M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

Átírás

1 Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének Határozzuk meg ezeket a számokat! Ha az első szám a, valamint a mértani sorozat hányadosa q, akkor a három szám: a, aq és aq A feltétel szerint egyrészt a + aq + aq = 76, másrészt ha d a számtani sorozat különbsége, akkor aq a = d, aq aq = d, azaz a(q ) = aq(q ) a(q )(q ) = 0 Mivel a 0, ezért q = vagy q = Ha q =, akkor a =, a három szám megegyezik, mindegyik Ha q =, akkor a = 6, s így a három szám 6, és 6 Mindkét számhármas valóban megoldása a feladatnak (Dolgozhatunk úgy is, hogy a számtani sorozat jelölése szerint választunk ismeretleneket) Ügyeljünk arra, hogy a megoldásokat ellenőrizzük M Egy mértani sorozat első, harmadik-és ötödik tagjának összege 8, a harmadik és az első tag különbsége Határozza meg a sorozat első elemét és hányadosát! M Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek -gyel osztva maradékul -at adnak! M Három szám egy mértani sorozat három egymás után következő eleme A második számhoz -et adva, a számok egy számtani sorozat egymást követő elemei Ezután a harmadik számot -vel növelve, a három szám ismét egy mértani sorozat egymást követő eleme lesz Határozza meg az eredeti három számot! A kamatos kamatozás mértani sorozatot eredményez Ha t Ft-ot helyezünk él a takarékban p p %-os kamatláb mellett, akkor az n-edik év végére a felnövekedett összeg Sn t 00 b) Öt éven át minden év elején ugyanakkora összeget helyezünk el a takarékban %-os kamatláb mellett, majd az ötödik év letelte után még további éven át kamatoztatjuk Mennyit tettünk a takarékba évenként, ha pénzünk a hetedik év végére T forintra növekedett? p Jelöljük az évenkénti betétet t-vel, és legyen q Ekkor az ötödik év végén 00 S = tq + tq + tq + tq + tq Ft van a takarékban Mivel ez még további évig kamatozik, ezért (tq + tq + tq + tq + tq)q q = T, tq T, q q T p amiből t, ahol q q q 00 M Egy üzem három egymás után következő, éven át munkába állít egy-egy t Ft értékű gépét Ezek értéke évenként p%-kal csökken Mekkora a gép együttes értéke a -ik év végén, és n

2 mekkora az -ik év végén? M 6 Az A üzem termelése a B üzem termelésének 90%-a Az A üzem termelését évente 6%-kal növeli, a B üzem pedig csak %-kal Hány év alatt éri utol az A üzem termelése a B üzem termelését? Megoldások az előző hétről M a( + q + q ) = 8 és a(q ) =, amiből q 6q + 8 = 0 Ha q = vagy q =, akkor a = ; ha q vagy q, akkor a = Ellenőrzés! M Az ilyen számok számtani sorozatot alkotnak A k-adik pozitív egész szám, amelyik -gyel osztva -at ad maradékul, k Az első kétjegyű ilyen szám k = esetén, az utolsó 99 k = esetén 99, számuk tehát S = = 6 M A három szám, 6, 8 vagy 0 0,, p M Legyen q A gépek együttes értéke a -ik év végén S = tq + tq + tq = 00 q tq q, az -ik év végén S = tq q q M 6 Legyen a B üzem egy évi termelése t, ekkor az A-é 0,9t 0,9t,06 n = t,0 n n =,66

3 Magyar Ifjúság 7 VI AZ EXPONENCIÁLIS ÉS A LOGARITMUS FÜGGVÉNY Tanulmányaik során a hatványozást először természetes szám kitevőre értelmezték, majd kiterjesztették az értelmezést a pozitív tört, nulla, negatív racionális kitevőkre, és belátták, hogy a megismert azonosságok érvényben maradnak (Tekintsék át ezeket az azonosságokat!) Megjegyezték, hogy a hatványozás minden valós szám, így irracionális szám kitevő esetén is értelmezett és az azonosságok is érvényesek a) Melyik nagyobb, a = (,) 0 0, vagy b =, 0 +,? Mivel (,) 0 =, 0, 0,, ezért, a =, b =, tehát a < b M 7 Melyik nagyobb: a = 7 0, 6 vagy b = 7 0 0,7? Megismerkedtek az eponenciális függvényekkel Ezek szigorúan monoton függvények, így ha a > 0 és a, úgy a k = a l akkor és csak akkor teljesül, ha k = l b) Oldjuk meg a következő egyenleteket: ; 8; ; 80,, > 0 minden -re, így nincs megoldás + = 0, =, = 0 Mivel = ( ), ezért ha = y, akkor y + y 80 = 0 Ha y = 8, akkor = 8, = ; ha y = 0, akkor = 0, s így nincs megoldás M 8 a) (0,0) = ; b) ; c) d) a + = a 6, ahol a > 0 állandó; e) 7 M 9 Mely valós -ekre értelmezhető az a) ; b) 6 kifejezés? 6 ; Megismerkedtek a logaritmussal, a logaritmus függvénnyel log a b (a > 0, a l, b > 0) azt a log b kitevőt jelenti, amelyre a-t emelve b-t kapunk: a a b ; vagy: log a b = c akkor és csak akkor, ha a c log cb = b Tekintsék át a logaritmus azonosságait! Érdemes megjegyezni a log ab log ca azonosságot, aminek speciális esete, ha a helyébe a k -t, c helyébe a-t írunk, log b ab a k k log

4 c) Hasonlítsuk össze a lg és lg, + számokat! A logaritmus értelmezése alapján mely számot jelöli a 9 log és melyiket az log / 9? lg = lg lg0 = lg, lg, + = lg, + lg0 = lg, A két szám egyenlő (Lehet más módon is dolgozni! Hogyan?) 9 =, ezért 9 log log ; ha log / 9 =, akkor 9, = M 0 Írja le log jel nélkül a következő számokat: log, a ; b = lg + lg Megoldások az előző hétről M 7 0, 6 a b ; a < b M 8 a) 0,0 = ; 6 + =, = 8 b), 8, + 6 = 0 = gyöke az adott egyenletnek, nem c) Legyen = y, ekkor y, y y, y,, d) Ha a =, akkor minden valós szám megoldás, ha a, akkor + = 6, = e) Az egyenletnek nincs megoldása, hiszen 7 0 minden -re, 0 M 9 a) 6 0, b) >, M 0 log, = log log, = log 0 log, a = 00 b = lg + lg = lg( ) = = log 0

5 Magyar Ifjúság 8 VII AZ EXPONENCIÁLIS ÉS A LOGARITMUS FÜGGVÉNY A logaritmus értelmezése és a logaritmus tulajdonságai, azonosságai alapján egyenleteket, egyenletrendszereket oldhatunk meg Érdemes ismerni a logaritmus függvény következő tulajdonságát: log a k = log a l (k > 0, l > 0, a > 0, a ) akkor és csak akkor, ha k = l a) Oldjuk meg a következő egyenleteket: log ; log 7 =,; lg( + ) = lg( + 6); lg( ) = lg( ), = =, 9 ( + ) = +6 = 0 gyöke az egyenletnek, = 7 nem, hiszen az egyenletnek ekkor nincs is értelme Az egyenletnek akkor van értelme, ha > 0, azaz > Minden ilyen szám megoldása az egyenletnek, az > számok körében az egyenlet azonosság Összetett függvényt tartalmazó egyenletek megoldása során új változót vezethetünk be M Mely valós -ekre értelmezhető az a) lg(8 + ); b) ; lg c) lg(8 + ) lg( ) kifejezés? M Oldja meg a következő egyenleteket: a) lg( ) + = lg7 ; b) log ; c) log log ( ) = 0; d) lg 8 lg lg lg M a) lg6 ; b) log = ; c) lg( 6) lg( + ) = lg( ); d) log log log log ; e) + = 7; f) + + = 8 ; g) 6 Egyenletrendszerek megoldása során kísérletezhetünk helyettesítő módszerrel, új változók bevezetésével, valamint azonosságok, függvénytulajdonságok alkalmazásával b) Oldjuk meg: lg lgy, y Az egyenletrendszer megoldása az =, y = számpár Ha helyettesítő módszerrel dolgozunk, akkor a megoldáshoz az lg (y + ) + lg y = egyenlet vezet Ha az első egyenletet az

6 > 0, y > 0 feltétellel lg y = lg 0 alakra hozzuk, amiből y = 0, akkor algebrai egyenletrendszerre vezettük vissza a feladat megoldását y M a) log y log b) lg( + ) lg = lg8 + lg(7(9 ) Megoldások az előző hétről M a) 8 + > 0, azaz < < b) > 0 és, azaz > és c) < < és >, azaz < <, vagy < < M a) lg( ) = lg lg0, =,7 b) + =, l = gyöke az egyenletnek, = nem, mert a logaritmus alapszáma -től különböző pozitív szám c) log ( ) = 0 = = d) lg = lg Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát -vel, majd rendezzük lg( + 8) = lgl6( + ), ( + 8) = + 6 Az eredeti egyenlet gyökei: =, =, ugyanis mindkét esetben a bal oldal helyettesítési értéke lg M a) = 0 kivételével minden szám b) Minden megengedett -re a bal oldal, így nincs gyöke egyenletnek c) Az egyenletnek > esetén van értelme, és minden ilyen szám megoldás d) Az > számok körében azonosság e) = lg60 f) = 8, lg =, = log = lg g) Legyen y y,y 6 = 0 Mivel y > 0, ezért y = Az egyenlet gyöke =, M a) A második egyenletből log = y, = y, így y(y ) =, s mivel y > 0, ezért y =, így = 7 b) Az egyenlet lg( + ) + lg8 = lg + lg( + ) + lg( ) alakra hozható A megoldás: = 6

7 Magyar Ifjúság 9 VIII TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK Tekintse át a trigonometrikus függvények értelmezését, az ezekre vonatkozó ismertebb azonosságokat! a) Számítsuk ki ctg 7 sin 7 pontos számértékét! Mivel ctg 7 = cos7 sin7, ezért a kifejezés cos7 sin7 sin0 sin67, cos, M Számítsa ki cos pontos számértékét! b) Milyen számok körében érvényesek a következő azonosságok: sin cos ; tg ; cos cos = sin ; sin(90 ) = cos Ha cos 0, azaz n n, ahol n tetszőleges egész szám Ha cos 0, azaz n, Minden szögre Trigonometrikus azonosságokat úgy igazolhatunk, hogy az egyik oldalon álló kifejezést addig alakítjuk a (megállapított) értelmezési tartományon belül, amíg a másik oldalon álló kifejezést nem kapjuk Az azonosság helyett a vele ekvivalens azonosságot is elegendő igazolni Megtehetjük, hogy az azonosság mindkét oldalán álló kifejezésről megmutatjuk, hogy mindkettő egy harmadik kifejezéssel azonos c) Igazoljuk a cos ( + ) sin = sin ( + ) azonosságot! Elegendő igazolni, hogy cos ( + ) sin ( + ) = sin A bal oldal a + szög kétszeresének cosinusa cos(70 + ) = cos( 90 ) = cos(90 ) = sin (Az igazolást más módon is elvégezhetnénk!) Az azonosság minden szögre érvényes M 6 Igazolja a következő azonosságokat: cos a) ; b) + sin = cos ( ) cos sin cos Azonosságokat alkalmazunk számítások és feltételes azonosságok igazolása során is d) Számítsuk ki tg értékét, ha cos 0 Ha cos, akkor sin vagy sin 0 0 sin, s mivel tg = 0 cos 7

8 sincos, ezért tg = cos vagy tg = Alkalmazhatnánk a tg tg azonosságot is, hiszen most már tudjuk, hogy tg = ± tg M 7 Számítsuk ki a) cos és sin értékét, ha tg = 6 ; b) sin értékét, ha cos = és 0 < < 90 o e) Bizonyítsuk be, hogy ha cos( + ) = 0, akkor sin( + ) sin = 0 Igaz-e az állítás megfordítása? sin( + ) sin azonos átalakításokkal sin cos( + ) alakra hozható, amiből látható, hogy igaz az állítás Viszont a megfordítás nem igaz, hiszen sin cos( + ) úgy is lehet nulla, hogy sin = 0 és cos( + ) 0 M 8 Igazolja, hogy ha ( + cos)( cosy) =, akkor tg = tg y! Megoldások az előző hétről M A keresett szám M 6 b) Legyen =, azaz = 90 Ekkor az igazolandó azonosság: + cos = cos Ezt könnyű belátni Minden szögre érvényes az azonosság 60 7 M 7 a) cos =, sin = b) sin = M 8 + cos = cos, cosy = sin y Ezeket alkalmazva eljuthatunk a cos + cos sin y = cos y egyenletig Ezt cos cos y sin y-nal osztva tg y és az tg azonosságok cos y cos alkalmazásával kapjuk az igazolandó állítást 8

9 Magyar Ifjúság 0 IX TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK A sin = a, cos = b, tg = c, ctg = d alakú egyenleteket trigonometrikus alapegyenleteknek tekintjük A sin = egyenlet megoldásai k 6 vagy k 6, ahol k tetszőleges egész szám (A megoldásokat mindig radiánban fogjuk megadni) A cos = megoldásai k, a tg = megoldásai k, a ctg = megoldásai k a) Oldjuk meg a következő egyenleteket: cos sin cos ; 0 ; sin + cos + tg = sin cos tg Az egyenletben azok az -ek, amelyekre cos 0, nem lehetnek megoldások, így, tg, k k A egyenletnek nincs megoldása, hiszen ha cos =, akkor sin = 0 A egyenletnek minden megengedett megoldása, tehát k M 9 Oldja meg a következő egyenleteket: a) sin = ; b) cos ; c) tg ; d) sin cos = ; e) cos = cos ; f) cos sin Trigonometrikus egyenletek megoldása során vezessük vissza az egyenlet megoldását alapegyenletek megoldására Ha lehet, úgy az egyenlet nullára redukálása után alakítsuk szorzattá a (nem nulla) kifejezést Esetleg észrevehetjük, hogy az egyenlet valamely kifejezésre nézve másodfokú Ha négyzetre emeljük az egyenlet mindkét oldalát, úgy feltétlenül végezzünk próbát! b) Oldjuk meg a következő egyenleteket: cos + cos = 0; sin sin = 0 sin cos = Az egyenlet cos cos 0 alakra hozható cos = 0 vagy cos = k vagy k 6 A egyenletből sin = vagy sin =, k vagy 7 k 6 vagy k 6 9

10 A egyenlet rendezése és négyzetre emelése után az vagy a egyenlet adódik Ellenőrizzük a gyököket! k vagy k 6 (Más módon is dolgozhatunk!) M 0 Oldja meg a következő egyenleteket: a) sin + tg sin tg = ; b) tg + ctg 0 = ; c) siny + ctgy = 0; d) sin ctg Megoldások az előző hétről M 9 a) sin = k, k vagy k, k vagy 6 b) cos cos, így k c) = k + d) sin =, tehát nincs megoldás e) Minden megoldás f) Minden megengedett megoldás, k k M 0 a) (sin )(tg ) = 0 Amikor sin =, akkor a tg nem értelmezett k b) tg = vagy tg = k, k 6 c) siny 0 siny-nal szorozva az egyenlet mindkét oldalát, (sin y + )cosy = 0 adódik y k d) Legyen y Ekkor siny = ctgy, az előző egyenlet adódik, k, n 0