A kör. A kör egyenlete

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A kör. A kör egyenlete"

Átírás

1 A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - y + b) x + y - 6x - 6y + c) x + y + x - 6y - d) x + y - x - 8, e) x + y + 6y - f) x + y + x + 6y + 8 a) x + y - 8x - 6y b) x + y + 6y - 8y c) x + y - ax - by d) x + y - x + y + e) x + y + x-6y- - (A kör középpontjának koordinátái C(- )) 86 A kör egyenlete: (x - ) + (y - ) egyen x - y 7, y - Az ordináták rendre: + és és és - 8 és és és - Az abszcisszák rendre: y esetén + és - y esetén x 6, x - y - esetén nincs megoldás 87 a) x - 6x + y + b) x + y - 6x - y + c) x + y + x - 6y - 7 d) x + y + 8x - 7y x + y Belsô pont az A, mert + < A többi pont a körön kívül van, mert például a B pontra + > 89 (x + ) + (y - ) Az A pontra (- + ) + (- ) 8<, tehát A a körön belül van C, E, F a körön van, B és D a körön kívül van 8 A kör egyenlete: (x - ) + (y - ) x- y! Ha y x+, akkor a y - x + egyenletben az y helyére x + -et helyettesítve: x + x + adódik Innen x Ekkor y A O külsô pont, mert ( - ) + - > O Ha y x-, akkor ( x ) + 9 $ x - 6 Innen x, y A Q O pont a kör belsô pontja, mert ( - ) + - < O 9 8 A kör egyenlete: x- + y O A x- y+ O egyenletbôl x- y+! Ha y x +, akkor az egyenletrendszer gyöke ( ), amely a körön kívül van Ha y x -, akkor a megoldás ( ) 8 (x + ) + y 9 8 x + (y - )

2 A kör 8 8 Az egybevágósági transzformációknál a sugár hossza nem változik a) r 6, (6 ) b) r 6, (- 6 -) c) r 6, (-6 ) d) egyen az origó az O pont, a kör középpontja a pont Ekkor az O vektor koordinátái (6 -) Az eltolt kör középpontjának koordinátáit az O +v vektor koordinátái adják: (8 -) e) r 6, ( -) f) O( 6 - ), 9 -kal elforgatva O ( 6 ), r 6 g) (- -6) r 6 h) { + qfu 6, tg`{ + tg{ + tg f f j - tg{ $ tg f tg{ + - egyenletbôl tg{ - tg{ (8 ábra) O O Oldjuk v - meg az u + v és a egyenletrendszert: u + u, v - A kör egyenlete: bx-- l + by- + l 6 i) r, ( -8) j) r, ( -) 8 a) (x - ) + y b) (x + ) + y c) x + (y - ) d) x + (y + ) 86 a) ( ), ( -), r ét megoldás van: (x - ) + (y - ) (x - ) + (y + ) b) (x! ) + (y + 6) c) égy megoldás van: (x! ) + (y - ) vagy (x! ) + (y + ) 87 A középpont koordinátái: (!r r) vagy (!r -r), a sugár r égy megoldás van: x + y! rx - ry + r és x + y! rx + ry + r 88 a) A középpont koordinátái (aa) a sugár qau A kör egyenlete (x - a) + (x - a) a b) (a a), r qau, x + y - ax - ay + a c) A kör sugara: r a + a a, itagorasz tétele szerint Egyenlete: x + y - ax - ay 89 a) ( 9) Mivel a kör mindkét tengelyt érinti, a középpontjának koordinátái: (r r) és sugara r A kör egyenlete: (x - r) + (y - r) r Ekkor ( - r) + (9 - r) r Innen r, r 7 ét megoldás van: (x - ) + (y - ) és (x - 7) + (y - 7) 89 b) (x - ) + (y - ) 9 és (x - ) + (y - ) c) (x - ) + (y - ) és (x - ) + (y - ) d) bx+ 8+ l + by+ 8+ l b8+ l és bx + 8- l + by + 8- l b8- l 8 a) (6 7), r 6 $ -7 $ - + 6,(x-6) + (y - 7) 6 b) ( x- ) + ( y- ) 7 8 a) (9 9), r, (u ), (x - u) + (y - v) r Mivel rajta van a körön, azért (9 - u) + (9 - ) Innen u, u 6 ét megoldás van: (x - ) + (y - ) és (x - 6) + (y - ) b) (x - ) + (y - ) és (x - ) + (y - 6)

3 A kör egyenlete 8 a) Az AB szakasz felezômerôlegesének egyenlete: x - y Ha y, x O r A 7 Akör egyenlete: x- + y 9 O b) x + y+ 9 O a) x- + y O b) x + (y + 8) 9 8 a) (x - ) + (y - ) b) (x + 6) + (y + ) 6 c) (x + ) + (y - ) d) x- + y- O O 7 8 a) ( -), (- -), a kör (u, v) középpontja illeszkedik a szakasz felezômerôlegesére, a 7x + y egyenletû egyenesre r qvu Felírhatjuk a következô egyenletrendszert: ( u ) 7u+ v ( v ) v ét megoldás van: u, v -, u, v - A körök egyenletei: (x - ) + (y + ) és (x - ) + (y + ) b) x- b+ le + + y - b+ le b+ l és x-b- le + y-b- le b- l c) (x - ) + y 69 és (x - ) + (y - 8) 86 a) Az érintési pont koordinátái: E( ) E-ben az y x - egyenletû egyenesre emelt merôleges egyenlete: y -x + A kör középpontja az y -x + egyenletû egyenes és a ( ), E( ) szakaszt felezô merôleges egyenes közös pontja A felezômerôleges egyenlete x- y, r O A kör egyenlete: x- + y- 98 O O 98 b) (x -,) + (y +,), 87 a) Az érintési pont koordinátái: E( ), r (87 ábra) Az x + y egyenletû egyenes normálvektora: n( ) Az egységvektor: n O Akör sugara: r O E Mivel E n O, ezért E vektor koordinátái: ( ) A középpontra O OE + E, ezért a pont koordinátái ( + + ), O ( ) A -nak E-re vonatkozó tükörképe is megoldás: ( ) 87 A körök egyenletei: (x - ) + (y - ) és x + (y - ) b) x + (y + ) és (x + ) + y 88 a) ( - ), ( ), r A kör (u v) középpontja rajta van a szakasz felezômerôlegesén, amelynek egyenlete: y x Másrészt, azaz (u + ) + (v - ) és v u Ebbôl az egyenletrendszerbôl u, v, u, v 6 adódik ét megoldás van: x + y és (x - ) + (y - 6)

4 6 A kör 8 b) (x - 8) + (y - ) és (x - ) + (y + 6) c) (x - ) + (y - ) és (x + ) + (y - 6) 89 egyen e : y x + és e : y x - 6 e e a középpárhuzamos egyenlete: e: y x + Az e egyik pontja Q( ) Q pontnak az e egyenestôl mért távolsága a keresett kör sugara: r A kör középpontjának (u v) koordinátáira a következô egyenletrendszert írhatjuk fel, felhasználva az adott ( ) pont koordinátáit: rajta van a körön, ezért ( - u) + ( - v), másrészt a kör középpontja illeszkedik az e középvonalra, ezért v u + Az egyenletrendszerbôl két megoldást kapunk: (x + ) + (y - ) és (x -,) + (y - 8,) 8 együk észre, hogy az adott egyenesek párhuzamosak ét megoldás van: x + y - x - y + és x + y + x - 8 r Megoldások: (x - ) + (y - 8) 8 és (x + ) + (y + 8) 8 8 ( ), r (x - ) + (y - ) 8 A háromszög köré írható kör sugara r 8 A( ) pont a háromszög súlypontja is A BC oldal A felezôpontja az A és a pont felhasználásával kiszámítható, mert A : A : A ( ) A BC oldal egyenlete: x + y 7, a háromszög köré írható kör egyenlete: (x - ) + (y - ) 8 A BC oldal és a kör közös pontjai adják a szabályos háromszög csúcspontjait: Bb+ - l, Cb- + l 8 egyen u >, u >, u >, u > Ekkor r u, r u, r u és r u Az egyenes normálegyenlete:, ahol az egységvektor n O x+ y- Alkalmazva a távolságképletet, és figyelembe véve, hogy az egységvektor a,,, pontokat tartalmazó félsíkba mutat-e, vagy sem, a 8 ábra alapján felírhatjuk a következô egyenleteket: u+ u- u+ u- u+ u- u u u, - u, u, u Innen kapjuk a körök középpontjainak koordinátáit és a körök sugarait ( ), r, r 6 6 O 6 (, -,), r, - r O 8 ( ), r (x - ) + (y - ) 86 A Q pont koordinátái: ( y) Ekkor Q a következôképpen írható fel: 9 + (y - ) 9 Innen y, y 8 A Q ( ) és a (9 ) pontok meghatározta szakasz felezômerôlegesére, másrészt az y egyenletû egyenesre illeszkedik a keresett kör középpontja A x + y 7, y egyenletrendszerbôl ( ), r adódik Hasonlóképpen számítható ki a Q ( 8) pontban érintô kör középpontjának koordinátái és a kör sugara ( 8), r Megoldások: (x - ) + (y - ) és (x - ) + (y - 8)

5 A kör egyenlete 7 87 A kör középpontja az AB átfogó szakasz felezôpontja: O Az AC oldal egyenlete: -x + y 7 A BC befogó egyenes egyenlete: -x + y -6 A C csúcs koordinátái: C( -) A kör egyenlete: x- + ( y- ) O 88 (x - ) + (y - ) 89 Az érintô kör középpontja rajta van az y x egyenletû egyenesen: (x x) -nak az origótól való távolsága: O x az x egyenletû egyenestôl q x - q távolságra van Ekkor x (x - ) Innen x - +, x -- ét megoldás van r -b- + l -, r -b- - l + A körök egyenletei: x -- b + le + y -b- + le b- l, : x+ + D + : y+ + D b+ l 86 Ábrázoljuk az y x egyenletû egyenest és az x + y 9 egyenletû kört ét pont felel meg: ( ), ( ) 86 Elegendô a téglalapot az egyik átlójával megfelezni Megoldás: négyzet, t r 86 Az érintési pont: (- ) Az adott egyenes normálvektora: n( -), a normálvektor hossza n Az egységvektor koordinátái: n - O Ekkor a vektor koordinátái: $ n (8-6) O O + innen O( 6 - ) Akeresett kör középpontja: (6 -) Még egy megoldást kapunk, ha -t a -re tükrözzük A körök egyenletei: (x - 6) + (y + ) és (x + ) + (y - ) 86 q) s) w) nem kör egyenlete, v) pontkör (r ), a többi kör egyenlete izsgáljuk például a j) egyenletét: x +, x + y - y,6 Innen (x +,) + (y -,), +, +,6 (x +,) + (y -,) 6, (-,,), r, pl: c) ( ), r h) ( ), r k) O, r l) O, r m) Osszuk el az egyenletet -mal O, r 8 n) O, r a b a + b o) (a ), r qau t) - -, r O 86 a) A (- ) középpontú, r sugarú kör külsô pontjainak koordinátái b) (x - ) + (y + ) - Ilyen pont nem létezik c) ( -) pont d) (x - y)(x + y - ) Az x - y és az x + y - egyenletû egyenesek pontjainak koordinátái 86 a) (x - ) + (y + ) és (x + ) + (y - ) körök egyenletei ( -), r, (- ), r egyenes egyenlete: x + y - b) 7x + 8y B C B + C - AD 866 x + + y + A O A O Szükséges és elégséges, hogy A! és A B + C >AD legyen a) A! és D b) A! és C c) A! és B d) Szüksé-

6 8 A kör ges és elégséges, hogy y esetén az AX + BX + D egyenletnek pontosan egy gyöke legyen B AD és A! e) A! és C AD f) B AD, B C, A! 867 ( ), r, x + y - x + 6y b x- l + y- r O Tegyük fel, hogy a (x y ), és a (x y ), rácspontok rajta vannak a fenti körön Ekkor bx- l + y - bx - + y - O l O Innen x - x + y -y - _ y- yi _ x-xi Ha x! x, akkor a bal oldal racionális, a jobb oldal irracionális miatt! Tehát x x y -y - _ y- yi, innen _ y- yi y+ y- O y y, vagy y+ y Utóbbi nem lehetséges, mert y, y! Z Ellentmondásra jutottunk, ezért igaz a feladat állítása 869 b x- l + y- r O egyen (x y ), (x y ), rácspontok Ekkor x - x + y -y - _ y- yi _ x-xi Innen adódik, hogy x x és y y 87 egyen Q( ) Q rajta van az x + y egyenletû körön Tekintsük a Q ponton átmenô y mx + egyenletû egyeneseket Az egyenesnek és a körnek közös pontját az x + y, y mx + egyenletekbôl álló egyenletrendszer gyöke (i) adja x + (mx + ) Innen m (m + )x + mx x, y, x- m + y - m Minden racionális m-re m + x és y is racionális A feladat állítása igaz 87 a) Az x tengely pontjainak második koordinátája, az y tengely pontjainak elsô koordinátája Ha y, M (6 ), M (- ), ha x, M b l, M b l + - b) M ( ), M (- ), M M b - l c) Mb l, M M ( ), M ( -) + O - O 87 ( ), (- ), Q, Q egyen az origó az O pont O O - Ekkor O $ O -, OQ$ OQ - Az origó a kör belsô pontja Az origó a húrt és a Q Q húrt két részre osztja A részek szorzata egyenlô a évfolyamon igazolt tétel szerint 87 A húr végpontjai A és B AB AB felezôpontja legyen F Ekkor AF, F és A r ( a kör középpontja) AF derékszögû háromszögben r +, r, b l ét megoldás van, a körök egyenletei x + y - x! y+

7 A kör egyenlete 9 87 ét megoldás van: (x - ) + (y! ) 87 AB 8, r, (u v), ( 8) F 9 AB, ezért F pont felezi az AB húrt F v Az AF derékszögû háromszögben v +, innen v 8 u + (8-8), u +, innen u! ét megoldás van: x + y! 6x - 96y + 7 $ -$ ( -), r, d 877 ( ), r, (- -6), r 6 A keresett kör középpontja ( -), az átmérô:, r, egyenlete: (x - ) + (y + ) A tengelypontok: b! l és 87 b -! 6lAnégyszög átlói merôlegesek egymásra és a hosszuk és 6 Anégy- szög területe: területegység a b b 878 A kör átmérôje AB a + ( b -) a sugara r + - +, a középpontja a b + a b a b b O, az egyenlete: x - + y O O Rendezve a kör egyenletét: () x + y - ax - (b + )y + b Az x tengelyt olyan pontban metszi a kör, amelynek második koordinátája: y Ekkor () szerint () x - ax + b Ha () diszkriminánsa a - b >, akkor valóban a kör olyan két pontban metszi, amelyek abszcisszái () valós gyökei 879 A középpontok koordinátái: ( 9), (- -7) A centrális egyenlete: y x +, a 6, 88 ( ), r A négyszög csúcsai: x, A( ), C( -), y, B b- l, T Db+ l T, T 6 6 9, 9% T 88 ( ), r, (- ), r x + y + x - 8y + 88 A keresett koncentrikus kör egyenlete: () x + y - x + y + k ()-nek az x tengellyel való metszéspontjai: b+ -k l és b- -k l () az y tengelyt a b + -k l és a b - -k l pontokban metszi A négyszög átlóinak hossza: - k és - k A négyszög területe: -k $ - k 6 6 Innen k - és k A feladatnak a k - felel meg Megoldás: (x - ) + (y + ) 88 A kör középpontja az x - y - és az y x, vagy az x - y - és az y -x, egyenletû egyeneseken van Megoldás: (x - ) + (y - ) és (x + ) + (y - ) 8 C C 88 A, B kell legyen Ekkor ( x- ) + y O Innen C! ét 6 megoldás van: (x - ) + (y! )

8 A kör 88 a) Meg kell oldani a következô egyenletrendszert: + + a+ b ( ) a+ b a b b) a b- 886 a) A kör egyenlete x + y + ax+ by + c alakú Ezért + - a+ b+ c 6+ + a+ b+ c a- b+ c egyenletrendszer gyökei: a-, b, c- 8 _ x- i + _ y+ i Afeladatot úgy is megoldhatjuk, hogy kiszámítjuk az ABC háromszögben az oldalfelezô merôlegesek közös pontját, azután a kör sugarát b) ( x- ) + ( y+ ) c) ( x- ) + ( y- ) d) ( x- ) + y- O 9 6 e) ( x- ) + y- O 887 A körív olyan kör része, amely áthalad az A(- ), B( ), C( ) pontokon A kör egyenlete: x + ( y+ ) Ha x -, y, ha x -, y, 8 és így tovább, akkor a tartórudak hossza rendre,8 8,9 méter 888 a) Elôször számítsuk ki a háromszög csúcspontjainak koordinátáit: A ( ), B( - ), + + Feltételezve, hogy az egyenesek m n Ugyanis például az és egyene- és Hasonlóképpen és, illetve és közös pontjai is kielégítik () egyenletet () ( x-y-)( 7x-y- ) + + m( 7x-y- ) $ ( x+ y+ 8) + n ( x+ y+ 8)( x-y- ) A () másodfokú egyenlet akkor és csakis akkor kör egyenlete, ha az x, y együtthatói egyenlôk, az xy tag együtthatója és r > Így m-ra és n-re felírhatjuk () rendezése után a következô egyenletrendszert: 9m+ 7n- m- n Innen m n - Helyettesítsük m és n értékét ()-ben a m és a n helyére Ekkor ( x ) ( y ) valóban kör egyenlete b) 7x + 7y - 9x+ y- 6 Megjegyzés: Ha a m és n paraméterekre kapott egyenletek nem függetlenek egymástól, akkor nincs megoldás Ekkor az adott egyenesek közül kettô párhuzamos 89 A metszéspontok koordinátái: A( -,), B(6 -,), C(, ) A x+ y- egyenletû egyenes merôleges a x-y- egyenletû egyenesre, mert $ - $! AB r egység C( - ) A kör egyenlete: x- + y- 86 O 86 O 698 C( 6 6 ) ( x- ) + ( y- ) c) A (- ), B O x- + y+ O 7 O 889 Az adott egyeneseket jelöljük a következôképpen: : x-y- : 7x-y- : x y 8 páronként metszik egymást: () + + sek metszéspontjának koordinátáira,, b) A ( ) O, C O - B( - - ),

9 A kör egyenlete 89 A csúcsok koordinátái: A(- -), B(- 6 ), 89 C( -) A körülírt kör egyenlete: ( x+ ) + y Az A(- -) csúcson átmenô belsô szögfelezô egyenlete: x+ y+ 9 - x+ y+ 8, innen () y x+ A C csúcsnál fekvô c szög szögfelezô egyenesének egyenlete: - x+ y+ 8 x+ y+ 6 - Innen () b- l x+ b + l y-6-8 A beírható kör O középpontjának koordinátáit az ()-() egyenletekbôl álló egyenletrendszer gyökei adják x - + és y - + A beírható kör sugara a x+ y+ 9 normálegyenlet felhasználásával számítható ki u - 89 A körök középpontjai: ( - 6), ( ) Aháromszög egyik oldala 6 egység, a hozzá tartozó magasság egység t területegység, a kerület hossza,8 egység 89 Az ABC háromszög derékszögû, mert AC( - 9 ), BC( - 6) és AB 6 6 $ (- 9) + $ (- 6) t területegység, r k r egység 89 A háromszög derékszögû B 9 (89 ábra) a) b) ( ) ( ) ( ) c) S O d) ( ) e) M( ) f) A háromszögbe írható kör sugara: AB + BC -AC u - O( + u -u), Ob- + l 89 A B pont koordinátái ( b ),a C pont koordinátái c c O Ekkor c: 6 és b+ c Innen B( ), C(8 ) A kör egyenlete: ( x - 7) + ( y - ) I megoldás Írjuk fel az ABC háromszög köré írható kör egyenletét és ellenôrizzük, hogy a D pont illeszkedik-e a körre? II megoldás AB( - 7), AD() 7 AB $ AD 7-7, tehát AB AD BC( 8 ), CD( - ) BC $ CD , tehát BC CDAnégy pont az AD átmérô fölé rajzolt körön van a) Az A( -), B(8 ), C( ) pontokon átmenô 9 kör egyenlete: x - + O y + O egyen x Ekkor y,, y- 9, Megoldás: D( -,9) + 89 O 89 b) D adódik az x- + y 6 O 6 O 6 egyenletbôl

10 A kör A skaláris szorzat segítségével számítsuk ki az a és a c szögeket AB( - ), AD( 8) AB, AD 68, AB $ AD 6- - Másrészt - $ 68 cos a Innen cosa- -, a Hasonlóképpen számíthatjuk ki a cosc értékét cosc, c Mivel a+ c 8, azért az ABCD négyszög húrnégyszög 899 A négyszög ABC pontjain átmenô kör egyenlete: ( x- ) + y A D( ) pont koordinátái kielégítik a kör egyenletét! 9 Az ABD pontokon átmenô kör egyenlete: ( x- ) + ( y+ ) A C pont koordinátái kielégítik a kör egyenletét 9 A( ), C( -) A négyzet középpontja az AC szakasz felezôpontja ( ) (9 ábra) C( - ) Forgassuk el a C vektort + 9 -kal D ( ) Ekkor OD O + D, D( ), B( -) 9 A B csúcs koordinátáit úgy számítjuk ki, hogy az A( -) pontot tükrözzük a x+ y egyenletû szimmetriatengelyre AB egyenes egyenlete: x- y Az AB szakasz F felezôpontjának koordinátáit a x+ y x- y egyenletrendszer gyökei adják F( ) B(7 ) A szimmetrikus 9 trapéz köré írható kört egyértelmûen meghatározzák az A, B, D pontok A középpontját a x+ y egyenletû egyenes és az AD szakasz f felezô merôlegesének közös pontja adja f egyenlete x+ y- (9,6-7,), r A, 9 A trapéz köré írható kör egyenlete: ( x - 96, ) + + ( y + 7, ), 9 9 A téglalap B csúcsának koordinátái: B(- -9) Ugyanis AD( - ), AD( - 9 ) Elforgatva +9 -kal kapjuk az AB vektort AB( - - 9) Ekkor OB OA+ AB, OB( - - 9) AB csúcs koordinátái (- -9) A téglalap köré írható kör középpontja azonos a BD szakasz felezô-

11 A kör egyenlete pontjával (- -), a kör sugara: r, egyenlete: k:( x+ ) + ( y+ ) A B csúcsot tükrözve az A pontra még egy téglalapot kapunk: B*( 9 ) Az AB* C* D téglalap köré írható kör egyenlete: k:( x- ) + ( y- ) A k kör a tengelyeket a ( ), (- ), b - + 6l, b -- 6l koordinátájú pontokban metszi A k kör a tengelyeket a ( ), b + l, b - l, koordinátájú pontokban érinti, illetve metszi A kimetszett húrok hossza: 6 6 egység 9 A háromszöget helyezzük el az ábrán látható módon a koordináta-rendszerben egyen A(-a ), B(a ), ekkor C( a) Az ABC háromszög így valóban egyenlô szárú és derékszögû háromszög A CB( a - a) + 9 -kal elforgatva CC ( a a) Így az OC OC + CC az OC és a C koordinátái ( a a) Hasonló meggondolással kapjuk, hogy B ( a a), a szimmetria miatt A ( a a) ( - a A szóbanforgó csúcsok az origótól a + a a egység távolságra vannak, és így az x + y a egyenletû körön vannak 9 Az egyenesek párhuzamosak Ebbôl következik, hogy a kör (u v) középpontja az x egyenletû egyenesre illeszkedik és a sugara r A középpont rajta van a x- y 6 egyenletû egyenesen is Mivel u, v 9 Megoldás: ( x- ) + ( y- 9) 9 96 x-b- le + y-b- le b- l 9 97 egyen e : x+ y-, e : x+ y- és e : y x- e e, ezért az érintôkör középpontja rajta van a középpárhuzamoson, amelynek egyenlete k: x+ y Másrészt rajta van az e és e egyenesek által bezárt szögek szögfelezôin f és f egyenleteit az e és e egyenesek normálegyenleteivel, illetve a d Ax + By+ C távolságképlettel írhatjuk fel A + B f egyenlete: x- y Az f egyenlete: x+ y 9 A k kör középpontja a O pont, a sugár r kör egyenlete: x- + y- 97 O O A k kör középpontjának koordinátáit a k és f egyenesek metszéspontja adja ( ), r egyenlete: ( x- ) + y 98 a) egyen e: x- y, e : x+ y- és e : x+ y A középpont rajta van az e és e egyenesek szögfelezôin, másrészt az e egyenesen A szögfelezôk egyenletei:

12 A kör 99 f : x+ y, f: x- y A k kör középpontjának koordinátái kielégítik az f és e egyenleteket Innen: ( - ), a sugár r egység A k kör középpontjának koordinátáit az f és e egyenletrendszer gyökei adják O, a sugár: r A körök egyenletei: ( x- ) + ( y+ ), és x- + y- O O 9 9 b) ( x- ) + ( y- ), és x+ + y-, O O 99 A k kör középpontja rajta van az x 6 egyenletû egyenesen, másrészt egyenlô távol van az x+ y- egyenletû egyenestôl és a ( ), illetve ( ) koordinátájú pontoktól ( ) A ( 6 v) pontra felírhatjuk a következô egyenletet: 6 v () ( 6- ) + ( v - ) + - () egyenlet gyökei: v 9, v 7 Mindkét gyök megoldás Az egyik kör középpontjának koordinátái: (6 7), a sugara egység, a másik kör kö- zéppontja: (6 9), a sugara 9 8 egység 9 egyen x $ és y $ Ekkor a kettôs egyenlôtlenség a következôképpen írható: # x + y # x+ y Az x + y $ egyenlôtlenséget kielégítô ( x y) számpárok az origó középpontú egység sugarú körvonal vagy a körön kívül fekvô pontok koordinátái Az x + y # x+ y, illetve az ( x- ) + ( y-) egyenlettel megadott ponthalmaz az elsô síknegyedben az ( ) középpontú, r sugarú körön vagy annak belsejében helyezkedik el A kettôs egyenlôtlenséggel megadott síkidomot az ábrán az I síknegyedben bevonalkáztuk Ha x # és y $, akkor a II síknegyedbeli holdacskát kapjuk És így tovább A négy bevonalkázott holdacska egybevágó Egyik területe: 9 b l r r $ t - - O T $ 8 területegység O 9 A ( 6) ponton átmenô egyenesek egyenlete: y mx+ b alakú 6 m+ b, ezért y mx+ 6- m Az egyenesek normálegyenlete: Az ábra alapján mx- y + 6-m m + állítjuk, hogy két egységsugarú érintôkör létezhet: (- ), r, ( - ), r Ekkor pontra: ()

13 A kör egyenlete -m- + 6-m m+ + 6-m -m O pontra: () () egyenletbôl m + m + + m O m, m A feladat követelményeinek az m felel meg Az egyenes egyenlete: x- y+ A ()-es egyenletbôl kapjuk a második megoldást: y 6, x- 8, 9 Az A( ), B( ), C( ) csúcsokon átmenô kör egyenlete: 6 k:( x- ) + y- O A kör 6 O középpontja a D( -) ponttól d 97 egység 6 távolságra van A keresett kör R sugarát úgy kapjuk, hogy a k kör sugarát, -et a felével megnöveljük R Helyezzük el az ABC háromszöget a koordináta-rendszerben úgy, hogy a csúcsok koordinátái a következô számpárok legyenek: A( - a ), B( a ), C( c d), ahol a>, dy Ekkor a x ( y) pontra A + B + C ( x + a) + y + ( x - a) + y + ( x - c) + ( y - d) Ren- c d 8c 8d 8c + 8d dezve: A + B + C x - + y - + a + + $ a + O O c d A négyzetösszeg akkor a legkisebb, ha x, y Ekkor a pont az ABC háromszög súlypontja 9 álasszuk meg a koordináta-rendszert úgy, hogy a háromszög csúcspontjainak koordinátái: A - c O, B c O Cx ( y ) legyen ( C >, yy ) Ekkor t c y és 8t c y (t jelenti az ABC háromszög területét) Az oldalak négyzetösszegére felírhatjuk a következô egyen- c c c letet: () c + x+ + y + x- + y c y O O Ha y >, akkor ()-bôl x + ( y- c) c c adódik, ha y <, akkor x + ( y+ c) A mértani hely két kör: ( c), r, c ( - c), r Mindkét kör minden pontja hozzátartozik a mértani helyhez 9 egyen x ( y ) Ekkor ( x+ ) + y + ( x- ) + y + x + ( y- 6) k Innen rendezéssel: x + ( y- ) `k -j adódik Ha k <, akkor a mértani hely üres halmaz Ha k, akkor a mértani hely egy pont: ( ) Ha k >, akkor a mértani hely kör, amelynek középpontja a ( ) koordinátájú pont, a sugara egység A kör minden pontja megfelel k -

14 6 A kör 96 A keresett kör középpontja egyrészt rajta van az origó körül rajzolt egységsugarú körön, másrészt az x+ y egyenletû egyenesre a ( ) pontban emelt merôleges egyenesen A körök egyenletei: ( x ) y és x + ( y+ ) 8 97 egyen a szabályos háromszög oldala a hosszúságú Ekkor a magassága a álasszuk a meg a koordináta-rendszert úgy, hogy a csúcsok koordinátái a következôk legyenek: B - O, C a O, A a O O A feladat szerint: x y a a a O + - x+ + y + x- + y O O O Innen rendezéssel az x + y+ egyenletet kapjuk A mértani hely olyan kör, amely- a a O O a O a nek középpontja a - pont, a sugara egység A kör minden pontja megfelel O ör és egyenes kölcsönös helyzete ör érintôje a 98 a) ( ), ( ) b) ( ) c) ét közös pont van, ha r > a a r mr O egy közös pont van, ha r nincs közös pont, ha r < d) m + m + O, r mr O - - e) ét közös pont van, ha m + m + O r b > egy közös pont van, m + b b ha r, nincs közös pont, ha r < m + m + 99 a) ét közös pont van b) ét közös pont c) Egy közös ponton van d) incs közös pont D < 9 a) ( ) és - O b) ( ) és O c) (,9,) és (,,) d) ( ) és (- -) e) ( -6) 9 9 a) ét közös pont van: ( ) és - O b) Egy közös pont van: ( -) c) Az egyenes egyenlete: x+ y Az egyenesnek és az x + y egyenletû körnek egy közös pontja van: ( ) Az egyenes az x + y 6 egyenletû kört két pontban metszi + - O O és - + O O