MATEMATIKA ÉRETTSÉGI október 19. KÖZÉPSZINT

Átírás

1 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 010. október 19. KÖZÉPSZINT 1) Adott az A és B halmaz: Aa; b; c; d, B a; b; d; e; f felsorolásával az A I.. Adja meg elemeik B és A B halmazokat! A B a; b; d A B a; b; c; d; e; f Összesen: pont ) Egy baráti társaság minden tagja írt egy-egy SMS üzenetet a társaság minden további tagjának. Így mindenki 11 üzenetet írt. Hány SMS-t írtak egymásnak összesen a társaság tagjai? A társaság 1 tagú. 1 SMS-t írtak összesen. Összesen: pont ) Három egyenes egyenlete a következő (a és b valós számokat jelölnek): e : y f : y a 1 g : y b 4 Milyen számot írjunk az a helyére, hogy az e és f egyenesek párhuzamosak legyenek? Melyik számot jelöli b, ha a g egyenes merőleges az e egyenesre? ( pont) a b 1 Összesen: pont 4) Mely valós számokra értelmezhető a A kifejezés 5esetén, értelmezhető. 1 7 kifejezés

2 5) Milyen valós számokat jelöl az a, ha tudjuk, hogy a valós számok halmazán értelmezett a függvény szigorúan monoton növekvő? a 1 6) Válassza ki az A halmaz elemei közül azokat a számokat, amelyek megoldásai a egyenletnek! A 1; 0; 1; ; Az egyenlet megoldásai az A halmaz elemei közül: 1 és 0. 7) Tekintsük azt a derékszögű háromszöget, amelyben az átfogó hossza 1, az hegyesszög melletti befogó hossza pedig sin. Mekkora az szög? Válaszát indokolja! ( pont) (A szögfüggvények definíciója miatt) BC sin, AC BC tehát 45 Összesen: pont 8) Döntse el, hogy az alábbi állítások közül melyik igaz és melyik hamis! I. Minden prímszám páratlan. II. Létezik páratlan prímszám. III. Minden egész szám racionális szám. IV. Van olyan irracionális szám, amelyik felírható két egész szám hányadosaként I. hamis II. igaz III. igaz IV. hamis Összesen: 4 pont A C α B

3 lg c lg d 9) A b, c és d pozitív számokat jelölnek. Tudjuk, hogy lg b. Fejezze ki az egyenlőségből b-t úgy, hogy abban c és d logaritmusa ne szerepeljen! b c, vagy b d c d 1 10) Adja meg képlettel egy olyan, a valós számok halmazán értelmezett függvény hozzárendelési utasítását, amelynek (abszolút) maimuma van! A megadott függvénynek állapítsa meg a maimumhelyét is! ( pont) Például: f : 1 Abszolút maimuma van 1 helyen. Összesen: pont 11) A diákönkormányzat újonnan választott négytagú vezetősége: Kata, Mari, Réka és Bence. Közülük Kata három, Réka és Bence pedig két-két vezetőségi tagot ismert korábbról. Mari a négyes csoportnak csak egy tagját ismerte. (Az ismeretségek kölcsönösek.) Rajzolja fel a négytagú vezetőség választás előtti ismeretségi gráfját! K M R B 10 ; és 70 ; pontokban metszi az tengelyt. Tudjuk, hogy a kör középpontja az y egyenletű egyenesre illeszkedik. Írja fel a kör középpontjának koordinátáit! Válaszát indokolja! ( pont) 1) Egy kör az A középpont a húr felező merőlegesén van, így az első koordinátája 4. O 44 ;. A középpont: Összesen: pont

4 II/A. 1) Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenlőtlenségeket! a) 1 4 (5 pont) b) 1 4 (7 pont) Mindkét esetben ábrázolja a megoldáshalmazt számegyenesen! a) azaz b) 1 (Az egyenlőtlenség megoldáshalmaza azoknak az számoknak a halmaza, amelyekre teljesül) 1 vagy Összesen: 1 pont 14) Az iskolatejet gúla alakú, impregnált papírból készült dobozba csomagolják. (Lásd az alábbi ábrát, ahol CA CB CD.) D B C A A dobozba,88 dl tej fér. a) Számítsa ki a gúla éleinek hosszát! Válaszát egész cm-ben adja meg! (8 pont) b) Mekkora a papírdoboz felszíne? Válaszát cm -ben, egészre kerekítve adja meg! (4 pont)

5 a),88 dl 88 cm A tetraéder (gúla) alapterülete (ekkor a magassága ), T a a térfogata V 6 88, melyből ; 1 Az ABD háromszög mindegyik oldala egyenlő, hosszuk 16, cm A tetraéder (gúla) élei 1 cm, illetve 17 cm hosszúak. 144 T 1 7 cm A negyedik lap területe T 4 b) Az egybevágó derékszögű háromszögek területe: 14,7 cm A papírdoboz felszíne A T 1 T 40, 7 41 cm Összesen: 1 pont 15) Egy kockajátékban egy menet abból áll, hogy szabályos dobókockával kétszer dobunk egymás után. Egy dobás 1 pontot ér, ha négyest vagy ötöst dobunk, egyébként a dobásért nem jár pont. A menetet úgy pontozzák, hogy a két dobásért járó pontszámot összeadják. a) Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy menetben 1 pontot szerzünk, és azt az első dobásért kapjuk? (5 pont) b) Minek nagyobb a valószínűsége, annak, hogy egy menetben szerzünk pontot, vagy annak, hogy egy menetben nem szerzünk pontot? (7 pont) a) (A kettős dobások minden kimenetele egyenlően valószínű, tehát alkalmazható a klasszikus modell.) Összesen 6 6 féle kettős dobás történhet. Az első dobás -féle, a második 4-féle lehet, tehát 4 8 jó kettős dobás van, 8 így 0, annak a valószínűsége, hogy egy menetben 1 pontot szerzünk, és azt az első dobásért kaptuk. Mivel a két dobás független esemény, ezért a valószínűség kiszámítható az események valószínűségének szorzatával is.

6 b) Pontosan 1 pontot akkor szerezhetünk, ha az első dobás jó (pontot érő), a második nem pontot érő, vagy fordítva, ez összesen 4 16 eset. pontot szerezhetünk 4 esetben. 0 5 Így annak a valószínűsége, hogy egy menetben szerzünk pontot: Annak, hogy nem szerzünk pontot, 1 a valószínűsége, 9 9 tehát az első eseménynek nagyobb a valószínűsége. Összesen: 1 pont

7 16) II/B. a) Egy számtani sorozat első tagja 7, a nyolcadik tagja 14. Adja meg n lehetséges értékeit, ha a sorozat első n tagjának összege legfeljebb 660. (9 pont) b) Egy mértani sorozat első tagja ugyancsak 7, a negyedik tagja 189. Mekkora az n, ha az első n tag összege 68887? (8 pont) a) a8 a1 7d, ahol d a sorozat differenciája d d 660 S n a 1 n 1 d 14 n 1 Sn n n n 17n 10 0 Az egyenlőtlenség bal oldalához kapcsolható másodfokú függvénynek minimuma van ( a 0, vagy grafikonra hivatkozás stb.), 55 zérushelyei: 4 és - (ami negatív) n 4 Mivel a feladatunkban n pozitív egész, n lehetséges értékei: 1,,,, 4 b) a a q, ahol q a sorozat differenciája q q n q 1 1 S n a1 7 q 1 n n n 1968 Az eponenciális függvény kölcsönösen egyértelmű n 9 (szigorúan monoton), Összesen: 17 pont

8 17) Az ábrán egy ejtőernyős klub kitűzője látható. (Az egyik körív középpontja a szabályos háromszög A csúcsa, a másik körív középpontja az A csúccsal szemközti oldal felezőpontja.) a a a A Ezt a lapot fogják tartományonként színesre festeni. a) Számítsa ki egyenként mindhárom tartomány területét, ha a, 5 cm! Számításait legalább két tizedesjegy pontossággal végezze, és az így kapott eredményt egy tizedesjegyre kerekítve adja meg! (6 pont) b) Hányféle módon festhető színesre a kitűző, ha minden tartományt a piros, sárga, zöld és kék színek valamelyikére festenek a következő két feltétel együttes figyelembe vételével: (1) szomszédos tartományok nem lehetnek azonos színűek; () piros és sárga színű tartomány nem lehet egymás mellett.(11 pont) (Szomszédos tartományoknak van közös határvonala.) a) Az a oldalú szabályos háromszög területe: a t 1,7 cm 4 A szabályos háromszög feletti tartomány egy a sugarú kör 60º-os középponti szögéhez tartozó körszelet, amelynek területe: a a a t 0,6 cm 6 4 A legfelső holdacska területét úgy kapjuk, hogy az a sugarú félkör területéből kivonjuk a körszelet területét. 1 a a a t t 8 a 1, 9 cm. 4

9 b) Ha csak az (1) feltételt vesszük figyelembe, akkor a holdacska színe négyféle lehet, a körszelet színe (1) miatt már csak háromféle, a szabályos háromszög színe pedig szintén háromféle, hiszen csak a körszelet színével nem lehet azonos. Az (1) feltételnek megfelelő színezések száma tehát Ebből a 6 esetből kell elvennünk azokat az eseteket, amelyekre () nem teljesül. Azoknak a lehetőségeknek a száma, amikor színnel színezünk, és piros tartomány van sárga mellett 4 8 ugyanis négyféleképpen helyezkedhet el egymás mellett a piros és a sárga tartomány, és a harmadik szín mindegyik esetben kétféle lehet. Olyan kifestés, ahol csak a piros és sárga használnánk, kétféle lehet Így a mindkét feltételnek megfelelő színezések száma: Összesen: 17 pont 18) Megkérdeztek 5 családot arról, hogy hány forintot költöttek az elmúlt hónapban friss gyümölcsre. A felmérés eredményét mutatja az alábbi táblázat: (Az adatokat tekintsük pontos értékeknek!) a) Hány forintot költöttek átlagosan ezek a családok friss gyümölcs vásárlására az elmúlt hónapban? ( pont) b) Ossza 1000 Ft terjedelmű osztályokba a fenti értékeket, kezdve a Ft, Ft stb. osztályokkal, és ábrázolja ezeknek az osztályoknak a gyakoriságát oszlopdiagramon! (5 pont) c) Az 500 Ft és a 9000 Ft kiugró értékek. (6 pont) Mennyi a megmaradt adatok átlaga, ha ezeket a kiugró értékeket elhagyjuk az adatok közül? Hány százalékos változást jelent ez az eredeti átlaghoz képest, és milyen irányú ez a változás? Mennyi az így keletkezett új adatsor terjedelme? (Az átlagot forintra, a százaléklábat két tizedesjegyre kerekítve adja meg!) d) Az eredeti mintát a vizsgálatot végző cég két új család megfelelő adatával bővítette. Az egyik az eredeti átlagnál 1000 Ft-tal többet, a másik ugyanennyivel kevesebbet költött havonta friss gyümölcsre. Mutassa meg számítással, hogy így az átlag nem változott! ( pont)

10 a) A 5 elemű mintában az elemek összege Így az átlag Ft b) Az 1000 Ft-os osztályokba sorolt adatok gyakorisági táblázata: Havi költség Ft-ban Családok száma ( pont) c) A két szélső adat elhagyásával az új átlag: 996 Ft 996 Mivel 0,985, 4056 ezért az átlag 1,48% -kal csökkent. Az új adatsor legkisebb eleme 100 Ft, legnagyobb eleme 6800 Ft, így terjedelme 5600 Ft d) Az új átlag Összesen: 17 pont