Koordinátageometria Megoldások
|
|
- Judit Farkas
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 ) Koordinátageometria Megoldások - - Koordinátageometria - megoldások a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete x + y = 0, egyik csúcsa az origó. Hány ilyen tulajdonságú háromszög van? (6 pont) b) Jelölje e azokat az egyeneseket, amelynek egyenlete x + y = b, ahol b valós paraméter. Mekkora lehet b értéke, ha tudjuk, hogy van közös pontja az így megadott e egyenesnek és az origó középpontú 4 egység sugarú körnek? (8 pont) a) A megadott x + y = 0 egyenletű egyenes az A ( 5;0) és ( 0;0 ) B pontokban metszi a tengelyeket Az origóból az egyenesre bocsátott, rá merőleges egyenes egyenlete x y = 0 A két egyenes D metszéspontjának koordinátái: D 4; ( ) A megadott feltételeknek három derékszögű háromszög felel meg A 5;0, O 0;0, B 0;0 AOB háromszög, ahol ( ) ( ) ( ) ADO háromszög, ahol A ( 5;0 ), D ( 4, ), O ( 0;0) BDO háromszög, ahol B ( 0;0 ), D ( 4, ), O ( 0;0) ( pont) b) Az egyenesnek és a körnek akkor és csak akkor van közös pontja, ha az egyenleteikből álló egyenletrendszernek van megoldása A kör egyenlete: x + y = 6 Az egyenes egyenletéből y = b x. Behelyettesítés után: x ( b x ) + = 6 5x 4bx + b 6 = 0 A kapott másodfokú egyenletnek van megoldása, ha a D diszkrimináns nem negatív D = 0 4b 0 ahonnan b 4 5 A b paraméter lehetséges értékei tehát a 4 5; 4 5 elemei Összesen: 4 pont ) A PQRS négyszög csúcsai: P ( ; ), Q ( ; ), R ( 6;) és ( 5; 5) S. Döntse el, hogy az alábbi három állítás közül melyik igaz és melyik hamis! Tegyen * jelet a táblázat megfelelő mezőibe. Válaszát indokolja, támassza alá számításokkal! a) A állítás: A PQRS négyszögnek nincs derékszöge. (4 pont) b) B állítás: A PQRS négyszög húrnégyszög. (4 pont) c) C állítás: A PQRS négyszögnek nincs szimmetriacentruma. (5 pont)
2 005-0XX Emelt szint Igaz Hamis A * B * C * a) Az A állítás hamis mert van derékszöge. Például SRQ szög 7; RS ; 7 mert RQ ( ) és ( ) és így RQ RS = 0, így a négyszög R-nél lévő szöge derékszög b) A B állítás igaz mert a PQRS négyszögben az R csúccsal szemközti P csúcsnál lévő szög is derékszög. ;4 PS 8; 4, ezért PQ PS = 0 ugyanis PQ ( ) és ( ) Így a PQRS négyszög szemközti szögeinek összege 80 (a húrnégyszög tételének megfordítása miatt), tehát a négyszög húrnégyszög c) A C állítás igaz mert ha lenne a négyszögnek szimmetriacentruma, akkor a PQRS négyszög RQ és a paralelogramma lenne. Ehhez például az kellene, hogy az ( 7;) PS ( 8; 4) vektorok ellentett vektorok legyenek. ( pont) Ez csak úgy teljesülne, ha az egyik oldalvektor koordinátái ( ) -szeresei a másik vektor koordinátáinak. Ez viszont nem teljesül. ( pont) Összesen: pont ) Három ponthalmazt vizsgálunk a derékszögű koordináta-rendszer S síkjában. Az A halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátái: 4x y 8 A : = P x; y S 4x y 8 ;, azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira: x + y 6x + 4y 0, B : = P x; y S x + y 6x + 4y 0, azaz ( ) a C halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira: y = 4, azaz C : P ( x; y S ) y 4 = =. a) Ábrázolja közös koordináta-rendszerben a három halmazt! Fogalmazza meg, milyen geometriai alakzatok az A, a B és a C halmaz pontjai! (8 pont) b) Ábrázolja újabb koordináta-rendszerben a B\ A halmazt! Fogalmazza meg pontosan, hogy milyen geometriai alakzatot alkot ez a ponthalmaz? (4 pont) c) Ábrázolja a B C halmazt! Ennek a ponthalmaznak melyik P ( x; y ) pontja van a legközelebb, illetve a legtávolabb a koordináta-rendszer origójától? (4 pont) - 4 -
3 4 a) Az A halmaz pontjai a y = x 6 egyenletű egyenes alatti zárt félsík pontjai Az A halmaz ábrája A B halmaz pontja az ( x ) ( y ) + + = 5 egyenletű kör és a kör belső pontjai K ;, sugara r = 5 A kör középpontja ( ) Koordinátageometria - megoldások A B halmaz ábrája ( pont) A C halmaz pontjai az y = és y = egyenletű párhuzamos egyenesek pontjai A C halmaz ábrája b) A B\ A halmaz ábrázolása: A B\ A halmaz pontjai egy félkörlemez pontjai, amihez a félkörív és a belső pontok hozzá tartoznak, de a kör DE átmérője nem. (Az 0; 6 E 6;.) ( pont) átmérő végpontjai D ( ) és ( ) A ponthalmaz pontjai a DE átmérő fölött vannak. c) A B C halmaz a B ponthalmaz határoló körének két párhuzamos húrja; 6;, valamint A húrok végpontjai: ( 0; ) és ( ) ( ; ) és ( 8; ). (ez utóbbi húr egyben átmérő is) A B C halmaz ábrázolása: 8; pont Az origótól a legmesszebb a ( ) legközelebb a ( 0; ) és a ( ) 0; pont van ( pont) Összesen: 6 pont 4) a) Ábrázolja a 0;6 intervallumon értelmezett hozzárendeléssel megadott függvényt b) Adja meg a y x 8x pontjában húzott érintőjének egyenletét. x x x 8 + ( pont) P 5; 4 = + egyenlettel megadott alakzat ( ) ( pont) - 5 -
4 005-0XX Emelt szint a) A helyes parabola ábrázolása az adott intervallumon ( pont) b) A parabola egy adott pontjába húzott érintő meredekségét itt az első derivált segítségével kaphatjuk meg. y = x 8 (5 pont) Az érintési pont első koordinátájának y 5 = = m ( pont) behelyettesítésével: ( ) y = mx + b P ( 5; 4) 4 = 0 + b ( pont) b = 4 Az érintő egyenlete: y = x -4 ( pont) Összesen: 4 pont 4 5) Egy háromszög két oldalegyenese az x tengely és az y = x egyenletű egyenes. Ismerjük a háromszög beírt körének egyenletét is: ( x ) ( y ) 4 + = 4. Írjuk fel a háromszög harmadik oldalegyenesének egyenletét, ha a háromszög egyenlő szárú és a) az alaplapja az x tengelyre illeszkedik (7 pont) b) az adott oldalegyenesek a háromszög száregyenesei! (9 pont) a) A keresett háromszög egyik csúcsa a koordinátarendszer origója, a háromszög K 4; beírt körének középpontja ( ) Az egyenlő szárú háromszög szimmetriatengelye áthalad ezen a középponton Ha az ABC háromszög alapjának egyenese az x tengely, akkor a szimmetriatengelyének egyenlete x = 4 A és AB oldalél F felezőpontja Mivel ( 0;0) ( 4;0 ), ezért ( 8;0) B 4 A C csúcs az AC oldalegyenes y = x és x = metszéspontja a szimmetriatengely ( 4) C 6 4; 6 A BC oldalegyenes egy irányvektora BC 4; Így a BC oldalegyenes egyenlete 4x + y = - 6 -
5 b) Ha P ( 0;0) és a PQR háromszög alapjának egyenese a QR egyenes, akkor a PK a QR egyenes egy normálvektora. PK = 4;. A QR egyenes egyenlete ( ) Koordinátageometria - megoldások x + y = c, ahol c valós A megadott kör akkor lesz a QPR háromszög beírt köre, ha a QR egyenes érinti a kört. Vagyis a körnek és az egyenesnek egy közös pontja van. Tehát az a c felelhet meg, amelyre az alábbi egyenletrendszernek egyetlen gyöke van: x + y = c ( x 4) + ( y ) = 4 Az első egyenletből y-t kifejezve, a másodikba behelyettesítve és rendezve kapjuk, hogy: 5x 4cx + c 4c + 6 = 0 ( pont) Egyetlen gyököt pontosan akkor kapunk, ha a diszkrimináns nulla, vagyis D = 4c + 80c 0 = 0 Ebből c = 0 + 0, c = 0 0 A c értéke nem felel meg, mert ekkor a kör a háromszög kívülről érintő köre lenne A keresett QP egyenes egyenlete: x + y = Összesen: 6 pont K t = t + 6t + 5 polinom. Jelölje H a koordinátasík azon 6) Adott a ( ) P ( x; y ) pontjainak halmazát, amelyekre K ( x ) K ( y ) 0 +. a) A H halmaz pontjai közül véletlenszerűen kiválasztunk egyet. C ; Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott pont az ( ) ponttól egységnél nem nagyobb távolságra van? Az f függvényt a következőképpen definiáljuk: f :, f x = x + 6x + 5 ( ) (9 pont) b) Számítsa ki az f függvény grafikonja és az x tengely által közbezárt síkidom területét! (7 pont) a) K ( x ) + K ( y ) = x + 6x y + 6y A bal oldali kifejezés teljes négyzetté kiegészítéssel a következő alakra hozható: ( x ) ( y ) a H halmaz a ( ;) középpontú 8 sugarú zárt körlap A kérdéses valószínűség a geometriai modell alapján a két koncentrikus körlap területének arányaként számolható ( pont) C ; középpontú, egység sugarú zárt körlap, A kedvező tartomány a ( ) ennek területe 4 A teljes tartomány a H halmaz, ennek területe 8 4 Így a keresett valószínűség P = = 8
6 005-0XX Emelt szint b) Az f függvény zérushelyei 5 és Mivel f főegyütthatója pozitív, a másodfokú függvény a két zérushelye között negatív értékeket vesz fel kérdéses terület a függvény két zérushely közötti integráljának -szerese x T = ( x + 6x + 5) dx = + x + 5x 5 5 ( pont) behelyettesítés után, a keresett terület nagysága Összesen: 6 pont 7) Az a és b vektor koordinátái a t valós paraméter függvényében: a ( cos t; sin t ) és b ( sin t; cos t ) 5 a) Adja meg a és b vektorok koordinátáinak pontos érékét, ha t az 6 számot jelöli! ( pont) b) Mekkora az a és b vektorok hajlásszöge t = 5 6 esetén? (A keresett szöget fokban, egészre kerekítve adja meg!) (5 pont) c) Határozza meg t olyan valós értékeit, amelyek esetén a és b vektorok merőlegesek egymásra! (7 pont) a) 5 5 acos ;sin = a 6 6 ; 5 5 bsin ;cos = b ; b) Jelöljük a két vektor által bezárt szöget -val. A koordinátáival adott vektorok skaláris szorzata kétféleképpen is kiszámítható: ab = + = illetve ab = a b cos Mivel a = és 0 0 b = = 6 4 Ezért 0 cos =, ebből cos = 0, Innen 78,4. Tehát a két vektor ebben az esetben kb. 78 -os szöget zár be. c) A két vektor akkor és csak akkor merőlege egymásra, ha ab = 0 A keresett t ismeretlent a szokásosabb módon x jelöli. Mivel ab = cos x sin x + sin x cos x, így a cos x sin x + sin x cos x = 0 egyenlet megoldása a feladat. Azonos átalakítással adódik: cos x sin x sin x + cos x = 0 ( ) Ez a szorzat pontosan akkor nulla, ha
7 - 9 - Koordinátageometria - megoldások cos x = 0 vagy sinx = 0 vagy sin x + cos x = 0 () x = + n, ahol n vagy () x = k, ahol k vagy () sin x + cos x = 0 A () alatti egyenletnek nem megoldásai azok az x számok, amelyek koszinusza 0, így az egyenlet megoldáshalmaza azonos a tgx = egyenletével Azaz x = + m, ahol m 4 A két vektor tehát pontosan akkor merőleges egymásra, ha t = n vagy t = + m, ahol nm, 4 Összesen: 4 pont 8) Egy egyenlő szárú háromszög szárainak metszéspontja C ( 0; 7) pont, a szárak hossza 5 egység. A háromszög másik két csúcsa (A, B) illeszkedik az y = x + egyenletű parabolára. 4 a) Számítsa ki az A és a B pont koordinátáit! (6 pont) b) Írja fel az ABC háromszög egyik száregyenesének egyenletét! Ennek az egyenesnek és a parabolának további közös pontja D. Határozza meg a D pont koordinátáit! (4 pont) c) Mekkora területű részekre bontja az ABC háromszöget a parabola íve? (6 pont) a) A keresett két csúcs rajta van a C középpontú 5 egység sugarú körön. A kör egyenlete: x ( y ) + 7 = 5 A keresett pontokat a következő egyenletrendszer megoldása adja: y = x + 4 x + ( y 7) = 5 Az első egyenlet átalakításával: x = 4y + 4. Az x kifejezést behelyettesítve a második egyenletbe kapjuk, hogy: y 8y = 0 Innen y = 0 és y = 8. Ezek közül csak az y = 0 ad megoldást Behelyettesítve az első egyenletbe: A keresett két pont: ( ) A ; 0 és B ( ; 0 ) x = 4. Innen x = és x = b) A BC egyenes egyenlete: 7x + y = 4 A D pont koordinátáit a 7x + y = 4 és a y = x + görbék B-től különböző 4 metszéspontjai adják. 7x x = gyökei x = és x =
8 005-0XX Emelt szint D ( ; 5 ) (A másik száregyenes egyenlete: AC : 7x y = 4, közös pont pedig ( ) D ; 5.) c) Az ABC háromszög területe: AB m c 4 7 = = 4 A parabola két részre osztja a háromszöget. A kisebbik rész területének fele a szimmetria miatt: 4 x + dx = 4 0 ( pont) A háromszögnek parabolaív alá eső területe: 8 (területegység) ( pont) 8 A háromszögnek a parabolaív felé eső területe: 4 = 4 9) Az ABCD konvex négyszög oldalegyeneseinek egyenlete rendre: DA : x 4y 0 = 0 AB : x + 5y 0 = 0 te Összesen: 6 pont BC : 4x y + = 0 CD : 5x + y + 5 = 0 a) Igazolja, hogy a négyszög átlói az x és az y tengelyre illeszkednek, továbbá, hogy ennek a négyszögnek nincs derékszöge! (8 pont) b) Bizonyítsa be, hogy a négyszög húrnégyszög! (8 pont) a) az egyenes DA : x 4y 0 = 0 AB : x + 5y 0 = 0 BC : 4x y 0 x tengelyen lévő pontja y tengelyen lévő pontja 0 ;0 ( 0; 5) 0 ;0 ( 0;4 ) ;0 0;4 + = ( ) ( ) + + = ( ;0) ( 0; 5) CD : 5x y 5 0 A DA és az AB egyenesek metszéspontja az x tengely 0 A = ;0 pontja Az AB és a BC egyenesek metszéspontja az y tengely B = ( 0;4) pontja A BC és a CD egyenesek metszéspontja az x tengely C = ( ;0) pontja A CD és a DA egyenesek metszéspontja az y tengely D = ( 0; 5) pontja A csúcspontok alapján beláttuk, hogy az ABCD négyszög AC átlója az x, a BD átlója pedig az y tengelyre illeszkedik Felírjuk az oldalegyeneseket és egy-egy normálvektorukat ( pont)
9 az egyenes DA : x 4y 0 0 Koordinátageometria - megoldások egy normálvektor ; 4 = ( ) + = ( ;5 ) + = ( 4; ) + + = ( 5; ) AB : x 5y 0 0 BC : 4x y 0 CD : 5x y 5 0 A normálvektorok között és ezért az egyenesek közt sincs két egymásra merőleges (skalárszorzatuk nem 0), ezért az ABCD négyszögnek nincs derékszöge b) Legyen = BCD és = DAB Vektorok skalárszorzatával fogjuk kiszámítani két szemközti szög CB CD koszinuszát. cos = CB CD ahol CB = ( ;4) és ( ; 5) CD = CB CD =, CB = 5 és CD = 4 cos = 5 4 AB AD cos =, ahol AB AD AB 0 = ;4 és AD 0 = ; AB AD =, AB = és CD = 9 cos = 5 4 A és az szögek tehát kiegészítő szögek, az ABCD négyszög húrnégyszög. Összesen: 6 pont 0) Az x = y egyenletű parabola az x + y 8 egyenletű körlapot két részre vágja. Mekkora a konvex rész területe? Számolása során ne használja a közelítő értékét! (6 pont) Az x + y = 8 egyenletű kör középpontja és a parabola tengelypontja is az origó (O) ( pont) A metszéspontok meghatározása: y = x x + y = 8 y + y 8 = 0 ( pont) y = y = 4 amelyek közül az y = a feladatnak megfelelő - 4 -
10 005-0XX Emelt szint A CD húr a körlapból egy olyan körszeletet vág le, amelynek a középponti szöge ( = 90 ), mert az OD és OC is egy-egy négyzet átlója Tkörszelet = r ( sin ) = így a területe: ( pont) = 8 sin = 4 A parabolából a CD húr által levágott parabolaszelet területe: x x x Tparabolaszelet = TABCD dx = 4 = x (5 pont) x = 8 = 8 = 6 A konvex rész területe: 6 T = Tkörszelet + Tparabolaszelet = 4+ = + 4 Összesen: 6 pont ) Adott a síkbeli derékszögű koordináta-rendszerben az x + y + 6x + 4y = 0 egyenletű kör. Ebbe a körbe szabályos háromszöget írunk, amelynek egyik csúcsa A ( ; ). a) Számítsa ki a szabályos háromszög másik két csúcsának koordinátáit! Pontos értékekkel számoljon! ( pont) b) Véletlenszerűen kiválasztjuk az adott kör egy belső pontját. Mekkora a valószínűsége, hogy a kiválasztott pont a tekintett szabályos háromszögnek is belső pontja? Válaszát két tizedes jegyre kerekítve adja meg! (5 pont) a) Teljes négyzetté alakítással és rendezéssel a kör egyenlete: ( x ) ( y ) = 6 innen a kör középpontja K ( ; ), sugara r = 4 A kör K középpontja az ABC szabályos háromszög súlypontja. Az AK szakasz a háromszög AF súlyvonalának kétharmada F 5;. ahonnan ( ) A szabályos háromszög AF súlyvonala egyben oldalfelező merőleges is így a BC oldalegyenes az AF súlyvonalra F-ben állított merőleges egyenes A BC egyenes egyenlete tehát x = 5 A kör egyenletébe behelyettesítve: y = és y = ( pont) A szabályos háromszög másik két csúcsa: B ( 5; ) és C ( 5; ) b) A kérdéses valószínűség a beírt szabályos háromszög és a kör területének hányadosa ( pont) A kör területe: = r Tk - 4 -
11 Koordinátageometria - megoldások r sin0 r A szabályos háromszög területe: Th = = 4 Th A keresett valószínűség: P 0, 4 T 4 k ) Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelyik illeszkedik a P ( ;5) pontra, valamint az x + y = 4 és x + y = 6 egyeneseket olyan pontokban metszi, amelyek első koordinátájának különbsége. (6 pont) A feltételek és az adatok alapján a keresett egyenes nem lehet párhuzamos az y tengellyel, ezért egyenletét kereshetjük az y = mx + b alakban Mivel a P ( ;5 ) pont illeszkedik az egyenesre, ezért 5= m+ b ahonnan b = 5 m és az így keresett egyenes egyenlete y = mx + 5 m Az adott egyenletű egyenesek és a keresett egyenes metszéspontjának első koordinátáját a megfelelő egyenletekből álló paraméteres egyenletrendszerekből határozhatjuk meg. x + y = 4 y = mx + 5 m y-t az első egyenletbe behelyettesítve és rendezve: ( ) m + x = m Mivel m = esetén a két adott egyenessel párhuzamos egyenest kapunk, ezért m m és x = m + x + y = 6 Az egyenletrendszerből az előzőhöz hasonló módon kapjuk, y = mx + 5 m m + hogy x = m + A feltétel szerint x x = vagy x x = 5 Az első esetben m = a második esetben m = A kapott értékeket behelyettesítve kapjuk, hogy 5 b =, illetve b = A feltételeknek eleget tevő egyenesnek egyenlete: 5 5 y = x + ( 5x + y = 5) 7 y = x + ( x + y = 7) Összesen: 6 pont 7-4 -
12 005-0XX Emelt szint ) Az y ax b ;6 pontra. Tudjuk, hogy a 0. Jelölje az x tengely és az egyenes metszéspontját P, az y tengely és az egyenes metszéspontját pedig Q. Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelyre az OPQ háromszög területe a legkisebb, és számítsa ki a területét (O a koordináta-rendszer origóját jelöli)! (6 pont) = + egyenletű egyenes illeszkedik a ( ) Mivel a ( ;6 ) pont rajta van az egyenesen, ezért 6 a b = + és b = 6 a Ezzel az egyenes egyenlete: y = ax + 6 a 6 Ez az egyenest a P ;0pontban, a Q 0;6 a pontban metszi az y tengelyt a ( ) Mivel a 0, ezért 6 és 6-a is pozitív a A levágott háromszög területe: T ( a ) = ( 6 a ) Ebből: T ( a ) 6 a 8 = a a a T a a 0 függvény deriváltja nulla Ennek a minimuma ott van, ahol ( ) ( ) 8 T ( a) = + a ( pont) ez 0, ha a = vagy a = Mivel a 0, ezért a = T 0 Ez valóban minimumhely, mert ( ) Ha a =, akkor b = A keresett egyenes egyenlete: y = x + A legkisebb terület 4 egység. Összesen: 6 pont 4) Az ABC háromszög oldalegyeneseinek egyenlete: AB : y = 0 BC : x + 0y = 0 CA : y = x 4 a) Számítsa ki a háromszög csúcspontjainak koordinátáit! (7 pont) b) Számítsa ki a háromszög B csúcsnál lévő belső szögét! (4 pont)
13 a) Az y = 0 egyenest, vagyis az x tengelyt x + 0y = 0 egyenes a B ( 0; 0) pontban ( pont) az y = x 4 egyenes az A ( 8; 0) pontban metszi ( pont) Az x + 0y = 0 és y = x 4 egyenletekből álló egyenletrendszer megoldása x = 0 és y = ( pont) Koordinátageometria - megoldások ezért a háromszög harmadik csúcsa C ( 0;) b) Legyen a C-ből húzott magasság talppontja T. A CTB derékszögű háromszögből tg= 0, ( pont) Így 5, 7 Összesen: pont 5) Egy háromszög két csúcsa A( 8; ); B( ;5 ) a C csúcs pedig illeszkedik az y tengelyre. A háromszög köré írt kör egyenlete: x + y 6x 4y = 0 a) Adja meg a háromszög oldalfelező merőlegesei metszéspontjának koordinátáit! ( pont) b) Adja meg a háromszög súlypontjának koordinátáit! (8 pont) a) Az oldalfelező merőlegesek metszéspontja a köré írt kör középpontja A köré írt kör egyenlete ( x ) + ( y ) = 5 Ebből az oldalfelező merőlegesek középpontja O ( ;) b) A C pont illeszkedik az y tengelyre, ezért, ha c jelöli a C pont második C 0; c. koordinátáját, akkor ( ) C illeszkedik a körre, ezért ( ) + ( c ) = 5, tehát ( ) 6 c = 6; c =, azaz a C csúcsra két lehetőség van: C ( 0;6 ), C ( 0; ) c = Ebből ( pont) Az ABC háromszög súlypontja: S ; = S ; ( pont) Az ABC háromszög súlypontja: S ; = S ; ( pont) Összesen: pont
14 005-0XX Emelt szint 6) Az A pont helyvektora: ( lg ; lg ) OA a b ; a B pont helyvektora: OB lg ab; lg b, ahol a és b olyan valós számokat jelölnek, melyekre a 0 a, illetve b teljesül. a) Bizonyítsa be, hogy a B pont mindkét koordinátája nagyobb az A pont megfelelő koordinátáinál! ( pont) b) Bizonyítsa be, hogy az OA OB vektor merőleges az OA vektorra! ( pont) c) Mekkora az OA és OB vektorok hajlásszöge? (4 pont) d) Legyen a =, b pedig jelöljön tetszőleges -nél nagyobb valós 0 számot. Adja meg (egyenletével, vagy a derékszögű koordinátarendszerben ábrázolva) az A, illetve B pontok halmazát! (6 pont) b a) Mivel lgab = lga + lgb, és lg lg b lg a a =, így B ( lg a lg b ;lg b lg a ) + Bizonyítandó tehát, hogy lga lga + lgb és lgb lgb lga rendezés után kapjuk, hogy lgb 0 és lga 0. A feltételek szerint 0a, illetve b, és a tízes alapú logaritmus függvény szigorúan növő a pozitív számok halmazán, valamint lg = 0, tehát mindkét egyenlőtlenség igaz. b) ( OA OB ) BA ( lg b;lg a ) = Mivel az OA és az OA koordináták szorzatának összege, vagyis OB vektorok skaláris szorzata a megfelelő OA ( OA OB ) = lg a lg b + lg b lga = 0, tehát a két vektor merőleges egymásra ( pont) c) OA, OB és OA OB egyike sem nullvektor. Mivel = + = OA OB ( pont) OA lg a lg b tehát az OAB háromszög egyenlő szárú és derékszögű, így ( OA; OB ) = 45 d) A( ;lg b) A tízes alapú logaritmus függvény szigorú növő, folytonos, felülről korlátos függvény, így lgb tetszőleges pozitív értéket felvehet. Ezért az A pontok halmaza azon nyílt xy ; kezdőpontú félegyenes, amelynek ( ) koordinátái kielégítik az x = egyenletet és az 0 y egyenlőtlenséget. ( lg ; lg ) B b b + A B pont második koordinátája -vel nagyobb az első koordinátájánál lg b + = lg b + ( ( ) )
15 b tetszőleges, ( ) lg -nél nagyobb szám lehet, így lgb + tetszőleges -nél nagyobb értéket vesz föl. Így a B pontok halmaza azon nyílt x; y kezdőpontú félegyenes, amelynek ( ) koordinátái kielégítik az y = x + egyenletet és az x egyenlőtlenséget. Koordinátageometria - megoldások Összesen: 6 pont 7) A Csendes-óceán egyik kis szigetétől keletre, a szigettől 6 km távolságban elsüllyedt egy föld körüli úton járó vitorlás. A legénység egy mentőcsónakban segítségre vár, a náluk lévő jeladó készülék hatósugara mindössze 6 km. Amikor a vitorlás elsüllyedt, akkor a szigettől délre, a szigettől 4 km távolságra volt egy tengerjáró hajó. Ez a hajó állandóan északkeleti irányba halad, a hajótöröttek pedig a vitorlás elsüllyedésének helyéről folyamatosan küldik a vészjeleket. a) Igazolja, hogy a tengerjáró legénysége észlelheti a segélykérő jelzést! (7 pont) Egy,5 km magasságban haladó repülőgép éppen a sziget felett van, amikor a repülőgép fedélzeti műszerei észlelik a tengerjáró hajót, amely a vitorlás elsüllyedése óta 0 km-t tett meg. b) Mekkora depresszió szög (lehajlási szög) alatt észlelik a műszerek a tengerjárót? Válaszát fokban, egészre kerekítve adja meg! Számításai során a Föld görbületétől tekintsen el! (7 pont) a) A feladat feltételeit feltüntető jó ábra. A sziget az S, a mentőcsónakot az M, a tengerjáró hajót a H pont jelöli. A hajó útjának és az SM egyenesnek a metszéspontját jelölje A. ( pont) A HSA háromszög derékszögű, egyenlő szárú, ezért AS = 4 km MA = 8 km Valamint az APM háromszög derékszögű és van 45 -os szöge 4 5,7 Ezért MP = ( ) Mivel MP 6 km, ezért a hajó legénysége észlelheti a jelzéseket. b) A feladat feltételeit feltüntető jó ábra T egy A repülőgép (R), a sziget (S) és a tengerjáró hajó ( ) S-nél derékszögű háromszög három csúcsában helyezkedik el. Az ST távolságot koszinusztétellel számolhatjuk ki ST = cos 45 ( pont) ST 7, km A depresszió szög nagysága megegyezik a TRS derékszögű háromszög RTS szögének nagyságával (váltószögek)
16 005-0XX Emelt szint RS,5 tgrts = TS 7, A depresszió szög kb 5 nagyságú Összesen: 4 pont 8) A derékszögű koordináta-rendszerben az ABC háromszög csúcsai: A ( ;), B ( 7; 4), C( ; p ). Határozza meg a p paraméter pontos értékét, ha a háromszög B csúcsánál levő belső szöge 60 -os. (6 pont) Az ABC háromszög AC oldalára felírva a koszinusztételt: AC = AB + BC AB BC 0,5 ( pont) AB = 50 BC p AC ( p ) = p + ( p ) = 8 + p p + 8 A kapott értékeket visszahelyettesítve a koszinusztételbe a következőt kapjuk: p p + 8 = p + 8p + 50 p + 8p + Rendezve: ( ) 50 p + 8p + = 0p ( pont) Mivel a baloldalon pozitív szám áll ezért p 0 Négyzetre emelve és egyszerűsítve: p + 8p + = p Amiből adódik p 8p = 0 Ennek az egyenletnek a gyökei: p = p = 4 4 ( pont) Mivel p 0, ezért csak a p = megoldás lesz jó. Összesen: 6 pont x + y = 00. A húrtrapéz szimmetriatengelyének egyenlete x y = 4. A trapéz AB 9) Az ABCD húrtrapéz köré írt körének egyenlete ( ) ( ) alapjának egy belső pontja P ( 5;), BC szárának hossza pedig 0 egység. Határozza meg a trapéz csúcsainak koordinátáit! (6 pont) A trapéz alapjának egy normálvektora az n ( ; ) vektor A ( 5;) P ponton áthaladó AB alap egyenlete x + y = Ennek a trapéz köré írt körrel való metszéspontjait tehát a trapéz két csúcsának koordinátáit az ( x ) ( y ) + = 00 egyenletrendszer megoldásai alkotják x + y = ( pont)
17 Koordinátageometria - megoldások Az x = y kifejezést behelyettesítve a kör egyenletébe az másodfokú egyenletet kapjuk. Jelölje a trapéz köré írt kör középpontját K. y + 4y = 0 Mivel a kör sugara 0 egység, a trapéz szárai pedig 0 egység hosszúak, az AKD és a CKB háromszögek derékszögűek. ( pont) Ezért KA ( 0;0) vektor 90 -os elforgatottja a KD vektor, a ( 6; 8) 90 -os elforgatottja pedig a KC vektor. Ezért vagy KD ( 0;0 ) vagy ( 0; 0) Azaz vagy D ( ;), vagy ( ; 8) KB vektor KD ( pont) D A ( ; 8) pont a trapéz szimmetriatengelyének A-val ellentétes oldalán van, így a jó megoldás D ( ; ) Hasonlóan vagy KC ( 8;6), vagy ( 8; 6) Azaz C ( ;8 ), vagy ( 5; 4) KC ( pont) C A ( 5; 4) pont a trapéz szimmetriatengelyének B-vel ellentétes oldalán van, így tehát C ( ;8 ) Összesen: 6 pont 0) Egy ABCD négyzet A csúcsa a koordinátarendszer y tengelyére, szomszédos B csúcsa pedig a koordinátarendszer x tengelyére illeszkedik. a) Bizonyítsa be, hogy a négyzet K középpontjának koordinátái vagy egyenlők, vagy egymás ellentettjei! (8 pont) b) Egy ilyen négyzet középpontja a ( 7; 7 ) pont. A négyzet oldala 0 egység hosszú. Számítsa ki a négyzet koordinátatengelyekre illeszkedő két csúcsának koordinátáit! (8 pont) a) Legyen A( 0; a ) és ( ;0) B b (de a + b 0). Ekkor az AB szakasz felezőpontja F ;. b a Ebből adódóan FB ;. o o Ha a négyzet középpontja a K pont, akkor FK az FB os vagy 90 -os elforgatottja. a b Tehát FK ; vagy a ; b FB. Az F pont helyvektorát jelölje f, ekkor a K pont helyvektora k = f + FK, azaz a + b ; + k b vagy b a ; a b k. ( pont)
18 005-0XX Emelt szint Tehát a K középpont koordinátái valóban vagy egyenlők, vagy egymás ellentettjei. b) A négyzet körülírt körének sugara az átló fele, azaz 5. A körülírt kör egyenlete: ( ) ( ) x 7 + y 7 = 50. A kör y tengelyen lévő pontjait x = 0 helyettesítéssel, az x tengelyen lévő pontjait az y = 0 helyettesítéssel adódó egyenlet adja meg. A kapott két egyenlet így: ( y 7) =, illetve ( ) x 7 =. Ezeknek a megoldásai: y = 6 és y = 8, illetve x = 6 és x = 8. Tehát a tengelyeken négy pont lehet a négyzet valamelyik csúcsa: 0;6, 0;8, 6;0, 8;0. ( ) ( ) ( ) ( ) Figyelembe véve, hogy két szomszédos csúcs távolsága 0 egység két A 0;6, B 8; 0, illetve A 0;8, B 6; 0. ( pont) megoldás adódik: ( ) ( ) ( ) ( ) Összesen: 6 pont ) Adott a derékszögű koordináta-rendszerben három pont: A ( 6; 0), B ( ; 4), C ( 0; ). a) Számítsa ki az ABC háromszög B csúcsánál fekvő belső szögét! (6 pont) K pont egyenlő távolságra van A -tól, B -től, és C -től. b) Határozza meg K pont koordinátáit! (8 pont) a) AB = = 60 AC = = 740 BC = = 68 ( pont) Koszinusztétellel: 740 = cos ( pont) cos = 0, ,6 b) Az ABC háromszög két (tetszőlegesen választott) oldalfelező merőlegesének metszéspontját kell megkeresnünk (ez a háromszög körülírt körének középpontja). F ( 7; 7) és n AB ( 8; 6) AB f AB =. Az AB szakasz felezőmerőlegesének egyenlete: x y = 8. F ( 6; ) és n BC ( 8; ) BC f BC =. A BC szakasz felezőmerőlegesének egyenlete: 4x y =. A két egyenes egyenletéből alkotott egyenletrendszer megoldása: x = 49 és y = 75. ( pont) Tehát ( ) 49; 75 K. Összesen: 4 pont
19 Koordinátageometria - megoldások ) Egy téglalap alakú városi park tervezésekor a kezdeti egyszerű vázlatokat egy rajzolóprogram segítségével készíti el a tervező. A parkot derékszögű koordináta-rendszerben ábrázolja úgy, hogy a koordinátarendszer tengelyein a hosszúságegység a valóságban 0 méternek felel 0; 0 0; 0 0; 48 D 0; 48 meg. A park négy csúcsát az A ( ), B ( ), C ( ) ; ( ) koordinátájú pontok adják meg. Az első tervek között a négy csúcson átmenő körút is szerepel. a) Adja meg ennek a körnek az egyenletét! ( pont) A vázlatba a tervező egy olyan kört is berajzolt, amely egy díszteret határol majd. A kör egyenletét a rajzolóprogram x + y 6x 48y + 89 = 0 alakban adja meg. b) Számítsa ki, hány százaléka a dísztér területe a park területének! (4 pont) A tervező egy olyan egyenest is megrajzolt, amely a park C csúcsában P 8; 4 ponton halad át. Ezen az egyenesen egy lévő bejáraton és a ( ) sétaút halad majd. c) Határozza meg a sétaút egyenesének egyenletét, és számítsa ki a parkbeli szakaszának valódi hosszát! (5 pont) a) A kör középpontja (a téglalap átlóinak felezőpontja): K ( 5;4). A kör sugara ( 8,) KA = + =. A kör egyenlete így ( x ) ( y ) b) A díszteret alkotó kör egyenletét átalakítva: ( x 8) ( y 4) 8( 9 ) = = = A kör sugara 9 egység, területe 9 ( 54,5) területegység. A park területe 0 48( = 440) területegység. A dísztér területe ennek kb. c) A sétaút egyenesének (egyik) normálvektora ( ; ) ,7 százaléka n. Az egyenes egyenlete x y =. (Az egyenletbe y = 0 -t helyettesítve kapjuk, hogy) a sétaút egyenese a park határának AB oldalegyenesét az M (6;0) pontban metszi. A sétaút parkbeli szakaszának hossza CM = = 880 5,7 egység, ami a valóságban 57 méter. Összesen: pont - 5 -
20 005-0XX Emelt szint ) Az f :, f ( x) = x x + 7 függvény grafikonja a derékszögű koordináta-rendszerben parabola. a) Számítsa ki a parabola és az x tengely által bezárt (korlátos) síkidom területét! (5 pont) b) Írja fel a parabolához az E ( 5; 8) pontjába húzott érintő egyenletét! (5 pont) c) Számítsa ki a parabola fókuszpontjának koordinátáit! (4 pont) a) A függvény zérushelyeinek kiszámítása: x x + 7 = 0, innen x =, x = 9 (A függvényértékek a két zérushely között negatívak, ezért a kérdezett T területre fennáll:) 9 x x T = ( x x + 7) dx = + 7x = 9 = = = =. ( 0 6 ) 6 A kérdezett terület nagysága tehát 6 (területegység). b) Az E-ben húzott érintő meredekségét az f deriváltfüggvényének az x = 5 helyen felvett helyettesítési értéke adja meg. f x = x ( ) f ( 5) = Az érintő egyenlete: y + 8 = ( x 5). ( pont) c) A parabola adódik, hogy y x x a tengelypontja ( ) 9 = + 7 alakú egyenletét y = ( x 6) 9 alakban írva T 6; 9, paramétere p = 0,5. p =, ezért) a fókuszpont: ( 6; 8, 75) (Mivel 0,5 F. Összesen: 4 pont - 5 -
Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira:
005-0XX Emelt szint Koordinátageometria 1) a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete x + y = 10, egyik csúcsa az origó. Hány ilyen
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria
1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Részletesebbenb) Az egyenesnek és a körnek akkor és csak akkor van közös pontja, ha az egyenleteikből álló egyenletrendszernek van megoldása (1 pont)
1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Koordinátageometria
) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrzek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (emelt szint)
Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenKoordinátageometria Megoldások
005-0XX Középszint Koordinátageometria Megoldások 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 + 4 + 1 3 F ; = F ;1 ) Egy kör sugarának
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (középszint)
Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd
RészletesebbenÉrettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5
Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból
Részletesebben, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD
Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van
RészletesebbenA kör. A kör egyenlete
A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - y + b) x + y - 6x - 6y + c) x +
RészletesebbenÉrettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5
Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!
Részletesebben10. Koordinátageometria
I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember
RészletesebbenFüggvények Megoldások
Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény
RészletesebbenExponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek
Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.
Részletesebbenegyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0.
Magyar Ifjúság. X. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK A trigonometrikus egyenletrendszerek megoldása során kísérletezhetünk új változók bevezetésével, azonosságok alkalmazásával, helyettesítő módszerrel vagy más,
RészletesebbenVektorok és koordinátageometria
Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,
RészletesebbenKoordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok )
Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok./ Határozd meg az AB szakasznak azt a pontját, amely a szakaszt : ha A ( ; és a B ( ; 8!./ Adott az A ( 3 ; 5 és a ( ; 6 B pont. Számítsd ki az AB vektor
RészletesebbenHelyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben
Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben. Rajzold meg az alábbi helyvektorokat a derékszögű koordináta-rendszerben, majd számítsd ki a hosszúságukat! a) (4 ) b) ( 5 ) c) ( 6 ) d) (4 )
RészletesebbenKoordináta geometria III.
Koordináta geometria III. TÉTEL: A P (x; y) pont akkor és csak akkor illeszkedik a K (u; v) középpontú r sugarú körre (körvonalra), ha (x u) 2 + (y v) 2 = r 2. Ez az összefüggés a K (u; v) középpontú r
Részletesebben15. Koordinátageometria
I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +
RészletesebbenKoordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1
Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Koordinátageometria M veletek vektorokkal grakusan 1. Az ABCD négyzet oldalvektorai közül a = AB és b = BC. Adja meg az AC és BD vektorokat a
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Bizonyítások
) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Bizonyítások A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két
RészletesebbenMegoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő
RészletesebbenTrigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )
Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!
RészletesebbenNagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.
Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre
RészletesebbenSkaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.
1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatgyűjtemény
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két csúcs
Részletesebben3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1
Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az
Részletesebben15. Koordinátageometria
I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenA keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = 1. Az adott kör középpontjának koordinátái: K1( 4; 2)
55 A kör 87 8 A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = Az adott kör középpontjának koordinátái: K( ; ) és a sugara r =, az adott pont P(; ) Ekkor KP = és KK = () ( u ) + ( v ) =, () ( u ) +
RészletesebbenOrszágos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor
Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket
RészletesebbenA kör. A kör egyenlete
A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - 0y + 0 b) x + y - 6x - 6y + 0 c)
Részletesebben3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2
3... Egyenes szíjhatás esetén milyen hosszú szíj szükséges 50 cmes és 6 cm-es sugarú tárcsák összekapcsolásához, ha a tárcsák tengelyeinek távolsága 335 cm? 3... Csónakkal akarunk a folyó túlsó partjára
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2012. október 16. EMELT SZINT I.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 01. október 16. EMELT SZINT I. 1) Egy új típusú sorsjegyből 5 millió darab készült, egy sorsjegy ára 00 Ft. Minden egyes sorsjegyen vagy a Nyert vagy a Nem nyert felirat található,
Részletesebbenb) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2
1) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) ( ) ) Határozza meg az 1. feladatban megadott, ; intervallumon
RészletesebbenBizonyítások Megoldások
Bizonyítások Megoldások Bizonyítások - megoldások ) a) Értelmezzük a valós számok halmazán az f függvényt az f ( x ) = x + kx + 9x képlettel! (A k paraméter valós számot jelöl). Számítsa ki, hogy k mely
RészletesebbenEgyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások
) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja
Részletesebben4 = 0 egyenlet csak. 4 = 0 egyenletből behelyettesítés és egyszerűsítés után. adódik, ennek az egyenletnek két valós megoldása van, mégpedig
Oktatási Hivatal Az forduló feladatainak megoldása (Szakközépiskola) Melyek azok az m Z számok, amelyekre az ( m ) x mx = 0 egyenletnek legfeljebb egy, az m x + 3mx 4 = 0 egyenletnek legalább egy valós
RészletesebbenKoordináta-geometria II.
Koordináta-geometria II. DEFINÍCIÓ: (Alakzat egyenlete) A síkon adott egy derékszögű koordináta rendszer. A síkban levő alakzat egyenlete olyan f (x, y) = 0 egyenlet, amelyet azoknak és csak azoknak a
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenOktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont
Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú
RészletesebbenAbszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások
Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és b) jelű egyenletnek pontosan egy megoldása van, a c) és d) jelű egyenletnek viszont nincs megoldása
RészletesebbenMinimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon
Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata
Részletesebben(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét.
Euklidész tételei megoldások c = c a + c b a = c c a b = c c b m c = c a c b 1. Számítsuk ki az derékszögű ABC háromszög hiányzó oldalainak nagyságát, ha adottak: (a) c a = 1,8; c b =, (b) c = 10; c a
RészletesebbenÉrettségi feladatok: Síkgeometria 1/6
Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!
Részletesebben= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0;
98 Az egyenes egyenletei. a) A( 0) B(0 6) AB_ - 6i& n( ) x + y = b) x - y =- c) 6x - y = 0 d) 6x + y = e) x + y = f) x + y = a g) x - y = a.. A(a 0) B(0 b) AB_ -a bi n (b a) bx + ay = ab osszuk el a $
RészletesebbenI. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor:
I. Vektorok 1. Vektorok összege Általánosan: Az ábra alapján Adott: a(4; 1) és b(; 3) a + b (4 + ; 1 + 3) = (6; ) a(a 1 ; a ) és b(b 1 ; b ) a + b(a 1 + b 1 ; a + b ). Vektorok különbsége Általánosan:
RészletesebbenVEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)]
Bodó Beáta 1 VEKTOROK 1. B Legyen a( ; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(0; 10; 0)] (b) c + b 7a [(18; 15; 29)] (c) 2d c + b [ (5; ; ) = 6, 56] (d) 4a + 8b 7c [ ( 49; 44; 5) =
RészletesebbenHáromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam
Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam I. Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzetet 1) a pont, az egyenes, a sík és az illeszkedés alapfogalmak 2) két egyenes metsző, ha van közös pontjuk
RészletesebbenFeladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András
Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon
Részletesebbena) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x 2 2 vagy x 2 2) (1 pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
Részletesebben9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;
Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;
RészletesebbenSíkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg
Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón
RészletesebbenSíkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik
Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala
RészletesebbenGeometria 1 összefoglalás o konvex szögek
Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.
RészletesebbenKOORDINÁTA-GEOMETRIA
XIV. Témakör: feladatok 1 Huszk@ Jenő XIV.TÉMAKÖR Téma A pont koordinátageometriája A kör koordinátageometriája KOORDINÁTA-GEOMETRIA A projekt típus ú feladatok tartalmi szintézise A feladat sorszáma Oldal
RészletesebbenKözéppontos hasonlóság szerkesztések
Középpontos hasonlóság szerkesztések 1. Adott az AV B konvex szög és a belsejében egy P pont. Húzzunk a P ponton át egy egyenest úgy, hogy a szög száraiból kimetszett szeletek aránya 3 : 4 legyen. Legyen
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 3. EMELT SZINT I.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 0. május. EMELT SZINT I. ) Hatjegyű pozitív egész számokat képezünk úgy, hogy a képzett számban szereplő számjegy annyiszor fordul elő, amekkora a számjegy. Hány ilyen hatjegyű számjegy
RészletesebbenSíkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg
Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az
RészletesebbenEGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS
GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenÉrettségi feladatok: Trigonometria 1 /6
Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 2003. Próba 14. Egy hajó a Csendes-óceán egy szigetéről elindulva 40 perc alatt 24 km-t haladt észak felé, majd az eredeti haladási irányhoz képest 65 -ot nyugat
RészletesebbenMatematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.
Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 5. EMELT SZINT I.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 009. május 5. EMELT SZINT I. 1) Egy négyzet alapú egyenes hasáb alapéle 18 egység, testátlója 6 egység. a) Mekkora szöget zár be a testátló az alaplap síkjával? (4 pont) b) Hány területegység
RészletesebbenAz egyenes egyenlete: 2 pont. Az összevont alak: 1 pont. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete?
1. Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az (1; 3) ponton, és egyik normálvektora a (8; 1) vektor! Az egyenes egyenlete: 2. Végezze el a következő műveleteket, és vonja össze az egynemű
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x
RészletesebbenHASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK. 5 cm 3 cm. 2,4 cm
HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK Egyszerű, hasonlósággal kapcsolatos feladatok 1. Határozd meg az x, y és z szakaszok hosszát! y cm cm z x 2, cm 2. Határozd meg az x, y, z és u szakaszok hosszát! x
RészletesebbenHatvány, gyök, normálalak
Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria 1) Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra
RészletesebbenTrigonometria. Szögfüggvények alkalmazása derékszög háromszögekben. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1
Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Trigonometria Szögfüggvények alkalmazása derékszög háromszögekben 1. Az ABC hegyesszög háromszögben BC = 14 cm, AC = 1 cm, a BCA szög nagysága
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
RészletesebbenLehet hogy igaz, de nem biztos. Biztosan igaz. Lehetetlen. A paralelogrammának van szimmetria-középpontja. b) A trapéznak két szimmetriatengelye van.
Geometria, sokszögek, szögek, -, 2004_01/5 Lili rajzolt néhány síkidomot: egy háromszöget, egy deltoidot, egy paralelogrammát és egy trapézt. A következő állítások ezekre vonatkoznak. Tegyél * jelet a
RészletesebbenI. A négyzetgyökvonás
Definíció: Négyzetgyök a ( a : a a 0 I. A négyzetgyökvonás a ) jelenti azt a nem negatív számot, amelynek a négyzete a. a 0 b : b b R A négyzetgyök-függvény értéke is csak nem negatív lehet. Ha a b-t abszolút
RészletesebbenExponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek
Gyaorló feladato Eponenciális és logaritmusos ifejezése, egyenlete. Hatványozási azonosságo. Számítsd i a övetező hatványo pontos értéét! g) b) c) d) 7 e) f) 9 0, 9 h) 0, 6 i) 0,7 j), 6 ), l). A övetező
RészletesebbenAnalitikus térgeometria
5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T
Részletesebben5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11
Bodó Beáta ISMÉTLÉS. ch(6 d.. 4.. 6. 7. 8. 9..... 4.. e (8 d ch (9 + 7 d ( + 4 6 d 7 8 + d sin (4 + d cos sin d 7 ( 6 + 9 4 d INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 7 6 sh(6 + c 8 e(8 + c 9 th(9 + 7 + c 6 ( + 4 7 + c = 7 4
Részletesebben2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)
(11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)
Részletesebben54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,
52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes
Részletesebben6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?
6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.
Részletesebben6. modul Egyenesen előre!
MATEMATIKA C 11 évfolyam 6 modul Egyenesen előre! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 11 évfolyam 6 modul: Egyenesen előre! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. EMELT SZINT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. október. EMELT SZINT ) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket: a) b) lg 8 0 6 I. (5 pont) (5 pont) a) A logaritmus értelmezése alapján: 80 ( vagy ) Egy szorzat
RészletesebbenMegoldás A számtani sorozat első három eleme kifejezhető a második elemmel és a differenciával. Összegük így a 2. d =33, azaz 3a 2. a 2.
1. Egy 33-as létszámú zenetagozatos osztályban hegedülni és zongorázni tanulnak a diákok. Minden diák játszik legalább egy hangszeren. Azok száma, akik mindkét hangszeren játszanak, akik csak hegedülnek,
RészletesebbenKoordináta - geometria I.
Koordináta - geometria I A koordináta geometria témaköre geometriai problémákat old meg algebrai módszerekkel úgy, hogy a geometriai fogalmaknak algebrai fogalmakat feleltet meg: a pontokat, vektorokat
RészletesebbenKisérettségi feladatgyűjtemény
Kisérettségi feladatgyűjtemény Halmazok 1. Egy fordítóiroda angol és német fordítást vállal. Az irodában 50 fordító dolgozik, akiknek 70%-a angol nyelven, 50%-a német nyelven fordít. Hány fordító dolgozik
RészletesebbenTrigonometria Megoldások. 1) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! (12 pont) Megoldás:
Trigonometria Megoldások ) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! cos + cos = sin ( pont) sin cos + = + = ( ) cos cos cos (+ pont) cos + cos = 0 A másodfokú egyenlet megoldóképletével
RészletesebbenAz Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin
RészletesebbenVektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták
Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták 1. Mik lesznek a P (3, 4, 8) pont C (3, 7, 2) pontra vonatkozó tükörképének a koordinátái? 2. Egy szabályos hatszög középpontja K (4, 1, 4),
Részletesebben