Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Átírás

1 Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = lépés: Teljes négyzetté alakítás x + 1x + 16 = (x + 6x + 8) = (x + 6x + 9 9) + 16 = [(x + 3) ] = = (x + 3).. lépés: Ábrázolni: 3. lépés: Az ábráról leolvasható, hogy hol veszi fel a függvény a nulla értéket. (Ez egyben a zérushelye is.) x 1 = 4 és x =. 1

2 Hiányos másodfokú egyenlet megoldása Hiányos másodfokú egyenlet: ax + c = 0, ahol a 0. Példa1.: 4x 16 = 0 4x 16 = 0 Hozzáadunk mindkét oldalhoz 16-ot. 4x = 16 Osztunk 4-gyel. x = 4 Mindkét oldalból négyzetgyököt vonunk. KÉT megoldás lesz!!! x 1 = és x =. Hiányos másodfokú egyenlet: ax + bx = 0, ahol a 0. Példa.: 4x 16x = 0 4x 16x = 0 Kiemelünk 4x-et. 4x(x 4) = 0 Egy szorzat értéke akkor 0, ha az egyik tényezője 0. 4x = 0 vagy x 4 = 0 Megoldva a két egyenletet két megoldást kapunk: x 1 = 0 és x = 4.

3 Másodfokú egyenlet általános alakja: A másodfokú egyenlet megoldóképlete ax + bx + c = 0, ahol a 0, és a, b, c valós paraméterek. Megoldásai (gyökei) a következő megoldóképlettel számolható ki: Példa3. x 8x 9 = 0. x 1, = b ± b 4ac a a = 1; b = - 8; c = - 9. Behelyettesítve a megoldóképletbe: Ebből: x 1,= ( 8) ± ( 8) 4 1 ( 9) 1 x 1 = = 8 ± 100 = 9 és x = 8 10 = 1 = 8 ± 10 Ellenőrzés: Az eredeti egyenletbe behelyettesítve a kapott eredményeket: Ha x 1 = 9, akkor Bal oldal: = 0, Jobb oldal 0. Ha x = 1, akkor Bal oldal: ( 1) 8 ( 1) 9 = = 0, Jobb oldal 0. 3

4 A másodfokú egyenlet diszkriminánsa Az ax + bx + c = 0 (a 0) másodfokú egyenlet megoldóképletében a b 4ac kifejezést diszkriminánsnak nevezzük, jele: D. - Két valós gyöke van, ha D > 0. - Egy valós (két egyenlő) gyöke van, ha D = 0. - Nincs valós gyöke, ha D < 0. Példa1. Az egyenletek megoldása nélkül állapítsd meg, hogy hány megoldása van! a) x + 6x + 1 = 0 b) x + 6x + 9 = 0 c) x + 6x + 10 = 0. a) Vizsgáljuk a diszkrimináns értékeit! a = 1; b = 6; c = 1; D = b 4ac = = 36 4 = 3 > 0, tehát két megoldása van. b) Vizsgáljuk a diszkrimináns értékeit! a = 1; b = 6; c = 9; D = b 4ac = = = 0, tehát egy megoldása van. c) Vizsgáljuk a diszkrimináns értékeit! a = 1; b = 6; c = 10; D = b 4ac = = = 4 < 0, tehát nincs megoldása. A gyöktényezős alak Az a(x x 1 )(x x ) = 0 egyenletet a másodfokú egyenlet gyöktényezős alakjának nevezzük. Példa1. Írd fel az x x 6 = 0 másodfokú egyenlet gyöktényezős alakját! Számold ki a másodfokú egyenlet gyökeit a megoldóképlet segítségével. x 1 = 1 és x = 3 Mivel a =, ezért a gyöktényezős alak: (x + 1)(x 3) = 0. 4

5 Kiegészítő anyag: Viéte formulák Az ax + bx + c = 0 másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói között fennállnak a követező összefüggések: x 1 + x = b a és x 1 x = c a Ezeket az összefüggéseket nevezzük Viéte formulának. Példa. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg a gyökök összegét, és szorzatát! 5x + 3x = 0 Az egyenletből leolvasva: a = 5; b = 3; c = -, majd behelyettesítve a Viéte formulákba: x 1 + x = b a = 3 5 x 1 x = c a = 5 = 5 Négyzetgyökös egyenletek Azokat az egyenleteket, amelyekben az ismeretlen négyzetgyök alatt van, négyzetgyökös egyenletnek nevezzük. Példa: Oldd meg a következő egyenleteket! a) x + 3 = 4 b) x + 1 = x 1 a) 1. Lépés: KIKÖTÉS: A gyökjel alatt nem állhat negatív szám, ezért: x + 3 0, amiből x 3.. lépés: Egyenlet rendezése, mindkét oldalt négyzetre emeljük: ( x + 3) = 4 x + 3 = 16, amiből x = 13. A 13 jó megoldás, mert megfelel a kikötésnek. Ellenőrzés: Bal oldal: = 16 = 4 Jobb oldal: 4. b) 1. Lépés: KIKÖTÉS: Bal oldalra: A gyökjel alatt nem állhat negatív szám, ezért: x + 1 0, amiből x 1. Jobb oldalra: Négyzetgyökvonás értéke nemnegatív: x 1 0, amiből x 1. A két egyenlőtlenség közös része: x 1.. lépés: Egyenlet rendezése, mindkét oldalt négyzetre emeljük: ( x + 1) = (x 1) x + 1 = x x = x 4x 0 = x(x 4) amiből x 1 = 0 és x = 4. A 4 jó megoldás, mert megfelel a kikötésnek, a 0 nem megoldása az egyenletnek. Ellenőrzés: Bal oldal: = 9 = 3 Jobb oldal: 4 1 = 3. 5

6 Kiegészítő anyag: c) x x = 5 d) x 3 x = 4 c) 1. Lépés: KIKÖTÉS: Az egyenlet jobb oldalán negatív szám szerepel. Az egyenlet bal oldalán vedd észre, hogy a két gyökjel értéke nullánál nagyobb kell legyen, és köztük összeadás van, tehát az összegük is nulla, vagy annál nagyobb. Ellentmondásra jutottunk a két oldal vizsgálatakor, emiatt nincs megoldása az egyenletnek! d) 1. Lépés: KIKÖTÉS: Bal oldalra: A gyökjel alatt nem állhat negatív szám, ezért: x 3 0, amiből x 3 és x 0, amiből x. A két egyenlőtlenségnek nincs közös része, ezért az egyenletnek nincs megoldása. Számtani és mértani közép Definíció: Két nemnegatív szám számtani közepén a két szám összegének a felét értjük: a + b A(a, b) = Kettőnél több szám esetén: A = a 1 + a + + a n n Definíció: Két nemnegatív szám mértani közepén a két szám szorzatának a négyzetgyökét értjük: G(a, b) = a b Több szám esetén: n G = a 1 a a n 6

7 Másodfokú egyenlőtlenségek Példa1. Oldd meg az alábbi másodfokú egyenlőtlenséget! x 6x + 5 > lépés: Oldd meg az egyenlőtlenséget, mintha egyenlőség lenne.. lépés: Ábrázolni: x 6x + 5 = 0, amiből x 1 = 1 és x = 5. Az ábráról leolvasható: x < 1 vagy x > 5 Más jelöléssel: Megoldás = {x R ] ; 1[ ]5; []} Kiegészítő anyag: Példa. Oldd meg az alábbi egyenlőtlenséget! x x 6 x 4x lépés: A számlálót, és a nevezőben levő másodfokú kifejezést egyenlővé tesszük 0-val, és megoldjuk. Számláló: x x 6 = 0, amiből x 1 = és x = 3 Nevező: x 4x 5 = 0, amiből x 3 = 1 és x 4 = 5. lépés: Ábrázolás Az ábráról leolvasható: Megoldás = {x R ] ; ] ] 1; 3] ]5; [} (Más jelöléssel: x vagy 1 < x 3 vagy 5 < x ) 7

8 Másodfokúra visszavezethető magasabb fokszámú egyenletek Példa: Oldd meg az alábbi negyedfokú egyenletet! x 4 5x + 4 = 0 Legyen y = x, és y = x 4 Ekkor: y 5y + 4 = 0 másodfokú egyenletet kaptunk, melynek megoldásai: y 1 = 4 és y = 1 Mivel y 1 = x = 4, ebből x 1 = és x =, valamint y 1 = x = 1, ebből x 1 = 1 és x = 1. x = {-; -1; 1; } Ellenőrzés: MIND a 4 végeredménnyel: Ha x =, akkor a bal oldal: ( ) 4 5( ) + 4 = = 0. Ha x = 1, akkor a bal oldal: ( 1) 4 5( 1) + 4 = = 0. Ha x = 1, akkor a bal oldal: = = 0. Ha x =, akkor a bal oldal: = = 0. Az egyenlet jobb oldala: 0. Másodfokú egyenletrendszerek Példa: I. x + y = 7 II. x y = 18 } Az első egyenletből fejezzük ki valamelyik ismeretlent: x kifejezése I. x + y = 7 x = 7 y} II. x y = 18 A másik egyenletbe behelyettesítjük x helyére 7 y t. I. x + y = 7 } II. (7 y) y = 18 A második egyenlet már csak egy ismeretlent tartalmaz. Felbontjuk a zárójelet, elvégezzük az egyenlet rendezését. 7y y = 18 y 7y 18 = 0, amiből: y 1 = 9 vagy y =. Kiszámoljuk x et: Ha y 1 = 9, akkor x 1 = 7 y = 7 9 = Ha y =, akkor x = 7 y = 7 ( ) = 9. (x; y) = ( ; 9)vagy (9; ). Ellenőrzés. 8