Sorozatok - kidolgozott típuspéldák

Átírás

1 1. oldal, összesen: 8 oldal Sorozatok - kidolgozott típuspéldák Elmélet: Számtani sorozat: a 1 a sorozat első tagja, d a különbsége a sorozat bármelyik tagját kifejezhetjük a 1 és d segítségével: a n = a 1+(n-1) d az első n tag összege: ill. a fenti képlet felhasználásával: a sorozat bármelyik tagja felírható szomszédainak számtani közepeként: Mértani sorozat: a1 a sorozat első tagja, q a hányadosa a sorozat bármelyik tagját kifejezhetjük a1 és q segítségével: a n = a 1 q n-1 az első n tag összege: a sorozat bármelyik tagjának négyzete megegyezik szomszédainak szorzatával: Típusfeladatok (számtani sorozat): Egy számtani sorozat 12. tagja 62, 21. tagja pedig 116. A. Határozzuk meg a sorozat különbségét! B. Határozzuk meg a sorozat 37. tagját! C. Határozzuk meg a sorozat első 15 tagjának összegét! D. Tagja-e a sorozatnak a(z) 227? E. A sorozat hányadik tagja a 248? a 12 = 62 a 21 = 116 Írjuk fel ezt a két tagot a 1 és d segítségével: a12 = a1+11 d = 62 a21 = a1+20 d = 116 Vonjuk ki a21-ből a12-t: a1+20 d-(a1+11 d) = d = 54 / :9 d = 6 (ezzel az A. kérdést meg is válaszoltuk) Ezt a 12 = a 1+11 d = 62 -be visszahelyettesítve: a = 62 a 1+66 = 62 / -66 a 1 = -4 B. a 37 = a 1+36 d = = 212 C. S15 = (2 a1+14 d) 15/2 = (2 (-4)+14 6) 15/2 = 570 D. A 227 akkor tagja a sorozatnak, ha van olyan n természetes szám, amire 227 = a 1+n d, azaz 227 = -4+n 6 / = 6n / :6

2 2. oldal, összesen: 8 oldal 38,5 = n Mivel n nem természetes szám, a 227 nem tagja a sorozatnak. E. Keressük azt az n természetes számot, amire an = 248 an = a1 + (n-1) d, azaz 248 = -4+(n-1) 6 / = (n-1) 6 / :6 42 = n 1 / = n Tehát a sorozat 43. tagja a 248 Egy számtani sorozat első négy tagjának összege -76, következő négy tagjának összege pedig a. Határozzuk meg a sorozat különbségét! b. Határozzuk meg a sorozat 18. tagját! c. Határozzuk meg a sorozat első 10 tagjának összegét! d. Tagja-e a sorozatnak a -146? e. A sorozat hányadik tagja a -320? a1+a2+a3+a4 = -76 a5+a6+a7+a8 = -300 Írjuk fel a sorozat tagjait a1 és d segítségével: a1+a1+d+a1+2 d+a1+3 d = -76 a 1+4 d+a 1+5 d+a 1+6 d+a 1+7 d = -300 összevonás után: 4 a1+6 d = a1+22 d = -300 Vonjuk ki a második 4 tag összegéből az első 4 tag összegét: 4 a 1+22 d-(4 a 1+6 d) = -300-(-76) 16 d = -224 / :16 d = -14 (ezzel az A. kérdést meg is válaszoltuk) Ezt 4 a 1+6 d = -76 -ba visszahelyettesítve: 4 a1+6 (-14) = a1-84 = -76 / a1 = 8 / :4 a1 = 2 B. a 18 = a 1+17 d = 2+17 (-14) = -236 C. S 10 = (2 a 1+9 d) 10/2 = (2 2+9 (-14)) 10/2 = -610 D. A -146 akkor tagja a sorozatnak, ha van olyan n természetes szám, amire -146 = a1+n d, azaz -146 = 2+n (-14) / = -14n / :(-14) 10,57 n Mivel n nem természetes szám, a -146 nem tagja a sorozatnak. E. Keressük azt az n természetes számot, amire a n = -320 a n = a 1 + (n-1) d, azaz -320 = 2+(n-1) (-14) / = (n-1) (-14) / :(-14) 23 = n-1 / = n Tehát a sorozat 24. tagja a -320 Határozzuk meg az első 60 pozitív, 4-gyel osztható szám összegét!

3 3. oldal, összesen: 8 oldal a 1 = 4 d = 4 S 60 = (2 a 1+59 d) 60/2 = ( ) 60/2 = 7320 Határozzuk meg a 150 és 400 közötti, 5-tel osztva 3 maradékot adó számok összegét! a1 = 153 d = 5 Határozzuk meg, hogy a sorozatnak hány tagja van a megadott intervallumban: an = a1+(n-1) d <= 400, azaz 153+(n-1) 5 <= 400 / -153 (n-1) 5 <= 247 / :5 n-1 <= 49,4 / +1 n <= 50,4 tehát a sorozatnak 50 tagja van 150 és 400 között. S 50 = (2 a 1+49 d) 50/2 = ( ) 50/2 = Egy színházi nézőtéren 24 sor van. Az első sorban 13 szék van, a székek száma soronként 3-mal nő. Hány szék van összesen a nézőtéren? a1 = 13 d = 3 S24 = (2 a1+23 d) 24/2 = ( ) 24/2 = 1140 Egy színházi nézőtéren a színpad felé haladva a székek száma soronként 4-gyel csökken. Az első sorban 15 az utolsó sorban 99 szék van. Hány szék van összesen a nézőtéren? a 1 = 15 d = 4 Először határozzuk meg, hogy hány sor van a nézőtéren: a n = a 1+(n-1) d, azaz 99 = 15+(n-1) 4 / = (n-1) 4 / :4 21 = n-1 / = n A nézőtéren tehát 22 sor van. S 22 = (a 1+a 22) 22/2 = (15+99) 22/2 = 1254 Egy színházi nézőtéren 35 sor van. Minden sorban 6-tal több szék van, mint az előzőben. A 19. sorban 125 szék van. Hány szék van összesen a nézőtéren? a19 = 125 d = 6 Először határozzuk meg a sorozat első tagját: a 19 = a 1+18 d, azaz 125 = a = a / = a 1 S 35 = (2 a 1+34 d) 35/2 = ( ) 35/2 = 4165 Egy színházi nézőtéren a színpad felé haladva a székek száma soronként 3-mal csökken. Az első sorban 17 az utolsó sorban 113 szék van. Hány soros a nézőtér? a 1 = 17 d = 3 Először határozzuk meg, hogy hány sor van a nézőtéren: a n = a 1+(n-1) d, azaz

4 4. oldal, összesen: 8 oldal 113 = 17+(n-1) 3 / = (n-1) 3 / :3 32 = n-1 / = n A nézőtér tehát 33 soros. Típusfeladatok (mértani sorozat): Típusfeladatok (számtani-mértani vegyes): Egy számtani sorozat második tagja 7. E sorozat első, harmadik és a nyolcadik tagja egy mértani sorozat három, egymást követő tagja. Határozza meg a mértani sorozat hányadosát! a 2=7 Írjuk fel a tagokat a 2 és d segítségével: a 1=a 2-d=7-d a 3=a 2+d=7+d a8=a2+6d=7+6d Ez a három szám egy mértani sorozat három egymást követő tagja, tehát a középső négyzete megegyezik a szélsők szorzatával. a 2 3 =a 1 a 8 (7+d) 2 =(7-d)(7+6d) 49+14d+d 2 =49+42d-7d-6d 2 / d+d 2 =35d-6d 2 / +6d 2 14d+7d 2 =35d / -35d -21d+7d 2 =0 7d(-3+d)=0 I. d=0 (ez nem lehetséges) II. -3+d=0, azaz d=3 a1=7-3=4 a3=7+3=10 q=a3/a1=10/4=2,5 Egy mértani sorozat első három tagjának összege 35. Ha a harmadik számot öttel csökkentjük, egy számtani sorozat első három tagjához jutunk. Határozza meg a mértani sorozatot! a 1+a 2+a 3=35 Írjuk fel ezt a1 és q segítségével: a 1+a 1q+a 1q 2 =35 a1(1+q+q 2 )=35 (I. egyenlet) Ha a3-t öttel csökkentjük, akkor egy számtani sorozat szomszédos tagjait kapjuk, tehát a középső a két szélső számtani közepével lesz egyenlő: (a 1+a 3-5)/2=a 2 / 2 a 1+a 3-5=2a 2 Írjuk fel ezt is a 1 és q segítségével: a1+a1q 2-5=2a1q a1+a1q 2-2a1q=5 a 1(1+q 2-2q)=5 (II. egyenlet) Osszuk el az I. egyenletet a II. egyenlettel: (1+q+q 2 )/(1+q 2-2q)=7 / (1+q 2-2q) 1+q+q 2 =7(1+q 2-2q) 1+q+q 2 =7+7q 2-14q

5 5. oldal, összesen: 8 oldal 0=6q 2-15q+6 Az egyenletet megoldva: q1=2, q2=0,5 Helyettesítsük vissza q1-t a II. egyenletbe: a 1( )=5 a 1=5 az I. megoldás: a1=5, a2=10, a3=20 q2-t visszahelyettesítve a II. egyenletbe pedig: a 1(1+0, ,5)=5 4a 1=5 a 1=20 a II. megoldás: a 1=20, a 2=10, a 3=5 Egy mértani sorozat első három tagjának szorzata 216. Ha a harmadik számot 3-mal csökkentjük, egy számtani sorozat első három tagját kapjuk. Határozza meg a mértani sorozatot! a 1 a 2 a 3=216 Írjuk fel ezt a 2 és q segítségével: (a 2/q) a 2 (a 2 q)=216 a2 3 =216 a 2=6 Ha a 3-t hárommal csökkentjük, akkor egy számtani sorozat szomszédos tagjait kapjuk, tehát a középső a két szélső számtani közepével lesz egyenlő: (a 1+a 3-3)/2=a 2 / 2 a 1+a 3-3=2a 2 Írjuk fel ezt is a2 és q segítségével: 6/q+6q-3=2 6 / q 6+6q 2-3q=12q 6q 2-15q+6=0 Az egyenletet megoldva: q 1=2, q 2=0,5 az I. megoldás: a 1=3, a 2=6, a 3=12 a II. megoldás: a 1=12, a 2=6, a 3=3 Egy számtani sorozat első három tagjának összege 24. Ha az első taghoz 1-et, a másodikhoz 2-t, a harmadikhoz 35-öt adunk, egy mértani sorozat szomszédos tagjait kapjuk. Határozza meg a számtani sorozatot! a 1+a 2+a 3=24 Írjuk fel ezt a 2 és d segítségével: a 2-d+a 2+a 2+d=24 3a 2=24 a 2=8 Ha a 1-hez 1-et, a 2-höz 2-t, a 3-hoz pedig 35-öt adunk, akkor egy mértani sorozat szomszédos tagjait kapjuk, tehát a középső négyzete megegyezik a szélsők szorzatával: (a 2+2) 2 =(a 1+1)(a 3+35) Írjuk fel ezt is a 2 és d segítségével: (8+2) 2 =(8-d+1)(8+d+35) 100=(9-d)(43+d) 100=387+9d-43d-d 2 d 2 +34d-287=0 Az egyenletet megoldva: d1=7, d2=-41

6 6. oldal, összesen: 8 oldal az I. megoldás: a1=1, a2=8, a3=15 a II. megoldás: a1=49, a2=8, a3=-33 Egy mértani sorozat első három tagjának összege 26. Ha az első taghoz 1-et, a másodikhoz 6-ot, a harmadikhoz pedig 3-at adunk, egy számtani sorozat egymást követő tagjaihoz jutunk. Határozza meg a mértani sorozatot! a1+a2+a3=26 Írjuk fel ezt a1 és q segítségével: a 1+a 1q+a 1q 2 =26 a1(1+q+q 2 )=26 (I. egyenlet) Ha a1-hez 1-et, a2-höz 6-ot, a3-hoz pedig 3-at adunk, akkor egy számtani sorozat szomszédos tagjait kapjuk, tehát a középső a két szélső számtani közepével lesz egyenlő: (a 1+1+a 3+3)/2=a 2+6 / 2 a 1+1+a 3+3=2a 2+12 a 1+a 3=2a 2+8 Írjuk fel ezt is a 1 és q segítségével: a1+a1q 2 =2a1q+8 a1+a1q 2-2a1q=8 a 1(1+q 2-2q)=8 (II. egyenlet) Osszuk el az I. egyenletet a II. egyenlettel: (1+q+q 2 )/(1+q 2-2q)=26/8 / 8 8(1+q+q 2 )/(1+q 2-2q)=26 / (1+q 2-2q) 8(1+q+q 2 )=26(1+q 2-2q) 8+8q+8q 2 =26+26q 2-52q 0=18q 2-60q+18 Az egyenletet megoldva: q 1=3, q 2=1/3 Helyettesítsük vissza q 1-t a II. egyenletbe: a1( )=8 4a 1=8 a 1=2 az I. megoldás: a 1=2, a 2=6, a 3=18 q 2-t visszahelyettesítve a II. egyenletbe pedig: a1(1+(1/3) 2-2 1/3)=8 4/9a1=8 a 1=18 a II. megoldás: a 1=18, a 2=6, a 3=2 Típusfeladatok (kamatos kamat): Év elején Ft-ot helyezünk el a bankban évi 4%-os kamatra. A. Mennyi pénzünk lesz a bankban 5 év múlva? B. Mennyi idő alatt kétszereződik meg a pénzünk? A. 1 év múlva: ,04 2 év múlva: ( ,04) 1,04= , év múlva: ( ,04 2 ) 1,04= , év múlva: ( ,04 4 ) 1,04= ,04 5 =24333,06 B.

7 7. oldal, összesen: 8 oldal Az előbbi elgondolást folytatva: n év múlva: ,04 n Az akarjuk, hogy megkétszereződjön a pénzünk, tehát azt az n-t keressük, amire: ,04 n =40000 / : ,04 n =2 / vegyük mindkét oldal 10-es alapú logaritmusát lg1,04 n =lg2 A logaritmus azonosságainak felhasználásával: n lg1,04=lg2 / :lg1,04 n=lg2/lg1,04=17,67 Azaz 18 év alatt kétszereződik meg a pénzünk. Mennyi pénzt kell lekötnünk a bankban, hogy évi 5 %-os kamat mellett 10 év múlva Ft-unk legyen? 1 év múlva: x 1,05 2 év múlva: (x 1,05) 1,05=x 1, év múlva: (x 1,05 2 ) 1,05=x 1, év múlva: (x 1,05 9 ) 1,05=x 1,05 10 Azt akarjuk, hogy 10 év múlva Ft-unk legyen, tehát: 50000=x 1,05 10 / :1, /1,05 10 =x x=30695, Ft-ot helyeztünk el a bankban, ami a kamatokkal 6 év alatt Ft-ra nőtt. Hány %-os volt az éves kamat? 1 év múlva: (100+x)/100 2 év múlva: ( (100+x)/100) (100+x)/100= ((100+x)/100) 2 3 év múlva: ( ((100+x)/100) 2 ) (100+x)/100= ((100+x)/ év múlva: ( ((100+x)/100) 5 ) (100+x)/100= ((100+x)/100) 6 A 6. év végén Ft-unk lesz, tehát: = ((100+x)/100) 6 / : ,8=((100+x)/100) 6 / 6. gyököt vonunk 1,1029=(100+x)/100 / ,29=100+x / ,29=x Tíz éven keresztül minden év elején Ft-ot helyezünk el a bankban évi 5%-os kamatra. Mennyi pénzünk lesz a 10. év végén? Nézzük meg mennyi pénzünk lesz az egyes évek végén: 1. év végén: ,05 (a Ft 5% kamattal gyarapodott) ehhez a 2. év elején Ft-ot téve újabb 1 évig kamatozik: 2. év végén: ( , ) 1,05= , ,05 ehhez a 3. év elején újabb Ft-ot fizetve megint 1 évig kamatozik: 3. év végén: ( , , ) 1,05= , , ,05 ezt a módszert folytatva: 10. év végén: ( , , ) 1,05= , , ,05 Ez egy mértani sorozat első 10 tagjának összege, ahol a1= ,05; q=1,05 S 10=a 1 (q 10-1)/(q-1)

8 8. oldal, összesen: 8 oldal S10= ,05 (1, )/(1,05-1)= ,628894/0,05=132067, Ft-ot teszünk a bankba évi 6%-os kamatra, majd 8 éven keresztül minden év végén kiveszünk Ft-ot. Mennyi pénzünk marad a bankban a 8. év végén? Nézzük meg mennyi pénzünk lesz az egyes évek végén: 1. év végén: , (a Ft egy évig kamatozott, és év végén kivettünk Ft-ot) 2. év végén: ( , ) 1, = , , (az előző év végi összeg egy évig kamatozott, és év végén kivettünk Ft-ot) 3. év végén: ( , , ) 1, = , , , (az előző év végi összeg egy évig kamatozott, és év végén kivettünk Ft-ot) ezt a módszert folytatva: 10. év végén: ( , , ) 1, = , , , = , ( , , ) A zárójelben egy mértani sorozat első 10 tagjának összege van, ahol a 1=50000; q=1,06 S10=a1 (q 10-1)/(q-1) S 10=50000 (1, )/(1,06-1)= ,790848/0,06= A végeredmény: , S 10= , =57299,2 Évfordulók