A 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

Átírás

1 Oktatási Hivatal 04/0 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MTEMTIK I KTEGÓRI (SZKKÖZÉPISKOL) Javítási-értékelési útmutató Határozza meg a tízes számrendszerbeli x = abba és y = abab ( a b ) páros természetes számokat úgy, hogy az x + y összeg osztható legyen 7-tel! Mivel x = abba és y = abab tízes számrendszerbeli számok, ezért z () összefüggésekből azt kapjuk, hogy x = 00 a + 0b és y = 00 a + 0b () x + y = 0 a + b Maradékos osztással 0 = és = , ezért ()-ből az következik, hogy innen pedig x + y = 87 7a b + a + b, () x + y = ( 87a + 30b) + a + b 7 (3) szerint x + y pontosan akkor osztható 7-tel, ha a + b osztható 7-tel feltétel szerint a és b páros számjegyek, valamint 7-tel osztható pozitív páros szám, azaz (3) a + b = 4 (4)-ből két megoldást kapunk: (4) a = 6 ; b =, valamint a = 4 ; b = 6 feladatra összesen megoldáspár adódik, mégpedig a b, így a a + b összeg 4-nél kisebb x = 66 ; y = 66, illetve x = 4664 ; y = 4646 OKTV 03/04 döntő forduló

2 Matematika I kategória z F; CE és BD szakaszok az alábbi ábrának megfelelően helyezkednek el CE szakasz hossza 4, a BD szakasz hossza 40 egységnyi Hány egység hosszúságú az F szakasz? F E D C B z F; CE és BD szakaszok mindegyike az ábra szerint merőleges az B szakaszra, ezért a szakaszok párhuzamosak egymással DB -et metsző CE és BD szakaszokra felírjuk a párhuzamos szelőszakaszok tételét: () C B CE = BD 4 = = 40 3 FB -et metsző CE és F szakaszokra is felírjuk a párhuzamos szelőszakaszok tételét: () BC CE 4 = = B F F z () és () megfelelő oldalait összeadva azt kapjuk, hogy azonban C + BC = B, ezért C BC = +, mivel B B F (3) 3 4 = + F 3 pont (3)-ból egyszerű számolással adódik, hogy F = 60, tehát az F szakasz 60 egység hosszúságú OKTV 04/0 első forduló

3 Matematika I kategória 3 Oldja meg az x + y 8z = 4 egyenletet az egész számok halmazán! I z x; y egész számok nem lehetnek egyszerre párosak, mert akkor x és y is 4-gyel osztható, így az egyenlet bal oldala 4-gyel osztható, miközben a jobb oldal nem osztható 4-gyel z sem állhat fenn, hogy az x; y egész számok közül az egyik páros, a másik páratlan, mert ekkor az egyenlet bal oldala páratlan egész szám, míg a jobb oldala páros Ezért csak az lehetséges, hogy az x; y egész számok mindegyike páratlan Legyen ezért x = k + és y = m +, ahol k; m Z Eszerint 4k + 4k + + 4m + 4m + 8z = 4, ahonnan rendezéssel: () 4k + 4k + 4m + 4m 8z = () mindkét oldalát 4-gyel osztva azt kapjuk, hogy k + k + m + m z = 3, amelyből kiemelés után () k ( k + ) + m ( m + ) z = 3 k és k +, illetve m és + illetve m ( m +) páros számok m közvetlen egymás utáni egész számok, ezért ( k +) k, Ugyanakkor nyilvánvaló, hogy z páros egész szám, ezért () bal oldala páros, jobb oldala pedig páratlan egész szám Ez nem lehetséges, tehát () nem teljesülhet egyetlen k ; m; z egész számokból álló számhármasra sem Minden esetet megvizsgáltunk, megoldást egyetlen esetben sem kaptunk, az x + y 8z = 4 egyenletnek tehát nincs megoldása az egészekből álló számhármasok halmazán II z x; y egész számok mindegyike páratlan (előző megoldásban részletezve) Átrendezve az egyenletet: x + y 8z = ( x )( x + ) + ( y )( y + ) 8z = Itt a két szorzatban két egymás utáni páros szám áll, tehát a szorzat osztható 8-cal bal oldal egy 8-cal osztható szám z értékétől függetlenül jobb oldalon a nem osztható 8-cal Tehát nincs megoldása az egyenletnek 3 pont 3 pont OKTV 04/0 3 első forduló

4 Matematika I kategória 4 Oldja meg a valós számok halmazán az log x + 4 log x = log x + 4 x egyenletet! ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) logaritmus értelmezése miatt x > 4, illetve x >, ezért a feladat megoldásait az = ; halmazon keressük ] [ z egyenlet jobb oldala a logaritmus azonosságai miatt átalakítható, így () ( + 4) log ( x ) = log ( x + 4) + log ( x ) log x Végezzük el az a = log ( x + 4) és a = log ( x ) b helyettesítéseket, ezekkel () a következő alakba írható: () a b= a+ b () egyenlet rendezésével és kiemeléssel: (3) ( )( b ) = 0 a (3) egyenlet szerint a = vagy b = lehetséges Ha a =, akkor log ( + 4) = következik Ez a szám azonban nem eleme az = ] ; [ Ha pedig = log x = hogy x =, azaz x = 6 x, ebből a logaritmus definíciója szerint x +4 =, azaz x = b, akkor ( ) halmaznak, ezért nem megoldás, innen a logaritmus definíciója alapján azt kapjuk, Ez a szám megfelel a feladat feltételeinek és behelyettesítéssel ellenőrizhetjük, hogy valóban megoldása a feladatnak OKTV 04/0 4 első forduló

5 Matematika I kategória z BCD húrnégyszög BC és D oldalainak egyenesei a hegyesszögű CDE háromszöget zárják közre CDE háromszög körülírt körének sugara megegyezik az BCD húrnégyszög körülírt körének sugarával B Bizonyítsa be, hogy = cos( CED )! CD Jelöléseink az ábrán láthatók α D k O M O E B C k k és k körök sugara egyenlő, legyen ez a sugár R k körben a CD húrhoz az ábra jelölése szerint, α nagyságú kerületi szög tartozik Egyenlő sugarú körökben az egyenlő hosszúságú húrokhoz egyenlő nagyságú kerületi szögek tartoznak, ezért a k körben, amelynek CD ugyancsak húrja, a CD húrhoz szintén α nagyságú kerületi szög tartozik, vagyis () CED = α kerületi szögek tétele miatt a k körben CBD = α, tehát a BED háromszög egyenlő szárú háromszög, mert a BE alapon fekvő szögei egyenlők Mivel pedig a BED háromszögnek BD külső szöge, ezért () BD = α Ismeretes, hogy a kör egy húrjának hossza kifejezhető a kör sugarával és a húrhoz tartozó kerületi szög szinuszával Eszerint egyrészt a k körben B = R sin α, másrészt a k körben CD = R sinα Ebből azt kapjuk, hogy B R sin α (3) = CD R sinα Felhasználva a sin α = sinα cosα trigonometriai azonosságot, (3)-ból egyszerűsítés után (nyilvánvaló, hogy sinα 0 ), azt kapjuk, hogy B = cosα, CD ez pedig a bizonyítandó állítással ekvivalens OKTV 04/0 első forduló

6 Matematika I kategória 6 Hányféleképpen írhatjuk be az ábrán látható négyzetekbe az ; ; 3; 4; ; 6 számokat úgy, hogy a szomszédos négyzetekbe írt számok különbsége ne legyen 3? (Szomszédosnak tekintünk két négyzetet, ha van közös oldaluk) megadott számokból három pár képezhető aszerint, hogy mely számpárok nem kerülhetnek szomszédos mezőbe, ezek: () ( ; 4), ( ; ) és ( ; 6) 3 nagy négyzetbe bármelyik számot beírhatjuk, tehát ennek kitöltésére 6 lehetőségünk van, ekkor viszont a nagy négyzetbe írt szám ()-nek megfelelő párját a jobb felső mezőbe kell írnunk bal felső mezőbe a megmaradt 4 szám bármelyike kerülhet, az ide írt szám ()-ben látható párját két helyre írhatjuk: a jobb oldali középső vagy alsó mezőbe z előző elhelyezések után már csak egy () szerinti számpár maradt, ezeket kétféleképpen helyezhetjük el, hiszen ha eldöntöttük, hogy melyiket írjuk a felső középső mezőbe, a másik nyilván az utolsó üres mezőbe kerül z összes kitöltési lehetőségek száma tehát 6 4 = 96 OKTV 04/0 6 első forduló