MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 10. KÖZÉP SZINT I.

Átírás

1 1) Adott két pont: A ; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 005. május 10. KÖZÉP SZINT I. és B 1; Írja fel az AB szakasz 1 1 F ; F ;1 ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x c) x x b) Az x függvény képét eltoljuk az y tengely mentén két egységgel fölfelé, így az x x függvény képét kapjuk. ) Határozza meg a. feladatban megadott, ; értelmezett függvény értékkészletét! Az értékkészlet a felvett függvényértékek halmaza. f( x) 6 intervallumon vagy ;6 ( pont) ( pont) ) Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra esik. B: Egy négyszögnek lehet 180 -nál nagyobb belső szöge is. C: Minden trapéz paralelogramma.

2 A: hamis B: igaz C: hamis Összesen: pont 5) Egy kör sugarának hossza, középpontja a 5 ; egyenletét! B pont. írja fel a kör x y 5 16 vagy x y 6x 10y ) Egy rendezvényen 150 tombolajegyet adtak el. Ági 1-et vásárolt. Mekkora annak a valószínűsége, hogy Ági nyer, ha egy nyereményt sorsolnak ki? (A jegyek nyerési esélye egyenlő.) 1 1% 0, ) Egy derékszögű háromszög egyik befogójának hossza cm, a vele szemközti szög 18,5. Mekkora a másik befogó? Készítsen vázlatot, és válaszát számítással indokolja! ( pont) tg18,5 x A másik befogó x 8,966 9 Összesen: pont 8) Egy mértani sorozat első tagja 8, hányadosa 0,5. Számítsa ki a sorozat ötödik tagját! x 18, ,5 5 a q a 1 9) Egy gráfban csúcs van. Az egyes csúcsokból ; ; ; 1 él indul. Hány éle van a gráfnak? Egy lehetséges ábrázolás. A gráfnak éle van. (ábra nélkül is jár a pont)

3 10) Ábrázolja az f x 0, 5x függvényt a ; 10 intervallumon! 11) A szóbeli érettségi vizsgán az osztály tanulója közül az első csoportba öten kerülnek. a) Hányféleképpen lehet a tanulóból véletlenszerűen kiválasztani az első csoportba tartozókat? Először mindenki történelemből felel. b) Hányféle sorrendben felelhet történelemből az 5 kiválasztott diák? a) 6 5 b) 5! 10 Összesen: pont 1) Egy gömb alakú labda belső sugara 1 cm. Hány liter levegő van benne? Válaszát indokolja! ( pont) V V r 1 V 90,8 cm A labdában 9, liter levegő van. Összesen: pont

4 II./A 1) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! cos x cos x sin x (1 pont) sin x cos x 1 cos x cos x 1 cos x (+1 pont) cos x cos x 0 A másodfokú egyenlet megoldóképletével megoldva a fenti egyenletet, a gyökök: cos x1, 1 cos x vagy cos x (1+1 pont) x1 k 1 Ha cos x, akkor 5 x k ( pont) ahol k Ha cos x, akkor nincs megoldás, hiszen cos x 1, minden x esetén. Az egyenlet megoldása közben ekvivalens átalakításokat végeztünk, így mindkét gyöksorozat megoldása az eredeti egyenletnek. Összesen: 1 pont 1) Egy számtani sorozat második tagja 17, harmadik tagja 1. a) Mekkora az első 150 tag összege? (5 pont) Kiszámoltuk ebben a sorozatban az első 111 tag összegét: b) Igaz-e, hogy 5 86 számjegyeit tetszőleges sorrendben felírva mindig hárommal osztható számot kapunk? (Válaszát indokolja!) ( pont) c) Gábor olyan sorrendben írja fel 5 86 számjegyeit, hogy a kapott szám néggyel osztható legyen. Milyen számjegy állhat a tízes helyiértéken? (Válaszát indokolja!) ( pont) a 17 a d és a 1 a1 d d a 1 1 a150 a1 19d S S 6650 a) 1 150

5 b) Alkalmazzuk a hárommal való oszthatóság szabályát. 586 számjegyeinek összege, így osztható -mal. Tetszőleges sorrend esetén az összeg nem változik, tehát az állítás igaz. c) Alkalmazzuk a néggyel való oszthatóság szabályát. Ebben az esetben ez akkor teljesül, ha az utolsó két számjegy: 8; ; 6; 5; 56; 68. A tízes helyiértéken tehát ; ; 5; vagy 6 állhat. Összesen: 1 pont 15) Egy dolgozatnál az elérhető legmagasabb pontszám 100 volt. 15 tanuló eredményeit tartalmazza a következő táblázat: Elért pontszám A dolgozatok száma a) Határozza meg az összes dolgozat pontszámának átlagát (számtani közepét), móduszát és mediánját! (5 pont) b) A dolgozatok érdemjegyeit az alábbi táblázat alapján kell megállapítani! Pontszám Osztályzat jeles jó 0-59 közepes 0-9 elégséges 0-19 elégtelen Ennek ismeretében töltse ki a következő táblázatot! Osztályzat jeles jó közepes elégséges elégtelen A dolgozatok száma c) Készítsen kördiagramot az osztályzatok megoszlásáról! Adja meg az egyes körcikkekhez tartozó középponti szögek értékét is! (5 pont) a) Számtani átlag: b) Módusz: 100 Medián: (+1 pont) Osztályzat jeles jó közepes elégséges elégtelen A dolgozatok száma 8 1 0

6 c) jeles: 19 jó: elégséges: 8 elégtelen: 96 elégtelen elégséges jeles jó ( pont) Összesen: 1 pont

7 II./B 16) Egy forgáskúp alapkörének átmérője egyenlő a kúp alkotójával. A kúp magasságának hossza 5 cm. Készítsen vázlatot! a) Mekkora a kúp felszíne? (9 pont) b) Mekkora a kúp térfogata? c) Mekkora a kúp kiterített palástjának középponti szöge? (6 pont) a) 5 a a r r b) c) Pitagorasz-tétel alkalmazásával: 5 a r. r r 5. r 5 cm a 10 cm A r ra A 5 50 A 75 5,6 cm r m V. V 5 5. V 6,7 cm. A körcikk sugara a. Az ívhossz: a. a a 60 a. o A kérdezett középponti szög: 180 A feladat megoldható az ívhosszak arányának felírásával is. Összesen: 17 pont

8 17) Anna és Zsuzsi is szeretné megvenni az újságosnál az egyik magazint, de egyik lánynak sincs elegendő pénze. Anna pénzéből hiányzik a magazin árának 1 -a, Zsuzsi pénzéből pedig az ár egyötöde. Ezért elhatározzák, hogy közösen veszik meg a magazint. A vásárlás után összesen 71 Ftjuk maradt. a) Mennyibe került a magazin, és mennyi pénzük volt a lányoknak külön-külön a vásárlás előtt? (10 pont) b) A maradék 71 Ft-ot igazságosan akarják elosztani, azaz úgy, hogy a vásárlás előtti és utáni pénzük aránya azonos legyen. Hány forintja maradt Annának, illetve Zsuzsinak az osztozkodás után? (7 pont) a) Jelentse x a magazin árát. Annának 0,88x forintja van. Zsuzsinak x forintja van. 5 Az egyenlet: 0,88x x x 71 5 x ,88x 9 és x 80 5 A magazin 1050 Ft-ba került. Annának eredetileg 9 Ft-ja, Zsuzsinak 80 Ft-ja volt. Ellenőrzés. b) A maradékból Annának a, Zsuzsinak 71 a Ft jut. 9 a 0,88 a vagy a 0,8 71 a Ebből: a 7 71 a 0 Tehát Annának 7 Ft-ja, Zsuzsinak 0 Ft-ja marad a vásárlás után. Ellenőrzés. Összesen: 17 pont

9 18) Egy rejtvényújságban egymás mellett két, szinte azonos rajz található, amelyek között apró eltérés van. Ezek megtalálása a feladat. Először Ádám és Tamás nézték meg figyelmesen az ábrákat: Ádám 11, Tamás 15 eltérést talált, de csak 7 olyan volt, amelyet mindketten észrevettek. a) Hány olyan eltérés volt, amelyet egyikük sem vett észre? ( pont) Közben Enikő is elkezdte számolni a eltéréseket, de ő sem találta meg az összeset. Mindössze olyan volt, amelyet mind a hárman megtaláltak. Egyeztetve kiderült, hogy az Enikő által bejelöltekből hatot Ádám is, kilencet Tamás is észrevett, és örömmel látták, hogy hárman együtt az összes eltérést megtalálták. b) A feladat szövege alapján töltse ki az alábbi halmazábrát arról, hogy ki hányat talált meg! (7 pont) c) Fogalmazza meg a következő állítás tagadását! Enikő minden eltérést megtalált. d) Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy eltérést véletlenszerűen kiválasztva, azt legalább ketten megtalálták? ( pont) a) A 7 8 T b) Legalább az egyikük által észrevett eltérések száma: Egyikük sem vett észre 19 eltérést. (Halmazábra nélkül is felírható a megtalált eltérések száma.) A 5 T E (7 pont) c) Van olyan eltérés, amit Enikő nem talált meg. VAGY: Enikő nem minden eltérést talált meg. VAGY: Enikő nem találta meg az összes eltérést. d) A kedvező esetek száma: 1. Az összes esetek száma:. A keresett valószínűség: 1 vagy 61 0,61. Összesen: 17 pont