Exponenciális és logaritmusos feladatok

Átírás

1 005-0XX Középszint Eponenciális és logaritmusos feladatok ) Oldja meg az alái egyenleteket! ( ) log + + =, ahol valós szám és cos = 4 5sin, ahol tetszőleges forgásszöget jelöl ( pont) ) Mekkora értéke, ha lg = lg + lg 5? ( pont) ) Oldja meg a következő egyenleteket: 9 = 0 sin = sin + 4) Adott a következő egyenletrendszer: lg y + = lg + () ( ) ( ) () y = Árázolja derékszögű koordináta-rendszeren azokat a P ( ; y ) pontokat, amelyeknek koordinátái kielégítik a () egyenletet! ( pont) Milyen, illetve y valós számokra értelmezhető mindkét egyenlet? ( pont) c) Oldja meg az egyenletrendszert a valós számpárok halmazán! ( pont) d) Jelölje meg az egyenletrendszer megoldáshalmazát az kérdéshez használt derékszögű koordináta-rendszeren! ( pont) 5) Oldja meg a pozitív valós számok halmazán a log6 = egyenletet! Jelölje a megadott számegyenesen az egyenlet megoldását! ( pont) sin7 6) Melyik a nagyo: A = vagy B = log? (Írja a megfelelő relációs jelet a 4 válaszmezőe! Válaszát indokolja!) ( pont) 7) Adja meg a 8) lg = lg egyenlet megoldáshalmazát! ( pont) Mely pozitív egész számokra igaz a következő egyenlőtlenség? 5 5 (4 pont) Oldja meg a valós számok halmazán az alái egyenletet! 9 (8 pont) 9) Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenleteket! ( ) ( ) lg + 5 lg + 5 = lg ) Határozza meg az alái egyenletek valós megoldásait! ( ) ( ) log log + 6 = 0 sin = 6 4 ) Adja meg a log 8kifejezés pontos értékét! (0 pont) ( pont) ) Mennyi az 5 kifejezés értéke, ha =? ( pont)

2 Eponenciális és logaritmusos feladatok ) Az a, és c tetszőleges pozitív valós számokat jelölnek. Tudjuk, hogy lg = lg a lg + lg c Válassza ki, hogy melyik kifejezés adja meg helyesen értékét! ( pont) a A: = + c E: = a c a c B: = a + c F: = a C: = a c G: = c a c D: = lg c lg d 4) A, c és d pozitív számokat jelölnek. Tudjuk, hogy lg =. Fejezze ki az egyenlőségől -t úgy, hogy aan c és d logaritmusa ne szerepeljen! ( pont) 5) Melyik szám nagyo? A = lg, vagy B = cos8 ( pont) 0 6) István az log ( 0) függvény grafikonját akarta felvázolni, de ez nem sikerült neki, tö hiát is elkövetett (a hiás vázlat látható a mellékelt árán). Döntse el, hogy melyik igaz az alái állítások közül! István rajzáan hia az, hogy a vázolt függvény szigorúan monoton csökkenő. István rajzáan hia az, hogy a vázolt függvény -höz -t rendel. c) István rajzáan hia az, hogy a vázolt függvény zérushelye. ( pont) 7) Adja meg azokat az valós számokat, melyekre teljesül: log = 4. Válaszát indokolja! ( pont) 8) Oldja meg az alái egyenleteket a valós számok halmazán! = 0 + 9) + Oldja meg a valós számok halmazán az 0 egyenlőtlenséget! Adja meg az négy tizedesjegyre kerekített értékét, ha 4 + = 0. (4 pont) c) Oldja meg a cos cos 0 ; alaphalmazon. + = egyenletet a 0) Melyik az az természetes szám, amelyre log 8 =? ( pont) - 7 -

3 005-0XX Középszint ) Oldja meg az alái egyenleteket a valós számok halmazán! + = 4 5 lg + lg4 = ( ) ) Az árán az : ; ; ( ) f f a = függvény grafikonja látható. Adja meg az f függvény értékkészletét! Határozza meg az a szám értékét! ) Adja meg az értékét, ha ( ) ( pont) log + = 5! ( pont) 4) Újsághír: Szeizmológusok számításai alapján a 004. decemer 6-án Szumátra szigetének közeléen kipattant földrengés a Richter-skála szerint 9,-es erősségű volt; a rengést követő cunami (szökőár) halálos áldozatainak száma megközelítette a 00 ezret. A földrengés Richter-skála szerinti erőssége és a rengés középpontjáan felszaaduló energia között fennálló összefüggés: M = 4, 4 + lg E. Een a képleten E a földrengés középpontjáan felszaaduló energia mérőszáma (joule-an mérve), M pedig a földrengés erősségét megadó nem negatív szám a Richter-skálán. A Nagasakira 945-en ledoott atomoma felroanásakor 4 felszaaduló energia,44 0 joule volt. A Richter-skála szerint mekkora erősségű az a földrengés, amelynek középpontjáan ekkora energia szaadul fel? ( pont) A 004. decemer 6-i szumátrai földrengésen mekkora volt a felszaadult energia? ( pont) c) A 007-es chilei nagy földrengés erőssége a Richter-skála szerint -vel nagyo volt, mint annak a kanadai földrengésnek az erőssége, amely ugyaneen az éven következett e. Hányszor akkora energia szaadult fel a chilei földrengésen, mint a kanadaian? d) Az óceánan fekvő egyik szigeten a földrengést követően kialakuló szökőár egy körszelet alakú részt tarolt le. A körszeletet határoló körív középpontja a rengés középpontja, sugara pedig 8 km. A rengés középpontja a sziget partjától 7 km távolságan volt (lásd a felülnézeti árán). Mekkora a szárazföldön elpusztult rész területe egész négyzetkilométerre kerekítve? 5) Mely valós számokra értelmezhető a log ( ) kifejezés? ( pont) Oldja meg a valós számok halmazán az alái egyenletet! log = 0 ( pont) ( ) - 8 -

4 Eponenciális és logaritmusos feladatok 6) Egy idén megjelent iparági előrejelzés szerint egy izonyos alkatrész iránti kereslet az elkövetkező éveken emelkedni fog, minden éven az előző évi kereslet 6%-ával. (A kereslet az adott termékől várhatóan eladható mennyiséget jelenti.) Várhatóan hány százalékkal lesz magasa a kereslet 5 év múlva, mint idén? ( pont) Az előrejelzés szerint ugyanezen alkatrész ára az elkövetkező éveken csökkenni fog, minden éven az előző évi ár 6%-ával. Várhatóan hány év múlva lesz az alkatrész ára az idei ár 65%-a? Egy cég az előrejelzésen szereplő alkatrész eladásáól szerzi meg evételeit. A cég vezetői az elkövetkező évek evételeinek tervezésénél aól indulnak ki, hogy a fentiek szerint a kereslet évente 6%-kal növekszik, az ár pedig évente 6%-kal csökken. c) Várhatóan hány százalékkal lesz alacsonya az éves evétel 8 év múlva, mint idén? A kérdéses alkatrész egy forgáskúp alakú tömör test. A test alapkörének sugara cm, alkotója 6 cm hosszú. d) Számítsa ki a test térfogatát! (4 pont) 7) Adja meg az alái állítások logikai értékét (igaz vagy hamis)! ( pont) A) ( ) = 5 5 B) Minden esetén C) 5 = =. 8) Egy 04 végén készült előrejelzés szerint az Indiáan élő tigrisek t száma az elkövetkezendő éveken (az egyes évek végén) megközelítőleg a következő összefüggés szerint alakul: t( ) = 600 0, 854, ahol a 04 óta eltelt évek számát jelöli. Számítsa ki, hogy az előrejelzés alapján 06 végére hány százalékkal csökken a tigrisek száma a 04-es év végi adathoz képest! (4 pont) Melyik éven várható, hogy a tigrisek száma 900 alá csökken? (4 pont) Egy állatkert a tigrisek fennmaradása érdekéen tenyésztő programa kezd. Beszereznek 4 hím és 5 nőstény kölyöktigrist, melyeket egy kise és egy nagyo kifutóan kívánnak elhelyezni a következő szaályok mindegyikének etartásával: I) háromnál kevese tigris egyik kifutóan sem lehet; II) a nagyo kifutóa tö tigris kerül, mint a kiseike; III) mindkét kifutóan hím és nőstény tigrist is el kell helyezni; IV) egyik kifutóan sem lehet tö hím, mint nőstény tigris. c) Hányféleképpen helyezhetik el a 9 tigrist a két kifutóan? (8 pont) (A tigriseket megkülönöztetjük egymástól, és két elhelyezést eltérőnek tekintünk, ha van olyan tigris, amelyik az egyik elhelyezésen más kifutóan van, mint a másik helyezésen.) 9) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! Válaszát három tizedesjegyre kerekítve adja meg! = 0 ( pont) - 9 -

5 005-0XX Középszint 0) A moiltelefonok 990 végén jelentek meg Magyarországon. Az előfizetések száma gyorsan nőtt: 00 végén már k. 7 millió, 008 végén pedig k. millió előfizetés volt az országan. Hány százalékkal nőtt a moiltelefon előfizetések száma 00 végétől 008 végéig? ( pont) 99 és 00 között az egyes évek végén nyilvántartott moiltelefonelőfizetések számát ezer daraan jó közelítéssel a következő függvény adja meg: f ( ) = 5,667, ahol az 99 vége óta eltelt évek számát jelöli. A függvény alapján hány moiltelefon-előfizető lehetett 000 végén? ( pont) A kezdeti időszakan a moilhálózatól indított hívások száma is gyors növekedést mutatott. 99 januárjáan Magyarországon körülelül moilhívást indítottak, majd ettől a hónaptól kezdve minden hónapan megközelítőleg 6,5%-kal nőtt a hívások száma az előző havi hívások számához viszonyítva (egészen 00-ig). c) Melyik éven volt az a hónap, amelyen az egy havi moilhívások száma először elérte a 00 milliót? A moiltelefonok elterjedése egy idő után a vezetékestelefon-előfizetések és hívások számának csökkenését eredményezte. A vezetékestelefon-hálózatól indított hívások száma Magyarországon 000-en k. 400 millió volt, majd ez a szám évről évre k 8%-kal csökkent. d) Hány hívást indítottak vezetékes hálózatól 009-en, és összesen hány vezetékes hívás volt a 000 elejétől 009 végéig terjedő tízéves időszakan? ) Adja meg azt az valós számot, amelyre log =. ( pont) 4 ) Adja meg értékét, ha ( ) 5 = ( pont) - 0 -