A Katedra Matematikaverseny 2013/2014-es döntőjének feladatsorai Összeállította: Károlyi Károly

Átírás

1 A Katedra Matematikaverseny 2013/2014-es döntőjének feladatsorai Összeállította: Károlyi Károly 5. osztály 1. A MATEK szó minden betűjének megfeleltetünk egy-egy számjegyet a következők szerint: M + A + T + E + K = 25, M + A = 8, A + T = 10, T + E = 14, E + K = 8. Melyik ötjegyű szám rejtőzködik a MATEK szó mögött? 2. Írd fel a 42-t hat darab pozitív egész szám összegeként úgy, hogy az összeg első három tagja három egymást közvetlenül követő szám legyen, a másik három tag pedig ugyancsak három egymást közvetlenül követő szám legyen, valamint az első három tag összege kisebb legyen, mint a másik három tag összege! Keress több megoldást! 3. Az ábrán látható, 7 egybevágó négyzetből álló alakzat kerülete 16 cm. A négyzetek rajzolását az alakzatnak megfelelően tovább folytatva (az újabb négyzeteket felváltva az előző négyzet jobb felső, illetve jobb alsó oldalához csatlakoztatva) addig végezzük, amíg összesen 2014 négyzetből áll. Hány centiméter lesz az így kapott alakzat kerülete? 4. A síkidomot a rácsvonalak mentén bontsd fel két egyenlő területű síkidomra! Keresd meg az összes megoldást! (Két megoldás nem különbözik, ha a kapott síkidomok az egyikben ugyanolyan alakúak, mint a másikban.) 5. Panni egyszerre dobott egy piros, egy sárga és egy zöld dobókockával, és a dobott pontok összege 9 lett. Hányféleképpen alakulhatott ez az eredmény? 1. Gergő 3 3-as négyzetrácsos lapokból 4-4 kis négyzetet vágott ki úgy, hogy a megmaradt 5-5 kis négyzetből álló síkidomok kerülete megegyezett az eredeti 3 3-as négyzet kerületével. Rajzold le az összes különböző megfelelő síkidomot! 2. Egy kocka hat lapjára egy-egy egész számot írtunk úgy, hogy bármelyik két szomszédos lapon lévő szám különbsége legfeljebb 15. Mennyi a kocka lapjaira írt számok összegének legkisebb értéke, ha az egyik lapon a 100 szerepel? 3. Három szám összege A három számból ugyanazt a számot vontuk ki, így eredményül a 15, a 369 és a 631 számokat kaptuk. Melyik számot vontuk ki? Mi a három szám? 4. Az ábrán látható szabályos ötszög mind az öt oldalát piros vagy zöld színnel színezzük ki úgy, hogy egy oldal színezéséhez egy színt használunk. Hányféleképpen színezhetjük ki az ötszöget, ha a forgatással egymásba vihető eseteket nem tekintjük különbözőnek? 5. Az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 számok közül alkalmasan válassz ki 9 különbözőt, majd helyezd el azokat egy 3 3-as bűvös négyzetbe úgy, hogy minden sorban, minden oszlopban és mindkét átlóban 21 legyen a számok összege! Keress több megoldást!

2 6. osztály 1. Egy számsorozat első tagja A sorozat következő tagjait az alábbi szabály szerint képezzük: ha a számsorozat egy tagja 2015-nél kisebb, akkor a számjegyeinek összegét hozzáadjuk a taghoz, és ez az összeg lesz a számsorozat következő tagja, ha a számsorozat egy tagja legalább 2015, akkor a számjegyeinek összegét kivonjuk a tagból, és ez a különbség lesz a számsorozat következő tagja. Mennyi a számsorozat tagja? 2. A 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23 számok közül alkalmasan válassz ki 9 különbözőt, majd helyezd el azokat egy 3 3-as bűvös négyzetbe úgy, hogy minden sorban, minden oszlopban és mindkét átlóban 51 legyen a számok összege! Keress több megoldást! 3. Sári egy 1 dm élű kockára egyforma aranyszínű négyzeteket ragasztott az ábrán látható mintát követve. (A kocka minden lapja azonosan van aranyozva.) Hány cm 2 lett a kocka felszínéből aranyszínű (a képen szürke)? 4. A 2013 olyan évszám, amelyben az első három számjegy összege egyenlő a negyedik számjeggyel. Hány ilyen évszám van a harmadik évezredben? A harmadik évezred év elejétől a év végéig tart.) 5. A táblára egy háromjegyű természetes számot írtunk. Ezután felírtuk az összes többi olyan háromjegyű természetes számot, amelyet az először felírt szám számjegyeinek felcserélésével kaptunk. Ekkor a táblára az eredetivel együtt 4 szám került. A négy szám közül a két legkisebb összege Milyen számjegyekből állt az eredeti szám? 1. Helyettesítsd a betűket számjegyekkel úgy, hogy a mellékelt összeadás helyes legyen! (Az azonos betűk azonos, a különböző betűk különböző számjegyeket jelentenek.) 2. Hány olyan pozitív egész szám van, amelynek egyharmada is és háromszorosa is háromjegyű egész szám? 3. Négy szám összege 91. Ha az első számhoz hozzáadunk 4-et, a második számból kivonunk 4-et, a harmadikat megszorozzuk 4-gyel, akkor minden esetben a negyedik számot kapjuk eredményül. Melyik ez a négy szám? 4. A 3 egység oldalú nagy háromszög 9 darab kis háromszögébe beírtuk az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 és 9 számjegyeket úgy, hogy minden 2 egység oldalú (4 kis háromszögből álló) háromszögben azonos a beírt számok összege. Lehet-e az összeg 20? Lehet-e az összeg 24? 5. Az ábrán látható szabályos hatszög mind a hat oldalát piros vagy zöld színnel színezzük ki úgy, hogy egy oldal színezéséhez egy színt használunk. Hányféleképpen színezhetjük ki a hatszöget, ha a forgatással egymásba vihető eseteket nem tekintjük különbözőnek? 7. osztály

3 1. Egy 17-tel kezdődő számsorozat minden következő tagját úgy kapjuk, hogy az azt megelőző tag számjegyeinek harmadik hatványát összeadjuk. A sorozat második tagja például = 344. Melyik szám lesz a sorozat tagja? 2. Egy kereskedő egy terméket 20%-os árengedménnyel árul, és a beszerzési árhoz képest még így is 20%-os a haszna. Hány %-os volt a haszna az árleszállítás előtt? 3. Egy természetes szám 5-ös és 6-os maradéka 4. Ha a számot 5-tel osztjuk, akkor a hányados 67-tel nagyobb lesz, mint amikor 6-tal osztjuk. Melyik ez a szám? 4. Egy derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága és a derékszög szögfelezője 20 -os szöget zár be. Mekkorák a háromszög hegyesszögei? darab 1 cm 3 térfogatú fakockából építünk egy négyzetes hasábot. Mekkora ennek felszíne? Keresd meg az összes különböző megoldást! 1. Egy családi összejövetelen 33-an voltak jelen, felnőttek (nők és férfiak), valamint gyerekek (lányok és fiúk). A férfiak és a fiúk összesen 15-en voltak. A nők kétszer annyian voltak, mint a fiúk, és 2-vel kevesebben, mint a lányok. Hány nő vett részt az összejövetelen? 2. Hét természetes szám összege Ezek közül háromnak az összege Igazoljuk, hogy a hét szám szorzata osztható 4-gyel! 3. Az ábrának megfelelően 3 egybevágó téglalapot illesztettünk össze. Az így kapott nagy téglalap területe 1350 cm 2. Mennyi a nagy téglalap kerülete? 4. Az ABC háromszög AB oldalán úgy vettük fel az M és N pontot, hogy AN = AC és BM = BC. Tudjuk még, hogy az NCM szög = 43. Hány fokos a BCA szög? 5. Töltsd ki a bűvös négyzet üres mezőit! A bűvös négyzet minden sorában, minden oszlopában és mindkét átlójában lévő 3-3 szám összege egyenlő. 8. osztály 1. Legyen A = 5n + 3, ahol n N. Bizonyítsd be, hogy A nem négyzetszám, akármennyi is az n természetes szám! Határozd meg az n legkisebb értékét, amelyre A osztható 2012-vel! 2. Egy iskolai sakkbajnokságon 32 tanuló vett részt. A verseny egyes szakaszaiban 4 tanuló alkotott egy csoportot, amelyben mindenki mindenkivel játszott. Minden csoportból az első kettő jutott a verseny következő szakaszába. Végül ketten maradtak, és egyikük megnyerte a bajnokságot. Hány játszmát játszottak összesen a bajnokságon? 3. Négy egybevágó téglalapot az ábrán látható módon illesztünk össze. A téglalapok egy külső és egy belső négyzetet határoznak meg. A keletkező belső négyzet kerülete megegyezik az egyik téglalap kerületével. Mennyi a külső négyzet és a belső négyzet területének aránya? 4. Egy derékszögű háromszögben a derékszögű csúcsot az átfogó felezőpontjával összekötő szakasz 20 -os szöget zár be a derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magasságával. Mekkorák a derékszögű háromszög hegyesszögei?

4 5. Két háromjegyű szám összege 999. Ha a két számot egymás mellé írjuk, és tizedesvesszővel elválasztjuk, akkor az egyik esetben (amikor a nagyobb szám van a tizedesvessző előtt) hatszor akkora számot kapunk, mint a másik esetben. Melyik ez a két szám? 1. Töltsd ki az üres négyzeteket úgy, hogy az első és utolsó számot kivéve, minden szám a szomszédos számok számtani közepe legyen! 2. Töltsd ki a bűvös négyzet üres mezőit! A bűvös négyzet minden sorában, minden oszlopában és mindkét átlójában lévő 3-3 szám összege egyenlő. 3. András és Csaba kiválasztott két várost, és külön-külön megtippelték légvonalbeli távolságukat. Ezután a térképen megmérték a távolságot és a méretarány alapján kiszámították a tényleges értéket. Azt tapasztalták, hogy a tényleges érték 10%-kal kisebb, mint András tippje, Csaba tippje pedig 10%-kal kisebb, mint a tényleges érték. Milyen távol van légvonalban a két város egymástól, ha a két tipp eltérése 38 km? Mennyi a fiúk tippje külön-külön? 4. Tekintsük a mellékelt ábrán látható számpiramist! Határozd meg, hogy az 1001 hányszor szerepel! Számítsd ki a középső oszlopban lévő számok összegét! 5. Az ABC egyenlő szárú háromszögben a C csúcsnál lévő szárszög 20 -os. A B csúcshoz tartozó belső szögfelező a szemközti oldalt D pontban metszi. Az A csúcsból a BD egyenesre állított merőleges a szemközti oldalt E pontban metszi. Mekkora a DEA szög? 9. osztály 1. Egy számsorozat első tagja 1, a második tag 2, az összes többi tag pedig az előző két tag szorzatának 5-tel való osztási maradéka. Milyen számjegyre végződik a sorozat első 2014 tagjának szorzata? 2. Az a és b pozitív egész számokat társaknak nevezzük, ha 3a = 4b vagy 4a = 3b. Keresd meg 2012 egy társát! Keresd meg azt a számot, amelynek két társa van és ezek összege Határozd meg azt az abcd négyjegyű természetes számot, amelyre igaz a következő: abcd + abc + ab + a = Az ABC háromszögben a B csúcsnál 60 -os szög van. Az A csúcsból induló magasság és a BC oldal metszéspontja a D pont, a B csúcshoz tartozó belső szögfelező az AD magasságot az M pontban metszi. Milyen hosszú a BM szakasz, ha AD = 3 cm? tálat egy kör mentén helyeztek el, majd valamelyik táltól kezdve az óramutató járásával ellentétes irányban 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 golyót helyeztek el a tálakba. Ez a feladat kiinduló helyzete. Egy lépés abból áll, hogy két szomszédos tálba egy-egy golyót beteszünk, vagy két szomszédos tálból amennyiben egyik sem üres egy-egy golyót kiveszünk. Elérhető-e véges sok lépés során, hogy mindegyik tálban pontosan 2013 golyó legyen? (Megjegyzés: A tálakon kívül tetszőleges sok golyóval rendelkezünk.) 1. Egy varázskönyv oldalszámozása során kihagyták az összes olyan oldalszámot, amiben szerepelnek azonos számjegyek. Az első oldalon az 1-es szám szerepelt, az utolsón pedig a 987. Hány oldalas a varázskönyv?

5 2. 27 darab szabályos dobókockából egy nagy kockát raktunk össze úgy, hogy a nagy kocka felületén látható pöttyök számának összege a lehető legkisebb legyen. Hány pötty látható a nagy kocka felületén? (A szabályos dobókocka szemközti lapjain lévő pöttyök számának összege 7.) 3. Egy 150 sorból és 150 oszlopból álló táblázat sorait és oszlopait növekvő sorrendben megszámoztuk. Az első sorban minden mezőt besatíroztunk, a második sorban minden második mezőt, a harmadik sorban miden harmadik mezőt, és így tovább, a 150-edik sorban a 150-edik mezőt. Melyik oszlopban lesz a legtöbb besatírozott mező? (A mellékelt ábra csak egy részletet illusztrál.) 4. Két darab 12 cm oldalhosszúságú négyzetet úgy helyezünk el, hogy az egyik csúcsa a másik középpontjára illeszkedjen (lásd ábra). Számítsd ki a besatírozott négyszög területét! 5. Egy sakkversenyen mindenki mindenkivel egyszer játszik. Ha a résztvevők csak feleannyian lennének, akkor az eredetileg tervezett játszmáknak csak a 24%-ára kerülne sor. Hány versenyző indult eredetileg a versenyen?