6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?"

Átírás

1 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f. (D) Az f és a g. (E) Csak a g. BME 015. szeptember 11. (17B) Az ( ) sin x f x függvény grafikonja: (A sin x függvény grafikonja az x tengely mentén - szorosára nyúlik.) Mivel,14, ezért az x tengelyen az 1 az árán bejelölt helyen található. A kérdezett intervallumon a függvény szigorúan monoton nő. A g x cos x függvény grafikonja: (A cos x függvény grafikonját tükrözzük az x tengelyre.) Az ábrán látható, hogy a megadott intervallumon ez a függvény is szigorúan monoton nő. 1

2 h x x x függvény grafikonja: (Az x függvény grafikonja egységgel A tolódik pozitív irányba az x tengely mentén.) Ez viszont a 0;1 intervallumban csökkenő függvény Tehát a jó válasz a (D).. Az ábrán látható parabola az a) b) c) d) x x x x x x x x x x x x függvény grafikonja. ELTE 014. decemberi teszt Az x x függvény grafikonja parabola. Nézzük meg, milyen transzformációs lépésekkel kaptuk az x x függvény grafikonjából az ábrán látható grafikont! A parabola lefelé fordított, tehát 1 -gyel meg van szorozva: x x Az x tengely mentén el van tolva a 1;0 vektorral: x ( x 1) Az y tengely mentén felfelé tolódott a 0;4 vektorral: x ( x 1) 4 Bontsuk fel a zárójelet! ( x 1) 4 x x 1 4 x x Tehát a jó válasz a (b).

3 . Adottak a valós számok halmazán értelmezett f és g függvények: 1 f x x, g x x 4x 4. Ábrázolja a két függvényt, és oldja meg az f x g x egyenlőtlenséget! ELTE 015. szeptember (fizika BSc) Az f x egy lineáris függvény, a meredeksége 1, az y tengelyt -nél metszi. A g x függvényt alakítsuk át: x 4x 4 x x. Az abszolútérték-függvény alakja V, itt az x tengely mentén kell eltolnunk pozitív irányban -vel. Az f x g x egyenlőtlenség megoldásához tegyük a két függvényt közös koordinátarendszerbe:

4 A két metszéspont könnyen leolvasható: x1 0, x 6. Ellenőrizzük le a metszéspontokat: f x, g x f x, g x f x g x ott igaz, ahol az f ( x ) függvény grafikonja van feljebb, tehát a metszéspontok között. A megoldás: 0 x 6. 4

5 II. Ismételjünk! 1. Függvény fogalma, tulajdonságai https://users.itk.ppke.hu/itk_dekani/files/matematika/pdfs/06.pdf 1-.oldal. Néhány nevezetes függvény https://users.itk.ppke.hu/itk_dekani/files/matematika/pdfs/06.pdf -4.oldal. Függvény-transzformációk https://users.itk.ppke.hu/itk_dekani/files/matematika/pdfs/06.pdf 4.oldal 5

6 III. Gyakorló feladatok 1. Az alábbi ábrákon lineáris függvények grafikonja látható. Adjuk meg a függvények hozzárendelési szabályát és a zérushelyüket! a) b) c). Az alábbiak közül melyik intervallum lesz a valós számok halmazán értelmezett f ( x) x függvény értékkészlete? (A) ; (B) ; (C) ; (D) ; (E) ;. Adja meg az f x x x függvény 1; értékét, és azt is, hogy hol veszi fel ezeket az értékeket! 4. Egy másodfokú ( ) 5. Az Mennyivel egyenlő BME 015. szeptember 11. (16A) intervallumon felvett legkisebb és legnagyobb ELTE 007. szeptember (földtudományi szak) f x függvényről tudjuk, hogy f 1 0, f 0 és f? (A) 7 (B) 9 (C) 16 (D) 5 (E) Ezek egyike sem. f ( x) x x c f 1 0. BME 014. május 19. (14) függvényt a valós számok halmazán értelmezzük. Hogyan kell megválasztani a c értékét ahhoz, hogy a) b) c) a függvény grafikonja érintse az x tengelyt; a függvény minimuma 5 legyen; a függvény értékkészletébe csak negatív számok tartozzanak? A válaszokat indokoljuk! ELTE 007. február (matematika BSc) 6. Ábrázolja az f : \, x 4 függvényt! x 7. Ábrázolja az f :, x 1 x függvényt! 6

7 8. Az alábbi ábrán az f(x) függvény grafikonját láthatjuk. A következő négy grafikon közül melyik az f (1 x) függvény grafikonja? A. B. C. D. 9. Az x x log 1 függvény grafikonja az y tengelyt A: sehol sem metszi. B: -nál metszi. BME 011. szeptember 1. (16A) alapján C: 1-nél metszi. D: -nál metszi. ELTE 014. decemberi teszt 7

8 f : ;, f ( x) log ( x ) Adja meg azt a legbővebb halmazt, melyek esetén az függvény értéke pozitív! 11. Az alábbi függvények közül mely(ek) lesz(nek) páratlan(ok)?, g x cos x, 1 h x x f x x x ( ) 1 (A) Csak az f. (B) Csak a g. (C) Csak a h. (D) Több is. (E) Egyik sem. BME 014. szeptember 1. (17A) f x x 1. Határozza meg a pozitív számok halmazán értelmezett hozzárendelési utasítását! 1 függvény inverzének (A) x x 1 (B) Nincs inverze. (C) x x 1 (D) x x 1, x 1 E) x x 1, x 0 BME 015. szeptember 11. (17B) f x x helyettesítési értéket! 1. Tekintse az cos függvényt! Határozza meg az f f 4 (A) 1 (B) 1 (C) (D) (E) Ezek egyike sem. BME 015. február 1. (16B) 14. Oldja meg grafikusan a cos x egyenlőtlenséget! 15. Döntse el, hogy az alábbi állítások közül melyik igaz, melyik hamis! A feladatokban szereplő függvényeket a lehető legbővebb halmazon értelmezzük. A: Az f ( x) tg x függvény páros. B: A g( x) log 1 x függvény szigorúan monoton csökkenő. C: A h x 1 sin x függvény periódusa. D: Az i x x függvénynek nincs zérushelye. 8

9 IV. Megoldások: 1. Az alábbi ábrákon lineáris függvények grafikonja látható. Adjuk meg a függvények hozzárendelési szabályát és a zérushelyüket! a) b) c) A lineáris függvények hozzárendelési utasítása x mx b alakú, ahol m a függvény meredeksége, b az y-tengellyel való metszéspont. Zérushelye: ahol 0-t vesz fel, vagyis, ahol az x tengelyt metszi. a) b) c) A függvény meredeksége m (1-et jobbra lépve -t megyünk felfele), az y tengelyt 4-nél metszi. A hozzárendelési utasítás: x x 4. Zérushelye ott van, ahol x 4 0. Ebből x. A grafikonon is látszik, hogy itt metszi az x tengelyt. A függvény meredeksége. Mert ha -at megyünk jobbra, akkor -t kell lefele lépni. Ez azt jelenti, hogy 1-et jobbra lépve, -ot lépünk lefele, vagyis -ot felfele. Az y tengelyt - nál metszi. A hozzárendelési utasítás: x x. Zérushelye: 0 x, ahonnan x 9 4,5. A grafikonon is ellenőrizhetjük, hogy valóban ez a zérushely. Keressünk két rácspontot a grafikonon! A( 1;) és B(; 1). Tehát, ha -at megyünk jobbra, 4 akkor 4-et lefele. A meredekség. Az y-tengellyel való metszéspontot megkapjuk, ha az A ponttól 1-et lépünk jobbra, ezalatt a függvény éppen 4 -ot megy lefelé. Tehát 4 5 b. A hozzárendelési utasítás: 4 5 x x. 4 5 Zérushelye: x 0, vagyis 4x 5, tehát ellenőriznünk a zérushely helyességét. 5 x 1,5. Ismét érdemes a grafikonon is 4 9

10 . Az alábbiak közül melyik intervallum lesz a valós számok halmazán értelmezett f ( x) x függvény értékkészlete? (A) Megoldás I.: ; (B) ; (C) ; (D) ; (E) ; Az abszolútérték függvény értékkészlete a nemnegatív számok halmaza: x 0, ugyanígy x 0. Emiatt x 0. x x A helyes válasz tehát az (E). Megoldás II.: Ábrázoljuk a megadott függvényt! Az ábrázolás lépései: 1. x ( V alak; fekete) BME 015. szeptember 11. (16A). x (x tengely mentén tolódik negatív irányba -vel; piros). x (x tengelyre tükröződik; kék) 4. x (y tengely mentén tolódik felfelé -mal; zöld) Az ábráról látszik, hogy a végeredmény (zöld) függvény értékkészlete: y. A helyes válasz az (E).. Adja meg az f x x x függvény 1; értékét, és azt is, hogy hol veszi fel ezeket az értékeket! intervallumon felvett legkisebb és legnagyobb ELTE 007. szeptember (földtudományi szak) 10

11 Alakítsuk át a függvény képletét! f x x x ( x 1) 1. Ábrázoljuk a megadott intervallumon! Az x x függvény képe parabola, ezt kell eltolnunk az (1; 1) vektorral. A függvény minimumhelye az x 1, minimumértéke az y 1. A megadott intervallum szimmetrikus az x 1 egyenesre, a függvénynek az intervallum mindkét végpontjában maximuma van. Maximumhelye: x1 1, x ; maximumértéke y. 4. Egy másodfokú ( ) Mennyivel egyenlő f x függvényről tudjuk, hogy f 1 0, f 0 és f? (A) 7 (B) 9 (C) 16 (D) 5 (E) Ezek egyike sem. Megoldás I.: f 1 0. BME 014. május 19. (14) Ábrázoljuk a megadott pontokat egy koordinátarendszerben, és illesszünk rájuk parabolát! A parabola egyenlete ebből könnyen kitalálható: Érdemes a megadott értéket ellenőriznünk: x. 11

12 f f f Behelyettesítéssel kapjuk f értékét: f 9 A jó megoldás a (B). Megoldás II.: Kereshetjük algebrai úton is a megoldást. Egy másodfokú függvény alakja: Ebbe behelyettesítve a megadott értéket egy egyszerű egyenletrendszerhez jutunk: 0 a 1 b 1 c 0 0 a b c a b c A második egyenlet szerint c. Ekkor a másik két egyenlet: a b a b y a x bx c. Innen a és b 0. Tehát y x. Az I. megoldás szerint befejezhető a feladat. 5. Az f ( x) x x c függvényt a valós számok halmazán értelmezzük. Hogyan kell megválasztani a c értékét ahhoz, hogy a) b) c) a függvény grafikonja érintse az x tengelyt; a függvény minimuma 5 legyen; a függvény értékkészletébe csak negatív számok tartozzanak? A válaszokat indokoljuk! ELTE 007. február (matematika BSc) Egészítsük ki teljes négyzetté a megadott másodfokú kifejezést! x x c ( x 1) 1 c a) b) c) A függvény grafikonja akkor érinti az x tengelyt, ha a másodfokú kifejezésnek egyetlen zérushelye van, vagyis ha a függvény egy kéttagú összeg négyzete (a diszkrimináns nulla). Tehát 1 c 0, c 1. A függvény minimumértéke 1 c. Ennek kell 5 -nek lennie. Tehát c 4. Ha a függvény értékkészletébe csak negatív számok tartoznak, akkor a függvény grafikonjának minden pontja az x tengely alatt van. Ez egy parabola esetén csak akkor lehetséges, ha ez egy lefelé fordított parabola, vagyis, ha a négyzetes tag együtthatója negatív. A megadott 1

13 másodfokú függvényre ez nem igaz, így nem lehet megfelelő c-t találni. A feladatnak nincs megoldása. 6. Ábrázolja az f : \, x 4 függvényt! x Az 1 x függvény képe hiperbola, első lépésben ezt kell eltolnunk a x tengely mentén negatív 1 irányba -mal. Így kapjuk az függvény grafikonját. (Az ábrán a fekete az alapfüggvény, x piros az eltolás után kapott grafikon. A szaggatottal berajzolt x egyenes az új y tengely, nem tartozik a grafikonhoz, csak segíti az ábrázolást.) A számlálóban lévő -es miatt ezt meg kell szoroznunk -vel, vagyis az y tengely mentén kell kétszeresére nyújtani. Így a grafikonját kapjuk. (Ismét fekete az előző lépés végeredménye, x piros az új grafikon.) 1

14 Végül a kapott függvényből ki kell vonnunk 4-et, vagyis az y tengely mentén kell 4-gyel lefelé tolnunk a függvényt. (A piros grafikon a feladat megoldása a szaggatott egyenesek csak segédvonalak.) 7. Ábrázolja az f :, x 1 x függvényt! (Az előző feladathoz hasonlóan az ábrákon mindig a piros az új függvény, a fekete az előző lépés végeredménye.) Ábrázoljuk először az x 1 x függvényt! 14

15 A grafikont az y tengelyre tükrözve kapjuk az 1 x x függvény grafikonját: Ebből az 1 x x függvény grafikonját az x tengelyre tükrözve kapjuk: x 1 Végül az f : x függvény grafikonját megkapjuk, ha az előző grafikont -vel feljebb toljuk az y tengely mentén: 15

16 Megjegyzés: Az ábrázolás előtt átalakíthatjuk a függvényt a negatív kitevő értelmezése szerint: x 1 x. Így a x függvényből indulva eggyel kevesebb lépésben jutunk a megoldáshoz. 8. Az alábbi ábrán az f(x) függvény grafikonját láthatjuk. A következő négy grafikon közül melyik az f (1 x) függvény grafikonja? A. B. C. D. 16 BME 011. szeptember 1. (16A) alapján Nézzük meg, milyen transzformációs lépésekkel kapjuk az f ( x) függvény grafikonjából az f (1 x) f (1 x) f x 1. Az f ( x 1) grafikonját úgy kapom, ha az f ( x) függvény -ét. grafikonját az x tengely mentén eltolom negatív irányba 1-gyel.

17 Most nézzük az f ( x 1) -et! Ellentett változóértékekhez fog ugyanaz a függvényérték tartozni, tehát ez a grafikon az előzőnek az y tengelyre vonatkozó tükörképe lesz. Tehát a B grafikon a helyes. 9. Az x x log 1 függvény grafikonja az y tengelyt A: sehol sem metszi. B: -nál metszi. C: 1-nél metszi. D: -nál metszi. A függvény grafikonja az y tengelyt az x 0 f 0 log A jó válasz a D. -nál felvett helyettesítési értéknél metszi. ELTE 014. decemberi teszt f : ;, f ( x) log ( x ) Adja meg azt a legbővebb halmazt, melyek esetén az függvény értéke pozitív! Ábrázoljuk a megadott függvényt függvény-transzformáció segítségével! Az ábrázolás lépései: 1. x log x 17

18 . x log x Az előző grafikont -vel kell eltolni az x tengely mentén negatív irányba. (A szaggatott x egyenes csak segédvonal, nem tartozik a grafikonhoz.). x log x Az y tengely mentén kétszeresére nyúlik a grafikon. 4. x x log 4 Az előző grafikont 4 egységgel toljuk lefelé az y tengely mentén. 18

19 A függvényértékek ott pozitívak, ahol a grafikon pontjai az x tengely fölött vannak. Mivel a függvényünk szigorúan monoton nő, ez a zérushelynél nagyobb x értékekre igaz. A zérushely: x. Ellenőrizzük behelyettesítéssel a leolvasás helyességét! f () log ( ) A megoldás: x. 11. Az alábbi függvények közül mely(ek) lesz(nek) páratlan(ok)?, g x cos x, 1 h x x f x x x ( ) 1 (A) Csak az f. (B) Csak a g. (C) Csak a h. (D) Több is. (E) Egyik sem. BME 014. szeptember 1. (17A) Páratlan egy függvény, ha f x f x. A páratlan függvények grafikonja az origóra szimmetrikus. f ( x) x x 1 ( x 1) x 1. Nem páratlan. (Egyrészt a grafikonja V alakú, nem szimmetrikus az origóra. Másrészt x helyére x 1 x 1 x 1.) helyettesítve: x -et g x cos x sin x. Páratlan függvény. (Grafikonja szimmetrikus az origóra, és tudjuk, hogy sin( x) sin x.) h x 1. Páratlan függvény. x (Grafikonja szimmetrikus az origóra, és tudjuk, hogy 1 1.) x x A helyes válasz tehát a (D). f x x 1. Határozza meg a pozitív számok halmazán értelmezett hozzárendelési utasítását! 1 függvény inverzének (A) x x (B) Nincs inverze. (C) x x 1 (D) x x 1, x 1 E) x x 1, x 0 BME 015. szeptember 11. (17B) 19

20 Egy f ( x) y függvény inverze g, ha g( y) x. Az y x majd y-t kifejezve ( y 0 ) kapjuk a keresett inverz függvényt. A helyes válasz a (D). y x x y y 1 1 x 1 y x 1, x 1 1 képletben x-et és y-t kicserélve, f x x helyettesítési értéket! 1. Tekintse az cos függvényt! Határozza meg az f f 4 (A) 1 (B) 1 (C) (D) (E) Ezek egyike sem. BME 015. február 1. (16B) f f cos cos cos cos A helyes válasz a (C). 14. Oldja meg grafikusan a cos x egyenlőtlenséget! Ábrázoljuk a cos x függvényt! 0

21 Jelöljük be az grafikont. y és az y egyeneseket! Keressük, hogy hol metszik az egyenesek a A pontos metszéspontokat kiszámítjuk. Mivel páros függvénnyel van dolgunk, elegendő egyetlen metszéspontot kiszámítanunk, pl. a 0; intervallumban. A további megoldások megtalálásában segít az ábránk. cos x x 4 x 8 Az ábráról leolvasható a ; intervallumba eső megoldás: x1 vagy x A cos x függvény periodusa, emiatt az összes megoldás: 8 1 k1 x1 k1 vagy k x k cos x x 6 x 1, ahol k1, k Döntse el, hogy az alábbi állítások közül melyik igaz, melyik hamis! A feladatokban szereplő függvényeket a lehető legbővebb halmazon értelmezzük. A: Az f ( x) tg x függvény páros. B: A g( x) log 1 x függvény szigorúan monoton csökkenő. C: A h x 1 sin x függvény periódusa. D: Az i x x függvénynek nincs zérushelye. 1

22 A: Az állítás hamis. A tg x páratlan függvény. tg x tg x. B: Az állítás igaz. Az log a x függvény szigorúan monoton csökken, ha 0 a 1, és szigorúan monoton nő, ha a 1. 1 C: Az állítás hamis. A sin x függvény periódusa. A sin x függvény periódusa kétszer akkora, tehát 4. D: az állítás hamis. A zérushelyet kiszámíthatjuk, ha megkeressük, hol veszi fel a függvény a nullát. x 0, x, x 4, x 4. (Ami benne van a függvény értelmezési tartományában.)

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0(

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( FÜGGVÉNYEK 1. (008. okt., 14. fel, 5+7 pont) Fogalmazza meg, hogy az f : R R, f ( x) x 1 függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( x) x függvény grafikonjából! Ábrázolja

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények Függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt a hozzárendelést

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

FÜGGVÉNYEK. A derékszögű koordináta-rendszer

FÜGGVÉNYEK. A derékszögű koordináta-rendszer FÜGGVÉNYEK A derékszögű koordináta-rendszer Az. jelzőszámot az x tengelyről, a 2. jelzőszámot az y tengelyről olvassuk le. Pl.: A(-3;-) B(3;2) O(0;0) II. síknegyed I. síknegyed A (0; 0) koordinátájú pontot

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Abszolútértékes egyenlôtlenségek

Abszolútértékes egyenlôtlenségek Abszolútértékes egyenlôtlenségek 575. a) $, $ ; b) < - vagy $, # - vagy > 4. 5 576. a) =, =- 6, 5 =, =-, 7 =, 4 = 5; b) nincs megoldás;! c), = - ; d) =-. Abszolútértékes egyenlôtlenségek 577. a) - # #,

Részletesebben

Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti. Függvények

Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti. Függvények Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti Függvények DEFINÍCIÓ: Ha adott két nemüres halmaz: és, továbbá minden eleméhez hozzárendeljük a valamely elemét, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük.

Részletesebben

Érettségi feladatok: Függvények 1/9

Érettségi feladatok: Függvények 1/9 Érettségi feladatok: Függvények 1/9 2003. Próba 1. Állapítsa meg a valós számok halmazán értelmezett x x 2-2x - 8 függvény zérushelyeit! 2004. Próba 3. Határozza meg a valós számok halmazán értelmezett

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

Exponenciális, logaritmikus függvények

Exponenciális, logaritmikus függvények Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)

Részletesebben

A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/

A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/ A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/ Készítette: Almási István almasi84@gmail.com Lineáris függvény A függvény általános alakja: f (x):= m 1 m 2 x+b m a meredekség b a tengelymetszet 2/42

Részletesebben

Hozzárendelések. A és B halmaz között hozzárendelést létesítünk, ha megadjuk, hogy az A halmaz egyes elemeihez melyik B-ben lévő elemet rendeltük.

Hozzárendelések. A és B halmaz között hozzárendelést létesítünk, ha megadjuk, hogy az A halmaz egyes elemeihez melyik B-ben lévő elemet rendeltük. Hozzárendelések A és B halmaz között hozzárendelést létesítünk, ha megadjuk, hogy az A halmaz egyes elemeihez melyik B-ben lévő elemet rendeltük. A B Egyértelmű a hozzárendelés, ha az A halmaz mindegyik

Részletesebben

2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia

2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia 2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia Egyváltozós valós függvények nevezetes osztályai I. Algebrai függvények Racionális egész függvények (polinomok) Racionális törtfüggvények Irracionális függvények

Részletesebben

FÜGGVÉNYEK x C: 2

FÜGGVÉNYEK x C: 2 FÜGGVÉNYEK 2005-2014 1. 2005/0511/2 Az ábrán egy [ 2; 2] intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! A: x x 2 2 B: x 2 2 x x

Részletesebben

11. MODUL LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK. Készítette: Csákvári Ágnes

11. MODUL LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK. Készítette: Csákvári Ágnes . MODUL LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Készítette: Csákvári Ágnes 6 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. Egyenes arányosság és a lineáris függvények kapcsolata Mintapélda A csapból percenként 5 l víz folyik

Részletesebben

Elemi függvények, függvénytranszformációk

Elemi függvények, függvénytranszformációk Elemi üggvények, üggvénytranszormációk Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2013. 09. 06. 1 Függvénytani alapogalmak Függvény: két halmaz elemei közötti egyértelmű hozzárendelés. Jel.: :

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten MÁSODFOKÚ EGYENLETEK ÉS EGYENLŽTLENSÉGEK Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.

Részletesebben

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont) 1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY FÜGGVÉNYTANI ALAPOK Foglalkoztunk az alaptulajdonságnak tekinthető értelmezési tartománnyal, és a paritással, továbbá az összetett függvények képzési módjával, illetve ezeknek az elemi függvényekre való

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek 9 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek /I a) Az egyenlet bal oldala a nemnegatív számok halmazán, a jobb oldal minden valós szám esetén

Részletesebben

Függvények. Fogalom. Jelölés

Függvények. Fogalom. Jelölés Függvények Fogalom Ha egy A halmaz minden eleméhez egyértelműen hozzárendeljük egy B halmaz valamely elemét, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük. Az A halmaz a függvény értelmezési tartománya,

Részletesebben

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész Kisérettségi feladatsorok matematikából I. rész. Egy deltoid két szomszédos szöge 7 és 0. Mekkora lehet a hiányzó két szög? pont. Hozza egyszerűbb alakra a kifejezést, majd számolja ki az értékét, ha a=

Részletesebben

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk:

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 11. Sorozatok I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy számtani sorozat harmadik eleme 15, a nyolcadik eleme 30. Mely n természetes számra igaz, hogy a sorozat első n elemének összege 6? A szokásos jelöléseket

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Matematika 9. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. III. fejezet - Függvények (kb. 15 tanóra) > o < december 19.

Matematika 9. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. III. fejezet - Függvények (kb. 15 tanóra) > o < december 19. Matematika 9 Tankönyv és feladatgyűjtemény Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár III. fejezet - Függvények (kb. 15 tanóra) > o < 2015. december 19. copyright: c Juhász László Ennek

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek V.

Egyenletek, egyenlőtlenségek V. Egyenletek, egyenlőtlenségek V. DEFINÍCIÓ: (Másodfokú egyenlet) Az ax + bx + c = 0 alakban felírható egyenletet (a, b, c R; a 0), ahol x a változó, másodfokú egyenletnek nevezzük. TÉTEL: Az ax + bx + c

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 9. évfolyam TANULÓK KÖNYVE. FÉLÉV A kiadvány KHF/46-/009. engedélyszámon 008.08.8. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő oktatási

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Függvénytan elmélet, 9. osztály

Függvénytan elmélet, 9. osztály Függvénytan elmélet, 9. osztály A függvénytan alapfogalma a hozzárendelés. (Igazából nem kellene alapfogalomnak tekintenünk, mert a rendezett párok ill. a Descartes-szorzat segítségével definiálható lenne,

Részletesebben

2. Függvények. I. Feladatok

2. Függvények. I. Feladatok . Függvények I. Feladatok 1. Az y = x 1 + x + 1 függvény grafikonja és az y = c egyenletű egyenes által közrezárt síkidom területe 30. Mekkora a c állandó értéke?. Hány zérushelye van az a paramétertől

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 16 XVI A DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS ALkALmAZÁSAI 1 Érintő ÉS NORmÁLIS EGYENES, L HOSPITAL-SZAbÁLY Az görbe abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenlete (1), normálisának egyenlete

Részletesebben

I. Egyenes arányosság és a lineáris függvények kapcsolata

I. Egyenes arányosság és a lineáris függvények kapcsolata . modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK 7 I. Egyenes arányosság és a lineáris függvények kapcsolata Az óra első néhány percében idézzük fel az egyenes arányosságról és a lineáris függvényről az általános iskolában

Részletesebben

Hozzárendelés, lineáris függvény

Hozzárendelés, lineáris függvény Hozzárendelés, lineáris függvény Feladat 1 A ménesben a lovak száma és a lábaik száma közötti összefüggést vizsgáljuk. Hány lába van 0; 1; 2; 3; 5; 7... lónak? Készíts értéktáblázatot, és ábrázold derékszögű

Részletesebben

Trigonometrikus függvények és transzformációik MATEMATIKA 11. évfolyam középszint

Trigonometrikus függvények és transzformációik MATEMATIKA 11. évfolyam középszint TÁMOP-3.1.4-08/-009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Trigonometrikus függvények és transzformációik MATEMATIKA 11. évfolyam középszint Készítette:

Részletesebben

Függvény fogalma, jelölések 15

Függvény fogalma, jelölések 15 DOLGO[Z]ZATOK 9.. 1. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) Az egész számokhoz hozzárendeljük

Részletesebben

Nagy Krisztián Analízis 2

Nagy Krisztián Analízis 2 Nagy Krisztián Analízis 2 Segédanyag a második zárthelyi dolgozathoz Tartalomjegyzék Deriválási alapok... 3 Elemi függvények deriváltjai... 3 Deriválási szabályok műveletekre... 4 Első feladat típus...

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2 Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Két iskola tanulói műveltségi vetélkedőn vettek részt. A 100

Részletesebben

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel?

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? 7. Számelmélet I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? ELTE 2006. október 27. (matematika

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben

1.) = grafikont kell ábrázolnunk. Megj.: 5 1+ A = 1 ill. B = 10 -szeresei. Ábrázolás Függvénytranszformációval :

1.) = grafikont kell ábrázolnunk. Megj.: 5 1+ A = 1 ill. B = 10 -szeresei. Ábrázolás Függvénytranszformációval : 0 október Függvényábrázolások, Összetett üggvény, Inverz üggvény Bev Mat BME ( Válogatás a eladatgyüjteményből ) ) 0 0 0 0 ( ) ( ) 5 5 5 5 Ábrázolás Függvénytranszormációval : y y 5 ( tengely mentén eltolás

Részletesebben

13. Trigonometria II.

13. Trigonometria II. Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája

Részletesebben

Paraméteres és összetett egyenlôtlenségek

Paraméteres és összetett egyenlôtlenségek araméteres és összetett egyenlôtlenségek 79 6 a) Minden valós szám b) Nincs ilyen valós szám c) c < vagy c > ; d) d # vagy d $ 6 a) Az elsô egyenlôtlenségbôl: m < - vagy m > A második egyenlôtlenségbôl:

Részletesebben

Magasabbfokú egyenletek

Magasabbfokú egyenletek 86 Magasabbfokú egyenletek Magasabbfokú egyenletek 5 90 a) =! ; b) =! ; c) = 5, 9 a) Legyen = y Új egyenletünk: y - 5y+ = 0 Ennek gyökei: y=, y= Tehát egyenletünk gyökei:, =!,, =! b) Új egyenletünk: y

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Határozott integrál és alkalmazásai

Határozott integrál és alkalmazásai Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,

Részletesebben

I. Egyenes arányosság és a lineáris függvények kapcsolata

I. Egyenes arányosság és a lineáris függvények kapcsolata 6 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. Egyenes arányosság és a lineáris függvények kapcsolata Mintapélda 1 A csapból percenként 5 l víz folyik a fürdőkádba, melynek befogadó képessége 80 liter. Mennyi

Részletesebben

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét - 1 - Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

Részletesebben

Másodfokú egyenletek. 2. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő,a valós számok halmazán értelmezett függvényeket!

Másodfokú egyenletek. 2. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő,a valós számok halmazán értelmezett függvényeket! Másodfokú egyenletek 1. Alakítsuk teljes négyzetté a következő kifejezéseket! a.) - 4 + 4 b.) - 6 + 8 c.) + 8 - d.) - 4 + 9 e.) - + 8 - f.) - - 4 + 3 g.) + 8-5 h.) - 4 + 3 i.) -3 + 6 + 1. Ábrázoljuk és

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM)

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) Javítási értékelési útmutató 1. Melyek azok a pozitív p és q prímek, amelyekre a számok mindegyike

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA szeptember 7.

NULLADIK MATEMATIKA szeptember 7. A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 0. szeptember Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható. Válaszait csak az üres mezőkbe írja! A javítók a szürke

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 1. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! a) b) 7 c) 5 d) 5 1 e) 6 1 6 f) ( 81 16 ) g) 0,00001 5. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat!

Részletesebben

Nevezetes függvények

Nevezetes függvények Nevezetes függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 008-009. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára. Határozzuk meg az alábbi egyenletrendszer valós megoldásait. ( x

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 29.

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 29. Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2007. máj. 29. Megoldókulcs 1. Adott az S : 3x 6y + 2z = 6 sík a három dimenziós térben. (a) Írja fel egy tetszőleges, az S-re merőleges S síknak az egyenletét!

Részletesebben

Másodfokú függvények

Másodfokú függvények Másodfokú függvének Definíció: Azokat a valós számok halmazán értelmezett függvéneket, amelek hozzárendelési szabála f() = a + bc + c (a, b, c R, a ) alakú, másodfokú függvéneknek nevezzük. A másodfokú

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA szeptember 13.

NULLADIK MATEMATIKA szeptember 13. A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 0. szeptember. Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható nálható. Válaszait csak az üres mezőkbe írja! A javítók

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. MTEMTIK PRÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS = KÖZÉP SZINT = I. rész: z alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Oldd meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! tg

Részletesebben

4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval

4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval 4. fejezet Egyváltozós valós függvények deriválása Elm 4.. Differenciálás a definícióval A derivált definíciójával atározza meg az alábbi deriváltakat!. Feladat: f) = 6 + f 4) =? f 4) f4 + ) f4) 5 + 6

Részletesebben

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1 6 Komplex számok megoldások Lásd ábra z = + i, z = + i, z = i, z = i z = 7i, z = + 5i, z = 5i, z = i, z 5 = 9, z 6 = 0 Teljes indukcióval 5 Teljes indukcióval 6 Az el z feladatból következik z = z = =

Részletesebben

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27. Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

az Energetikai Szakközépiskola és Kollégium kisérettségiző diákjai számára

az Energetikai Szakközépiskola és Kollégium kisérettségiző diákjai számára 8. témakör: FÜGGVÉNYEK A feladatok megoldásához használjuk a Négyjegyű függvénytáblázatot! Függvények: 6-30. oldal. Ábrázold a koordinátasíkon azokat a pontokat, amelyek koordinátái kielégítik a következő

Részletesebben

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1 Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5.

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. I. rész Fontos tudnivalók A megoldások sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet

Részletesebben

Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió

Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mikor nevezünk egy gráfot gyengén és mikor erősen összefüggőnek? Adjon példát gyengén összefüggő de erősen nem összefüggő

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke? . Logritmus I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Mennyi kifejezés értéke? (A) Megoldás I.: BME 0. szeptember. (7B) A feldt ritmus definíciójából kiindulv gykorltilg fejben végiggondolhtó. Az kérdés, hogy -öt hánydik

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logaritmusos feladatok A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

20. tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek.

20. tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek. . tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek. Először megadom a síkbeli definíciójukat, mert ez alapján vezetjük le az egyenletüket. Alakzat

Részletesebben

9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja.

9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja. 9. ÉVFOLYAM Gondolkodási módszerek A szemléletes fogalmak definiálása, tudatosítása. Módszer keresése az összes eset áttekintéséhez. A szükséges és elégséges feltétel megkülönböztetése. A megismert számhalmazok

Részletesebben

Függvénytani alapfogalmak

Függvénytani alapfogalmak Függvénytani alapfogalmak 015. február 15. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg a valós számok legb vebb részhalmazát, 4x + melyen az f(x) = hozzárendelési utasítású függvény értelmezhet! x Megoldás:

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely április 8. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely április 8. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2013. április 8. A 9-10. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. Jelöljük x-szel az adott hónapban megkezdett 100 kb-s csomagok számát. Az első szolgáltatónál

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA A TÁMOP 3.1.4. EU-s pályázat megvalósításához a matematika (9. b/fizika) tárgy tanmenete a matematika kompetenciaterület A típusú

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

2 2 = 2 p. = 2 p. 2. Végezd el a kijelölt műveleteket! 3. Végezd el a kijelölt műveleteket! 4. Alakítsad szorzattá az összeget!

2 2 = 2 p. = 2 p. 2. Végezd el a kijelölt műveleteket! 3. Végezd el a kijelölt műveleteket! 4. Alakítsad szorzattá az összeget! Matematika vizsga 014. 9. osztály Név: Az 1-1. feladatok megoldását a feladatlapra írd! A 1-19. feladatokat a négyzetrácsos lapon oldd meg! 1. Számítsd ki az alábbi kifejezések pontos értékét! 0, = = p

Részletesebben

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 8. modul AZ ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY ÉS MÁS NEMLINEÁRIS FÜGGVÉNYEK

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 8. modul AZ ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY ÉS MÁS NEMLINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 8. modul AZ ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY ÉS MÁS NEMLINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 8. modul: Az abszolútérték-függvény és más nemlineáris függvények

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET. 9. osztály. 4 óra/hét. Budapest, 2014. szeptember

MATEMATIKA TANMENET. 9. osztály. 4 óra/hét. Budapest, 2014. szeptember MATEMATIKA TANMENET 9. osztály 4 óra/hét Budapest, 2014. szeptember 2 Évi óraszám: 144 óra Heti óraszám: 4 óra Ismerkedés, év elejei feladatok, szintfelmérő írása 2 óra I. Kombinatorika, halmazok 13 óra

Részletesebben

Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk

Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk 4. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények csoportosítása p. 1/2 Függvények nevezetes osztályai Algebrai függvények

Részletesebben

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny 2003. április 14. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. feladat Egy számtani sorozatot az első eleme és különbsége egyértelműen meghatározza, azt

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatásért Közalapítvány támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Határozzuk

Részletesebben

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 )

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 ) Fogalom gyűjtemény Abszcissza: az x tengely Abszolút értékes egyenletek: azok az egyenletek, amelyekben abszolút érték jel szerepel. Abszolútérték-függvény: egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden

Részletesebben