Megyei matematikaverseny évfolyam 2. forduló

Átírás

1 Megyei matematikaverseny évfolyam. forduló. különbözı pozitív egész szám átlaga. Legfeljebb mekkora lehet ezen számok közül a legnagyobb? (A) (B) 8 (C) 9 (D) 78 (E) = (A) 0 (B) 0055 (C) (D) 00 (E) 0. Mennyi az 59 prímosztóinak összege? (A) 70 (B) 80 (C) 90 (D) 00 (E) 0 4. Az ABC derékszögő háromszög derékszögő csúcsa C, az A csúcsnál levı szög 0 -os. A B csúcsból induló belsı szögfelezı az AC oldalt D-ben metszi. Mekkora a CDB szög? (A) 40 (B) 45 (C) 55 (D) 60 (E) Írd be a körökbe az,,, 4, 6, 8, 9 számokat úgy, hogy mindegyik egyenesen az ott álló három szám szorzata ugyanannyi legyen. Melyik szám kerül a befestett körbe? (A) (B) (C) 6 (D) 8 (E) 9 6. Egy háromszög oldalhosszai: 5; ;. Mekkora a háromszög legrövidebb magasságának hossza? 60 0 (A) (B) 5 (C) (D) 4 (E) 7. Artúr király kerekasztalánál hatan ülnek. A szomszédos lovagok haragszanak egymásra, a nem szomszédosak barátságban vannak. A kerekasztal lovagjai közül hányféleképpen lehet kiválasztani lovagot, akik barátságban vannak? (A) (B) (C) 6 (D) 9 (E)

2 8. Ha xy = a, xz = b, yz = c és xyz 0, akkor x + y + z = (A) ab + bc + ca (B) a + b + c (C) ( a + b + c ) (D) ( ab + bc + ca ) (E) ( ) ( ) ab + bc + ( ca ) 9. Az ABCD téglalap P belsı pontjára teljesülnek a következık: PA = 6, PB = 7, PC = 5. Milyen hosszú a PD szakasz? (A) (B) (C) 4 (D) 8 (E) nem határozható meg egyértelmően 0. Az a, b, c oldalú háromszög oldalaira a b c 4 teljesül. Legfeljebb mekkora lehet a háromszög területe? (A),5 (B) (C),5 (D) 4 (E) 4, Legyen x =, x =, x =, x4 =, x5 =, x6 =. x x x x x x x x4 x5 x Mennyi x 6 értéke? (A) (B) 48 (C) 64 (D) 04 (E) Egy téglatest egyik csúcsából induló lapátlóinak hossza 4, 58 és 74. Mekkora a téglatest térfogata? (A) 05 (B) 6 (C) 5 (D) 5 (E) 498

3 Megyei matematikaverseny évfolyam. forduló. Az A szám négyzetszám (egy egész szám négyzete). Ha B is négyzetszám úgy, hogy A<B, valamint A és B között nincs másik négyzetszám, akkor B = (A) + A (B) A+ (C) ( ). Mennyi értéke? A + (D) A + A + (E) A + A (A) 8 (B) 5 (C) 5 + (D) 5 (E) 7. Az cba = 0047szorzásban azonos betők azonos, különbözı betők különbözı számjegyeket jelölnek. Mennyi a + b + c értéke? (A) (B) (C) (D) 4 (E) 5 4. Hány olyan pozitív egészekbıl álló (x; y) rendezett számpár van, amelyre x y = 75? (A) (B) (C) (D) 4 (E) 5 5. Adott két szám, az elsı és a második. A harmadik szám az elsı és a második összege. A negyedik szám a második és a harmadik szám összege, az ötödik a harmadik és a negyedik összege, a hatodik a negyedik és az ötödik szám összege. Ennek a hat számnak az összege 000. Mekkora az ötödik szám? (A) 50 (B) 80 (C) 00 (D) 50 (E) Nem határozható meg egyértelmően. 6. Hány olyan 50-nél kisebb természetes szám van, amely számnak pontosan 4 osztója van? (A) (B) (C) 4 (D) 5 (E) 6 7. Az ( m + ) x + mx + m = 0 egyenletnek az m valós értékő paraméter mely értékeire lesz két különbözı valós gyöke? (A) Bármely m valós számra. (B) Bármely m valós számra. (C) Bármely m 0 valós számra. (D) Bármely m 0 valós számra.

4 8. Hány valós megoldása van a 7 x + x + = 9 egyenletnek? x x (A) 0 (B) (C) (D) 4 9. Az ABC háromszögben AB = 6, BC =, AC = 9. A háromszög beírható körének középpontjára illeszkedı, a BC oldallal párhuzamos egyenes az AB oldalt P-ben, a BC oldalt Q-ban metszi. Mekkora az APQ háromszög kerülete? (A) 8 (B) (C) 5 (D) (E) 9,5 0. Egy konvex hatszög átlói legfeljebb hány különbözı metszéspontot határozhatnak meg a hatszög belsejében? (A) 6 (B) (C) 5 (D) 8 (E) 0. Egy egység oldalú négyzet két szomszédos oldala, mint átmérı fölé befele félköröket rajzolunk. Határozd meg az egyik félkört és a négyzetet belülrıl, a másik félkört kívülrıl érintı kör sugarát. (A) (B) (C) 9 4 (D) (E) 5. Mennyi az ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f ( x) = x 5 + x x x + x + x polinom legkisebb értéke? (A) 8 (B) 0 (C) (D) 4 (E) Elızıek egyike sem helyes.

5 Megyei matematikaverseny 0.. évfolyam. forduló. Ha < 0, x akkor x ( x ) = (A) (B) x (C) + x (D) x. Ha + = x 5, akkor x + = x x (A) 5 (B) 0 (C) 5 (D) 000 (E) 0. Egy osztály létszáma 4. Az osztályban három nyelvet tanulnak: angolt, németet és franciát. Minden tanuló tanul legalább egy nyelvet. Angolul 4-en, németül 5-en, franciául 5-en tanulnak. Pontosan két nyelvet összesen 4 diák tanul. Hányan tanulják mindhárom nyelvet? (A) (B) (C) 4 (D) 5 (E) 6 4. Az,,,, 5 számokból legfeljebb hány számot választhatunk úgy, hogy a kiválasztottak között ne legyen kettı, melyek szorzata négyzetszám? (A) (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7 5. Egy egység oldalhosszú négyzet oldalainak harmadolópontjait az ábra szerint összekötöttük. Mekkora a befestett terület nagysága? (A) 0 (B) (C) 6 (D) 40 (E) Az x + ax + bx + 6 = 0 egyenlet két gyöke és. Mennyi a b értéke? (A) 5 (B) (C) (D) 5 (E)

6 7. A x 7x + = 0 másodfokú egyenlet gyökei x és x. Ekkor x x + xx = 49 (A) 7 (B) 6 4 (C) 9 7 (D) Az 000-nél kisebb páratlan természetes számok szorzata melyik mőveletsorral egyezik meg? 000! 000! 999! 000! 500! (B) (C) (D) (E) ! (A) ( ) 500! 9. Az a, b, c, d egész számokra a b c d a + b = teljesül. Mennyi lehet c + d a b c d értéke? (A) 00 (B) 0 (C) 00 (D) 05 (E) Egy téglalapnak levágtuk az egyik sarkát, és az így kapott ötszög oldalaink hossza (valamilyen sorrendben) 8, 0,, 5, 0. Mekkora az ötszög területe? (A) 5 (B) 50 (C) 70 (D) 75 (E) 80. Egy téglalap csúcsainak koordinátái: ( ;0), ( 6;0), ( 6;4), ( 0;4) 0. Mi annak az egyenesnek az egyenlete, amely párhuzamos az y = x + egyenessel és felezi a téglalap területét? (A) y = x 4 (B) y = x 5 (C) y = x 6 (D) y = x 7 (E) y = x 8. Az a, b, c pozitív számokra log b + log c + log a = 0 Mennyi ( ) ( ) ( ) log a b c. b + log c log a értéke? a b + c (A) (B) 0 (C) (D) (E) 6

7 Megyei matematikaverseny 0.. évfolyam. forduló. Melyik az a legkisebb pozitív egész n, amelyre ( n ) n = 00 0? (A) 00 (B) 0 (C) 0 (D) 40 (E) Nincs ilyen n. o o o o o. Mennyi sin 0 + sin 0 + sin 0 + K + sin 80 + sin 90 értéke? (A) 4 (B) 5 (C) 5,5 (D) 6 (E) 9. A,, 4,, 999 számok közül töröljük a többszöröseit, majd a megmaradtak közül a többszöröseit, ezután az 5, a 7, a, a, a 7, a 9 és a többszöröseit. Mennyi a megmaradt összetett számok összege? (A) 740 (B) 70 (C) 4096 (D) 496 (E) A törlések után nem maradt szám. 4. Az x 5x + 5x = 0 egyenlet egyik gyöke. Mennyi a másik két gyök összege? (A) (B) + (C) (D) 5 5. A 8x8 -as sakktábla fekete mezıire hányféleképp lehet feltenni 8 bástyát úgy, hogy azok ne üssék egymást? (A) 4 (B) 64 (C) 5 (D) 576 (E) Legfeljebb hány nullára végzıdhet a tízes számrendszerben felírt N szám, ha n n n n N = , ahol n tetszıleges pozitív egész szám? (A) (B) (C) (D) 4 (E) 5 7. Az n, n +, n + 4, n + 5, n + 6, n + 8, n + 0, n +, n + 5 számok mediánja 0. Mennyi a számok átlaga? (A) 4 (B) 6 (C) 7 (D) 0 (E)

8 8. Ha xy + x = 5 és y + y = 9, akkor mennyi x y + értéke? (A) 4 (B) (C) (D) (E) 4 9. Egy számtani sorozatban az elsı tíz elem összege 00, az elsı száz elem összege 0. Menynyi az elsı száztíz elem összege? (A) 00 (B) 90 (C) 0 (D) 90 (E) 0 o 0. Az ABC háromszögben AB = 8, AC =, BAC < = 60, és az A csúcsból induló szögfelezı a szemközti oldalt a D pontban metszi. Mekkora a CD szakasz? 7 4 (A) (B) (C) (D) (E). Melyik az egyenlete az x + y = 4x és az x + y = 4y körök közös húrja egyenletének? (A) y = x (B) y = x (C) y = x (D) y = x (E) y =. Mekkora az ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + b c + c d + d e + e f + f a a b kifejezés legkisebb értéke, ha a, b, c, d, e és f különbözı egész számok? (A) 6 (B) 8 (C) 0 (D) 4 (E) 0