Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András

Átírás

1 Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon az A és a B pont, melyek távolsága 10 cm. Válasszuk ki az alábbi állítások közül az igaz állításokat! I. A síknak van olyan P pontja, amelyre PA<6 cm és PB<7 cm. II. Ha a sík valamely P pontjára PA<6 cm, akkor PB<7 cm. III. Ha a sík valamely P pontjára PA<6 cm, akkor PB<17 cm. IV. A síknak van olyan P pontja, amelyre PA<6 cm és PB<17 cm. V. A sík bármely P pontjára teljesülnek a PA<6 cm, PB<17 cm egyenlőtlenségek. VI. A sík bármely P pontjára a PA>6 cm, PB>3 cm egyenlőtlenségek közül legalább az egyik teljesül. VII. Ha a sík valamely P pontjára PA 6 cm, akkor PB 3 cm. VIII. Nincs a síkon olyan P pont, amelyre PA 6 cm és PB 4 cm. IX. Nincs a síkon olyan P pont, amelyre PA 6 cm és PB < 4 cm. HA.1.2. a) A tanár felvette az A és a B pont a táblán, felírta a távolságukat is és megkérdezte Remek Robit: - Igaz-e, hogy a tábla síkjának bármely olyan P pontjára, amelyre teljesül a PA > 1 méter egyenlőtlenség, teljesül a PB > 3 dm egyenlőtlenség is? Robi igennel felelt és a tanár megdícsérte a jó válaszért. Hunyor Hunor a besütő naptól nem látja a táblát és most hozzá fordul a tanár: - Igaz-e, hogy a tábla síkjának bármely olyan P pontjára, amelyre teljesül a PA < 4 dm egyenlőtlenség, teljesül a PB < 12 dm egyenlőtlenség is? Tud-e biztos választ adni Hunor, anélkül hogy további információt kapna a két pont elhelyezkedéséről? b) Módosítsuk a történetet úgy, hogy cseréljük ki a tanár két Igaz-e, hogy..'' kezdetű mondatát! Így tud-e Hunor biztos választ adni? HA.1.3. Egy papíron négyjegyű pozitív egész számok vannak. Igaz az alábbi állítás: azokban a papíron levő számokban, amelyekben van egyes nincs kettes. Legfeljebb hány szám lehet a papíron? 2. Számhalmazok (a valós számok halmaza és részhalmazai), oszthatósággal kapcsolatos problémák, számrendszerek. HA.2.1. a) Egy tetszőleges kétjegyű szám után írjunk egy 0-t majd újból a kétjegyű számot. Mutassuk meg, hogy az így kapott ötjegyű szám mindig osztható 11-gyel és 13-mal is! b) Ha ugyanezt az eljárást hetes számrendszerben végezzük el, akkor melyik az a legnagyobb prímszám, amellyel a kapott ötjegyű szám mindig osztható? HA.2.2. Írjuk fel tízes számrendszerben azokat a számokat, amelyek tizenegyes számrendszerben a0 b, a kilences számrendszerben pedig b0 a alakúak! 1/7

2 HA.2.3. A [2; 2010] zárt intervallumban hány olyan b egész szám van, amelyre a b alapú számrendszerbeli 222 szám osztható héttel? 3. Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben. HA.3.1. Az ABCD tetraéder ABC lapja 10 egység oldalú szabályos háromszög, míg a tetraéder D csúcsban találkozó élei 13 egység hosszúak. Határozzuk meg az alábbi mennyiségeket: a) az ABCD tetraéder körülírt gömbjének sugara; b) az ABC alapsík és az AD egyenes szöge; c) az ABD, ACD lapsíkok szöge. HA.3.2. a) Adott három pont a síkon, amelyek nem esnek egy egyenesbe. Hány olyan egyenes van a síkban, amelytől a három pont egyforma messze van? b) Adott négy pont a térben, amelyek nem esnek egy síkba. Hány olyan sík van, amelytől a négy pont egyforma messze van? HA.3.3. a) Az ABC szabályos háromszöglap pontjait három színnel színezzük. A P pontot pirosra, kékre illetve zöldre színezzük aszerint, hogy az APB tompaszög, derékszög vagy hegyesszög. Így a háromszöglap területének hány százaléka lesz piros? b) Az ABCD szabályos tetraéder felületének pontjait három színnel színezzük. A P pontot pirosra, kékre illetve zöldre színezzük aszerint, hogy az APB tompaszög, derékszög vagy hegyesszög. Így a tetraéder felszínének hány százaléka lesz piros? 12. A hasonlóság és alkalmazásai háromszögekre vonatkozó tételek bizonyításában. HA Az ABC háromszög AC oldalának felezőpontja F. A BC oldalon P és Q negyedelő pontok úgy, hogy BP=CQ=BC/4. Messe az AB oldal egyenesét a QF egyenes M-ben, az FP egyenes pedig N-ben. Mutassuk meg, hogy MA=BN! HA Egy szögtartományba úgy írtuk be a k 1, k 2, k 3 köröket, hogy azok egymás külsejében helyezkednek el, r 1, r 2, r 3 sugaraikra r 1 < r 2 <r 3 és mindhárom kör érinti a szög két szárát és k 1, és k 3 is érinti k 2 -t. Határozzuk meg az r 3 sugarat, ha r 1 =2 cm és r 2 = 3 cm! k 3 k 1 k 2 HA Az ABC háromszög AB oldalának A felőli harmadolópontja C 1, míg a BC oldal B felőli harmadolópontja A 1. Milyen arányban osztja fel az AA 1 egyenes a CC 1 szakaszt? 2/7

3 13. Derékszögű háromszögek. HA Az ABC derékszögű háromszög BC, CA befogóinak hossza rendre 5 és 12 cm. A CA befogón a C csúcstól milyen messze vegyük fel a D pontot, hogy a CD átmérőjű kör érintse az AB átfogót? HA Egy derékszögű háromszögbe négyzetet írunk úgy, hogy egyik oldala az átfogón fekszik, az azzal szemközti oldalának csúcsai pedig illeszkednek egy-egy befogóra. A háromszög átfogóját így három részre osztjuk. Mutassuk meg, hogy e három rész közül a négyzetoldal a másik két rész mértani közepe! HA Milyen messze vannak egymástól az r sugarú k körhöz k középpontjától d távolságra levő P pontból k-hoz húzott érintők érintési pontjai? a) Számoljuk ki ezt a távolságot az r=5, d=13 esetben és b) fejezzük ki általánosan is! 14. Háromszögek nevezetes vonalai, pontjai és körei. HA Adott egy háromszög magasságpontja, súlypontja és egyik csúcsa. Szerkesszük meg a háromszöget! HA Adott a síkon az ABC háromszög A és B csúcsa valamint körülírt körének O középpontja. Hol lehet a háromszög a) súlypontja? b) magasságpontja? HA Az A, T, H, B pontok ebben a sorrendben, egy egyenesen helyezkednek el, úgy, hogy AT = 14 cm, TH = 1 cm, HB = 20 cm. Határozzuk meg az ABC háromszög oldalainak hosszát, ha tudjuk, hogy T a háromszög beírt körének érintési pontja, míg H a C-nél levő belső szög szögfelezőjének pontja! 15. Összefüggés az általános háromszög oldalai között, szögei között, oldalai és szögei között. HA a) Egy háromszög szögeinek aránya 1:2:3. Határozzuk meg oldalainak hosszát, ha körülírt körének sugara 10 cm! b) Egy háromszög oldalainak aránya 1:2:3. Határozzuk meg a szögeit! HA Az ABC háromszögben AB = 12 cm, az A csúcsnál levő szög 74. A háromszög C csúcsából kiinduló súlyvonala: CD = 7 cm. Mekkorák a háromszög oldalai? HA Az ABC háromszög két oldala AB = 8 cm, AC = 12 cm, az A csúcsnál levő szög felezője AD = 9 cm. Mekkorák a háromszög szögei? 3/7

4 16. Húrnégyszög, érintőnégyszög, szimmetrikus négyszögek. HA Mutassuk meg, hogy a szimmetrikus érintőtrapéz területe az alapok számtani és mértani közepének szorzata. HA Egy konvex deltoidnak, amely húrnégyszög is, oldalai 5 cm és 12 cm hosszúak. Határozzuk meg a deltoid beírt körének sugarát! HA Az ABCD húrnégyszög oldalai cm-ben: AB = 10, BC = 2 5, AB = 8 2, AB = a) Határozzuk meg a CD átló hosszát! b) Érintőnégyszög-e az ABCD négyszög? 17. Egybevágósági transzformációk. Szimmetrikus sokszögek. HA Az egységoldalú ABCD négyzet CD oldalára kifelé emeltük a CED szabályos háromszöget. Számítsuk ki az ABE háromszög körülírt körének sugarát! HA a) Van-e olyan sokszög, amely több tengelyre is tükrös, de forgási szimmetriája nincs? b) Van-e olyan sokszög, amely forgásszimmetrikus, de nincs tükörtengelye? HA Az n 5,6, 7 értékek közül melyekre igaz az alábbi állítás: ha egy n szögnek van két különböző szimmetriatengelye, akkor szabályos? 18. Kör és részei, kör és egyenes kölcsönös helyzete (elemi geometriai tárgyalásban), kerületi szög, középponti szög. HA Az r 1 3 3, r2 3 1, r3 3 1 sugarú körök mindegyike érinti a másik kettőt és egymáson kívül helyezkednek el. Határozzuk meg a három kör határolta véges tartomány területét! HA Adott a síkon az ABC háromszög A és B csúcsa valamint k körülírt köre a) Hol lehet a háromszög beírt körének középpontja? b) Mérjük fel az AC oldal C-n túli meghosszabbítására a CD=CB szakaszt. Határozzuk meg D mértani helyét, ha C befutja k-t! HA Az O 1 illetve O 2 középpontú k 1, k 2 körök az A, B pontokban metszik egymást. Az O 1 B egyenes k 2 -t még B 2 -ben, az O 2 B egyenes pedig k 1 -et még B 1 -ben metszi. Mutassuk meg, hogy a) az O 1, O 2, A pontokon át fektetett k körre illeszkedik B 1 és B 2 is! b) az AB egyenest és a k kör A-tól különböző C metszéspontjára CB=CB 1 =CB 2! 19. Vektorok. Vektorok alkalmazása a koordinátageometriában. HA Adottak ABC szabályos háromszög két csúcsa a Descartes koordináta-rendszerben: A(7, 12), B(2, -1). Adjuk meg a C csúcs koordinátáit! HA Az ABC háromszög csúcsai: A(0;0), B(12;-5), C(3;4). Határozzuk meg a C-nél levő szög szögfelezőjének egyenletét! 4/7

5 HA Az ABC háromszög súlypontja S, az A B C háromszögé S. Az AA, BB, CC szakasz felezőpontját jelölje rendre F A, F B és F C. Meghatározható-e S és S ismeretében az F A F B F C háromszög F S súlypontja? 20. Egyenesek a koordinátasíkon. A lineáris függvények grafikonja és az egyenes. Elsőfokú egyenlőtlenségek. HA Egy derékszögű háromszög egyik befogójának végpontjai A(2;6), B(5, -9). A CB 7 átfogó egyenesének meredeksége. 4 a) Számítsa ki a C csúcs koordinátáit! b) A D(2;-4) pont a háromszög belsejében, határvonalán vagy külsejében van? HA a) Mutassuk meg, hogy van egy olyan P pont a koordinátasíkon, amely az m paraméter bármely értéke esetén illeszkedik az y = m x + 3 egyenletű egyenesre! b) Az m valós paraméter mely értékeire igaz az, hogy ha y = m x + 3 és 3 y + x = 1, akkor y < 0? c) Az m valós paraméter mely értékeire igaz az, hogy ha y = m x + 3 és 3 y + x = 1, 1 x 2 akkor y 2? HA Oldja meg az egész számok halmazán a következő egyenlőtlenség-rendszert! x + 3y < 15, 3x + 2y > 14, 2x - y < A kör és a parabola a koordinátasíkon. Másodfokú egyenlőtlenségek. HA Határozza meg az x 2 + y 2 + 2x 4y 11 = 0 egyenletű kör azon húrjának egyenletét, amelyet a P(1; 3) pont felez! Milyen hosszúságú ez a húr? HA Határozza meg p értékét úgy, hogy az y x egyenletű parabolát érintse az x 2 + y 2 = 25, 2 p (x-14) 2 + (y+2) 2 = 125 egyenletű körök metszéspontjain átmenő egyenes! HA x 4 2 Húzzon érintőket az y egyenletű parabolához az ordinátatengely és a vezéregyenes metszéspontjából! Mekkora szöget zárnak be ezek egymással? 22. Szögfüggvények értelmezése a valós számhalmazon, ezek tulajdonságai, kapcsolatok ugyanazon szög szögfüggvényei között. Trigonometrikus függvények transzformáltjai. HA a) Mely valós számokra igaz az, hogy sin x + cos x = 1? b) Határozzuk meg a valós számokon értelmezett f(x) = sin x + cos x függvény értékkészletét! 5/7

6 HA a) Oldjuk meg a 4sinx cos 2x = 4 egyenletet a valós számok halmazán! b) Határozzuk meg a valós számokon értelmezett f(x) = 4sinx cos 2x függvény értékkészletét! HA Hány megoldása van a sin 2x = sin 3x egyenletnek a [0; 2 ] intervallumban? 6/7

7 Eredmények HA HA b+b 2, ez pontosan akkor teljesül, ha b 2 vagy 4 mod = 7. Mivel 2010= , így =574-1=573 ilyen alap van (a b=2 nem jó): 4, 9, 11, 16, 18, 2004, HA A kör sugara 1. HA a) nincs; b) van. HA n=5-re és n=7-re igaz az állítás, n=6-ra nem igaz. 7/7