XXIV. NEMZETKÖZI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY Szabadka, április 8-12.

Átírás

1 XXIV. NEMZETKÖZI MGYR MTEMTIKVERSENY Szabadka, 05. április 8-. IX. évfolyam. Egy -as négyzetháló négyzeteibe a bal felső mezőből indulva soronként sorra beirjuk az,,3,,400 pozitív egész számokat. Ezután a táblázat négyzeteiből az ábrán látható kereszt alakú síkidommal mindig ötöt letakarunk az összes lehetséges módon. Hányszor lesz a letakart öt szám összege négyzetszám? Milyen szám áll ezekben az esetekben a kereszt közepén? 0 0. Egy háromjegyű számot osztva a számjegyeinek összegével 37-et kapunk. Ha e háromjegyű számhoz hozzáadunk 97-et, a megfordított (felcserélt sorrendben felírt) számjegyekből álló számot kapjuk. Mely háromjegyű számok esetében lehetséges ez? 3. Hány megoldása van a prímszámok halmazában a egyenletnek? p q r s pqrs 4 4. Egy háromszögben 60. Legyenek rendre az M és N pontok az és oldalak olyan pontjai, melyekre M N. z szakasz felezőpontja legyen, míg az oldal felezőpontja. izonyítsd be, hogy F F F M. 5. Keresd meg az összes olyan pozitív egészekből álló x, y, z számhármast, amelyre érvényes, hogy F x y, y z és 3 3 z x. 6. z hegyesszögű háromszög magasságpontja M. Igazold, hogy ha M, akkor az 45. Igaz-e az állítás tompaszögű háromszögben is? MN feladatok kidolgozására 40 perc áll rendelkezésre. Jó munkát!

2 XXIV. NMMV FELDTINK MEGOLDÁSI IX. évfolyam IX/. Egy 0 0 -as négyzetháló négyzeteibe a bal felső mezőből indulva soronként sorra beirjuk az,,3,,400 pozitív egész számokat. Ezután a táblázat négyzeteiből az ábrán látható kereszt alakú síkidommal mindig ötöt letakarunk az összes lehetséges módon. Hányszor lesz a letakart öt szám összege négyzetszám? Milyen szám áll ezekben az esetekben a kereszt közepén? (Nemecskó István, udapest, Magyarország) Megoldás: Ha a kereszt közepső mezőjében k áll, akkor az öt mező összege 5k. Ha ez négyzetszám, akkor teljesül. középső mező viszont nem lehet a tábla szélén, ezért: 0 k 380, valamint, ha i,,,0, és k 0 j, ha j 0,,,9. Mivel 5k 5 k k 0i négyzetszám, így k 5l alakú, ahol z előző feltételek miatt adódik, hogy 4 l 76, ebből pedig 9. esetén k 53 45, ami teljesíti a feltételt. k 54 80, ami nem teljesíti a feltételt. esetén k 55 5, ami teljesíti a feltételt. k 56 80, ami nem teljesíti a feltételt. k 57 45, ami teljesíti a feltételt. esetén k 58 30, ami nem teljesíti a feltételt. megfelelő értékek tehát, és mezői, rendre, 45, 5 és 45 lehetnek. l 3 l 4 esetén l 5 l 6 esetén l 7 esetén l 8 l 3 l 5 l l természetes szám. l 7, s így a letakart keresztek középső IX/. Egy háromjegyű számot osztva számjegyeinek összegével 37-et kapunk. Ha e háromjegyű számhoz hozzáadunk 97-et, a megfordított (felcserélt sorrendben felírt) számjegyekből álló számot kapjuk. Mely háromjegyű számok esetében lehetséges ez? (Kovács éla, Szatmárnémeti, Erdély) Megoldás: Legyen a háromjegyű szám 00a 0b c. z első feltétel alapján adódik 00a 0b c 37( a b c), innen pedig 63a 7b 36c. Elosztva 9-cel a kapott egyenletet, kapjuk a 7a 3b 4c összefüggést. második feltétel alapján adódik a 00a 0b c 97 00c 0b a egyenlet, innen pedig 99a97 99c, amely 99-cel osztva adja az a3 c összefüggést. z első egyenlőségbe helyettesítve kapjuk, hogy 7a 3b 4( a 3), ahonnan 3a3b, amely 3-mal osztva adja az ab 4 egyenlőséget. Tehát: ab 4 és cb 7. Mivel abc,, számjegyek, ezért b lehetséges értékei: 0, vagy. Ha b 0, akkor a 4 és c 7, a keresett háromjegyű szám pedig a 407. Ha b, akkor a 5 és c 8, a keresett háromjegyű szám pedig az 58. Ha b, akkor a 6 és c 9, a keresett háromjegyű szám pedig a 69. keresett háromjegyű számok tehát: 407, 58 és : 37 és , 58:4 37 és , 69:7 37 és

3 IX/3. Hány megoldása van a prímszámok halmazában a p q r s pqrs 4 egyenletnek? (Mészáros József, Galánta, Felvidék) Megoldás: Mind a négy prímszám nem lehet páratlan. Tegyük fel, hogy. Ekkor p q r pqr. megmaradt prímszámok sem lehetnek mind páratlanok, mert akkor a bal oldal páratlan volna a jobb oldal pedig páros. Legyen p q 4 4pq p q 4 pq. bal oldali kifejezés miatt mindkettő páratlan volna, akkor r. Ekkor, illetve p és p q s paritása megegyező kell, hogy legyen. Ha 4k és q 4l alakú, ahol valamilyen pozitív egész számok. Ekkor viszont a p q 4 pq k és egyenlet bal oldala 4 alakú, ahol m pozitív egész szám, a jobb oldala pedig 4 többszöröse. Következésképpen csak a eset lehetséges. Ekkor viszont , ami ellentmondás, tehát az adott egyenletnek nincs a feladat feltételeit kielégítő megoldása. m pq IX/4. Egy háromszögben az és oldalak olyan pontjai, melyekre felezőpontja legyen, míg az oldal felezőpontja F I.Megoldás: Tekintsük az 60. Legyenek rendre az M F F csúcsnak az és N pontok. z szakasz. izonyítsd be, hogy M N F MN M. (író éla, Sepsiszentgyörgy, Erdély) F pontra vonatkozó szimmetrikus képét. (lásd az ábrát) feltevést is figyelembe véve, az M N négyszög paralelogramma. ĺgy M N és M N. Emiatt N N és N 60, ahonnan következik, hogy az N szabályos. Következésképpen N M. Végezetül: FF középvonal az háromszögben, s ebből az következik, hogy F F M, amit igazolni kellett. l

4 II.Megoldás: z általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy az hegyesszögű, és az oldala hosszabb az oldalnál. háromszög oldalán vegyünk fel egy D pontot úgy, hogy legyen. Ekkor az oldalú, ugyanis M D, valamint az csúcsban lévő szög 60. Mivel az pont az M D szakasz felezőpontja, és D M N, így az a felezőpontja. z MND -ben ezek alapján FF MD. Figyelembe véve az oldalú voltát megkapjuk a feladat bizonyítandó állítását: FF MD M. Megjegyzés: ha a szakasz hossza nagyobb a szakaszétól, a feladat megoldása akkor is hasonlóan alakul a fentiekhez. F N MD egyenlő FF F pont a DN MD egyenlő F szakasznak is a háromszög középvonala, vagyis IX/5. Keresd meg az összes olyan pozitív egészekből álló x, y, z számhármast, amelyre érvényes, hogy x y, y z és 3 3 Megoldás: z x y, y z és 3 3 z x. (Kekeňak Szilvia, Kassa, Felvidék) z x feltételekből következik, hogy x y, yz és 3zx 3. Szorozzuk be az első egyenlőtlenséget -vel és alkalmazzuk egymás után az első két egyenlőtlenséget. Ekkor azt kapjuk, hogy x y z 4, illetve hogy x4 z. Figyelembe véve a x4 z és a 3zx 3 egyenlőtlenségeket adódik, hogy 3 x 4 3z x 3 3 x 4 x 3., azaz x. 3 3 z utóbbi egyenlőtlenség megoldása 3 3 x 3, ezért 3 x Figyelembe véve a 3 3 Mivel y z alapján z x feltételből következik, hogy, így az x 3 feltételt is figyelembe véve adódik, hogy x 3. z x feltételt, azt kapjuk, hogy 3 z 6, vagyis z biztosan páros szám, így z. Visszahelyettesítve a kapott értékeket a x y z 4 egyenlőtlenségbe, adódik, hogy 6 y 6, ahonnan y. feladat egyetlen megoldása tehát a 3,, számhármas. z.

5 IX/6. z hegyesszögű háromszög magasságpontja M. Igazold, hogy ha, akkor az 45. Igaz-e az állítás tompaszögű háromszögben is? (Katz Sándor, onyhád, Magyarország) M Megoldás: z ábrán -val jelölt és TM szögek egyenlők, mert merőleges szárú hegyesszögek. feladat feltétele szerint az és M szakaszok egyenlők, ezért az T és MT derékszögű háromszögek egybevágók, mert egyenlők az átfogóik és a szögeik. Így az szög melletti befogók is egyenlők, azaz. Tehát a derékszögű háromszög egyenlő szárú, ezért 45. T T T T M Ha a háromszög tompaszögű, és a tompaszög -nél van, akkor a fenti megoldással azonos módon igazolható, hogy 45. Ha viszont -nél van a tompaszög, akkor M teljesülhet, de nyilván 45 nem teljesülhet. z -val jelölt szögek most is merőleges szárúak, ezért egyenlők, és ha M, akkor az MT és derékszögű háromszögek egybevágók. Ezért az -val szemközti oldalak egyenlők, azaz T T, tehát a T háromszög itt is egyenlő szárú, derékszögű, így itt T 45. Tehát most 35. T T -nál vagy T M