A kör. A kör egyenlete

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A kör. A kör egyenlete"

Átírás

1 A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - y + b) x + y - 6x - 6y + c) x + y + x - 6y - d) x + y - x - 8, e) x + y + 6y - f) x + y + x + 6y + 8 a) x + y - 8x - 6y b) x + y + 6y - 8y c) x + y - ax - by d) x + y - x + y + e) x + y + x-6y- - (A kör középpontjának koordinátái C(- )) 86 A kör egyenlete: (x - ) + (y - ) egyen x - y 7, y - Az ordináták rendre: + és és és - 8 és és és - Az abszcisszák rendre: y esetén + és - y esetén x 6, x - y - esetén nincs megoldás 87 a) x - 6x + y + b) x + y - 6x - y + c) x + y + x - 6y - 7 d) x + y + 8x - 7y x + y Belsô pont az A, mert + < A többi pont a körön kívül van, mert például a B pontra + > 89 (x + ) + (y - ) Az A pontra (- + ) + (- ) 8<, tehát A a körön belül van C, E, F a körön van, B és D a körön kívül van 8 A kör egyenlete: (x - ) + (y - ) x- y! Ha y x+, akkor a y - x + egyenletben az y helyére x + -et helyettesítve: x + x + adódik Innen x Ekkor y A O külsô pont, mert ( - ) + - > O Ha y x-, akkor ( x ) + 9 $ x - 6 Innen x, y A Q O pont a kör belsô pontja, mert ( - ) + - < O 9 8 A kör egyenlete: x- + y O A x- y+ O egyenletbôl x- y+! Ha y x +, akkor az egyenletrendszer gyöke ( ), amely a körön kívül van Ha y x -, akkor a megoldás ( ) 8 (x + ) + y 9 8 x + (y - )

2 A kör 8 8 Az egybevágósági transzformációknál a sugár hossza nem változik a) r 6, (6 ) b) r 6, (- 6 -) c) r 6, (-6 ) d) egyen az origó az O pont, a kör középpontja a pont Ekkor az O vektor koordinátái (6 -) Az eltolt kör középpontjának koordinátáit az O +v vektor koordinátái adják: (8 -) e) r 6, ( -) f) O( 6 - ), 9 -kal elforgatva O ( 6 ), r 6 g) (- -6) r 6 h) { + qfu 6, tg`{ + tg{ + tg f f j - tg{ $ tg f tg{ + - egyenletbôl tg{ - tg{ (8 ábra) O O Oldjuk v - meg az u + v és a egyenletrendszert: u + u, v - A kör egyenlete: bx-- l + by- + l 6 i) r, ( -8) j) r, ( -) 8 a) (x - ) + y b) (x + ) + y c) x + (y - ) d) x + (y + ) 86 a) ( ), ( -), r ét megoldás van: (x - ) + (y - ) (x - ) + (y + ) b) (x! ) + (y + 6) c) égy megoldás van: (x! ) + (y - ) vagy (x! ) + (y + ) 87 A középpont koordinátái: (!r r) vagy (!r -r), a sugár r égy megoldás van: x + y! rx - ry + r és x + y! rx + ry + r 88 a) A középpont koordinátái (aa) a sugár qau A kör egyenlete (x - a) + (x - a) a b) (a a), r qau, x + y - ax - ay + a c) A kör sugara: r a + a a, itagorasz tétele szerint Egyenlete: x + y - ax - ay 89 a) ( 9) Mivel a kör mindkét tengelyt érinti, a középpontjának koordinátái: (r r) és sugara r A kör egyenlete: (x - r) + (y - r) r Ekkor ( - r) + (9 - r) r Innen r, r 7 ét megoldás van: (x - ) + (y - ) és (x - 7) + (y - 7) 89 b) (x - ) + (y - ) 9 és (x - ) + (y - ) c) (x - ) + (y - ) és (x - ) + (y - ) d) bx+ 8+ l + by+ 8+ l b8+ l és bx + 8- l + by + 8- l b8- l 8 a) (6 7), r 6 $ -7 $ - + 6,(x-6) + (y - 7) 6 b) ( x- ) + ( y- ) 7 8 a) (9 9), r, (u ), (x - u) + (y - v) r Mivel rajta van a körön, azért (9 - u) + (9 - ) Innen u, u 6 ét megoldás van: (x - ) + (y - ) és (x - 6) + (y - ) b) (x - ) + (y - ) és (x - ) + (y - 6)

3 A kör egyenlete 8 a) Az AB szakasz felezômerôlegesének egyenlete: x - y Ha y, x O r A 7 Akör egyenlete: x- + y 9 O b) x + y+ 9 O a) x- + y O b) x + (y + 8) 9 8 a) (x - ) + (y - ) b) (x + 6) + (y + ) 6 c) (x + ) + (y - ) d) x- + y- O O 7 8 a) ( -), (- -), a kör (u, v) középpontja illeszkedik a szakasz felezômerôlegesére, a 7x + y egyenletû egyenesre r qvu Felírhatjuk a következô egyenletrendszert: ( u ) 7u+ v ( v ) v ét megoldás van: u, v -, u, v - A körök egyenletei: (x - ) + (y + ) és (x - ) + (y + ) b) x- b+ le + + y - b+ le b+ l és x-b- le + y-b- le b- l c) (x - ) + y 69 és (x - ) + (y - 8) 86 a) Az érintési pont koordinátái: E( ) E-ben az y x - egyenletû egyenesre emelt merôleges egyenlete: y -x + A kör középpontja az y -x + egyenletû egyenes és a ( ), E( ) szakaszt felezô merôleges egyenes közös pontja A felezômerôleges egyenlete x- y, r O A kör egyenlete: x- + y- 98 O O 98 b) (x -,) + (y +,), 87 a) Az érintési pont koordinátái: E( ), r (87 ábra) Az x + y egyenletû egyenes normálvektora: n( ) Az egységvektor: n O Akör sugara: r O E Mivel E n O, ezért E vektor koordinátái: ( ) A középpontra O OE + E, ezért a pont koordinátái ( + + ), O ( ) A -nak E-re vonatkozó tükörképe is megoldás: ( ) 87 A körök egyenletei: (x - ) + (y - ) és x + (y - ) b) x + (y + ) és (x + ) + y 88 a) ( - ), ( ), r A kör (u v) középpontja rajta van a szakasz felezômerôlegesén, amelynek egyenlete: y x Másrészt, azaz (u + ) + (v - ) és v u Ebbôl az egyenletrendszerbôl u, v, u, v 6 adódik ét megoldás van: x + y és (x - ) + (y - 6)

4 6 A kör 8 b) (x - 8) + (y - ) és (x - ) + (y + 6) c) (x - ) + (y - ) és (x + ) + (y - 6) 89 egyen e : y x + és e : y x - 6 e e a középpárhuzamos egyenlete: e: y x + Az e egyik pontja Q( ) Q pontnak az e egyenestôl mért távolsága a keresett kör sugara: r A kör középpontjának (u v) koordinátáira a következô egyenletrendszert írhatjuk fel, felhasználva az adott ( ) pont koordinátáit: rajta van a körön, ezért ( - u) + ( - v), másrészt a kör középpontja illeszkedik az e középvonalra, ezért v u + Az egyenletrendszerbôl két megoldást kapunk: (x + ) + (y - ) és (x -,) + (y - 8,) 8 együk észre, hogy az adott egyenesek párhuzamosak ét megoldás van: x + y - x - y + és x + y + x - 8 r Megoldások: (x - ) + (y - 8) 8 és (x + ) + (y + 8) 8 8 ( ), r (x - ) + (y - ) 8 A háromszög köré írható kör sugara r 8 A( ) pont a háromszög súlypontja is A BC oldal A felezôpontja az A és a pont felhasználásával kiszámítható, mert A : A : A ( ) A BC oldal egyenlete: x + y 7, a háromszög köré írható kör egyenlete: (x - ) + (y - ) 8 A BC oldal és a kör közös pontjai adják a szabályos háromszög csúcspontjait: Bb+ - l, Cb- + l 8 egyen u >, u >, u >, u > Ekkor r u, r u, r u és r u Az egyenes normálegyenlete:, ahol az egységvektor n O x+ y- Alkalmazva a távolságképletet, és figyelembe véve, hogy az egységvektor a,,, pontokat tartalmazó félsíkba mutat-e, vagy sem, a 8 ábra alapján felírhatjuk a következô egyenleteket: u+ u- u+ u- u+ u- u u u, - u, u, u Innen kapjuk a körök középpontjainak koordinátáit és a körök sugarait ( ), r, r 6 6 O 6 (, -,), r, - r O 8 ( ), r (x - ) + (y - ) 86 A Q pont koordinátái: ( y) Ekkor Q a következôképpen írható fel: 9 + (y - ) 9 Innen y, y 8 A Q ( ) és a (9 ) pontok meghatározta szakasz felezômerôlegesére, másrészt az y egyenletû egyenesre illeszkedik a keresett kör középpontja A x + y 7, y egyenletrendszerbôl ( ), r adódik Hasonlóképpen számítható ki a Q ( 8) pontban érintô kör középpontjának koordinátái és a kör sugara ( 8), r Megoldások: (x - ) + (y - ) és (x - ) + (y - 8)

5 A kör egyenlete 7 87 A kör középpontja az AB átfogó szakasz felezôpontja: O Az AC oldal egyenlete: -x + y 7 A BC befogó egyenes egyenlete: -x + y -6 A C csúcs koordinátái: C( -) A kör egyenlete: x- + ( y- ) O 88 (x - ) + (y - ) 89 Az érintô kör középpontja rajta van az y x egyenletû egyenesen: (x x) -nak az origótól való távolsága: O x az x egyenletû egyenestôl q x - q távolságra van Ekkor x (x - ) Innen x - +, x -- ét megoldás van r -b- + l -, r -b- - l + A körök egyenletei: x -- b + le + y -b- + le b- l, : x+ + D + : y+ + D b+ l 86 Ábrázoljuk az y x egyenletû egyenest és az x + y 9 egyenletû kört ét pont felel meg: ( ), ( ) 86 Elegendô a téglalapot az egyik átlójával megfelezni Megoldás: négyzet, t r 86 Az érintési pont: (- ) Az adott egyenes normálvektora: n( -), a normálvektor hossza n Az egységvektor koordinátái: n - O Ekkor a vektor koordinátái: $ n (8-6) O O + innen O( 6 - ) Akeresett kör középpontja: (6 -) Még egy megoldást kapunk, ha -t a -re tükrözzük A körök egyenletei: (x - 6) + (y + ) és (x + ) + (y - ) 86 q) s) w) nem kör egyenlete, v) pontkör (r ), a többi kör egyenlete izsgáljuk például a j) egyenletét: x +, x + y - y,6 Innen (x +,) + (y -,), +, +,6 (x +,) + (y -,) 6, (-,,), r, pl: c) ( ), r h) ( ), r k) O, r l) O, r m) Osszuk el az egyenletet -mal O, r 8 n) O, r a b a + b o) (a ), r qau t) - -, r O 86 a) A (- ) középpontú, r sugarú kör külsô pontjainak koordinátái b) (x - ) + (y + ) - Ilyen pont nem létezik c) ( -) pont d) (x - y)(x + y - ) Az x - y és az x + y - egyenletû egyenesek pontjainak koordinátái 86 a) (x - ) + (y + ) és (x + ) + (y - ) körök egyenletei ( -), r, (- ), r egyenes egyenlete: x + y - b) 7x + 8y B C B + C - AD 866 x + + y + A O A O Szükséges és elégséges, hogy A! és A B + C >AD legyen a) A! és D b) A! és C c) A! és B d) Szüksé-

6 8 A kör ges és elégséges, hogy y esetén az AX + BX + D egyenletnek pontosan egy gyöke legyen B AD és A! e) A! és C AD f) B AD, B C, A! 867 ( ), r, x + y - x + 6y b x- l + y- r O Tegyük fel, hogy a (x y ), és a (x y ), rácspontok rajta vannak a fenti körön Ekkor bx- l + y - bx - + y - O l O Innen x - x + y -y - _ y- yi _ x-xi Ha x! x, akkor a bal oldal racionális, a jobb oldal irracionális miatt! Tehát x x y -y - _ y- yi, innen _ y- yi y+ y- O y y, vagy y+ y Utóbbi nem lehetséges, mert y, y! Z Ellentmondásra jutottunk, ezért igaz a feladat állítása 869 b x- l + y- r O egyen (x y ), (x y ), rácspontok Ekkor x - x + y -y - _ y- yi _ x-xi Innen adódik, hogy x x és y y 87 egyen Q( ) Q rajta van az x + y egyenletû körön Tekintsük a Q ponton átmenô y mx + egyenletû egyeneseket Az egyenesnek és a körnek közös pontját az x + y, y mx + egyenletekbôl álló egyenletrendszer gyöke (i) adja x + (mx + ) Innen m (m + )x + mx x, y, x- m + y - m Minden racionális m-re m + x és y is racionális A feladat állítása igaz 87 a) Az x tengely pontjainak második koordinátája, az y tengely pontjainak elsô koordinátája Ha y, M (6 ), M (- ), ha x, M b l, M b l + - b) M ( ), M (- ), M M b - l c) Mb l, M M ( ), M ( -) + O - O 87 ( ), (- ), Q, Q egyen az origó az O pont O O - Ekkor O $ O -, OQ$ OQ - Az origó a kör belsô pontja Az origó a húrt és a Q Q húrt két részre osztja A részek szorzata egyenlô a évfolyamon igazolt tétel szerint 87 A húr végpontjai A és B AB AB felezôpontja legyen F Ekkor AF, F és A r ( a kör középpontja) AF derékszögû háromszögben r +, r, b l ét megoldás van, a körök egyenletei x + y - x! y+

7 A kör egyenlete 9 87 ét megoldás van: (x - ) + (y! ) 87 AB 8, r, (u v), ( 8) F 9 AB, ezért F pont felezi az AB húrt F v Az AF derékszögû háromszögben v +, innen v 8 u + (8-8), u +, innen u! ét megoldás van: x + y! 6x - 96y + 7 $ -$ ( -), r, d 877 ( ), r, (- -6), r 6 A keresett kör középpontja ( -), az átmérô:, r, egyenlete: (x - ) + (y + ) A tengelypontok: b! l és 87 b -! 6lAnégyszög átlói merôlegesek egymásra és a hosszuk és 6 Anégy- szög területe: területegység a b b 878 A kör átmérôje AB a + ( b -) a sugara r + - +, a középpontja a b + a b a b b O, az egyenlete: x - + y O O Rendezve a kör egyenletét: () x + y - ax - (b + )y + b Az x tengelyt olyan pontban metszi a kör, amelynek második koordinátája: y Ekkor () szerint () x - ax + b Ha () diszkriminánsa a - b >, akkor valóban a kör olyan két pontban metszi, amelyek abszcisszái () valós gyökei 879 A középpontok koordinátái: ( 9), (- -7) A centrális egyenlete: y x +, a 6, 88 ( ), r A négyszög csúcsai: x, A( ), C( -), y, B b- l, T Db+ l T, T 6 6 9, 9% T 88 ( ), r, (- ), r x + y + x - 8y + 88 A keresett koncentrikus kör egyenlete: () x + y - x + y + k ()-nek az x tengellyel való metszéspontjai: b+ -k l és b- -k l () az y tengelyt a b + -k l és a b - -k l pontokban metszi A négyszög átlóinak hossza: - k és - k A négyszög területe: -k $ - k 6 6 Innen k - és k A feladatnak a k - felel meg Megoldás: (x - ) + (y + ) 88 A kör középpontja az x - y - és az y x, vagy az x - y - és az y -x, egyenletû egyeneseken van Megoldás: (x - ) + (y - ) és (x + ) + (y - ) 8 C C 88 A, B kell legyen Ekkor ( x- ) + y O Innen C! ét 6 megoldás van: (x - ) + (y! )

8 A kör 88 a) Meg kell oldani a következô egyenletrendszert: + + a+ b ( ) a+ b a b b) a b- 886 a) A kör egyenlete x + y + ax+ by + c alakú Ezért + - a+ b+ c 6+ + a+ b+ c a- b+ c egyenletrendszer gyökei: a-, b, c- 8 _ x- i + _ y+ i Afeladatot úgy is megoldhatjuk, hogy kiszámítjuk az ABC háromszögben az oldalfelezô merôlegesek közös pontját, azután a kör sugarát b) ( x- ) + ( y+ ) c) ( x- ) + ( y- ) d) ( x- ) + y- O 9 6 e) ( x- ) + y- O 887 A körív olyan kör része, amely áthalad az A(- ), B( ), C( ) pontokon A kör egyenlete: x + ( y+ ) Ha x -, y, ha x -, y, 8 és így tovább, akkor a tartórudak hossza rendre,8 8,9 méter 888 a) Elôször számítsuk ki a háromszög csúcspontjainak koordinátáit: A ( ), B( - ), + + Feltételezve, hogy az egyenesek m n Ugyanis például az és egyene- és Hasonlóképpen és, illetve és közös pontjai is kielégítik () egyenletet () ( x-y-)( 7x-y- ) + + m( 7x-y- ) $ ( x+ y+ 8) + n ( x+ y+ 8)( x-y- ) A () másodfokú egyenlet akkor és csakis akkor kör egyenlete, ha az x, y együtthatói egyenlôk, az xy tag együtthatója és r > Így m-ra és n-re felírhatjuk () rendezése után a következô egyenletrendszert: 9m+ 7n- m- n Innen m n - Helyettesítsük m és n értékét ()-ben a m és a n helyére Ekkor ( x ) ( y ) valóban kör egyenlete b) 7x + 7y - 9x+ y- 6 Megjegyzés: Ha a m és n paraméterekre kapott egyenletek nem függetlenek egymástól, akkor nincs megoldás Ekkor az adott egyenesek közül kettô párhuzamos 89 A metszéspontok koordinátái: A( -,), B(6 -,), C(, ) A x+ y- egyenletû egyenes merôleges a x-y- egyenletû egyenesre, mert $ - $! AB r egység C( - ) A kör egyenlete: x- + y- 86 O 86 O 698 C( 6 6 ) ( x- ) + ( y- ) c) A (- ), B O x- + y+ O 7 O 889 Az adott egyeneseket jelöljük a következôképpen: : x-y- : 7x-y- : x y 8 páronként metszik egymást: () + + sek metszéspontjának koordinátáira,, b) A ( ) O, C O - B( - - ),

9 A kör egyenlete 89 A csúcsok koordinátái: A(- -), B(- 6 ), 89 C( -) A körülírt kör egyenlete: ( x+ ) + y Az A(- -) csúcson átmenô belsô szögfelezô egyenlete: x+ y+ 9 - x+ y+ 8, innen () y x+ A C csúcsnál fekvô c szög szögfelezô egyenesének egyenlete: - x+ y+ 8 x+ y+ 6 - Innen () b- l x+ b + l y-6-8 A beírható kör O középpontjának koordinátáit az ()-() egyenletekbôl álló egyenletrendszer gyökei adják x - + és y - + A beírható kör sugara a x+ y+ 9 normálegyenlet felhasználásával számítható ki u - 89 A körök középpontjai: ( - 6), ( ) Aháromszög egyik oldala 6 egység, a hozzá tartozó magasság egység t területegység, a kerület hossza,8 egység 89 Az ABC háromszög derékszögû, mert AC( - 9 ), BC( - 6) és AB 6 6 $ (- 9) + $ (- 6) t területegység, r k r egység 89 A háromszög derékszögû B 9 (89 ábra) a) b) ( ) ( ) ( ) c) S O d) ( ) e) M( ) f) A háromszögbe írható kör sugara: AB + BC -AC u - O( + u -u), Ob- + l 89 A B pont koordinátái ( b ),a C pont koordinátái c c O Ekkor c: 6 és b+ c Innen B( ), C(8 ) A kör egyenlete: ( x - 7) + ( y - ) I megoldás Írjuk fel az ABC háromszög köré írható kör egyenletét és ellenôrizzük, hogy a D pont illeszkedik-e a körre? II megoldás AB( - 7), AD() 7 AB $ AD 7-7, tehát AB AD BC( 8 ), CD( - ) BC $ CD , tehát BC CDAnégy pont az AD átmérô fölé rajzolt körön van a) Az A( -), B(8 ), C( ) pontokon átmenô 9 kör egyenlete: x - + O y + O egyen x Ekkor y,, y- 9, Megoldás: D( -,9) + 89 O 89 b) D adódik az x- + y 6 O 6 O 6 egyenletbôl

10 A kör A skaláris szorzat segítségével számítsuk ki az a és a c szögeket AB( - ), AD( 8) AB, AD 68, AB $ AD 6- - Másrészt - $ 68 cos a Innen cosa- -, a Hasonlóképpen számíthatjuk ki a cosc értékét cosc, c Mivel a+ c 8, azért az ABCD négyszög húrnégyszög 899 A négyszög ABC pontjain átmenô kör egyenlete: ( x- ) + y A D( ) pont koordinátái kielégítik a kör egyenletét! 9 Az ABD pontokon átmenô kör egyenlete: ( x- ) + ( y+ ) A C pont koordinátái kielégítik a kör egyenletét 9 A( ), C( -) A négyzet középpontja az AC szakasz felezôpontja ( ) (9 ábra) C( - ) Forgassuk el a C vektort + 9 -kal D ( ) Ekkor OD O + D, D( ), B( -) 9 A B csúcs koordinátáit úgy számítjuk ki, hogy az A( -) pontot tükrözzük a x+ y egyenletû szimmetriatengelyre AB egyenes egyenlete: x- y Az AB szakasz F felezôpontjának koordinátáit a x+ y x- y egyenletrendszer gyökei adják F( ) B(7 ) A szimmetrikus 9 trapéz köré írható kört egyértelmûen meghatározzák az A, B, D pontok A középpontját a x+ y egyenletû egyenes és az AD szakasz f felezô merôlegesének közös pontja adja f egyenlete x+ y- (9,6-7,), r A, 9 A trapéz köré írható kör egyenlete: ( x - 96, ) + + ( y + 7, ), 9 9 A téglalap B csúcsának koordinátái: B(- -9) Ugyanis AD( - ), AD( - 9 ) Elforgatva +9 -kal kapjuk az AB vektort AB( - - 9) Ekkor OB OA+ AB, OB( - - 9) AB csúcs koordinátái (- -9) A téglalap köré írható kör középpontja azonos a BD szakasz felezô-

11 A kör egyenlete pontjával (- -), a kör sugara: r, egyenlete: k:( x+ ) + ( y+ ) A B csúcsot tükrözve az A pontra még egy téglalapot kapunk: B*( 9 ) Az AB* C* D téglalap köré írható kör egyenlete: k:( x- ) + ( y- ) A k kör a tengelyeket a ( ), (- ), b - + 6l, b -- 6l koordinátájú pontokban metszi A k kör a tengelyeket a ( ), b + l, b - l, koordinátájú pontokban érinti, illetve metszi A kimetszett húrok hossza: 6 6 egység 9 A háromszöget helyezzük el az ábrán látható módon a koordináta-rendszerben egyen A(-a ), B(a ), ekkor C( a) Az ABC háromszög így valóban egyenlô szárú és derékszögû háromszög A CB( a - a) + 9 -kal elforgatva CC ( a a) Így az OC OC + CC az OC és a C koordinátái ( a a) Hasonló meggondolással kapjuk, hogy B ( a a), a szimmetria miatt A ( a a) ( - a A szóbanforgó csúcsok az origótól a + a a egység távolságra vannak, és így az x + y a egyenletû körön vannak 9 Az egyenesek párhuzamosak Ebbôl következik, hogy a kör (u v) középpontja az x egyenletû egyenesre illeszkedik és a sugara r A középpont rajta van a x- y 6 egyenletû egyenesen is Mivel u, v 9 Megoldás: ( x- ) + ( y- 9) 9 96 x-b- le + y-b- le b- l 9 97 egyen e : x+ y-, e : x+ y- és e : y x- e e, ezért az érintôkör középpontja rajta van a középpárhuzamoson, amelynek egyenlete k: x+ y Másrészt rajta van az e és e egyenesek által bezárt szögek szögfelezôin f és f egyenleteit az e és e egyenesek normálegyenleteivel, illetve a d Ax + By+ C távolságképlettel írhatjuk fel A + B f egyenlete: x- y Az f egyenlete: x+ y 9 A k kör középpontja a O pont, a sugár r kör egyenlete: x- + y- 97 O O A k kör középpontjának koordinátáit a k és f egyenesek metszéspontja adja ( ), r egyenlete: ( x- ) + y 98 a) egyen e: x- y, e : x+ y- és e : x+ y A középpont rajta van az e és e egyenesek szögfelezôin, másrészt az e egyenesen A szögfelezôk egyenletei:

12 A kör 99 f : x+ y, f: x- y A k kör középpontjának koordinátái kielégítik az f és e egyenleteket Innen: ( - ), a sugár r egység A k kör középpontjának koordinátáit az f és e egyenletrendszer gyökei adják O, a sugár: r A körök egyenletei: ( x- ) + ( y+ ), és x- + y- O O 9 9 b) ( x- ) + ( y- ), és x+ + y-, O O 99 A k kör középpontja rajta van az x 6 egyenletû egyenesen, másrészt egyenlô távol van az x+ y- egyenletû egyenestôl és a ( ), illetve ( ) koordinátájú pontoktól ( ) A ( 6 v) pontra felírhatjuk a következô egyenletet: 6 v () ( 6- ) + ( v - ) + - () egyenlet gyökei: v 9, v 7 Mindkét gyök megoldás Az egyik kör középpontjának koordinátái: (6 7), a sugara egység, a másik kör kö- zéppontja: (6 9), a sugara 9 8 egység 9 egyen x $ és y $ Ekkor a kettôs egyenlôtlenség a következôképpen írható: # x + y # x+ y Az x + y $ egyenlôtlenséget kielégítô ( x y) számpárok az origó középpontú egység sugarú körvonal vagy a körön kívül fekvô pontok koordinátái Az x + y # x+ y, illetve az ( x- ) + ( y-) egyenlettel megadott ponthalmaz az elsô síknegyedben az ( ) középpontú, r sugarú körön vagy annak belsejében helyezkedik el A kettôs egyenlôtlenséggel megadott síkidomot az ábrán az I síknegyedben bevonalkáztuk Ha x # és y $, akkor a II síknegyedbeli holdacskát kapjuk És így tovább A négy bevonalkázott holdacska egybevágó Egyik területe: 9 b l r r $ t - - O T $ 8 területegység O 9 A ( 6) ponton átmenô egyenesek egyenlete: y mx+ b alakú 6 m+ b, ezért y mx+ 6- m Az egyenesek normálegyenlete: Az ábra alapján mx- y + 6-m m + állítjuk, hogy két egységsugarú érintôkör létezhet: (- ), r, ( - ), r Ekkor pontra: ()

13 A kör egyenlete -m- + 6-m m+ + 6-m -m O pontra: () () egyenletbôl m + m + + m O m, m A feladat követelményeinek az m felel meg Az egyenes egyenlete: x- y+ A ()-es egyenletbôl kapjuk a második megoldást: y 6, x- 8, 9 Az A( ), B( ), C( ) csúcsokon átmenô kör egyenlete: 6 k:( x- ) + y- O A kör 6 O középpontja a D( -) ponttól d 97 egység 6 távolságra van A keresett kör R sugarát úgy kapjuk, hogy a k kör sugarát, -et a felével megnöveljük R Helyezzük el az ABC háromszöget a koordináta-rendszerben úgy, hogy a csúcsok koordinátái a következô számpárok legyenek: A( - a ), B( a ), C( c d), ahol a>, dy Ekkor a x ( y) pontra A + B + C ( x + a) + y + ( x - a) + y + ( x - c) + ( y - d) Ren- c d 8c 8d 8c + 8d dezve: A + B + C x - + y - + a + + $ a + O O c d A négyzetösszeg akkor a legkisebb, ha x, y Ekkor a pont az ABC háromszög súlypontja 9 álasszuk meg a koordináta-rendszert úgy, hogy a háromszög csúcspontjainak koordinátái: A - c O, B c O Cx ( y ) legyen ( C >, yy ) Ekkor t c y és 8t c y (t jelenti az ABC háromszög területét) Az oldalak négyzetösszegére felírhatjuk a következô egyen- c c c letet: () c + x+ + y + x- + y c y O O Ha y >, akkor ()-bôl x + ( y- c) c c adódik, ha y <, akkor x + ( y+ c) A mértani hely két kör: ( c), r, c ( - c), r Mindkét kör minden pontja hozzátartozik a mértani helyhez 9 egyen x ( y ) Ekkor ( x+ ) + y + ( x- ) + y + x + ( y- 6) k Innen rendezéssel: x + ( y- ) `k -j adódik Ha k <, akkor a mértani hely üres halmaz Ha k, akkor a mértani hely egy pont: ( ) Ha k >, akkor a mértani hely kör, amelynek középpontja a ( ) koordinátájú pont, a sugara egység A kör minden pontja megfelel k -

14 6 A kör 96 A keresett kör középpontja egyrészt rajta van az origó körül rajzolt egységsugarú körön, másrészt az x+ y egyenletû egyenesre a ( ) pontban emelt merôleges egyenesen A körök egyenletei: ( x ) y és x + ( y+ ) 8 97 egyen a szabályos háromszög oldala a hosszúságú Ekkor a magassága a álasszuk a meg a koordináta-rendszert úgy, hogy a csúcsok koordinátái a következôk legyenek: B - O, C a O, A a O O A feladat szerint: x y a a a O + - x+ + y + x- + y O O O Innen rendezéssel az x + y+ egyenletet kapjuk A mértani hely olyan kör, amely- a a O O a O a nek középpontja a - pont, a sugara egység A kör minden pontja megfelel O ör és egyenes kölcsönös helyzete ör érintôje a 98 a) ( ), ( ) b) ( ) c) ét közös pont van, ha r > a a r mr O egy közös pont van, ha r nincs közös pont, ha r < d) m + m + O, r mr O - - e) ét közös pont van, ha m + m + O r b > egy közös pont van, m + b b ha r, nincs közös pont, ha r < m + m + 99 a) ét közös pont van b) ét közös pont c) Egy közös ponton van d) incs közös pont D < 9 a) ( ) és - O b) ( ) és O c) (,9,) és (,,) d) ( ) és (- -) e) ( -6) 9 9 a) ét közös pont van: ( ) és - O b) Egy közös pont van: ( -) c) Az egyenes egyenlete: x+ y Az egyenesnek és az x + y egyenletû körnek egy közös pontja van: ( ) Az egyenes az x + y 6 egyenletû kört két pontban metszi + - O O és - + O O

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van

Részletesebben

A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = 1. Az adott kör középpontjának koordinátái: K1( 4; 2)

A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = 1. Az adott kör középpontjának koordinátái: K1( 4; 2) 55 A kör 87 8 A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = Az adott kör középpontjának koordinátái: K( ; ) és a sugara r =, az adott pont P(; ) Ekkor KP = és KK = () ( u ) + ( v ) =, () ( u ) +

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre

Részletesebben

= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0;

= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0; 98 Az egyenes egyenletei. a) A( 0) B(0 6) AB_ - 6i& n( ) x + y = b) x - y =- c) 6x - y = 0 d) 6x + y = e) x + y = f) x + y = a g) x - y = a.. A(a 0) B(0 b) AB_ -a bi n (b a) bx + ay = ab osszuk el a $

Részletesebben

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból

Részletesebben

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5 Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.

Részletesebben

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1 Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2 3... Egyenes szíjhatás esetén milyen hosszú szíj szükséges 50 cmes és 6 cm-es sugarú tárcsák összekapcsolásához, ha a tárcsák tengelyeinek távolsága 335 cm? 3... Csónakkal akarunk a folyó túlsó partjára

Részletesebben

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27. Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket

Részletesebben

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon

Részletesebben

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok

Részletesebben

Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója?

Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Feladatok 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy négyzet

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész Pataki János, november Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november I rész feladat Oldja meg az alábbi egyenleteket: a) log 7 log log log 7 ; b) ( )

Részletesebben

Pitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2

Pitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Pitagorasz-tétel A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy

Részletesebben

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták 1. Mik lesznek a P (3, 4, 8) pont C (3, 7, 2) pontra vonatkozó tükörképének a koordinátái? 2. Egy szabályos hatszög középpontja K (4, 1, 4),

Részletesebben

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész

Részletesebben

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen 10. osztály 1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy ( a + b + c) 3 4 ab + bc + ca Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen A feladatban szereplő kettős

Részletesebben

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata

Részletesebben

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x. Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin

Részletesebben

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár,

Részletesebben

Analitikus térgeometria

Analitikus térgeometria 5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T

Részletesebben

5. előadás. Skaláris szorzás

5. előadás. Skaláris szorzás 5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút

Részletesebben

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam I. Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzetet 1) a pont, az egyenes, a sík és az illeszkedés alapfogalmak 2) két egyenes metsző, ha van közös pontjuk

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Koordinátageometria ) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrzek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

V. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 11. évfolyam

V. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 11. évfolyam 01/01 1. Ha egy kétjegyű szám számjegyeit felcseréljük, akkor a kapott kétjegyű szám értéke az eredeti szám értékénél 108 %-kal nagyobb. Melyik ez a kétjegyű szám? Jelölje a kétjegyű számot xy. 08 A feltételnek

Részletesebben

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2 10. Tétel Háromszög Tulajdonságok: - Háromszögnek nevezzük a sokszöget, ha 3 oldala, 3 csúcsa és 3 szöge van - A háromszög belső szögeinek összege 180 o - A háromszög külső szögeinek összege 360 o - A

Részletesebben

Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül!

Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül! Laczkó László Készült a Fazekas ihály Oktatási Kulturális és Sport lapítvány támogatásával z árák elektronikus változatát Véges árton (009c) diák készítette feladat z hegyesszögű háromszög -nél levő szöge.

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Gyaorló feladato Eponenciális és logaritmusos ifejezése, egyenlete. Hatványozási azonosságo. Számítsd i a övetező hatványo pontos értéét! g) b) c) d) 7 e) f) 9 0, 9 h) 0, 6 i) 0,7 j), 6 ), l). A övetező

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria 1) Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

Hatvány, gyök, normálalak

Hatvány, gyök, normálalak Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő

Részletesebben

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny 9. osztály 1. feladat: Oldjuk meg a természetes számok halmazán az 1 1 1 egyenletet? x y 009 Kántor Sándor (Debrecen). feladat: B Az ABCD deltoidban az A és C csúcsnál derékszög van, és a BD átló 1 cm.

Részletesebben

XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny Bonyhád, 011. március 11 15. 10. osztály 1. feladat: Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b és c. Bizonyítsuk be, hogy 3 (a+b+c) ab+bc+ca 4 Mikor állhat

Részletesebben

ANALITIKUS MÉRTAN I. VEKTORALGEBRA. 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AD + BC = BD + AC.

ANALITIKUS MÉRTAN I. VEKTORALGEBRA. 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AD + BC = BD + AC. ANALITIKUS MÉRTAN INFORMATIKA CSOPORT I. VEKTORALGEBRA 1. Feladatlap Műveletek vektorokkal 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AB + BD + DC; b) AD + CB + DC; c) AB + BC

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a

GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a GOMTRI ndrea Philippou, Marios ntoniades Szakaszok és félegyenesek gy szakasz felezőmerőlegese egy olyan egyenes, félegyenes vagy szakasz, ami áthalad a szakasz középpontján és merőleges a szakaszra. Tétel:

Részletesebben

Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása

Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása 1 Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása Ehhez tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra Itt az ( u, v, w ) tengelymetszeteivel adott S síkot látjuk, az Oxyz térbeli derékszögű koordináta -

Részletesebben

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög, 52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes

Részletesebben

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika Hasonlóság kísérleti feladatgyűjtemény 10. osztályos matematika POKG 2015. Hasonló háromszögek oldalaránya 0. Keressük meg az alábbi háromszögek összetartozó oldalpárjait és arányossággal számítsuk ki

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a és b befogójú derékszögű háromszögnek

Részletesebben

Geometriai példatár 2.

Geometriai példatár 2. Geometriai példatár 2 Metrikus feladatok Baboss, Csaba, Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Szabó, Gábor, Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Geometriai példatár 2: Metrikus feladatok

Részletesebben

EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY

EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY SÍKIDOMOK Síkidom 1 síkidom az a térelem, amelynek valamennyi pontja ugyan abban a síkban helyezkedik el. A síkidomokat

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM)

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) Javítási értékelési útmutató 1. Melyek azok a pozitív p és q prímek, amelyekre a számok mindegyike

Részletesebben

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2 Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

KOSZTOLÁNYI MIKE MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK (II. KÖTET)

KOSZTOLÁNYI MIKE MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK (II. KÖTET) KOSZTOLÁNYI MIKE MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY 10 14 ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK (II. KÖTET) Kosztolányi József - Mike János MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY 10-14 ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK **

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely április 8. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely április 8. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2013. április 8. A 9-10. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. Jelöljük x-szel az adott hónapban megkezdett 100 kb-s csomagok számát. Az első szolgáltatónál

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 008-009. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára. Határozzuk meg az alábbi egyenletrendszer valós megoldásait. ( x

Részletesebben

Geometriai alapfogalmak

Geometriai alapfogalmak Geometriai alapfogalmak Alapfogalmak (nem definiáljuk): pont, egyenes, sík, tér. Félegyenes: egy egyenest egy pontja két félegyenesre bontja. Ez a pont a félegyenes végpontja. A félegyenes végtelen hosszú.

Részletesebben

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24 OKTATÁSI MINISZTÉRIUM M/D/13 Dolgozók gimnáziuma Dolgozók szakközépiskolája Szakmunkások szakközépiskolája intenzív tagozat) 003. május ) Határozza meg a következő egyenlet racionális gyökét! 1 3 4 + 5

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok 10. Síkgeometria I. Elméleti összefoglaló Szögek, nevezetes szögpárok Egy adott pontból kiinduló két félegyenes a síkot két részre bontja. Egy-egy ilyen rész neve szögtartomány, vagy szög. A két félegyenest

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

Elsőfokú egyenletek...

Elsőfokú egyenletek... 1. Hozza egyszerűbb alakra a következő kifejezést: 1967. N 1. Elsőfokú egyenletek... I. sorozat ( 1 a 1 + 1 ) ( 1 : a+1 a 1 1 ). a+1 2. Oldja meg a következő egyenletet: 1981. G 1. 3x 1 2x 6 + 5 2 = 3x+1

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1.

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1. Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás). Feladat. Írjuk fel az f() = függvény 0 = pontbeli érintőjének egyenletét! Az érintő egyenlete y

Részletesebben

8. előadás. Kúpszeletek

8. előadás. Kúpszeletek 8. előadás Kúpszeletek Kör A k kört egyértelműen meghatározza C(a,b) középpontja és r sugara. A P pont pontosan akkor van k-n, ha CP=r. Vektoregyenlet: p-c = r. Koordinátás egyenlet: (X-a)2 + (Y-b)2 =

Részletesebben

4) Az ABCD négyzet oldalvektorai körül a=ab és b=bc. Adja meg az AC és BD vektorokat a és b vektorral kifejezve!

4) Az ABCD négyzet oldalvektorai körül a=ab és b=bc. Adja meg az AC és BD vektorokat a és b vektorral kifejezve! (9/1) Vektorok, Koordináta Geometria 1) Szerkessze meg az a + b és az a b vektort, ha a és b egy szabályos háromszögnek a mellékelt ábra szerinti oldalvektorai! 2) Az ABC háromszög két oldalának vektora

Részletesebben

1. Középpontos tükrözés, középpontos szimmetria 146/1. a) 0; 3; 8; A;B;C; D; E;H; I; M; O; T; U; V; W; X; Y;Z. b) 0; H; I; N; O; S; X; Z

1. Középpontos tükrözés, középpontos szimmetria 146/1. a) 0; 3; 8; A;B;C; D; E;H; I; M; O; T; U; V; W; X; Y;Z. b) 0; H; I; N; O; S; X; Z 146/1 147/2 1. Középpontos tükrözés, középpontos szimmetria a) 0; 3; 8; A;B;C; D; E;H; I; M; O; T; U; V; W; X; Y;Z b) 0; H; I; N; O; S; X; Z c) 0; O; H; I; X; Z a) kőr dáma b) pikk jumbo; kőr dáma.; káró

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Szakasz mert van két végpontja Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Tört vonal Szög mert van két szára és csúcsa Félegyenes mert van egy kezdőpontja 5 1 1 Két egyenes egymásra merőleges ha egymással

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III. Geometria III. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v. DEFINÍCIÓ: (Geometriai transzformáció) Geometriai transzformációnak

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II.

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II. Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára II. 1. Alakítsuk át a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetek jelenjenek meg: a) x 2 2x + b) x 2 6x + 10 c) x 2 + x + 1 d) x 2 12x + 11 e) 2x 2

Részletesebben

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba

Részletesebben

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,

Részletesebben

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 2003. Próba 14. Egy hajó a Csendes-óceán egy szigetéről elindulva 40 perc alatt 24 km-t haladt észak felé, majd az eredeti haladási irányhoz képest 65 -ot nyugat

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező

Részletesebben

Gyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van!

Gyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van! 1. Melyik a nagyobb? a) 6 5 vagy 5 7 b) vagy 11 10 vagy Gyökvonás 5 11 vagy 6 8 55 e) 7 vagy 60 16 1. Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket! a) 7 18 b) 1 5 75 8 160 810 650 8a 5 a 7a e) 15a

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatásért Közalapítvány támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Határozzuk

Részletesebben

3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat

3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat 3. előadás Elemi geometria Terület, térfogat Tetraéder Négy, nem egy síkban lévő pont által meghatározott test. 4 csúcs, 6 él, 4 lap Tetraéder Minden tetraédernek egyértelműen létezik körülírt- és beírt

Részletesebben

Síkgeometria. Ponthalmazok

Síkgeometria.  Ponthalmazok Síkgeometria http://zanza.tv/matematika/geometria Ponthalmazok Alapfogalmak: pont egyenes sík (nincs kiterjedése; általában nagy betűvel jelöljük) (végtelen hosszú; általában kis betűvel jelöljük) (végtelen

Részletesebben

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont) 1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)

Részletesebben

13. Trigonometria II.

13. Trigonometria II. Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája

Részletesebben

Egybevágósági transzformációk. A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá.

Egybevágósági transzformációk. A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá. Egybevágósági transzformációk A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá. Egybevágósági transzformációk azok a geometriai transzformációk, amelyeknél bármely

Részletesebben

1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT:

1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT: 1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT: a) ( 7) + ( 12) = 19 b) ( 24) + (+15) = 9 c) ( 5) + ( 27) = 32 d) (+19) + (+11) = +30 e) ( 7) ( 25) = +175 f) ( 5) (+14) = 70 g) ( 36) (+6)

Részletesebben

11. osztály. 1. Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! (10 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: 2 ( + yz + zx) = 22.

11. osztály. 1. Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! (10 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: 2 ( + yz + zx) = 22. osztály Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! y + yz = 8 yz + z = 9 z + y = 5 (0 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: ( + yz + z) = Ebből kivonva az egyenleteket: y =, yz = 6, z

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika. évfolyam TANULÓK KÖNYVE. FÉLÉV A kiadvány KHF/487-/008. engedélyszámon 008..7. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő oktatási

Részletesebben

Bolyai János Matematikai Társulat. 1. Az a és b valós számra a 2 + b 2 = 1 teljesül, ahol ab 0. Határozzuk meg az. szorzat minimumát. Megoldás.

Bolyai János Matematikai Társulat. 1. Az a és b valós számra a 2 + b 2 = 1 teljesül, ahol ab 0. Határozzuk meg az. szorzat minimumát. Megoldás. Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási Minisztérium Alapkezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 005/00-os tanév első iskolai) forduló haladók II. kategória nem speciális

Részletesebben

12. Trigonometria I.

12. Trigonometria I. Trigonometria I I Elméleti összefoglaló Szögmérés A szög mérésének két gyakran használt módja van: fokban, illetve radiánban (ívmértékben) mérünk A teljesszög 0, ennek a 0-ad része az A szög nagyságát

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe, ha a legrövidebb átlója 85? (11 pont)

3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe, ha a legrövidebb átlója 85? (11 pont) 1997 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok 1. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: 3 2 x 1 2 2 x 1 + 2 2x 1 3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe,

Részletesebben