Egyenletek, egyenlőtlenségek X.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Egyenletek, egyenlőtlenségek X."

Átírás

1 Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak nevezzük. DEFINÍCIÓ: (a alapú logaritmus) Legyen a 1 pozitív valós szám. Tetszőleges b pozitív valós szám esetén létezik pontosan egy olyan c valós szám, hogy b = a c. Ekkor a c hatványkitevőt a b szám a alapú logaritmusának nevezzük. Jelölés: c = log a b. Megjegyzés: Bármely pozitív szám egyértelműen felírható valamely 1 től különböző pozitív szám hatvgányaként. Egy számnak egy adott alapra vonatkozó hatványkitevőjét a szám adott alapá logaritmusának nevezzük. Az a alapú logaritmus b jelenti azt a c kitevőt, amelyre a - t emelve b - t kapunk. A tízes alapú logaritmus esetén nem írjuk ki az alapot, hanem lg - t írunk a log 10 helyett. A definíció értelmében teljesül a következő: a log a b = b. A definíció alapján a következők adódnak: log a 1 = 0 és log a a = 1. A logaritmus azonosságai: log a x + log a y = log a (x y) a; x; y R + a 1 log a x log a y = log a x y a; x; y R + a 1 log a x k = k log a x a; x; k R + a 1 TÉTEL: Másik alapú logaritmusra áttérhetünk a következő módokon: log a b = log c b log c a log a b = 1 log b a a; b; c R + a; c 1 a; b R + a; b 1 log a b = log a x b x a; b R + a 1 x 0 x R 1

2 1. Határozd meg a következő kifejezésekben az x értékét! log x = 8 log 9 x = 1 log x 5 = 1 1 log x = lg 100 = x log = x A feladatok megoldásához használjuk a definíciót: log a b = c b = a c. log x = 8 x = 8 = 56 log 9 x = 1 x = 9 1 = 9 = log x 5 = 1 5 = x 1 5 = x x = 15 log x 1 7 = 1 7 = x 1 7 = 1 x x = lg 100 = x 10 x = 100 x = log 7 49 = x 7 x = 49 7 x = 7 7 x = 7 x =. Mennyi lesz a következő kifejezések pontos értéke? log log log log log 1 4 log +log 7 9 Arra kell törekednünk, hogy a hatvány és a kitevőben szereplő logaritmus alapja megegyezzen, mert akkor azok elhagyhatóak és egyszerűbb alakra jutunk. Ezekhez a logaritmus, illetve a hatványozás azonosságait kell felhasználnunk. log 4 9 = (4 1 log 4 9 ) = 4 1 log = 4 log 4 9 = 9 1 = 9 = 81 log 9 4 = (9 ) log 9 4 = 9 log 9 4 = 9 log 9 4 = 4 = log 5 = log 5 = 5 (5 ) log 5 = 5 5 log 5 = 5 5 log 5 = 5 = log 8 4 = log 8 4 = 8 8 log = = = 8 4 = 1

3 7 log log +log 7 = 7 log log 7 log 7 = = [( 1 9 ) ] log 1 9 ( ) 4 log [( 7) ] log 7 = ( 1 log 1 9 ) 9 1 log ( 7) log 7 = ( )log 9 log 1 ( 7) log 7 = 1 = = Milyen x értékek esetén értelmezhetőek a következő kifejezések? log 5 (x ) log x (5 x) lg(x + x ) log x 4 A logaritmus alapja egy 1 - nél különböző pozitív szám. Továbbá a logaritmus után álló kifejezés is csak pozitív szám lehet. Ezek alapján kell felírnunk a lehetséges x értékeket. x log 5 (x ) x > 0 x > log x (5 x) 5 x > 0 5 > x és x > 0; x 1 Ezeket összevonva a következőt kapjuk: 0 < x < 5 és x 1 lg(x + x ) x + x > 0 Egyenletként tekintve a megoldások: x 1 = 1 és x = A függvény görbéje alapján a következőt kapjuk: x < vagy x > 1.

4 x 4 x > 0 Ez akkor teljesül, ha a számláló és nevező is pozitív, vagy ha mindkettő negatív. Tekintsük először azt, amikor a számláló és nevező is egy pozitív szám. x 4 > 0 x > 4 és x > 0 > x A kettőnek nincs közös része, így ezen az ágon nincs megoldásunk. Tekintsük most azt, amikor a számláló és nevező is egy negatív szám. x 4 < 0 x < 4 és x < 0 < x A kettőnek közös része a következő: < x < 4. A megoldás a két ág együttese (uniója): < x < Milyen x értékek eseten teljesülnek a következő egyenlőségek? log x = log 11 log 5 + log 8 x = lg + 6 lg 5 + lg 18 lg Használjuk a logaritmus azonosságait. log x = log 11 log 5 + log 8 = log 11 log 5 + log 8 = 11 = log + log = log 5 Ezek alapján: x = x = lg + 6 lg 5 + lg 18 lg = lg + lg( 5) 6 + lg 18 lg = = lg 4 + lg 15 + lg 18 lg 9 = lg lg 18 lg 9 = lg 9000 lg 9 = lg 1000 = 4

5 5. Oldd meg a következő egyenleteket! a) x = log 5 7 b) x = 1 Ezen típusoknál arra kell törekednünk, hogy tízes alapú logaritmusokkal fejezzük ki az x - et, mert így a számológéppel kiszámíthatjuk a pontos értékeket. a) x = log 5 7 = lg 7 lg 5 1, b) x = 1 lg x = lg 1 x lg = lg 1 x = lg 1 lg, 6. Old meg a következő egyenleteket! a) log 4 (x ) = b) log x + log = log 15 c) log x 0x log x 5 = d) log (x 1) = log 4 Az egyenletek megoldásánál arra kell törekednünk, hogy mindkét oldalt egy darab, ugyanolyan alapú logaritmus legyen, mert akkor a logaritmusokat elhagyhatjuk. Amennyiben az egyik oldalt egy logaritmus áll, a másik oldalt pedig egy szám, akkor a logaritmus definícióját is alkalmazhatjuk a megoldáshoz. Az egyenleteknél feltétel írása, vagy a megoldás ellenőrzése elengedhetetlen. Amennyiben az egyenletnél a feltétel kiszámítása bonyolult lenne, akkor előbb oldjuk meg az egyenletet, majd a kapott értéket ellenőrizzük le, hogy valóban megoldása-e az egyenletnek. Adott esetben, ha több feltételt is írnunk kellene, de azok között akad olyan, amelyet bonyolult lehet levezetni, akkor felírhatjuk csak a könnyebb feltételeket is, de ilyenkor a megoldásokat szintén ellenőriznünk kell a végén (mivel ekkor a feltételszabásunk nem terjed ki minden esetre)! 5

6 a) log 4 (x ) = Feltétel: x > 0 x > definíció szerint x = 4 x = 64 x = 66 b) log x + log = log 15 Feltétel: x > 0 log (x) = log 15 a függvény szigorú monotonitása miatt x = 15 x = 5 c) log x 0x log x 5 = Feltétel: 0x > 0 x > 0 és x 1 log x 0x 5 x = 4x x 4x = 0 x (x 4) = 0 = definíció szerint Egy szorzat értéke akkor 0, ha valamelyik tényezője 0. Ezek alapján a következő megoldások adódnak: x 1 = 0 x 4 = 0 x = 4 Az x 1 nem felel meg a feltételnek, így csak egy megoldása van az egyenletnek: x = 4. 6

7 d) log (x 1) = log 4 Feltétel: x 1 > 0 x > 1 log (x 1) = log 4 a függvény szigorú monotonitása miatt (x 1) = 4 x x + 1 = 4 x x = 0 A megoldó képlet felírása után kapjuk, hogy a két megoldás: x 1 = és x = 1. Az x nem felel meg a feltételnek, így csak egy megoldása van az egyenletnek: x =. 7. Old meg a következő egyenleteket! a) log x 1 (x 4x + 5) = b) = lg(x 100) 1 lg 5 a) log x 1 (x 4x + 5) = Feltétel: x 1 > 0 x > 1 definíció szerint: x 4x + 5 = (x 1) x 4x + 5 = 4x 4x = x x 1 = és x = Az x nem felel meg a feltételnek, de mivel nem írtunk fel minden kikötést, ezért ellenőrizni kell, hogy az x 1 tényleg jó megoldás-e. Ellenőrzés: Jobb oldal: Bal oldal: log 9 = = Ezek alapján az x 1 megoldása az egyenletnek. 7

8 b) = lg(x 100) 1 lg 5 Feltétel: x 100 > 0 x > 100 (1 lg 5) = lg(x 100) lg 5 = lg(x 100) lg 100 lg 5 = lg(x 100) lg 4 = lg(x 100) a függvény szigorú monotonitása miatt 4 = x 100 x = Old meg a következő egyenleteket! a) log 4 [log (log x)] = 0 b) log 8 [4 log 6 (5 x)] = 1 Ezen típusoknál arra kell törekednünk, hogy kívülről befelé haladva, a definíciót többször alkalmazva, lépésről - lépésre,,lebontsuk az egyenletet. A feltétel felírása itt hosszadalmas lenne, mert több logaritmusra is feltételt kellene írnunk, így célszerűbb csak a legbelsőre felírni a feltételt és majd a végén ellenőrizni a megoldást. a) log 4 [log (log x)] = 0 Feltétel: x > 0 definíció szerint log (log x) = 4 0 = 1 log x = 1 = definíció szerint definíció szerint x = = 8 Ellenőrzés: Jobb oldal: 0 Bal oldal: log 8 = log = 1 log 4 1 = 0 0 = 0 Ezek alapján az x megoldása az egyenletnek. 8

9 b) log 8 [4 log 6 (5 x)] = 1 Feltétel: 5 x > 0 5 > x definíció szerint 4 log 6 (5 x) = 8 1 = log 6 (5 x) = 1 definíció szerint 5 x = 6 1 = 6 x = 1 Ellenőrzés: Jobb oldal: 1 Bal oldal: 4 log 6 6 = log 8 = 1 1 = 1 Ezek alapján az x megoldása az egyenletnek. 9. Old meg a következő egyenleteket! a) 4 lg x = lg x b) lg x = lg x Ennél a típusnál célszerű bizonyos lépés után bevezetnünk egy új ismeretlent a logaritmus helyett, s így megoldva az egyenletet, a végén visszahelyettesítünk az eredeti kifejezésbe. a) 4 lg x = lg x Feltétel: x > 0 és lg x > 0 x > lg x + lg x = 9 lg x lg x 17 lg x + 16 = 0 Legyen: a = lg x a 17a + 16 = 0 A megoldó képlet felírása után kapjuk, hogy a két megoldás: a 1 = 1 és a = 16. Visszahelyettesítés után az egyenlet megoldásai a következők lesznek: a 1 = 1 lg x = 1 x = 10 1 = 10 a = 16 lg x = 16 x =

10 b) lg x = lg x Feltétel: x > 0 lg x = lg x Legyen: a = lg x a = a a a = 0 a (a ) = 0 Ebből két megoldás adódik: a 1 = 0 és a = 0 a = Visszahelyettesítés után az egyenlet megoldásai a következők lesznek: a 1 = 0 lg x = 0 x = 10 0 = 1 a = lg x = x = 10 = Old meg a következő egyenleteket! a) log 5 x + log 5 x = 7 b) log x log 4 x = 5 log 8 x 1 c) log 4 x + log x 4 = 5 Ezen típusoknál arra kell törekednünk, hogy a különböző alapú logaritmusokat egy azonos alapú logaritmussá alakítsuk át. a) log 5 x + log 5 x = 7 Feltétel: x > 0 log 5 x + log 5 x log 5 5 = 7 log 5 x + log 5 x = 7 6 log 5 x + log 5 x = 14 7 log 5 x = 14 log 5 x = definíció szerint x = 5 = 5 10

11 b) log x log 4 x = 5 log 8 x 1 Feltétel: x > 0 log x log x log 4 = 5 log x log 8 1 log x log x = 5 log x 1 6 log x 9 log x = 10 log x = 1 log x 6 = log x definíció szerint x = 6 = 64 c) log 4 x + log x 4 = 5 Feltétel: x > 0 és x 1 log 4 x + log 4 4 log 4 x = 5 log 4 x + 1 log 4 x = 5 (log 4 x) + = 5 log 4 x (log 4 x) 5 log 4 x + = 0 Legyen: a = log 4 x a 5a + = 0 A megoldó képlet felírása után kapjuk, hogy a két megoldás: a 1 = és a = 1. Visszahelyettesítés után az egyenlet megoldásai a következők lesznek: a 1 = log 4 x = x = 4 = 16 a = 1 log 4 x 7 1 x = 4 1 = 11

12 11. Old meg a következő egyenleteket! a) x lg x = 0,01 b) x log x = 16 Mivel itt a logaritmus a hatvány kitevőjében szerepel, ezért be kell hoznunk egy újabb logaritmust, mert ebben az esetben a hatványkitevőt le tudjuk hozni szorzat alakba. a) x lg x = 0,01 Feltétel: x > 0 lg x lg x = lg 0,01 (lg x ) lg x = lg x lg x + = 0 Legyen: a = lg x a a + = 0 A megoldó képlet felírása után kapjuk, hogy a két megoldás: a 1 = és a 1 = 1. Visszahelyettesítés után az egyenlet megoldásai a következők lesznek: a 1 = lg x = x = 10 = 100 a = 1 lg x = 1 x = 10 1 = 10 b) x log x = 16 Feltétel: x > 0 log x log x = log 16 log x log x = 4 (log x) = 4 Legyen: a = log x a = 4 a 1 = és a = Visszahelyettesítés után az egyenlet megoldásai a következők lesznek: a 1 = log x = x = = 4 a = log x = x = = 1 4 1

13 1. Old meg a következő egyenlőtlenségeket! a) log1(x + 1) > 4 b) log5 ( 1 x + 1) < 1 c) log 5 x x+1 0 d) log x 1 (4x + ) 0 Egyenlőtlenséget hasonlóan oldunk meg, mint egyenletet, csak arra kell ügyelnünk, hogy a negatív számmal való szorzásnál (osztásnál), illetve az alap elhagyásakor, ha az egy 0 és 1 közé eső szám (a függvény szigorú csökkenése miatt), akkor a reláció iránya megfordul. a) log1(x + 1) > 4 Feltétel: x + 1 > 0 x > 1 log1(x + 1) > log a függvény szigorú monotonitása miatt x + 1 < 1 16 x < A feltétellel összevetve az eredményt, a végső megoldás: 1 < x < b) log5 ( 1 x + 1) < 1 Feltétel: 1 x + 1 > 0 x > log5 ( 1 x + 1) < 5 log5 a függvény szigorú monotonitása miatt 1 x + 1 < 5 x < A feltétellel összevetve az eredményt, a végső megoldás: < x <. 1

14 c) log 5 x x+1 0 Feltétel: 5 x x+1 > 0 Egy tört értéke akkor pozitív, ha a számláló és nevező is pozitív, vagy mindkettő negatív. I. Nevező és számláló is pozitív: 5 x > 0 5 > x és x + 1 > 0 x > 1 A két egyenlőtlenségből ezen az ágon a következőt kapjuk: 1 < x < 5. II. Nevező és számláló is negatív: 5 x < 0 5 < x és x + 1 < 0 x < 1 A két egyenlőtlenségből ezen az ágon a következőt kapjuk: nincs megoldás. A két ágból a végső feltételünk: 1 < x < 5. Az egyenlőtlenség megoldása a következő: log 5 x x+1 0 log 5 x x+1 log 1 5 x x x (x+1) x x x

15 Egy tört értéke akkor negatív, ha a számláló pozitív és a nevező negatív, vagy fordítva. I. A nevező pozitív és a számláló negatív (vagy 0): 4 4x 0 1 x és x + 1 > 0 x > 1 A két egyenlőtlenségből ezen az ágon a következőt kapjuk: 1 x. II. A nevező negatív és a számláló pozitív (vagy 0): 4 4x 0 1 x és x + 1 < 0 x < 1 A két egyenlőtlenségből ezen az ágon a következőt kapjuk: x < 1 A megoldás a két ág együttese (uniója): x < 1 vagy 1 x. A feltétellel összevetve az eredményt, a végső megoldás: 1 x < 5. 15

16 d) log x 1 (4x + ) 0 Feltétel: x 1 > 0 x > 1 x 1 1 x 1 4x + > 0 x > 1 Ezeket összevetve, a végső feltételünk: x > 1 és x 1 Az egyenlőtlenség megoldása a következő: I. Ha az alap 1-nél nagyobb szám: x 1 > 1 x > 1 log x 1 (4x + ) log x 1 1 a függvény szigorú monotonitása miatt 4x + 1 x 1 4 Az eredménynek és a feltételnek nincs közös része, így ezen az ágon nincs megoldás. II. Ha az alap 0 és 1 közé esik: 0 < x 1 < 1 1 < x < 1 log x 1 (4x + ) log x 1 1 a függvényszigorú monotonitása miatt 4x + 1 x 1 4 Az ág megoldása a kapott eredmény és a kikötés közös része, vagyis: 1 < x < 1. Az első ágon nem kaptunk megoldást, így a két ág megoldása: 1 < x < 1. Ezt összevetve a feltételekkel, az egyenlőtlenség végső megoldása: 1 < x < 1. 16

17 1. Old meg a következő egyenletrendszereket! a) 5 log x log y = 9 log x + log y = 8 b) lg x + lg y = lg y lg x = lg 5 c) log 5 x + log 5 y = 1 x 4 8 y = 0 A logaritmikus egyenletrendszereknél általában két megoldás közül választhatunk. Az egyik, ha mindkét egyenletben ugyanazok a logaritmusok szerepelnek, akkor behelyettesítéssel oldhatjuk meg az egyenletrendszert. Amennyiben különbözőek a logaritmusok, vagy az egyik egyenlet logaritmikus a másik exponenciális, akkor célszerű a két egyenletet külön külön tekinteni és egyenként egyszerűbb alakra hoznunk azokat. a) 5 log x log y = 9 Feltétel: x > 0 és y > 0 log x + log y = 8 Legyen: a = log x és b = log y Ekkor behelyettesítés után a következő egyenletrendszer adódik: 5a b = 9 a + b = 8 A második egyenletből azt kapjuk, hogy b = 8 a. Ezt behelyettesítjük az első egyenletbe: 5a (8 a) = 9 5a 4 + 6a = 9 a = Ebből visszahelyettesítés után azt kapjuk, hogy b =. Az újabb visszahelyettesítés után a következők adódnak: a = log x = x = = 8 b = log y = y = = 9 Ezek alapján az egyenletrendszer megoldása: (8; 9). 17

18 b) lg x + lg y = Feltétel: x > 0 és y > 0 lg y lg x = lg 5 Tekintsük először az első egyenletet: lg x + lg y = lg(xy) = definíció szerint xy = 10 = 100 Tekintsük ezután a második egyenletet: lg y lg x = lg 5 lg y x = lg 5 a függvény szigorú monotonitása miatt y x = 5 A második egyenletből azt kapjuk, hogy y = 5x. Ezt behelyettesítjük az első egyenletbe: 5x = 100 x = 4 x 1 = és x = A feltételnek csak az x 1 felel meg. Ezt visszahelyettesítve kapjuk, hogy y = 50. Ezek alapján az egyenletrendszer megoldása: (; 50). 18

19 c) log 5 x + log 5 y = 1 Feltétel: x > 0 és y > 0 x 4 8 y = 0 Tekintsük először az első egyenletet: log 5 x + log 5 y = 1 log 5 (xy) = log 5 5 a függvény szigorú monotonitása miatt xy = 5 Tekintsük ezután a második egyenletet: x 4 8 y = 0 x y = 0 x = +y a függvény szigorú monotonitása miatt x = + y Ezt behelyettesítjük az első egyenletbe: ( + y) y = 5 y + y = 5 y + y 5 = 0 A megoldó képlet felírása után kapjuk, hogy a két megoldás: y 1 = 1 és y = 5. A feltételnek csak az y 1 felel meg. Ezt visszahelyettesítve kapjuk, hogy x = 5. Ezek alapján az egyenletrendszer megoldása: (5; 1). 19

20 14. Mennyi a következő kifejezés pontos értéke? log log 4 log 4 5 log 5 6 log 6 7 log 7 8 A megoldáshoz a következő összefüggést kell alkalmaznunk: log a b log b c = log a b log a c log a b = log a c Ezek alapján a megoldás: log 8 =. 15. Fejezd ki lg 40 - et lg 0 segítségével! Legyen a = lg 0. Alakítsuk át az lg 0 kifejezést a következő módon: a = lg 0 = lg ( 5) = lg + lg 5 = lg + lg 10 = lg + lg 10 lg = lg + 1 Ezt követően alakítsuk át az lg 40 kifejezést is: lg 40 = lg ( 5) = lg + lg 5 = lg + lg 10 = lg + lg 10 lg = lg + 1 Az első egyenletből azt kapjuk, hogy lg = a 1. Ezt helyettesítsük be a második egyenletbe: lg 40 = (a 1) + 1 = a + 1 = a 1 Ezek alapján a megoldás: lg 40 = lg

21 16. Fejezd ki lg 15 - öt az lg 75 és lg 45 segítségével! Legyen a = lg 75 és b = lg 45. Alakítsuk át az lg 75 kifejezést a következő módon: a = lg 75 = lg (5 ) = lg 5 + lg = lg 5 + lg Ezt követően alakítsuk át az lg 45 kifejezést is: b = lg 45 = lg ( 5) = lg + lg 5 = lg + lg 5 Az első egyenlet kétszereséből kivonva a második egyenletet a következőt kapjuk: a b = lg 5 a b = lg 5 Ezt visszahelyettesítjük az első egyenletbe: a = a b a = 4a b lg = b a + lg + lg Ezek alapján a megoldás: lg 15 = lg (5 ) = lg 5 + lg = a b + b a = a+b = lg 75+lg45 1

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek V.

Egyenletek, egyenlőtlenségek V. Egyenletek, egyenlőtlenségek V. DEFINÍCIÓ: (Másodfokú egyenlet) Az ax + bx + c = 0 alakban felírható egyenletet (a, b, c R; a 0), ahol x a változó, másodfokú egyenletnek nevezzük. TÉTEL: Az ax + bx + c

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

Koczog András Matematika - Az alapoktól az érettségin át az egyetemig

Koczog András  Matematika - Az alapoktól az érettségin át az egyetemig 07 www.feladat.matematikam.hu érettségin át az egyetemig Logaritmus és exponenciális egyenletek Kifejezések számítása Az exponenciális és logaritmusos egyenletek megoldásához szükséges, hogy képesek legyünk

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.

Részletesebben

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek 9 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek /I a) Az egyenlet bal oldala a nemnegatív számok halmazán, a jobb oldal minden valós szám esetén

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk:

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 11. Sorozatok I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy számtani sorozat harmadik eleme 15, a nyolcadik eleme 30. Mely n természetes számra igaz, hogy a sorozat első n elemének összege 6? A szokásos jelöléseket

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Exponenciális, logaritmikus függvények

Exponenciális, logaritmikus függvények Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

Módszertani megjegyzés: A kikötés az osztás műveletéhez kötődik. A jobb megértés miatt célszerű egy-két példát mu-

Módszertani megjegyzés: A kikötés az osztás műveletéhez kötődik. A jobb megértés miatt célszerű egy-két példát mu- . modul: ELSŐFOKÚ TÖRTES EGYENLETEK A következő órákon olyan egyenletekkel foglalkozunk, amelyek nevezőjében ismeretlen található. Ha a tört nevezőjében ismeretlen van, akkor kikötést kell tennünk: az

Részletesebben

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek?

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek? Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6 Elsőfokú 2005. május 28. 1. Mely x valós számokra igaz, hogy x 7? 13. a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x 1 2x 4 2 5 2005.

Részletesebben

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny 2003. április 14. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. feladat Egy számtani sorozatot az első eleme és különbsége egyértelműen meghatározza, azt

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

Magasabbfokú egyenletek

Magasabbfokú egyenletek 86 Magasabbfokú egyenletek Magasabbfokú egyenletek 5 90 a) =! ; b) =! ; c) = 5, 9 a) Legyen = y Új egyenletünk: y - 5y+ = 0 Ennek gyökei: y=, y= Tehát egyenletünk gyökei:, =!,, =! b) Új egyenletünk: y

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 1. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! a) b) 7 c) 5 d) 5 1 e) 6 1 6 f) ( 81 16 ) g) 0,00001 5. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat!

Részletesebben

Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel

Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Ez még nem a végleges változat, utoljára módosítva: 2012. április 9.19:38. Elsőrendű egyenletek Legyen adott egy elsőrendű lineáris állandó együtthatós

Részletesebben

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet 9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Határozzuk meg a p valós paraméter értékétől függően a következő mátrix rangját: p 3 1 2 2

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül

Részletesebben

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY Koszinusztétel Tétel: Bármely háromszögben az egyik oldal négyzetét megkapjuk, ha a másik két oldal négyzetének összegéből kivonjuk e két oldal és az általuk közbezárt szög koszinuszának kétszeres szorzatát.

Részletesebben

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek 3. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 47. 50. oldal. Gondolkodnivalók Determinánsok 1. Gondolkodnivaló Determinánselméleti tételek segítségével határozzuk meg a következő n n-es determinánst: 1

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VIII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VIII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VIII. 1. Melyik az a szám, amelynek a felét és az ötödét összeszorozva, a szám hétszeresét kapjuk? Legyen a keresett szám:. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logaritmusos feladatok A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Törtes egyenlőtlenségek

Törtes egyenlőtlenségek Törtes egyenlőtlenségek Egy tört értéke akkor pozitív, ha a számláló és a nevező egyező előjelű. Egy tört értéke akkor negatív, ha a számlálója és a nevezője ellentétes (különböző) előjelű. 1. Oldja meg

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

9.o Mozaikos könyvvel felkészülési útmutató pótvizsgára és gyakorló feladatsor megoldással

9.o Mozaikos könyvvel felkészülési útmutató pótvizsgára és gyakorló feladatsor megoldással 9.o Mozaikos könyvvel felkészülési útmutató pótvizsgára és gyakorló feladatsor megoldással Felkészülési útmutató: A 8 hetes nyárra szerezzetek magatok mellé egy magántanárt. Hetente egyszer kétórás foglalkozás

Részletesebben

Logaritmikus egyenletek Szakközépiskola, 11. osztály. 2. feladat. Oldjuk meg a következ logaritmikus egyenletet!

Logaritmikus egyenletek Szakközépiskola, 11. osztály. 2. feladat. Oldjuk meg a következ logaritmikus egyenletet! Logaritmikus egyenletek Szakközépiskola,. osztály. feladat. Oldjuk meg a következ logaritmikus egyenletet! lg(0x ) lg(x + ) = lg () Kikötések: x > 5 és x >. lg(0x ) lg(x + ) = lg () lg 0x (x + ) = lg (3)

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

Paraméteres és összetett egyenlôtlenségek

Paraméteres és összetett egyenlôtlenségek araméteres és összetett egyenlôtlenségek 79 6 a) Minden valós szám b) Nincs ilyen valós szám c) c < vagy c > ; d) d # vagy d $ 6 a) Az elsô egyenlôtlenségbôl: m < - vagy m > A második egyenlôtlenségbôl:

Részletesebben

Komplex számok algebrai alakja

Komplex számok algebrai alakja Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 11. osztály

Gyakorló feladatsor 11. osztály Htvány, gyök, logritmus Gykorló feldtsor 11. osztály 1. Számológép hsznált nélkül dd meg z lábbi kifejezések pontos értékét! ) b) 1 e) c) d) 1 0, 9 = f) g) 7 9 =. Számológép hsznált nélkül döntsd el, hogy

Részletesebben

7. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek I.

7. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek I. 7. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek I. I. Elméleti összefoglaló Egyenlet Az egyenlet két oldalát függvénynek tekintjük: f(x) = g(x). Az f és g függvények értelmezési tartományának közös

Részletesebben

A 2016/2017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA)

A 2016/2017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Oktatási Hivatal A 016/017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató 1. Egy húrtrapéz pontosan

Részletesebben

ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK

ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK AZ ALGEBRAI KIFEJEZÉS FOGALMÁNAK KIALAKÍTÁSA (7-9. OSZTÁLY) Racionális algebrai kifejezés (betűs kifejezés): betűket és számokat a négy alapművelet véges sokszori alkalmazásával

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező

Részletesebben

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY FÜGGVÉNYTANI ALAPOK Foglalkoztunk az alaptulajdonságnak tekinthető értelmezési tartománnyal, és a paritással, továbbá az összetett függvények képzési módjával, illetve ezeknek az elemi függvényekre való

Részletesebben

Szélsőérték feladatok megoldása

Szélsőérték feladatok megoldása Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 11 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 01/01-ös tanév első iskolai) forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Adott az alábbi két egyenletrendszer:

Részletesebben

Abszolútértékes egyenlôtlenségek

Abszolútértékes egyenlôtlenségek Abszolútértékes egyenlôtlenségek 575. a) $, $ ; b) < - vagy $, # - vagy > 4. 5 576. a) =, =- 6, 5 =, =-, 7 =, 4 = 5; b) nincs megoldás;! c), = - ; d) =-. Abszolútértékes egyenlôtlenségek 577. a) - # #,

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

Megoldás A számtani sorozat első három eleme kifejezhető a második elemmel és a differenciával. Összegük így a 2. d =33, azaz 3a 2. a 2.

Megoldás A számtani sorozat első három eleme kifejezhető a második elemmel és a differenciával. Összegük így a 2. d =33, azaz 3a 2. a 2. 1. Egy 33-as létszámú zenetagozatos osztályban hegedülni és zongorázni tanulnak a diákok. Minden diák játszik legalább egy hangszeren. Azok száma, akik mindkét hangszeren játszanak, akik csak hegedülnek,

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

Érettségi előkészítő emelt szint 11-12. évf. Matematika. 11. évfolyam. Tematikai egység/fejlesztési cél

Érettségi előkészítő emelt szint 11-12. évf. Matematika. 11. évfolyam. Tematikai egység/fejlesztési cél Emelt szintű matematika érettségi előkészítő 11. évfolyam Tematikai egység/fejlesztési cél Órakeret 72 óra Kötelező Szabad Összesen 1. Gondolkodási módszerek Halmazok, matematikai logika, kombinatorika,

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

V. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 11. évfolyam

V. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 11. évfolyam 01/01 1. Ha egy kétjegyű szám számjegyeit felcseréljük, akkor a kapott kétjegyű szám értéke az eredeti szám értékénél 108 %-kal nagyobb. Melyik ez a kétjegyű szám? Jelölje a kétjegyű számot xy. 08 A feltételnek

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 8 VIII Elsőrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk Elsőrendű differenciálegyenlet általános és partikuláris megoldása Az vagy (1) elsőrendű differenciálegyenlet

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a és b befogójú derékszögű háromszögnek

Részletesebben

V.7. NÉPSZÁMLÁLÁS. A feladatsor jellemzői

V.7. NÉPSZÁMLÁLÁS. A feladatsor jellemzői V.7. NÉPSZÁMLÁLÁS Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Eponenciális egyenletek felírása és megoldása szöveges feladatok alapján. Szöveges feladatok alapján modellt alkotunk, amely alkalmas eponenciálisan

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2016/2017-es tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2016/2017-es tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 016/017-es tanév első iskolai) forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. A k valós paraméter értékétől függően

Részletesebben

Matematika. Emelt szintű feladatsor pontozási útmutatója

Matematika. Emelt szintű feladatsor pontozási útmutatója Matematika Emelt szintű feladatsor pontozási útmutatója Kérjük, hogy a dolgozatok javítását a javítási útmutató alapján végezze, a következők figyelembevételével. Formai kérések: Kérjük, hogy piros tollal

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni. Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,

Részletesebben

Irodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0

Irodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0 Irodalom ezek egyrészt el- A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: hangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

Csuklós szerkezetek reakciói és igénybevételi ábrái. Frissítve: példa: A 12. gyakorlat 1. feladata.

Csuklós szerkezetek reakciói és igénybevételi ábrái. Frissítve: példa: A 12. gyakorlat 1. feladata. 1. példa: A 12. gyakorlat 1. feladata. Számítsuk ki a reakcióerőket! Rajzoljuk meg a nyomatéki ábrát! Megjegyzés: A támaszok vízszintesen egy vonalban vannak. 1 / 20 2. példa: Számítsuk ki a reakcióerőket!

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév 9. évfolyam I. Halmazok Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / 2017. tanév 1. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 2. Intervallumok 3. Halmazműveletek

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 9 IX Magasabbrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk n-ed rendű differenciálegyenletek Az alakú ahol n-edrendű differenciálegyenlet általános megoldása tetszőleges

Részletesebben

6. Differenciálegyenletek

6. Differenciálegyenletek 312 6. Differenciálegyenletek 6.1. A differenciálegyenlet fogalma Meghatározni az f függvény F primitív függvényét annyit jelent, mint találni egy olyan F függvényt, amely differenciálható az adott intervallumon

Részletesebben

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben:

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben: 814 A ferde kifejtés tétele Ha egy determináns valamely sorának elemeit egy másik sor elemeihez tartozó adjungáltakkal szorozzuk meg és a szorzatokat összeadjuk 0-t kapunk Képletben: n a ij A kj = 0, ha

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

Tétel: A háromszög belső szögeinek összege: 180

Tétel: A háromszög belső szögeinek összege: 180 Tétel: A háromszög belső szögeinek összege: 180 Bizonyítás: legyenek az ABC háromszög belső szögei α, β, γ. Húzzunk a C csúcson át párhuzamost AB-vel. A C csúcsnál keletkezett egyenesszöget a háromszög

Részletesebben

Matematika 1 mintafeladatok

Matematika 1 mintafeladatok Matematika mintafeladatok Lukács Antal 06. február 0. Tartalomjegyzék. Komplex számok algebrai alakja. Komplex számok trigonometrikus alakja 6. Függvénytani alapfogalmak 4. Számsorozatok 46 5. Függvények

Részletesebben

Határozott integrál és alkalmazásai

Határozott integrál és alkalmazásai Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,

Részletesebben

y + a y + b y = r(x),

y + a y + b y = r(x), Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. MTEMTIK PRÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS = KÖZÉP SZINT = I. rész: z alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Oldd meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! tg

Részletesebben

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke? . Logritmus I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Mennyi kifejezés értéke? (A) Megoldás I.: BME 0. szeptember. (7B) A feldt ritmus definíciójából kiindulv gykorltilg fejben végiggondolhtó. Az kérdés, hogy -öt hánydik

Részletesebben

Sorozatok - kidolgozott típuspéldák

Sorozatok - kidolgozott típuspéldák 1. oldal, összesen: 8 oldal Sorozatok - kidolgozott típuspéldák Elmélet: Számtani sorozat: a 1 a sorozat első tagja, d a különbsége a sorozat bármelyik tagját kifejezhetjük a 1 és d segítségével: a n =

Részletesebben

Matematika és geometria feladatok a TERMÉSZETTUDOMÁNYI ALAPISMERETEK. című tárgyhoz

Matematika és geometria feladatok a TERMÉSZETTUDOMÁNYI ALAPISMERETEK. című tárgyhoz Matematika és geometria feladatok a TERMÉSZETTUDOMÁNYI ALAPISMERETEK című tárgyhoz Összeállította : Kézi Csaba Gábor Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar Műszaki Alaptárgyi Tanszék Debrecen,

Részletesebben

MATEMATIKA A 10. évfolyam

MATEMATIKA A 10. évfolyam MATEMATIKA A 10. évfolyam 7. modul Négyzetgyökös egyenletek Készítette: Gidófalvi Zsuzsa Matematika A 10. évfolyam 7. modul: Négyzetgyökös egyenletek Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások 009. november Határozatlan integrálás.05. + C + C.06. + C + C.07. ( ( 5 5 + C.08. ( ( + 5 5 + + C.09. + ( + ln + + C.. ( + ( + ( + 5 5 + + C.. + ( + ( + ( + + ( + ( + +

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Typotex Kiadó. Bevezetés

Typotex Kiadó. Bevezetés Bevezetés A bennünket körülvevő világ leírásához ősidők óta számokat is alkalmazunk. Tekintsük át a számfogalom kiépülésének logikai-történeti folyamatát, amely minden valószínűség szerint a legkorábban

Részletesebben

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC 6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK BSc Matematika I. BGRMAHNND, BGRMAHNNC A következő diákon szereplő állítások mindegyikét az előadáson fogjuk igazolni, és példákkal bőségesen

Részletesebben

Analízis ZH konzultáció

Analízis ZH konzultáció Analízis ZH konzultáció 1. Teljes indukció Elméleti segítség: n=1-re bebizonyítani (vagy arra az n-re, ahonnan az állítást igazolni szeretnénk) feltesszük, hogy n-re igaz az állítás -> n+1-re is igaz lesz?

Részletesebben

Prof. Báthori Éva, Prof. Betuker Enikő, Prof. Gyulai Andrea, Prof. István Zoltán, Prof. Nagy Olga, Prof. Pálhegyi-Farkas László ÉRETTSÉGI SEGÉDANYAG

Prof. Báthori Éva, Prof. Betuker Enikő, Prof. Gyulai Andrea, Prof. István Zoltán, Prof. Nagy Olga, Prof. Pálhegyi-Farkas László ÉRETTSÉGI SEGÉDANYAG Prof. Báthori Éva, Prof. Betuker Enikő, Prof. Gyulai Andrea, Prof. István Zoltán, Prof. Nagy Olga, Prof. Pálhegyi-Farkas László ÉRETTSÉGI SEGÉDANYAG MATEMATIKA M TECHNOLÓGIAI SZAKOSZTÁLYOK RÉSZÉRE 05 ORADEA

Részletesebben

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel?

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? 7. Számelmélet I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? ELTE 2006. október 27. (matematika

Részletesebben

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell 9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Tegyük fel, hogy egy elemi bázistranszformáció kezdetekor a sor- és oszlopindexek sorban helyezkednek

Részletesebben