Egyenletek, egyenlőtlenségek X.

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Egyenletek, egyenlőtlenségek X."

Átírás

1 Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak nevezzük. DEFINÍCIÓ: (a alapú logaritmus) Legyen a 1 pozitív valós szám. Tetszőleges b pozitív valós szám esetén létezik pontosan egy olyan c valós szám, hogy b = a c. Ekkor a c hatványkitevőt a b szám a alapú logaritmusának nevezzük. Jelölés: c = log a b. Megjegyzés: Bármely pozitív szám egyértelműen felírható valamely 1 től különböző pozitív szám hatvgányaként. Egy számnak egy adott alapra vonatkozó hatványkitevőjét a szám adott alapá logaritmusának nevezzük. Az a alapú logaritmus b jelenti azt a c kitevőt, amelyre a - t emelve b - t kapunk. A tízes alapú logaritmus esetén nem írjuk ki az alapot, hanem lg - t írunk a log 10 helyett. A definíció értelmében teljesül a következő: a log a b = b. A definíció alapján a következők adódnak: log a 1 = 0 és log a a = 1. A logaritmus azonosságai: log a x + log a y = log a (x y) a; x; y R + a 1 log a x log a y = log a x y a; x; y R + a 1 log a x k = k log a x a; x; k R + a 1 TÉTEL: Másik alapú logaritmusra áttérhetünk a következő módokon: log a b = log c b log c a log a b = 1 log b a a; b; c R + a; c 1 a; b R + a; b 1 log a b = log a x b x a; b R + a 1 x 0 x R 1

2 1. Határozd meg a következő kifejezésekben az x értékét! log x = 8 log 9 x = 1 log x 5 = 1 1 log x = lg 100 = x log = x A feladatok megoldásához használjuk a definíciót: log a b = c b = a c. log x = 8 x = 8 = 56 log 9 x = 1 x = 9 1 = 9 = log x 5 = 1 5 = x 1 5 = x x = 15 log x 1 7 = 1 7 = x 1 7 = 1 x x = lg 100 = x 10 x = 100 x = log 7 49 = x 7 x = 49 7 x = 7 7 x = 7 x =. Mennyi lesz a következő kifejezések pontos értéke? log log log log log 1 4 log +log 7 9 Arra kell törekednünk, hogy a hatvány és a kitevőben szereplő logaritmus alapja megegyezzen, mert akkor azok elhagyhatóak és egyszerűbb alakra jutunk. Ezekhez a logaritmus, illetve a hatványozás azonosságait kell felhasználnunk. log 4 9 = (4 1 log 4 9 ) = 4 1 log = 4 log 4 9 = 9 1 = 9 = 81 log 9 4 = (9 ) log 9 4 = 9 log 9 4 = 9 log 9 4 = 4 = log 5 = log 5 = 5 (5 ) log 5 = 5 5 log 5 = 5 5 log 5 = 5 = log 8 4 = log 8 4 = 8 8 log = = = 8 4 = 1

3 7 log log +log 7 = 7 log log 7 log 7 = = [( 1 9 ) ] log 1 9 ( ) 4 log [( 7) ] log 7 = ( 1 log 1 9 ) 9 1 log ( 7) log 7 = ( )log 9 log 1 ( 7) log 7 = 1 = = Milyen x értékek esetén értelmezhetőek a következő kifejezések? log 5 (x ) log x (5 x) lg(x + x ) log x 4 A logaritmus alapja egy 1 - nél különböző pozitív szám. Továbbá a logaritmus után álló kifejezés is csak pozitív szám lehet. Ezek alapján kell felírnunk a lehetséges x értékeket. x log 5 (x ) x > 0 x > log x (5 x) 5 x > 0 5 > x és x > 0; x 1 Ezeket összevonva a következőt kapjuk: 0 < x < 5 és x 1 lg(x + x ) x + x > 0 Egyenletként tekintve a megoldások: x 1 = 1 és x = A függvény görbéje alapján a következőt kapjuk: x < vagy x > 1.

4 x 4 x > 0 Ez akkor teljesül, ha a számláló és nevező is pozitív, vagy ha mindkettő negatív. Tekintsük először azt, amikor a számláló és nevező is egy pozitív szám. x 4 > 0 x > 4 és x > 0 > x A kettőnek nincs közös része, így ezen az ágon nincs megoldásunk. Tekintsük most azt, amikor a számláló és nevező is egy negatív szám. x 4 < 0 x < 4 és x < 0 < x A kettőnek közös része a következő: < x < 4. A megoldás a két ág együttese (uniója): < x < Milyen x értékek eseten teljesülnek a következő egyenlőségek? log x = log 11 log 5 + log 8 x = lg + 6 lg 5 + lg 18 lg Használjuk a logaritmus azonosságait. log x = log 11 log 5 + log 8 = log 11 log 5 + log 8 = 11 = log + log = log 5 Ezek alapján: x = x = lg + 6 lg 5 + lg 18 lg = lg + lg( 5) 6 + lg 18 lg = = lg 4 + lg 15 + lg 18 lg 9 = lg lg 18 lg 9 = lg 9000 lg 9 = lg 1000 = 4

5 5. Oldd meg a következő egyenleteket! a) x = log 5 7 b) x = 1 Ezen típusoknál arra kell törekednünk, hogy tízes alapú logaritmusokkal fejezzük ki az x - et, mert így a számológéppel kiszámíthatjuk a pontos értékeket. a) x = log 5 7 = lg 7 lg 5 1, b) x = 1 lg x = lg 1 x lg = lg 1 x = lg 1 lg, 6. Old meg a következő egyenleteket! a) log 4 (x ) = b) log x + log = log 15 c) log x 0x log x 5 = d) log (x 1) = log 4 Az egyenletek megoldásánál arra kell törekednünk, hogy mindkét oldalt egy darab, ugyanolyan alapú logaritmus legyen, mert akkor a logaritmusokat elhagyhatjuk. Amennyiben az egyik oldalt egy logaritmus áll, a másik oldalt pedig egy szám, akkor a logaritmus definícióját is alkalmazhatjuk a megoldáshoz. Az egyenleteknél feltétel írása, vagy a megoldás ellenőrzése elengedhetetlen. Amennyiben az egyenletnél a feltétel kiszámítása bonyolult lenne, akkor előbb oldjuk meg az egyenletet, majd a kapott értéket ellenőrizzük le, hogy valóban megoldása-e az egyenletnek. Adott esetben, ha több feltételt is írnunk kellene, de azok között akad olyan, amelyet bonyolult lehet levezetni, akkor felírhatjuk csak a könnyebb feltételeket is, de ilyenkor a megoldásokat szintén ellenőriznünk kell a végén (mivel ekkor a feltételszabásunk nem terjed ki minden esetre)! 5

6 a) log 4 (x ) = Feltétel: x > 0 x > definíció szerint x = 4 x = 64 x = 66 b) log x + log = log 15 Feltétel: x > 0 log (x) = log 15 a függvény szigorú monotonitása miatt x = 15 x = 5 c) log x 0x log x 5 = Feltétel: 0x > 0 x > 0 és x 1 log x 0x 5 x = 4x x 4x = 0 x (x 4) = 0 = definíció szerint Egy szorzat értéke akkor 0, ha valamelyik tényezője 0. Ezek alapján a következő megoldások adódnak: x 1 = 0 x 4 = 0 x = 4 Az x 1 nem felel meg a feltételnek, így csak egy megoldása van az egyenletnek: x = 4. 6

7 d) log (x 1) = log 4 Feltétel: x 1 > 0 x > 1 log (x 1) = log 4 a függvény szigorú monotonitása miatt (x 1) = 4 x x + 1 = 4 x x = 0 A megoldó képlet felírása után kapjuk, hogy a két megoldás: x 1 = és x = 1. Az x nem felel meg a feltételnek, így csak egy megoldása van az egyenletnek: x =. 7. Old meg a következő egyenleteket! a) log x 1 (x 4x + 5) = b) = lg(x 100) 1 lg 5 a) log x 1 (x 4x + 5) = Feltétel: x 1 > 0 x > 1 definíció szerint: x 4x + 5 = (x 1) x 4x + 5 = 4x 4x = x x 1 = és x = Az x nem felel meg a feltételnek, de mivel nem írtunk fel minden kikötést, ezért ellenőrizni kell, hogy az x 1 tényleg jó megoldás-e. Ellenőrzés: Jobb oldal: Bal oldal: log 9 = = Ezek alapján az x 1 megoldása az egyenletnek. 7

8 b) = lg(x 100) 1 lg 5 Feltétel: x 100 > 0 x > 100 (1 lg 5) = lg(x 100) lg 5 = lg(x 100) lg 100 lg 5 = lg(x 100) lg 4 = lg(x 100) a függvény szigorú monotonitása miatt 4 = x 100 x = Old meg a következő egyenleteket! a) log 4 [log (log x)] = 0 b) log 8 [4 log 6 (5 x)] = 1 Ezen típusoknál arra kell törekednünk, hogy kívülről befelé haladva, a definíciót többször alkalmazva, lépésről - lépésre,,lebontsuk az egyenletet. A feltétel felírása itt hosszadalmas lenne, mert több logaritmusra is feltételt kellene írnunk, így célszerűbb csak a legbelsőre felírni a feltételt és majd a végén ellenőrizni a megoldást. a) log 4 [log (log x)] = 0 Feltétel: x > 0 definíció szerint log (log x) = 4 0 = 1 log x = 1 = definíció szerint definíció szerint x = = 8 Ellenőrzés: Jobb oldal: 0 Bal oldal: log 8 = log = 1 log 4 1 = 0 0 = 0 Ezek alapján az x megoldása az egyenletnek. 8

9 b) log 8 [4 log 6 (5 x)] = 1 Feltétel: 5 x > 0 5 > x definíció szerint 4 log 6 (5 x) = 8 1 = log 6 (5 x) = 1 definíció szerint 5 x = 6 1 = 6 x = 1 Ellenőrzés: Jobb oldal: 1 Bal oldal: 4 log 6 6 = log 8 = 1 1 = 1 Ezek alapján az x megoldása az egyenletnek. 9. Old meg a következő egyenleteket! a) 4 lg x = lg x b) lg x = lg x Ennél a típusnál célszerű bizonyos lépés után bevezetnünk egy új ismeretlent a logaritmus helyett, s így megoldva az egyenletet, a végén visszahelyettesítünk az eredeti kifejezésbe. a) 4 lg x = lg x Feltétel: x > 0 és lg x > 0 x > lg x + lg x = 9 lg x lg x 17 lg x + 16 = 0 Legyen: a = lg x a 17a + 16 = 0 A megoldó képlet felírása után kapjuk, hogy a két megoldás: a 1 = 1 és a = 16. Visszahelyettesítés után az egyenlet megoldásai a következők lesznek: a 1 = 1 lg x = 1 x = 10 1 = 10 a = 16 lg x = 16 x =

10 b) lg x = lg x Feltétel: x > 0 lg x = lg x Legyen: a = lg x a = a a a = 0 a (a ) = 0 Ebből két megoldás adódik: a 1 = 0 és a = 0 a = Visszahelyettesítés után az egyenlet megoldásai a következők lesznek: a 1 = 0 lg x = 0 x = 10 0 = 1 a = lg x = x = 10 = Old meg a következő egyenleteket! a) log 5 x + log 5 x = 7 b) log x log 4 x = 5 log 8 x 1 c) log 4 x + log x 4 = 5 Ezen típusoknál arra kell törekednünk, hogy a különböző alapú logaritmusokat egy azonos alapú logaritmussá alakítsuk át. a) log 5 x + log 5 x = 7 Feltétel: x > 0 log 5 x + log 5 x log 5 5 = 7 log 5 x + log 5 x = 7 6 log 5 x + log 5 x = 14 7 log 5 x = 14 log 5 x = definíció szerint x = 5 = 5 10

11 b) log x log 4 x = 5 log 8 x 1 Feltétel: x > 0 log x log x log 4 = 5 log x log 8 1 log x log x = 5 log x 1 6 log x 9 log x = 10 log x = 1 log x 6 = log x definíció szerint x = 6 = 64 c) log 4 x + log x 4 = 5 Feltétel: x > 0 és x 1 log 4 x + log 4 4 log 4 x = 5 log 4 x + 1 log 4 x = 5 (log 4 x) + = 5 log 4 x (log 4 x) 5 log 4 x + = 0 Legyen: a = log 4 x a 5a + = 0 A megoldó képlet felírása után kapjuk, hogy a két megoldás: a 1 = és a = 1. Visszahelyettesítés után az egyenlet megoldásai a következők lesznek: a 1 = log 4 x = x = 4 = 16 a = 1 log 4 x 7 1 x = 4 1 = 11

12 11. Old meg a következő egyenleteket! a) x lg x = 0,01 b) x log x = 16 Mivel itt a logaritmus a hatvány kitevőjében szerepel, ezért be kell hoznunk egy újabb logaritmust, mert ebben az esetben a hatványkitevőt le tudjuk hozni szorzat alakba. a) x lg x = 0,01 Feltétel: x > 0 lg x lg x = lg 0,01 (lg x ) lg x = lg x lg x + = 0 Legyen: a = lg x a a + = 0 A megoldó képlet felírása után kapjuk, hogy a két megoldás: a 1 = és a 1 = 1. Visszahelyettesítés után az egyenlet megoldásai a következők lesznek: a 1 = lg x = x = 10 = 100 a = 1 lg x = 1 x = 10 1 = 10 b) x log x = 16 Feltétel: x > 0 log x log x = log 16 log x log x = 4 (log x) = 4 Legyen: a = log x a = 4 a 1 = és a = Visszahelyettesítés után az egyenlet megoldásai a következők lesznek: a 1 = log x = x = = 4 a = log x = x = = 1 4 1

13 1. Old meg a következő egyenlőtlenségeket! a) log1(x + 1) > 4 b) log5 ( 1 x + 1) < 1 c) log 5 x x+1 0 d) log x 1 (4x + ) 0 Egyenlőtlenséget hasonlóan oldunk meg, mint egyenletet, csak arra kell ügyelnünk, hogy a negatív számmal való szorzásnál (osztásnál), illetve az alap elhagyásakor, ha az egy 0 és 1 közé eső szám (a függvény szigorú csökkenése miatt), akkor a reláció iránya megfordul. a) log1(x + 1) > 4 Feltétel: x + 1 > 0 x > 1 log1(x + 1) > log a függvény szigorú monotonitása miatt x + 1 < 1 16 x < A feltétellel összevetve az eredményt, a végső megoldás: 1 < x < b) log5 ( 1 x + 1) < 1 Feltétel: 1 x + 1 > 0 x > log5 ( 1 x + 1) < 5 log5 a függvény szigorú monotonitása miatt 1 x + 1 < 5 x < A feltétellel összevetve az eredményt, a végső megoldás: < x <. 1

14 c) log 5 x x+1 0 Feltétel: 5 x x+1 > 0 Egy tört értéke akkor pozitív, ha a számláló és nevező is pozitív, vagy mindkettő negatív. I. Nevező és számláló is pozitív: 5 x > 0 5 > x és x + 1 > 0 x > 1 A két egyenlőtlenségből ezen az ágon a következőt kapjuk: 1 < x < 5. II. Nevező és számláló is negatív: 5 x < 0 5 < x és x + 1 < 0 x < 1 A két egyenlőtlenségből ezen az ágon a következőt kapjuk: nincs megoldás. A két ágból a végső feltételünk: 1 < x < 5. Az egyenlőtlenség megoldása a következő: log 5 x x+1 0 log 5 x x+1 log 1 5 x x x (x+1) x x x

15 Egy tört értéke akkor negatív, ha a számláló pozitív és a nevező negatív, vagy fordítva. I. A nevező pozitív és a számláló negatív (vagy 0): 4 4x 0 1 x és x + 1 > 0 x > 1 A két egyenlőtlenségből ezen az ágon a következőt kapjuk: 1 x. II. A nevező negatív és a számláló pozitív (vagy 0): 4 4x 0 1 x és x + 1 < 0 x < 1 A két egyenlőtlenségből ezen az ágon a következőt kapjuk: x < 1 A megoldás a két ág együttese (uniója): x < 1 vagy 1 x. A feltétellel összevetve az eredményt, a végső megoldás: 1 x < 5. 15

16 d) log x 1 (4x + ) 0 Feltétel: x 1 > 0 x > 1 x 1 1 x 1 4x + > 0 x > 1 Ezeket összevetve, a végső feltételünk: x > 1 és x 1 Az egyenlőtlenség megoldása a következő: I. Ha az alap 1-nél nagyobb szám: x 1 > 1 x > 1 log x 1 (4x + ) log x 1 1 a függvény szigorú monotonitása miatt 4x + 1 x 1 4 Az eredménynek és a feltételnek nincs közös része, így ezen az ágon nincs megoldás. II. Ha az alap 0 és 1 közé esik: 0 < x 1 < 1 1 < x < 1 log x 1 (4x + ) log x 1 1 a függvényszigorú monotonitása miatt 4x + 1 x 1 4 Az ág megoldása a kapott eredmény és a kikötés közös része, vagyis: 1 < x < 1. Az első ágon nem kaptunk megoldást, így a két ág megoldása: 1 < x < 1. Ezt összevetve a feltételekkel, az egyenlőtlenség végső megoldása: 1 < x < 1. 16

17 1. Old meg a következő egyenletrendszereket! a) 5 log x log y = 9 log x + log y = 8 b) lg x + lg y = lg y lg x = lg 5 c) log 5 x + log 5 y = 1 x 4 8 y = 0 A logaritmikus egyenletrendszereknél általában két megoldás közül választhatunk. Az egyik, ha mindkét egyenletben ugyanazok a logaritmusok szerepelnek, akkor behelyettesítéssel oldhatjuk meg az egyenletrendszert. Amennyiben különbözőek a logaritmusok, vagy az egyik egyenlet logaritmikus a másik exponenciális, akkor célszerű a két egyenletet külön külön tekinteni és egyenként egyszerűbb alakra hoznunk azokat. a) 5 log x log y = 9 Feltétel: x > 0 és y > 0 log x + log y = 8 Legyen: a = log x és b = log y Ekkor behelyettesítés után a következő egyenletrendszer adódik: 5a b = 9 a + b = 8 A második egyenletből azt kapjuk, hogy b = 8 a. Ezt behelyettesítjük az első egyenletbe: 5a (8 a) = 9 5a 4 + 6a = 9 a = Ebből visszahelyettesítés után azt kapjuk, hogy b =. Az újabb visszahelyettesítés után a következők adódnak: a = log x = x = = 8 b = log y = y = = 9 Ezek alapján az egyenletrendszer megoldása: (8; 9). 17

18 b) lg x + lg y = Feltétel: x > 0 és y > 0 lg y lg x = lg 5 Tekintsük először az első egyenletet: lg x + lg y = lg(xy) = definíció szerint xy = 10 = 100 Tekintsük ezután a második egyenletet: lg y lg x = lg 5 lg y x = lg 5 a függvény szigorú monotonitása miatt y x = 5 A második egyenletből azt kapjuk, hogy y = 5x. Ezt behelyettesítjük az első egyenletbe: 5x = 100 x = 4 x 1 = és x = A feltételnek csak az x 1 felel meg. Ezt visszahelyettesítve kapjuk, hogy y = 50. Ezek alapján az egyenletrendszer megoldása: (; 50). 18

19 c) log 5 x + log 5 y = 1 Feltétel: x > 0 és y > 0 x 4 8 y = 0 Tekintsük először az első egyenletet: log 5 x + log 5 y = 1 log 5 (xy) = log 5 5 a függvény szigorú monotonitása miatt xy = 5 Tekintsük ezután a második egyenletet: x 4 8 y = 0 x y = 0 x = +y a függvény szigorú monotonitása miatt x = + y Ezt behelyettesítjük az első egyenletbe: ( + y) y = 5 y + y = 5 y + y 5 = 0 A megoldó képlet felírása után kapjuk, hogy a két megoldás: y 1 = 1 és y = 5. A feltételnek csak az y 1 felel meg. Ezt visszahelyettesítve kapjuk, hogy x = 5. Ezek alapján az egyenletrendszer megoldása: (5; 1). 19

20 14. Mennyi a következő kifejezés pontos értéke? log log 4 log 4 5 log 5 6 log 6 7 log 7 8 A megoldáshoz a következő összefüggést kell alkalmaznunk: log a b log b c = log a b log a c log a b = log a c Ezek alapján a megoldás: log 8 =. 15. Fejezd ki lg 40 - et lg 0 segítségével! Legyen a = lg 0. Alakítsuk át az lg 0 kifejezést a következő módon: a = lg 0 = lg ( 5) = lg + lg 5 = lg + lg 10 = lg + lg 10 lg = lg + 1 Ezt követően alakítsuk át az lg 40 kifejezést is: lg 40 = lg ( 5) = lg + lg 5 = lg + lg 10 = lg + lg 10 lg = lg + 1 Az első egyenletből azt kapjuk, hogy lg = a 1. Ezt helyettesítsük be a második egyenletbe: lg 40 = (a 1) + 1 = a + 1 = a 1 Ezek alapján a megoldás: lg 40 = lg

21 16. Fejezd ki lg 15 - öt az lg 75 és lg 45 segítségével! Legyen a = lg 75 és b = lg 45. Alakítsuk át az lg 75 kifejezést a következő módon: a = lg 75 = lg (5 ) = lg 5 + lg = lg 5 + lg Ezt követően alakítsuk át az lg 45 kifejezést is: b = lg 45 = lg ( 5) = lg + lg 5 = lg + lg 5 Az első egyenlet kétszereséből kivonva a második egyenletet a következőt kapjuk: a b = lg 5 a b = lg 5 Ezt visszahelyettesítjük az első egyenletbe: a = a b a = 4a b lg = b a + lg + lg Ezek alapján a megoldás: lg 15 = lg (5 ) = lg 5 + lg = a b + b a = a+b = lg 75+lg45 1

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Oldd meg a következő egyenleteket! (Alaphalmaz: R) a) log 4 (x ) = 3 b) lg (x 4) = lg (8x 10) c) log x + log 3 = log 15 d) log x 0x log x 5 = e) log 3 (x 1) = log 3 4 f) log 5 x = 4 g) lg

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Oldd meg a következő exponenciális egyenletrendszereket! (Alaphalmaz: R) 5 3 x 2 2 y = 7 2 3 x + 2 y = 10 7 x+1 6 y+3 = 1 6 y+2 7 x = 5 (6 y + 1) c) 25 (5 x ) y = 1 3 y 27 x = 3 Megoldás:

Részletesebben

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1. Határozd meg a következő kifejezésekben a c értékét!

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1. Határozd meg a következő kifejezésekben a c értékét! Megoldások. Határozd meg a következő kifejezésekben a c értékét! log 4 = c log 7 = c log 5 5 = c lg 0 = c log 7 49 = c A feladatok megoldásához használjuk a definíciót: log a b = c b = a c. log 4 = c 4

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások

Exponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések - megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és jelű egyenletnek pontosan egy megoldása

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások

Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és b) jelű egyenletnek pontosan egy megoldása van, a c) és d) jelű egyenletnek viszont nincs megoldása

Részletesebben

a) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x 2 2 vagy x 2 2) (1 pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0.

a) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x 2 2 vagy x 2 2) (1 pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Logaritmus

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Logaritmus Logaritmus DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak nevezzük. Bármely pozitív

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek V.

Egyenletek, egyenlőtlenségek V. Egyenletek, egyenlőtlenségek V. DEFINÍCIÓ: (Másodfokú egyenlet) Az ax + bx + c = 0 alakban felírható egyenletet (a, b, c R; a 0), ahol x a változó, másodfokú egyenletnek nevezzük. TÉTEL: Az ax + bx + c

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

Egészrészes feladatok

Egészrészes feladatok Kitűzött feladatok Egészrészes feladatok Győry Ákos Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium 1. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán a { } 3x 1 x+1 7 egyenletet!. feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges

Részletesebben

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály 00. Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály ) Írd fel a következő egyenlőségeket hatványalakban! a) log 9 = b) log 4 = - c) log 7 = d) lg 0 =

Részletesebben

Koczog András Matematika - Az alapoktól az érettségin át az egyetemig

Koczog András  Matematika - Az alapoktól az érettségin át az egyetemig 07 www.feladat.matematikam.hu érettségin át az egyetemig Logaritmus és exponenciális egyenletek Kifejezések számítása Az exponenciális és logaritmusos egyenletek megoldásához szükséges, hogy képesek legyünk

Részletesebben

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások ) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja

Részletesebben

Matematika 11. osztály

Matematika 11. osztály ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Humán tagozat Matematika 11. osztály I. rész: Hatvány, gyök, logaritmus Készítette: Balázs Ádám Budapest, 018 . Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét!

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét! Megoldások. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét! 8 8 ( ) ( ) ( ) Használjuk a gyökvonás azonosságait. 0 8 8 8 8 8 8 ( ) ( ) ( ) 0 8 . Határozd meg a következő kifejezések értelmezési tartományát!

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk:

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 11. Sorozatok I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy számtani sorozat harmadik eleme 15, a nyolcadik eleme 30. Mely n természetes számra igaz, hogy a sorozat első n elemének összege 6? A szokásos jelöléseket

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.

Részletesebben

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek 9 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek /I a) Az egyenlet bal oldala a nemnegatív számok halmazán, a jobb oldal minden valós szám esetén

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Oldd meg a következő egyenleteket! (Alaphalmaz: Z) a) (x 1) (x + 1) 7x + 1 = x (4 + x) + 2 b) 1 2 [5 (x 1) (1 + 2x) 2 4x] = (7 x) x c) 2 (x + 5) (x 2) 2 + (x + 1) 2 = 6 (2x + 1) d) 6 (x 8)

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

Exponenciális, logaritmikus függvények

Exponenciális, logaritmikus függvények Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Trigonometria Megoldások. 1) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! (12 pont) Megoldás:

Trigonometria Megoldások. 1) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! (12 pont) Megoldás: Trigonometria Megoldások ) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! cos + cos = sin ( pont) sin cos + = + = ( ) cos cos cos (+ pont) cos + cos = 0 A másodfokú egyenlet megoldóképletével

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Módszertani megjegyzés: A kikötés az osztás műveletéhez kötődik. A jobb megértés miatt célszerű egy-két példát mu-

Módszertani megjegyzés: A kikötés az osztás műveletéhez kötődik. A jobb megértés miatt célszerű egy-két példát mu- . modul: ELSŐFOKÚ TÖRTES EGYENLETEK A következő órákon olyan egyenletekkel foglalkozunk, amelyek nevezőjében ismeretlen található. Ha a tört nevezőjében ismeretlen van, akkor kikötést kell tennünk: az

Részletesebben

Hatványozás. A hatványozás azonosságai

Hatványozás. A hatványozás azonosságai Hatványozás Definíció: a 0 = 1, ahol a R, azaz bármely szám nulladik hatványa mindig 1. a 1 = a, ahol a R, azaz bármely szám első hatványa önmaga a n = a a a, ahol a R, n N + n darab 3 4 = 3 3 3 3 = 84

Részletesebben

3. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek

3. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek . Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Mennyi a 2x 2 8x 5 = 0 egyenlet gyökeinek a szorzata? (A) 10 (B) 2 (C) 2,5 (D) 4 (E) ezek egyike sem Megoldás I.: BME 2011.

Részletesebben

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny 2003. április 14. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. feladat Egy számtani sorozatot az első eleme és különbsége egyértelműen meghatározza, azt

Részletesebben

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek?

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek? Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6 Elsőfokú 2005. május 28. 1. Mely x valós számokra igaz, hogy x 7? 13. a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x 1 2x 4 2 5 2005.

Részletesebben

Magasabbfokú egyenletek

Magasabbfokú egyenletek 86 Magasabbfokú egyenletek Magasabbfokú egyenletek 5 90 a) =! ; b) =! ; c) = 5, 9 a) Legyen = y Új egyenletünk: y - 5y+ = 0 Ennek gyökei: y=, y= Tehát egyenletünk gyökei:, =!,, =! b) Új egyenletünk: y

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 1. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! a) b) 7 c) 5 d) 5 1 e) 6 1 6 f) ( 81 16 ) g) 0,00001 5. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat!

Részletesebben

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő

Részletesebben

Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel

Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Ez még nem a végleges változat, utoljára módosítva: 2012. április 9.19:38. Elsőrendű egyenletek Legyen adott egy elsőrendű lineáris állandó együtthatós

Részletesebben

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet 9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Határozzuk meg a p valós paraméter értékétől függően a következő mátrix rangját: p 3 1 2 2

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

Konvexitás, elaszticitás

Konvexitás, elaszticitás DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS ALKALMAZÁSAI Konveitás, elaszticitás Tanulási cél A másodrendű deriváltat vizsgálva milyen következtetéseket vonhatunk le a üggvény konveitására vonatkozóan. Elaszticitás ogalmának

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Oldd meg a következő egyenletet: cos (3x π 3 ) = 1 2! A koszinusz függvény az első és a negyedik negyedben pozitív. Táblázati érték (hegyesszög): 1 2 60 = π 3 Ezek alapján felírhatjuk az

Részletesebben

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül

Részletesebben

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY Koszinusztétel Tétel: Bármely háromszögben az egyik oldal négyzetét megkapjuk, ha a másik két oldal négyzetének összegéből kivonjuk e két oldal és az általuk közbezárt szög koszinuszának kétszeres szorzatát.

Részletesebben

Függvények december 6. Határozza meg a következő határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. Megoldás: lim. 2. Feladat: lim.

Függvények december 6. Határozza meg a következő határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. Megoldás: lim. 2. Feladat: lim. Függvények 05. december 6. Határozza meg a következő határértékeket!. Feladat: ( + 7 5 ) ( + 7 5 ) ( + 0 ). Feladat: ( + 7 5 ) ( + 7 5 ) ( + 0) 3. Feladat: ( + 0 7 5 ) 4. Feladat: ( + 0 7 5 ) ( + 7 0 5

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások 2 1 = 217.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások 2 1 = 217. Megoldások 1. Egy mértani sorozat harmadik eleme 4, hetedik eleme 64. Számítsd ki a sorozat második tagját! Először számítsuk ki a sorozat hányadosát: a 7 = a 3 q 4 64 = 4q 4 q 1 = 2 és q 2 = 2 Ezek alapján

Részletesebben

A SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA

A SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA A SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA TERMÉSZETES SZÁMOK ÉRTELMEZÉSE 1-5. OSZTÁLY Számok értelmezése 0-tól 10-ig: Véges halmazok számosságaként Mérőszámként Sorszámként Jelzőszámként A számok fogalmának kiterjesztése

Részletesebben

Matematika szintfelmérő dolgozat a 2018 nyarán felvettek részére augusztus

Matematika szintfelmérő dolgozat a 2018 nyarán felvettek részére augusztus Matematika szintfelmérő dolgozat a 018 nyarán felvettek részére 018. augusztus 1. (8 pont) Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: 6 4 x 13 6 x + 6 9 x = 0 6 ( ) x 4 13 9 6 4 x 13 6

Részletesebben

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek 3. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 47. 50. oldal. Gondolkodnivalók Determinánsok 1. Gondolkodnivaló Determinánselméleti tételek segítségével határozzuk meg a következő n n-es determinánst: 1

Részletesebben

Hatvány gyök logaritmus

Hatvány gyök logaritmus Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Hatvány gyök logaritmus Hatványozás azonosságai 1. Döntse el az alábbi állításról, hogy igaz-e vagy hamis! Ha két szám négyzete egyenl, akkor

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VIII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VIII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VIII. 1. Melyik az a szám, amelynek a felét és az ötödét összeszorozva, a szám hétszeresét kapjuk? Legyen a keresett szám:. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet:

Részletesebben

Függvény határérték összefoglalás

Függvény határérték összefoglalás Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis

Részletesebben

Függvények július 13. Határozza meg a következ határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. x 7 x 15 x ) = (2 + 0) = lim.

Függvények július 13. Határozza meg a következ határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. x 7 x 15 x ) = (2 + 0) = lim. Függvények 205. július 3. Határozza meg a következ határértékeket!. Feladat: 2. Feladat: 3. Feladat: 4. Feladat: (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0 ) (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0) (2 + 0 7 5 ) (2 + 0 7 5 ) (2

Részletesebben

Függvény differenciálás összefoglalás

Függvény differenciálás összefoglalás Függvény differenciálás összefoglalás Differenciálszámítás: Def: Differenciahányados: f() f(a + ) f(a) függvényérték változása független változó megváltozása Ha egyre kisebb, vagyis tart -hoz, akkor a

Részletesebben

9.o Mozaikos könyvvel felkészülési útmutató pótvizsgára és gyakorló feladatsor megoldással

9.o Mozaikos könyvvel felkészülési útmutató pótvizsgára és gyakorló feladatsor megoldással 9.o Mozaikos könyvvel felkészülési útmutató pótvizsgára és gyakorló feladatsor megoldással Felkészülési útmutató: A 8 hetes nyárra szerezzetek magatok mellé egy magántanárt. Hetente egyszer kétórás foglalkozás

Részletesebben

Logaritmikus egyenletek Szakközépiskola, 11. osztály. 2. feladat. Oldjuk meg a következ logaritmikus egyenletet!

Logaritmikus egyenletek Szakközépiskola, 11. osztály. 2. feladat. Oldjuk meg a következ logaritmikus egyenletet! Logaritmikus egyenletek Szakközépiskola,. osztály. feladat. Oldjuk meg a következ logaritmikus egyenletet! lg(0x ) lg(x + ) = lg () Kikötések: x > 5 és x >. lg(0x ) lg(x + ) = lg () lg 0x (x + ) = lg (3)

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2009/2010 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló feladatainak megoldása

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2009/2010 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló feladatainak megoldása Oktatási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny / Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló feladatainak megoldása. Oldja meg a valós számok legbővebb részhalmazán a egyenlőtlenséget!

Részletesebben

Racionális és irracionális kifejezések

Racionális és irracionális kifejezések Racionális és irracionális kifejezések a + b a + ac a_ a+ ci a 77. A feltétel szerint b ac, ezért b c. + ac + c c_ a+ ci c ab ac bc 78. A feltétel szerint: ab+ ac+ bc- b, ezért + + + + a b c abc b -b -,

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyik függvény? Válaszod indokold!

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyik függvény? Válaszod indokold! Megoldások 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyik függvény? Válaszod indokold! A: Minden emberhez hozzárendeljük a munkahelyének nevét. B: Minden valós számhoz hozzárendeljük az ellentettjét. C: Minden

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logaritmusos feladatok A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 11. osztály

Gyakorló feladatsor 11. osztály Htvány, gyök, logritmus Gykorló feldtsor 11. osztály 1. Számológép hsznált nélkül dd meg z lábbi kifejezések pontos értékét! ) b) 1 e) c) d) 1 0, 9 = f) g) 7 9 =. Számológép hsznált nélkül döntsd el, hogy

Részletesebben

Komplex számok algebrai alakja

Komplex számok algebrai alakja Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z

Részletesebben

A 2016/2017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA)

A 2016/2017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Oktatási Hivatal A 016/017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató 1. Egy húrtrapéz pontosan

Részletesebben

Matematika 8. osztály

Matematika 8. osztály ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos Matematika 8. osztály I. rész: Algebra Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2018 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék I. rész: Algebra................................

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek I.

Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek I. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek I. DEFINÍCIÓ: (Nyitott mondat) Az olyan állítást, amelyben az alany helyén változó szerepel, nyitott mondatnak nevezzük. A nyitott mondatba írt változót

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

Paraméteres és összetett egyenlôtlenségek

Paraméteres és összetett egyenlôtlenségek araméteres és összetett egyenlôtlenségek 79 6 a) Minden valós szám b) Nincs ilyen valós szám c) c < vagy c > ; d) d # vagy d $ 6 a) Az elsô egyenlôtlenségbôl: m < - vagy m > A második egyenlôtlenségbôl:

Részletesebben

Függvények Megoldások

Függvények Megoldások Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény

Részletesebben

2017/2018. Matematika 9.K

2017/2018. Matematika 9.K 2017/2018. Matematika 9.K Egész éves dolgozat szükséges felszerelés: toll, ceruza, radír, vonalzó, körző, számológép 2 órás, 4 jegyet ér 2018. május 28. hétfő 1-2. óra A312 terem Aki hiányzik, a következő

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 11 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

2. Algebrai átalakítások

2. Algebrai átalakítások I. Nulladik ZH-ban láttuk: 2. Algebrai átalakítások 1. Mi az alábbi kifejezés legegyszerűbb alakja a változó lehetséges értékei esetén? (A) x + 1 x 1 (x 1)(x 2 + 3x + 2) (1 x 2 )(x + 2) (B) 1 (C) 2 (D)

Részletesebben

JAVÍTÓ VIZSGA 12. FE

JAVÍTÓ VIZSGA 12. FE JAVÍTÓ VIZSGA 12. FE TEMATIKA: Koordináta-geometria (vektorok a koordináta-rendszerben, egyenes egyenlete, két egyenes metszéspontja, kör egyenlete, kör és egyenes metszéspontjai) Sorozatok (számtani-

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 01/01-ös tanév első iskolai) forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Adott az alábbi két egyenletrendszer:

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos feladatok Megoldások

Exponenciális és logaritmusos feladatok Megoldások 00-0XX Középszint Eponenciális és logaritmusos feladatok Megoldások ) Oldja meg az alábbi egyenleteket! a) ( ) log + + =, ahol valós szám és b) cos = 4 sin, ahol tetszőleges forgásszöget jelöl ( pont)

Részletesebben

Egyenes és sík. Wettl Ferenc szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík szeptember / 15

Egyenes és sík. Wettl Ferenc szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík szeptember / 15 Egyenes és sík Wettl Ferenc 2006. szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík 2006. szeptember 29. 1 / 15 Tartalom 1 Egyenes és szakasz Egyenes Szakasz Egyenesvonalú egyenletes mozgás Egyenes és pont

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Algebra

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Algebra Algebra Műveletek tulajdonságai: kommutativitás (felcserélhetőség): a b = b a; a b = b a asszociativitás (átcsoportosíthatóság): (a b) c = a (b c); a (b c) = (a b) c disztributivitás (széttagolhatóság):

Részletesebben

7. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek I.

7. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek I. 7. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek I. I. Elméleti összefoglaló Egyenlet Az egyenlet két oldalát függvénynek tekintjük: f(x) = g(x). Az f és g függvények értelmezési tartományának közös

Részletesebben

ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK

ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK AZ ALGEBRAI KIFEJEZÉS FOGALMÁNAK KIALAKÍTÁSA (7-9. OSZTÁLY) Racionális algebrai kifejezés (betűs kifejezés): betűket és számokat a négy alapművelet véges sokszori alkalmazásával

Részletesebben

352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm

352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm 5 Nevezetes egyenlôtlenségek a b 775 Legyenek a befogók: a, b Ekkor 9 + $ ab A maimális ab terület 0, 5cm, az átfogó hossza 8 cm a b a b 776 + # +, azaz a + b $ 88, tehát a keresett minimális érték: 88

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY FÜGGVÉNYTANI ALAPOK Foglalkoztunk az alaptulajdonságnak tekinthető értelmezési tartománnyal, és a paritással, továbbá az összetett függvények képzési módjával, illetve ezeknek az elemi függvényekre való

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Melyik az a szám, amelynek a felét és az ötödét összeszorozva, a szám hétszeresét kapjuk? Legyen a keresett szám:. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 1 1 = 7. 5 Ezt rendezve

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

Törtes egyenlőtlenségek

Törtes egyenlőtlenségek Törtes egyenlőtlenségek Egy tört értéke akkor pozitív, ha a számláló és a nevező egyező előjelű. Egy tört értéke akkor negatív, ha a számlálója és a nevezője ellentétes (különböző) előjelű. 1. Oldja meg

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

Szélsőérték feladatok megoldása

Szélsőérték feladatok megoldása Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =

Részletesebben