevesebb elektromos energiát és 5%-kal több vizet használ mosogatáshoz, mint a C program. Mindhárom program futtatásakor 40 Ft-ba kerül az alkalmazott mosogatószer. Egy mosogatás az A programmal 5 Ft-ba, B programmal 40 Ft-ba kerül. Mennyibe kerül a C programmal a mosogatás? (4 pont) A B program Ft értékű elektromos energiát és y Ft értékű vizet használ egy mosogatás alkalmával Ekkor y Az A program, Ft értékű elektromos energiát, és 0,9y Ft értékű vizet használ egy mosogatáskor

2 A költségekre vonatkozó egyenlet:, 0, A következő egyenletrendszert kapjuk re és y-ra: () () Az egyenletrendszert megoldva: ( pont) A feltételek alapján a C program futtatása során az elektromos energia ára: 00 0,7 ( pont) y a víz ára: 4 Ft,5 ( pont) A mosogatószer árát is figyelembe véve, a C programmal egy mosogatás 64 Ft-ba kerül. Összesen: 4 pont y 00, 0,9y ) Jelölje H a 0; y 70, y 0 intervallumot. Legyen A a H azon elemeinek halmaza, amelyekre teljesül, hogy egyenlőtlenség, és B a H azon részhalmaza, amelynek elemeire teljesül a egyenlőtlenség. Adja meg az A halmazt, B halmazt és az A\B halmazt! ( pont) sin cos Az egyenlőtlenségeket írjuk, illetve alakba A -es alapú eponenciális függvény szigorú monoton nő ezért pontosan akkor teljesül, ha sin 0 ezért pontosan akkor teljesül, ha cos 0 Az alaphalmazon a sin 0 egyenlőtlenség megoldása 0 azaz sin cos A 0; sin 0 cos 0 Az alaphalmazon a cos 0 egyenlőtlenség megoldása azaz B ; Mindezek alapján A\ B 0; ( pont) ( pont) ( pont) ( pont) Összesen: pont

3 4) Az ABC háromszögben, megegyezik az A csúcsból induló súlyvonal hosszával. a) Mekkora a BC oldal hossza? A hossz pontos értékét adja meg! (9 pont) b) Mekkora a háromszög területe? A terület pontos értékét adja meg! (5 pont) a) AB AC, a BC oldal hossza pedig b) A feladat helyes értelmezése Az ábra jelöléseit használva az ADC háromszög AD oldalára felírva a koszinusztételt:, ahol Az ABC háromszög AB oldalára is felírjuk a koszinusztételt:. Az első egyenletet beszorozva -vel, majd kivonva belőle a második egyenletet a következőt kapjuk: ( pont) 4 cos 4 4 4cos 8 4 Az egyenlet pozitív gyöke Így a keresett oldal hossza: 0, 0 BC AC BC sin sin sin T a Így 4 cos egyenletből cos ( pont) 4 7 sin cos 8 8 Behelyettesítve: T sin 7 4 Összesen: 4 pont

4 5) Egy urnában 5 azonos méretű golyó van, piros és fehér. Egyesével, és mindegyik golyót azonos eséllyel húzzuk ki az urnából a bent lévők közül. a) Hány különböző sorrendben húzhatjuk ki az 5 golyót, ha a kihúzott golyót nem tesszük vissza, és az azonos golyókat nem különböztetjük meg egymástól? (4 pont) b) Mennyi annak a valószínűsége, hogy az utolsó (ötödik) húzás előtt az II. urnában egy darab fehér golyó van? (4 pont) Az eredeti golyókat tartalmazó urnából hatszor húzunk úgy, hogy a kihúzott golyót minden húzás után visszatesszük. c) Mennyi annak a valószínűsége, hogy a hat húzásból legfeljebb kétszer húzunk piros golyót? (A valószínűséget három tizedesjegyre kerekített értékkel adja meg!) (8 pont) a) A lehetséges húzási sorrendek száma megegyezik piros és fehér golyó különböző sorba rendezéseinek számával ( pont) A piros és fehér golyónak azaz 0 sorba rendezése van. 5 különböző b) A már kihúzott piros és fehér golyó húzása azaz 6 különböző sorrendben történhetett A lehetséges esetek száma 0, így a valószínűség 4 6 P 0,6 0 ( pont) c) A hat húzásból legfeljebb kétszer húzunk piros golyót: ha nem húzunk pirosat (A esemény), vagy pirosat húzunk (B esemény), vagy pirosat húzunk (C esemény) Mivel az A, B és C események páronként kizáró események, a keresett valószínűség P P A P B P C Piros golyó húzásának valószínűsége, fehér golyó húzásának valószínűsége 5 5 P A P B P C minden húzásnál, ezért 6 6 0, , ,0 5 5

5 A keresett valószínűség: ami közelítőleg 0, P P A P B P C Összesen: 6 pont 6) Egy középiskola. osztályának egy csoportjában minden tanuló olyan matematika dolgozatot írt, amelyben 00 pont volt az elérhető maimális pontszám. A csoport eredményéről a következőket tudjuk: 5 tanuló maimális pontszámot kapott a dolgozatára, minden tanuló elért legalább 60 pontot, és a dolgozatok pontátlaga 76 volt. Minden tanuló egész pontszámmal értékelt dolgozatot írt. a) Legalább hányan lehettek a csoportban? (5 pont) b) Legfeljebb hány diák dolgozata lehetett 60 pontos, ha a csoport létszáma 4? (4 pont) A 4 fős csoportból Annának, Balázsnak, Csabának, Dorkának és Editnek lett 00 pontos a dolgozata. Pontosan hatan írtak 60 pontos dolgozatot, és csak egy olyan tanuló volt, akinek a pontszáma megegyezett az átlagpontszámmal. c) Hányféleképpen valósulhatott ez meg? (A csoport két eredményét akkor tekintjük különbözőnek, ha a csoport legalább egy tanulójának különböző a dolgozatra kapott pontszáma a két esetben) (7 pont) a) Jelölje n a csoportba járó diákok számát. A feltételek alapján a dolgozatok összpontszáma 76n. 5 dolgozat 00 pontos (n-5) tanuló legalább 60 pontot kapott a dolgozatára, 500 n 5 60 pontot értek el ezért legalább 76n 500 n 5 60 n Ebből Tehát a csoportnak legalább tagja volt. b) A diákok által elért összpontszám Ebből a maimális pontszámot elérők 500 pontot, a maradék 9 tanuló összesen 564 pontot ért el Mivel , kilencen nem lehettek 60 pontosak Nyolc tanuló dolgozata lett 60 pontos, mert , (kilencedik tanuló pontszáma ekkor 84), ezért legfeljebb 8 tanulónak lehetett 60 pontos dolgozata. c) A 4 tanulónak összesen 064 pontja volt. Ebből ismert az tanuló pontja. A fennmaradó 8 ponton két tanuló osztozott úgy, hogy ebből a 8 pontból mindketten kaptak legalább 6 pontot. A lehetőségek: 6 67, ez lehetőség; 6 66, ez lehetőség, ez lehetőség;64 64, ez lehetőség A két tanuló dolgozatának pontszáma 7 -féleképpen alakulhatott 6 65 n,5 5 6

6 Mivel a nem maimális pontszámot elérő 9 tanulóból a 60 pontot elérő 6 tanuló kiválasztására lehetőség van és a maradék tanulóból -féleképpen választható ki a 76 pontos ezért az összes lehetőségek száma: Összesen: 6 pont 7) Adott a K t t 6t 5 polinom. Jelölje H a koordinátasík azon 0 P ; y pontjainak halmazát, amelyekre. a) A H halmaz pontjai közül véletlenszerűen kiválasztunk egyet. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott pont a K K y ponttól egységnél nem nagyobb távolságra van? Az f függvényt a következőképpen definiáljuk: f :, f 6 5 C ; (9 pont) b) Számítsa ki az f függvény grafikonja és az tengely által közbezárt síkidom területét! (7 pont) a) K K y 6 5 y 6y 5 0 A bal oldali kifejezés teljes négyzetté kiegészítéssel a következő alakra hozható: a H halmaz a 8 y 8 ; középpontú sugarú zárt körlap A kérdéses valószínűség a geometriai modell alapján a két koncentrikus körlap területének arányaként számolható ( pont) A kedvező tartomány a középpontú, egység sugarú zárt körlap, C ; ennek területe 4 A teljes tartomány a H halmaz, ennek területe 8 Így a keresett valószínűség 4 P 8 5 b) Az f függvény zérushelyei és Mivel f főegyütthatója pozitív, a másodfokú függvény a két zérushelye között negatív értékeket vesz fel kérdéses terület a függvény két zérushely közötti integráljának -szerese T 6 5d ( pont) behelyettesítés után, a keresett terület nagysága. Összesen: 6 pont

7 8) Az ABCDE szabályos négyoldalú gúla alaplapja az ABCD négyzet. A gúla alapéle 8 egység hosszú. Legyen F a CE oldalélnek, G pedig a DE oldalélnek a felezőpontja. Az ABFG négyszög területe 504 területegység. Milyen hosszú a gúla oldaléle? (6 pont) A GF középvonal a DCE háromszögben, így Az ABFG négyszög szimmetrikus trapéz, mivel AB CD FG és AG BF. GF 4 egység Legyen HF a trapéz alapokhoz tartozó magassága. A trapéz területképlete alapján 8 4 HF 504 tehát HF 4 egység A szimmetrikus trapéz tulajdonsága miatt 8 4 HB 7 BF 4 7 a HBF derékszögű háromszögben Pitagorasz-tétel alapján ahonnan Az F pontból a BC oldalra bocsátott merőleges talppontja legyen P. Ez a pont a BC oldal C-hez legközelebbi negyedelő pontja ( pont) A negyedelő pont indoklása: például legyen Q a BC él felezőpontja. Az FP szakasz az EQC háromszög középvonala BP BC 4 BF 5 és PC BC 7 4 A BPF derékszögű háromszögben Pitagorasz-tételt alkalmazva: Az FPC derékszögű háromszögben is Pitagorasz-tételt alkalmazva: FC 84 7 Így PF FC ,6 A gúla oldaléle EC FC 0,5 egység. Összesen: 6 pont

8 9) Egy bank a Gondoskodás nevű megtakarítási formáját ajánlja újszülöttek családjának. A megtakarításra vállalkozó családok a gyermek születését követő év első banki napján számlát nyithatnak forint összeggel. Minden következő év első banki napján szintén forintot kell befizetniük a számlára. Az utolsó befizetés annak az évnek az első napján történhet, amely évben a gyermekük betölti 8. életévét. A bank év végén a számlán lévő összeg után évi 8%-os kamatot ad, amit a következő év első banki napján ír jóvá. A gyermek a 8. születésnapját követő év első banki napján férhet hozzá a számlához. a) Mekkora összeg van ekkor a számlán? A válaszát egész forintra kerekítse! (8 pont) A gyermek a 8. születésnapját követő év első banki napján felveheti a számláján lévő teljes összeget. Ha nem veszi, választhatja a következő lehetőséget is: Hat éven keresztül minden év első banki napján azonos összeget vehet fel. Az első részletet a 8. születésnapját követő év első banki napján veheti fel. A hatodik pénzfelvétellel a számla kiürül. Ha ezt a lehetőséget választja, akkor a bank az első pénzfelvételtől számítva- minden év végén a számlán lévő összeg után évi 5%-os kamatot garantál, amit a következő év első banki napján jóváír. b) Ebben az esetben mekkora összeget vehet fel alkalmanként? A válaszát egész forintra kerekítse! (8 pont) a) A számlanyitás összege: számlán lévő pénz a a a,08 a A következő év első banki napján a A következő év első banki napján a számlán lévő pénz: a a a a,08,08, Összesen 8 alkalommal fizettek be a számlára, így az utolsó befizetéskor a számlán lévő összeg: ( pont) a a 7 6 8,08,08...,08 Ez az összeg még egy évig kamatozik, így a számlához való hozzáférés időpontjában a számlán lévő összeg c a 8 7,08,08...,08 A zárójelben lévő összeg egy mértani sorozat első 8 tagjának összege. A sorozat első tagja,08 és a hányadosa is,08. 8,08 c a, ,08 A számlán lévő összeg kerekítve Ft. b) Az induló tőke Jelölje y az évenként felvehető összeget. Az első kivét után a számlán lévő pénz b c y A második kivét után a számlán lévő pénz: b b,05 y c,05 y,05 c Ft

9 A harmadik kivét után a számlán lévő pénz: b b y c y 6 5,05,05,05,05 b b y c y 5 5,05,05,05...,05 Ugyanekkor a számla kiürül: A zárójelben lévő összeg egy mértani sorozat első 6 tagjának összege. A sorozat első tagja és a hányadosa,05 Így y c,05 5 6,05,05 b6 0 Az alkalmanként felvehető összeg kerekítve Ft. Összesen: 6 pont