6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?"

Átírás

1 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f. (D) Az f és a g. (E) Csak a g. BME 015. szeptember 11. (17B) Az ( ) sin x f x függvény grafikonja: (A sin x függvény grafikonja az x tengely mentén - szorosára nyúlik.) Mivel,14, ezért az x tengelyen az 1 az árán bejelölt helyen található. A kérdezett intervallumon a függvény szigorúan monoton nő. A g x cos x függvény grafikonja: (A cos x függvény grafikonját tükrözzük az x tengelyre.) Az ábrán látható, hogy a megadott intervallumon ez a függvény is szigorúan monoton nő. 1

2 h x x x függvény grafikonja: (Az x függvény grafikonja egységgel A tolódik pozitív irányba az x tengely mentén.) Ez viszont a 0;1 intervallumban csökkenő függvény Tehát a jó válasz a (D).. Az ábrán látható parabola az a) b) c) d) x x x x x x x x x x x x függvény grafikonja. ELTE 014. decemberi teszt Az x x függvény grafikonja parabola. Nézzük meg, milyen transzformációs lépésekkel kaptuk az x x függvény grafikonjából az ábrán látható grafikont! A parabola lefelé fordított, tehát 1 -gyel meg van szorozva: x x Az x tengely mentén el van tolva a 1;0 vektorral: x ( x 1) Az y tengely mentén felfelé tolódott a 0;4 vektorral: x ( x 1) 4 Bontsuk fel a zárójelet! ( x 1) 4 x x 1 4 x x Tehát a jó válasz a (b).

3 . Adottak a valós számok halmazán értelmezett f és g függvények: 1 f x x, g x x 4x 4. Ábrázolja a két függvényt, és oldja meg az f x g x egyenlőtlenséget! ELTE 015. szeptember (fizika BSc) Az f x egy lineáris függvény, a meredeksége 1, az y tengelyt -nél metszi. A g x függvényt alakítsuk át: x 4x 4 x x. Az abszolútérték-függvény alakja V, itt az x tengely mentén kell eltolnunk pozitív irányban -vel. Az f x g x egyenlőtlenség megoldásához tegyük a két függvényt közös koordinátarendszerbe:

4 A két metszéspont könnyen leolvasható: x1 0, x 6. Ellenőrizzük le a metszéspontokat: f x, g x f x, g x f x g x ott igaz, ahol az f ( x ) függvény grafikonja van feljebb, tehát a metszéspontok között. A megoldás: 0 x 6. 4

5 II. Ismételjünk! 1. Függvény fogalma, tulajdonságai 1-.oldal. Néhány nevezetes függvény -4.oldal. Függvény-transzformációk 4.oldal 5

6 III. Gyakorló feladatok 1. Az alábbi ábrákon lineáris függvények grafikonja látható. Adjuk meg a függvények hozzárendelési szabályát és a zérushelyüket! a) b) c). Az alábbiak közül melyik intervallum lesz a valós számok halmazán értelmezett f ( x) x függvény értékkészlete? (A) ; (B) ; (C) ; (D) ; (E) ;. Adja meg az f x x x függvény 1; értékét, és azt is, hogy hol veszi fel ezeket az értékeket! 4. Egy másodfokú ( ) 5. Az Mennyivel egyenlő BME 015. szeptember 11. (16A) intervallumon felvett legkisebb és legnagyobb ELTE 007. szeptember (földtudományi szak) f x függvényről tudjuk, hogy f 1 0, f 0 és f? (A) 7 (B) 9 (C) 16 (D) 5 (E) Ezek egyike sem. f ( x) x x c f 1 0. BME 014. május 19. (14) függvényt a valós számok halmazán értelmezzük. Hogyan kell megválasztani a c értékét ahhoz, hogy a) b) c) a függvény grafikonja érintse az x tengelyt; a függvény minimuma 5 legyen; a függvény értékkészletébe csak negatív számok tartozzanak? A válaszokat indokoljuk! ELTE 007. február (matematika BSc) 6. Ábrázolja az f : \, x 4 függvényt! x 7. Ábrázolja az f :, x 1 x függvényt! 6

7 8. Az alábbi ábrán az f(x) függvény grafikonját láthatjuk. A következő négy grafikon közül melyik az f (1 x) függvény grafikonja? A. B. C. D. 9. Az x x log 1 függvény grafikonja az y tengelyt A: sehol sem metszi. B: -nál metszi. BME 011. szeptember 1. (16A) alapján C: 1-nél metszi. D: -nál metszi. ELTE 014. decemberi teszt 7

8 f : ;, f ( x) log ( x ) Adja meg azt a legbővebb halmazt, melyek esetén az függvény értéke pozitív! 11. Az alábbi függvények közül mely(ek) lesz(nek) páratlan(ok)?, g x cos x, 1 h x x f x x x ( ) 1 (A) Csak az f. (B) Csak a g. (C) Csak a h. (D) Több is. (E) Egyik sem. BME 014. szeptember 1. (17A) f x x 1. Határozza meg a pozitív számok halmazán értelmezett hozzárendelési utasítását! 1 függvény inverzének (A) x x 1 (B) Nincs inverze. (C) x x 1 (D) x x 1, x 1 E) x x 1, x 0 BME 015. szeptember 11. (17B) f x x helyettesítési értéket! 1. Tekintse az cos függvényt! Határozza meg az f f 4 (A) 1 (B) 1 (C) (D) (E) Ezek egyike sem. BME 015. február 1. (16B) 14. Oldja meg grafikusan a cos x egyenlőtlenséget! 15. Döntse el, hogy az alábbi állítások közül melyik igaz, melyik hamis! A feladatokban szereplő függvényeket a lehető legbővebb halmazon értelmezzük. A: Az f ( x) tg x függvény páros. B: A g( x) log 1 x függvény szigorúan monoton csökkenő. C: A h x 1 sin x függvény periódusa. D: Az i x x függvénynek nincs zérushelye. 8

9 IV. Megoldások: 1. Az alábbi ábrákon lineáris függvények grafikonja látható. Adjuk meg a függvények hozzárendelési szabályát és a zérushelyüket! a) b) c) A lineáris függvények hozzárendelési utasítása x mx b alakú, ahol m a függvény meredeksége, b az y-tengellyel való metszéspont. Zérushelye: ahol 0-t vesz fel, vagyis, ahol az x tengelyt metszi. a) b) c) A függvény meredeksége m (1-et jobbra lépve -t megyünk felfele), az y tengelyt 4-nél metszi. A hozzárendelési utasítás: x x 4. Zérushelye ott van, ahol x 4 0. Ebből x. A grafikonon is látszik, hogy itt metszi az x tengelyt. A függvény meredeksége. Mert ha -at megyünk jobbra, akkor -t kell lefele lépni. Ez azt jelenti, hogy 1-et jobbra lépve, -ot lépünk lefele, vagyis -ot felfele. Az y tengelyt - nál metszi. A hozzárendelési utasítás: x x. Zérushelye: 0 x, ahonnan x 9 4,5. A grafikonon is ellenőrizhetjük, hogy valóban ez a zérushely. Keressünk két rácspontot a grafikonon! A( 1;) és B(; 1). Tehát, ha -at megyünk jobbra, 4 akkor 4-et lefele. A meredekség. Az y-tengellyel való metszéspontot megkapjuk, ha az A ponttól 1-et lépünk jobbra, ezalatt a függvény éppen 4 -ot megy lefelé. Tehát 4 5 b. A hozzárendelési utasítás: 4 5 x x. 4 5 Zérushelye: x 0, vagyis 4x 5, tehát ellenőriznünk a zérushely helyességét. 5 x 1,5. Ismét érdemes a grafikonon is 4 9

10 . Az alábbiak közül melyik intervallum lesz a valós számok halmazán értelmezett f ( x) x függvény értékkészlete? (A) Megoldás I.: ; (B) ; (C) ; (D) ; (E) ; Az abszolútérték függvény értékkészlete a nemnegatív számok halmaza: x 0, ugyanígy x 0. Emiatt x 0. x x A helyes válasz tehát az (E). Megoldás II.: Ábrázoljuk a megadott függvényt! Az ábrázolás lépései: 1. x ( V alak; fekete) BME 015. szeptember 11. (16A). x (x tengely mentén tolódik negatív irányba -vel; piros). x (x tengelyre tükröződik; kék) 4. x (y tengely mentén tolódik felfelé -mal; zöld) Az ábráról látszik, hogy a végeredmény (zöld) függvény értékkészlete: y. A helyes válasz az (E).. Adja meg az f x x x függvény 1; értékét, és azt is, hogy hol veszi fel ezeket az értékeket! intervallumon felvett legkisebb és legnagyobb ELTE 007. szeptember (földtudományi szak) 10

11 Alakítsuk át a függvény képletét! f x x x ( x 1) 1. Ábrázoljuk a megadott intervallumon! Az x x függvény képe parabola, ezt kell eltolnunk az (1; 1) vektorral. A függvény minimumhelye az x 1, minimumértéke az y 1. A megadott intervallum szimmetrikus az x 1 egyenesre, a függvénynek az intervallum mindkét végpontjában maximuma van. Maximumhelye: x1 1, x ; maximumértéke y. 4. Egy másodfokú ( ) Mennyivel egyenlő f x függvényről tudjuk, hogy f 1 0, f 0 és f? (A) 7 (B) 9 (C) 16 (D) 5 (E) Ezek egyike sem. Megoldás I.: f 1 0. BME 014. május 19. (14) Ábrázoljuk a megadott pontokat egy koordinátarendszerben, és illesszünk rájuk parabolát! A parabola egyenlete ebből könnyen kitalálható: Érdemes a megadott értéket ellenőriznünk: x. 11

12 f f f Behelyettesítéssel kapjuk f értékét: f 9 A jó megoldás a (B). Megoldás II.: Kereshetjük algebrai úton is a megoldást. Egy másodfokú függvény alakja: Ebbe behelyettesítve a megadott értéket egy egyszerű egyenletrendszerhez jutunk: 0 a 1 b 1 c 0 0 a b c a b c A második egyenlet szerint c. Ekkor a másik két egyenlet: a b a b y a x bx c. Innen a és b 0. Tehát y x. Az I. megoldás szerint befejezhető a feladat. 5. Az f ( x) x x c függvényt a valós számok halmazán értelmezzük. Hogyan kell megválasztani a c értékét ahhoz, hogy a) b) c) a függvény grafikonja érintse az x tengelyt; a függvény minimuma 5 legyen; a függvény értékkészletébe csak negatív számok tartozzanak? A válaszokat indokoljuk! ELTE 007. február (matematika BSc) Egészítsük ki teljes négyzetté a megadott másodfokú kifejezést! x x c ( x 1) 1 c a) b) c) A függvény grafikonja akkor érinti az x tengelyt, ha a másodfokú kifejezésnek egyetlen zérushelye van, vagyis ha a függvény egy kéttagú összeg négyzete (a diszkrimináns nulla). Tehát 1 c 0, c 1. A függvény minimumértéke 1 c. Ennek kell 5 -nek lennie. Tehát c 4. Ha a függvény értékkészletébe csak negatív számok tartoznak, akkor a függvény grafikonjának minden pontja az x tengely alatt van. Ez egy parabola esetén csak akkor lehetséges, ha ez egy lefelé fordított parabola, vagyis, ha a négyzetes tag együtthatója negatív. A megadott 1

13 másodfokú függvényre ez nem igaz, így nem lehet megfelelő c-t találni. A feladatnak nincs megoldása. 6. Ábrázolja az f : \, x 4 függvényt! x Az 1 x függvény képe hiperbola, első lépésben ezt kell eltolnunk a x tengely mentén negatív 1 irányba -mal. Így kapjuk az függvény grafikonját. (Az ábrán a fekete az alapfüggvény, x piros az eltolás után kapott grafikon. A szaggatottal berajzolt x egyenes az új y tengely, nem tartozik a grafikonhoz, csak segíti az ábrázolást.) A számlálóban lévő -es miatt ezt meg kell szoroznunk -vel, vagyis az y tengely mentén kell kétszeresére nyújtani. Így a grafikonját kapjuk. (Ismét fekete az előző lépés végeredménye, x piros az új grafikon.) 1

14 Végül a kapott függvényből ki kell vonnunk 4-et, vagyis az y tengely mentén kell 4-gyel lefelé tolnunk a függvényt. (A piros grafikon a feladat megoldása a szaggatott egyenesek csak segédvonalak.) 7. Ábrázolja az f :, x 1 x függvényt! (Az előző feladathoz hasonlóan az ábrákon mindig a piros az új függvény, a fekete az előző lépés végeredménye.) Ábrázoljuk először az x 1 x függvényt! 14

15 A grafikont az y tengelyre tükrözve kapjuk az 1 x x függvény grafikonját: Ebből az 1 x x függvény grafikonját az x tengelyre tükrözve kapjuk: x 1 Végül az f : x függvény grafikonját megkapjuk, ha az előző grafikont -vel feljebb toljuk az y tengely mentén: 15

16 Megjegyzés: Az ábrázolás előtt átalakíthatjuk a függvényt a negatív kitevő értelmezése szerint: x 1 x. Így a x függvényből indulva eggyel kevesebb lépésben jutunk a megoldáshoz. 8. Az alábbi ábrán az f(x) függvény grafikonját láthatjuk. A következő négy grafikon közül melyik az f (1 x) függvény grafikonja? A. B. C. D. 16 BME 011. szeptember 1. (16A) alapján Nézzük meg, milyen transzformációs lépésekkel kapjuk az f ( x) függvény grafikonjából az f (1 x) f (1 x) f x 1. Az f ( x 1) grafikonját úgy kapom, ha az f ( x) függvény -ét. grafikonját az x tengely mentén eltolom negatív irányba 1-gyel.

17 Most nézzük az f ( x 1) -et! Ellentett változóértékekhez fog ugyanaz a függvényérték tartozni, tehát ez a grafikon az előzőnek az y tengelyre vonatkozó tükörképe lesz. Tehát a B grafikon a helyes. 9. Az x x log 1 függvény grafikonja az y tengelyt A: sehol sem metszi. B: -nál metszi. C: 1-nél metszi. D: -nál metszi. A függvény grafikonja az y tengelyt az x 0 f 0 log A jó válasz a D. -nál felvett helyettesítési értéknél metszi. ELTE 014. decemberi teszt f : ;, f ( x) log ( x ) Adja meg azt a legbővebb halmazt, melyek esetén az függvény értéke pozitív! Ábrázoljuk a megadott függvényt függvény-transzformáció segítségével! Az ábrázolás lépései: 1. x log x 17

18 . x log x Az előző grafikont -vel kell eltolni az x tengely mentén negatív irányba. (A szaggatott x egyenes csak segédvonal, nem tartozik a grafikonhoz.). x log x Az y tengely mentén kétszeresére nyúlik a grafikon. 4. x x log 4 Az előző grafikont 4 egységgel toljuk lefelé az y tengely mentén. 18

19 A függvényértékek ott pozitívak, ahol a grafikon pontjai az x tengely fölött vannak. Mivel a függvényünk szigorúan monoton nő, ez a zérushelynél nagyobb x értékekre igaz. A zérushely: x. Ellenőrizzük behelyettesítéssel a leolvasás helyességét! f () log ( ) A megoldás: x. 11. Az alábbi függvények közül mely(ek) lesz(nek) páratlan(ok)?, g x cos x, 1 h x x f x x x ( ) 1 (A) Csak az f. (B) Csak a g. (C) Csak a h. (D) Több is. (E) Egyik sem. BME 014. szeptember 1. (17A) Páratlan egy függvény, ha f x f x. A páratlan függvények grafikonja az origóra szimmetrikus. f ( x) x x 1 ( x 1) x 1. Nem páratlan. (Egyrészt a grafikonja V alakú, nem szimmetrikus az origóra. Másrészt x helyére x 1 x 1 x 1.) helyettesítve: x -et g x cos x sin x. Páratlan függvény. (Grafikonja szimmetrikus az origóra, és tudjuk, hogy sin( x) sin x.) h x 1. Páratlan függvény. x (Grafikonja szimmetrikus az origóra, és tudjuk, hogy 1 1.) x x A helyes válasz tehát a (D). f x x 1. Határozza meg a pozitív számok halmazán értelmezett hozzárendelési utasítását! 1 függvény inverzének (A) x x (B) Nincs inverze. (C) x x 1 (D) x x 1, x 1 E) x x 1, x 0 BME 015. szeptember 11. (17B) 19

20 Egy f ( x) y függvény inverze g, ha g( y) x. Az y x majd y-t kifejezve ( y 0 ) kapjuk a keresett inverz függvényt. A helyes válasz a (D). y x x y y 1 1 x 1 y x 1, x 1 1 képletben x-et és y-t kicserélve, f x x helyettesítési értéket! 1. Tekintse az cos függvényt! Határozza meg az f f 4 (A) 1 (B) 1 (C) (D) (E) Ezek egyike sem. BME 015. február 1. (16B) f f cos cos cos cos A helyes válasz a (C). 14. Oldja meg grafikusan a cos x egyenlőtlenséget! Ábrázoljuk a cos x függvényt! 0

21 Jelöljük be az grafikont. y és az y egyeneseket! Keressük, hogy hol metszik az egyenesek a A pontos metszéspontokat kiszámítjuk. Mivel páros függvénnyel van dolgunk, elegendő egyetlen metszéspontot kiszámítanunk, pl. a 0; intervallumban. A további megoldások megtalálásában segít az ábránk. cos x x 4 x 8 Az ábráról leolvasható a ; intervallumba eső megoldás: x1 vagy x A cos x függvény periodusa, emiatt az összes megoldás: 8 1 k1 x1 k1 vagy k x k cos x x 6 x 1, ahol k1, k Döntse el, hogy az alábbi állítások közül melyik igaz, melyik hamis! A feladatokban szereplő függvényeket a lehető legbővebb halmazon értelmezzük. A: Az f ( x) tg x függvény páros. B: A g( x) log 1 x függvény szigorúan monoton csökkenő. C: A h x 1 sin x függvény periódusa. D: Az i x x függvénynek nincs zérushelye. 1

22 A: Az állítás hamis. A tg x páratlan függvény. tg x tg x. B: Az állítás igaz. Az log a x függvény szigorúan monoton csökken, ha 0 a 1, és szigorúan monoton nő, ha a 1. 1 C: Az állítás hamis. A sin x függvény periódusa. A sin x függvény periódusa kétszer akkora, tehát 4. D: az állítás hamis. A zérushelyet kiszámíthatjuk, ha megkeressük, hol veszi fel a függvény a nullát. x 0, x, x 4, x 4. (Ami benne van a függvény értelmezési tartományában.)

Függvények Megoldások

Függvények Megoldások Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0(

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( FÜGGVÉNYEK 1. (008. okt., 14. fel, 5+7 pont) Fogalmazza meg, hogy az f : R R, f ( x) x 1 függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( x) x függvény grafikonjából! Ábrázolja

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2 1) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) ( ) ) Határozza meg az 1. feladatban megadott, ; intervallumon

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyik függvény? Válaszod indokold!

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyik függvény? Válaszod indokold! Megoldások 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyik függvény? Válaszod indokold! A: Minden emberhez hozzárendeljük a munkahelyének nevét. B: Minden valós számhoz hozzárendeljük az ellentettjét. C: Minden

Részletesebben

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények Függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt a hozzárendelést

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások

Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és b) jelű egyenletnek pontosan egy megoldása van, a c) és d) jelű egyenletnek viszont nincs megoldása

Részletesebben

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások ) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

FÜGGVÉNYEK. A derékszögű koordináta-rendszer

FÜGGVÉNYEK. A derékszögű koordináta-rendszer FÜGGVÉNYEK A derékszögű koordináta-rendszer Az. jelzőszámot az x tengelyről, a 2. jelzőszámot az y tengelyről olvassuk le. Pl.: A(-3;-) B(3;2) O(0;0) II. síknegyed I. síknegyed A (0; 0) koordinátájú pontot

Részletesebben

Descartes-féle, derékszögű koordináta-rendszer

Descartes-féle, derékszögű koordináta-rendszer Descartes-féle, derékszögű koordináta-rendszer A derékszögű koordináta-rendszerben a sík minden pontjához egy rendezett valós számpár rendelhető. A számpár első tagja (abszcissza) a pont y tengelytől mért

Részletesebben

Abszolútértékes egyenlôtlenségek

Abszolútértékes egyenlôtlenségek Abszolútértékes egyenlôtlenségek 575. a) $, $ ; b) < - vagy $, # - vagy > 4. 5 576. a) =, =- 6, 5 =, =-, 7 =, 4 = 5; b) nincs megoldás;! c), = - ; d) =-. Abszolútértékes egyenlôtlenségek 577. a) - # #,

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. alapfüggvény (ábrán: fekete)

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. alapfüggvény (ábrán: fekete) Megoldások 1. Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket! a) f (x) = sin (x π ) + 1 b) f (x) = 3 cos (x) c) f (x) = ctg ( 1 x) 1 a) A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x)

Részletesebben

10. Koordinátageometria

10. Koordinátageometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember

Részletesebben

Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti. Függvények

Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti. Függvények Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti Függvények DEFINÍCIÓ: Ha adott két nemüres halmaz: és, továbbá minden eleméhez hozzárendeljük a valamely elemét, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük.

Részletesebben

Érettségi feladatok: Függvények 1/9

Érettségi feladatok: Függvények 1/9 Érettségi feladatok: Függvények 1/9 2003. Próba 1. Állapítsa meg a valós számok halmazán értelmezett x x 2-2x - 8 függvény zérushelyeit! 2004. Próba 3. Határozza meg a valós számok halmazán értelmezett

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály 00. Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály ) Írd fel a következő egyenlőségeket hatványalakban! a) log 9 = b) log 4 = - c) log 7 = d) lg 0 =

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI

FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI FÜGGVÉNY: Adott két halmaz, H és K. Ha a H halmaz minden egyes eleméhez egyértelműen hozzárendeljük a K halmaznak egy-egy elemét, akkor a hozzárendelést

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

3. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek

3. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek . Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Mennyi a 2x 2 8x 5 = 0 egyenlet gyökeinek a szorzata? (A) 10 (B) 2 (C) 2,5 (D) 4 (E) ezek egyike sem Megoldás I.: BME 2011.

Részletesebben

Exponenciális, logaritmikus függvények

Exponenciális, logaritmikus függvények Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Függvények ábrázolása, jellemzése I.

Függvények ábrázolása, jellemzése I. Függvények ábrázolása, jellemzése I. DEFINÍCIÓ: (Hozzárendelés) Két nem üres A és B halmaz elemei közti kapcsolat (megfeleltetés, hozzárendelés, reláció), a két halmaz elemeiből képezhető rendezett elempároknak

Részletesebben

A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/

A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/ A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/ Készítette: Almási István almasi84@gmail.com Lineáris függvény A függvény általános alakja: f (x):= m 1 m 2 x+b m a meredekség b a tengelymetszet 2/42

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások

Exponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések - megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és jelű egyenletnek pontosan egy megoldása

Részletesebben

Hozzárendelések. A és B halmaz között hozzárendelést létesítünk, ha megadjuk, hogy az A halmaz egyes elemeihez melyik B-ben lévő elemet rendeltük.

Hozzárendelések. A és B halmaz között hozzárendelést létesítünk, ha megadjuk, hogy az A halmaz egyes elemeihez melyik B-ben lévő elemet rendeltük. Hozzárendelések A és B halmaz között hozzárendelést létesítünk, ha megadjuk, hogy az A halmaz egyes elemeihez melyik B-ben lévő elemet rendeltük. A B Egyértelmű a hozzárendelés, ha az A halmaz mindegyik

Részletesebben

Matematika 8. osztály

Matematika 8. osztály ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos Matematika 8. osztály III. rész: Függvények Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2018 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék III. rész:

Részletesebben

Az egyenes egyenlete: 2 pont. Az összevont alak: 1 pont. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete?

Az egyenes egyenlete: 2 pont. Az összevont alak: 1 pont. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete? 1. Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az (1; 3) ponton, és egyik normálvektora a (8; 1) vektor! Az egyenes egyenlete: 2. Végezze el a következő műveleteket, és vonja össze az egynemű

Részletesebben

Függvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:

Függvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy: Függvények 015. július 1. 1. Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = cos x + x g(x) = x f(g(x)) =? g(f(x)) =? Megoldás: Összetett függvény el állításához a küls függvényben a független

Részletesebben

FÜGGVÉNYEK x C: 2

FÜGGVÉNYEK x C: 2 FÜGGVÉNYEK 2005-2014 1. 2005/0511/2 Az ábrán egy [ 2; 2] intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! A: x x 2 2 B: x 2 2 x x

Részletesebben

11. MODUL LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK. Készítette: Csákvári Ágnes

11. MODUL LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK. Készítette: Csákvári Ágnes . MODUL LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Készítette: Csákvári Ágnes 6 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. Egyenes arányosság és a lineáris függvények kapcsolata Mintapélda A csapból percenként 5 l víz folyik

Részletesebben

2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia

2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia 2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia Egyváltozós valós függvények nevezetes osztályai I. Algebrai függvények Racionális egész függvények (polinomok) Racionális törtfüggvények Irracionális függvények

Részletesebben

1.1 A függvény fogalma

1.1 A függvény fogalma 1.1 A üggvény ogalma Deiníció: Adott két (nem üres) halmaz H és K. Ha a H halmaz minden egyes eleméhez valamilyen módon hozzárendeljük a K halmaznak egy-egy elemét, akkor a hozzárendelést üggvénynek nevezzük.

Részletesebben

Elemi függvények, függvénytranszformációk

Elemi függvények, függvénytranszformációk Elemi üggvények, üggvénytranszormációk Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2013. 09. 06. 1 Függvénytani alapogalmak Függvény: két halmaz elemei közötti egyértelmű hozzárendelés. Jel.: :

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten MÁSODFOKÚ EGYENLETEK ÉS EGYENLŽTLENSÉGEK Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor

Részletesebben

2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia

2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia 2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex

Részletesebben

Trigonometria Megoldások. 1) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! (12 pont) Megoldás:

Trigonometria Megoldások. 1) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! (12 pont) Megoldás: Trigonometria Megoldások ) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! cos + cos = sin ( pont) sin cos + = + = ( ) cos cos cos (+ pont) cos + cos = 0 A másodfokú egyenlet megoldóképletével

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Függvények ábrázolása, jellemzése II. Alapfüggvények jellemzői

Függvények ábrázolása, jellemzése II. Alapfüggvények jellemzői Függvények ábrázolása, jellemzése II. Alapfüggvények jellemzői A függvények ábrázolásához használhatjuk a nevezetes szögek, illetve a határszögek értékeit. f (x) = sin x Az ábráról leolvashatjuk a függvény

Részletesebben

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont) 1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása TK. II. kötet 25. old. 3. feladat

Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása TK. II. kötet 25. old. 3. feladat Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása TK. II. kötet. old.. feladat a. lépés: Az egyenlet bal oldalának ábrázolása függvényként.. lépés: Az egyenlet bal oldalának ábrázolása függvényként.. lépés:

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

Kisérettségi feladatgyűjtemény

Kisérettségi feladatgyűjtemény Kisérettségi feladatgyűjtemény Halmazok 1. Egy fordítóiroda angol és német fordítást vállal. Az irodában 50 fordító dolgozik, akiknek 70%-a angol nyelven, 50%-a német nyelven fordít. Hány fordító dolgozik

Részletesebben

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk:

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 11. Sorozatok I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy számtani sorozat harmadik eleme 15, a nyolcadik eleme 30. Mely n természetes számra igaz, hogy a sorozat első n elemének összege 6? A szokásos jelöléseket

Részletesebben

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész Kisérettségi feladatsorok matematikából I. rész. Egy deltoid két szomszédos szöge 7 és 0. Mekkora lehet a hiányzó két szög? pont. Hozza egyszerűbb alakra a kifejezést, majd számolja ki az értékét, ha a=

Részletesebben

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!

Részletesebben

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY FÜGGVÉNYTANI ALAPOK Foglalkoztunk az alaptulajdonságnak tekinthető értelmezési tartománnyal, és a paritással, továbbá az összetett függvények képzési módjával, illetve ezeknek az elemi függvényekre való

Részletesebben

Matematika 9. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. III. fejezet - Függvények (kb. 15 tanóra) > o < december 19.

Matematika 9. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. III. fejezet - Függvények (kb. 15 tanóra) > o < december 19. Matematika 9 Tankönyv és feladatgyűjtemény Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár III. fejezet - Függvények (kb. 15 tanóra) > o < 2015. december 19. copyright: c Juhász László Ennek

Részletesebben

Függvények. Fogalom. Jelölés

Függvények. Fogalom. Jelölés Függvények Fogalom Ha egy A halmaz minden eleméhez egyértelműen hozzárendeljük egy B halmaz valamely elemét, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük. Az A halmaz a függvény értelmezési tartománya,

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 9. évfolyam TANULÓK KÖNYVE. FÉLÉV A kiadvány a Nemzeti Fejlesztési Terv Humánerőforrás-fejlesztési Operatív Program... központi program (Pedagógusok és oktatási

Részletesebben

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek 9 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek /I a) Az egyenlet bal oldala a nemnegatív számok halmazán, a jobb oldal minden valós szám esetén

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Függvénytan elmélet, 9. osztály

Függvénytan elmélet, 9. osztály Függvénytan elmélet, 9. osztály A függvénytan alapfogalma a hozzárendelés. (Igazából nem kellene alapfogalomnak tekintenünk, mert a rendezett párok ill. a Descartes-szorzat segítségével definiálható lenne,

Részletesebben

352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm

352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm 5 Nevezetes egyenlôtlenségek a b 775 Legyenek a befogók: a, b Ekkor 9 + $ ab A maimális ab terület 0, 5cm, az átfogó hossza 8 cm a b a b 776 + # +, azaz a + b $ 88, tehát a keresett minimális érték: 88

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek V.

Egyenletek, egyenlőtlenségek V. Egyenletek, egyenlőtlenségek V. DEFINÍCIÓ: (Másodfokú egyenlet) Az ax + bx + c = 0 alakban felírható egyenletet (a, b, c R; a 0), ahol x a változó, másodfokú egyenletnek nevezzük. TÉTEL: Az ax + bx + c

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

azaz együtthatója. Összességében tehát a feladat megoldása:. azaz együtthatója.

azaz együtthatója. Összességében tehát a feladat megoldása:. azaz együtthatója. A BINOMIÁLIS TÉTEL 1 Feladat Mennyi -nél az -es tag együtthatója? A megoldás során felhasználjuk hogy Így megállapíthatjuk hogy és esetén kapjuk meg az együtthatóját a fenti képlet segítségével továbbá

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

Injektív függvények ( inverz függvény ).

Injektív függvények ( inverz függvény ). 04 október 6 3 Függvényábrázolások, Függvények kompozíciója ( összetett üggvény ), Bev Mat BME Injektív üggvények ( inverz üggvény ) 0 0 0 0 ( ) ( ) 5 5 5 5 Ábrázolás Függvénytranszormációval : 3 y y 5

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 9. évfolyam TANULÓK KÖNYVE. FÉLÉV A kiadvány KHF/46-/009. engedélyszámon 008.08.8. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő oktatási

Részletesebben

2. Függvények. I. Feladatok

2. Függvények. I. Feladatok . Függvények I. Feladatok 1. Az y = x 1 + x + 1 függvény grafikonja és az y = c egyenletű egyenes által közrezárt síkidom területe 30. Mekkora a c állandó értéke?. Hány zérushelye van az a paramétertől

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Matematika 11. osztály

Matematika 11. osztály ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Humán tagozat Matematika 11. osztály I. rész: Hatvány, gyök, logaritmus Készítette: Balázs Ádám Budapest, 018 . Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

Hozzárendelés, lineáris függvény

Hozzárendelés, lineáris függvény Hozzárendelés, lineáris függvény Feladat 1 A ménesben a lovak száma és a lábaik száma közötti összefüggést vizsgáljuk. Hány lába van 0; 1; 2; 3; 5; 7... lónak? Készíts értéktáblázatot, és ábrázold derékszögű

Részletesebben

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j

Részletesebben

I. Egyenes arányosság és a lineáris függvények kapcsolata

I. Egyenes arányosság és a lineáris függvények kapcsolata . modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK 7 I. Egyenes arányosság és a lineáris függvények kapcsolata Az óra első néhány percében idézzük fel az egyenes arányosságról és a lineáris függvényről az általános iskolában

Részletesebben

Csoportmódszer Függvények I. (rövidített változat) Kiss Károly

Csoportmódszer Függvények I. (rövidített változat) Kiss Károly Ismétlés Adott szempontok szerint tárgyak, élőlények, számok vagy fizikai mennyiségek halmazokba rendezhetők. A halmazok kapcsolatát pedig hozzárendelésnek (relációnak, leképezésnek) nevezzük. A hozzárendelés

Részletesebben

Függvény fogalma, jelölések 15

Függvény fogalma, jelölések 15 DOLGO[Z]ZATOK 9.. 1. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) Az egész számokhoz hozzárendeljük

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 16 XVI A DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS ALkALmAZÁSAI 1 Érintő ÉS NORmÁLIS EGYENES, L HOSPITAL-SZAbÁLY Az görbe abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenlete (1), normálisának egyenlete

Részletesebben

Nagy Krisztián Analízis 2

Nagy Krisztián Analízis 2 Nagy Krisztián Analízis 2 Segédanyag a második zárthelyi dolgozathoz Tartalomjegyzék Deriválási alapok... 3 Elemi függvények deriváltjai... 3 Deriválási szabályok műveletekre... 4 Első feladat típus...

Részletesebben

2. Adott a valós számok halmazán értelmezett f ( x) 3. Oldja meg a [ π; π] zárt intervallumon a. A \ B = { } 2 pont. függvény.

2. Adott a valós számok halmazán értelmezett f ( x) 3. Oldja meg a [ π; π] zárt intervallumon a. A \ B = { } 2 pont. függvény. 1. Az A halmaz elemei a ( 5)-nél nagyobb, de 2-nél kisebb egész számok. B a pozitív egész számok halmaza. Elemeinek felsorolásával adja meg az A \ B halmazt! A \ B = { } 2. Adott a valós számok halmazán

Részletesebben

1.) = grafikont kell ábrázolnunk. Megj.: 5 1+ A = 1 ill. B = 10 -szeresei. Ábrázolás Függvénytranszformációval :

1.) = grafikont kell ábrázolnunk. Megj.: 5 1+ A = 1 ill. B = 10 -szeresei. Ábrázolás Függvénytranszformációval : 0 október Függvényábrázolások, Összetett üggvény, Inverz üggvény Bev Mat BME ( Válogatás a eladatgyüjteményből ) ) 0 0 0 0 ( ) ( ) 5 5 5 5 Ábrázolás Függvénytranszormációval : y y 5 ( tengely mentén eltolás

Részletesebben

[f(x) = x] (d) B f(x) = x 2 ; g(x) =?; g(f(x)) = x 1 + x 4 [

[f(x) = x] (d) B f(x) = x 2 ; g(x) =?; g(f(x)) = x 1 + x 4 [ Bodó Beáta 1 FÜGGVÉNYEK 1. Határozza meg a következő összetett függvényeket! g f = g(f(x)); f g = f(g(x)) (a) B f(x) = cos x + x 2 ; g(x) = x; f(g(x)) =?; g(f(x)) =? f(g(x)) = cos( x) + ( x) 2 = cos( x)

Részletesebben

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel?

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? 7. Számelmélet I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? ELTE 2006. október 27. (matematika

Részletesebben

Trigonometrikus függvények és transzformációik MATEMATIKA 11. évfolyam középszint

Trigonometrikus függvények és transzformációik MATEMATIKA 11. évfolyam középszint TÁMOP-3.1.4-08/-009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Trigonometrikus függvények és transzformációik MATEMATIKA 11. évfolyam középszint Készítette:

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2 Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Két iskola tanulói műveltségi vetélkedőn vettek részt. A 100

Részletesebben

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben

1. Halmazok, számhalmazok, alapműveletek

1. Halmazok, számhalmazok, alapműveletek 1. Halmazok, számhalmazok, alapműveletek I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Határozza meg az (A B)\C halmaz elemszámát, ha A tartalmazza az összes 19-nél kisebb természetes számot, továbbá B a prímszámok halmaza

Részletesebben

13. Trigonometria II.

13. Trigonometria II. Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája

Részletesebben