9. évfolyam 2. forduló
|
|
- Petra Gáspár
- 4 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 9. évfolyam. forduló. különbözı pozitív egész szám átlaga. Legfeljebb mekkora lehet ezen számok közül a legnagyobb? (A) (B) 8 (C) 9 (D) 78 (E) 44 Válasz: (D) 78 Megoldás: Ha a szám átlaga, akkor összegük 44. A szám összege 44, így közülük az egyik akkor a legnagyobb, ha a többi értéke a lehetı legkisebb, vagyis,,,. Ennek a számnak az összege 66, a tizenkettedik szám (A) 0 (B) 0055 (C) (D) 00 (E) 0 Válasz: (B) 0055 Megoldás: Az a b ( a b)( a + b) azonosságot alkalmazva K Mennyi az 59 prímosztóinak összege? (A) 70 (B) 80 (C) 90 (D) 00 (E) 0 Válasz: (B) 80 Megoldás: ( 40 )( 40 + ) 7 4, továbbá a 7 és 4 számok prímek, így az 59 szám prímosztóinak összege Az ABC derékszögő háromszög derékszögő csúcsa C, az A csúcsnál levı szög 0 -os. A B csúcsból induló belsı szögfelezı az AC oldalt D-ben metszi. Mekkora a CDB szög? (A) 40 (B) 45 (C) 55 (D) 60 (E) 70 Válasz: (C) 55 Megoldás: Az ábráról leolvasható a megoldás.
2 5. Írd be a körökbe az,,, 4, 6, 8, 9 számokat úgy, hogy mindegyik egyenesen az ott álló három szám szorzata ugyanannyi legyen. Melyik szám kerül a befestett körbe? (A) (B) (C) 6 (D) 8 (E) 9 Válasz: (B) Megoldás: A két függıleges egyenesen lévı számok szorzatának négyzetszámnak kell lenni a feltételek alapján. Az adott számok törzstényezıs alakjából megállapítható, hogy a szorzat csak 7 lehet, és a befestett mezıben a -esnek kell állnia. 6. Egy háromszög oldalhosszai: 5; ;. Mekkora a háromszög legrövidebb magasságának hossza? 60 0 (A) (B) 5 (C) (D) 4 (E) 60 Válasz: (A) Megoldás: 5 +, így Pitagorasz-tétele miatt a háromszög derék- 5 m szögő. Jelölje a háromszög területét T. T, tehát a hosszú átfogóhoz tartozó 60 m magasság m, és ez a háromszög legrövidebb magassága. 7. Artúr király kerekasztalánál hatan ülnek. A szomszédos lovagok haragszanak egymásra, a nem szomszédosak barátságban vannak. A kerekasztal lovagjai közül hányféleképpen lehet kiválasztani lovagot, akik barátságban vannak? (A) (B) (C) 6 (D) 9 (E) Válasz: (D) 9 Megoldás: Választhatunk a fehér lovagok közül kettıt, vagy a fekete lovagok közül kettıt. Ha a fehér lovag közül -t kiválasztunk, akkor egy fehér lovagot nem választunk. Ez a fehér lovag - féle lehet. Ugyanígy -féleképp választhatunk két fekete lovagot. Választhatunk még két szemközt ülı lovagot is (ık is barátságban vannak!), ez is -féleképp tehetı meg. A két lovag kiválasztása ++9- féleképp történhet.
3 8. Ha y a, z b, yz c és yz 0, akkor + y + z (A) ab + bc + ca (B) a + b + c (C) ( a + b + c ) (D) ( ab + bc + ca ) (E) ( ) ( ) ab + bc + ( ca ) Válasz: (E) ( ) ( ) ab + bc + ( ca ) Megoldás: + y + z ( y)( z) ab ac bc, és ugyanígy kapjuk, hogy y, z. yz c b a ab c + ac b + bc a ( ab) ( ac) ( bc) ( ab) + ( bc) + ( ca) Az ABCD téglalap P belsı pontjára teljesülnek a következık: PA 6, PB 7, PC 5. Milyen hosszú a PD szakasz? (A) (B) (C) 4 (D) 8 (E) nem határozható meg egyértelmően Válasz: (B) Megoldás: Az ábra jelölései szerint írjunk fel Pitagorasz-tételeket: a + d 6, c + b 5, a + b 7, d + c. Adjuk össze az elsı kettı, illetve az utolsó kettı egyenlıséget: a + b + c + d Innen ( 6 + 5) 49,.
4 0. Az a, b, c oldalú háromszög oldalaira a b c 4 teljesül. Legfeljebb mekkora lehet a háromszög területe? (A),5 (B) (C),5 (D) 4 (E) 4,5 Válasz: (B) a m a b Megoldás: A háromszög területe t. A terület nagysága lehet, ha a, b, és ez a két oldal derékszöget zár be egymással. Ekkor teljesül a c oldalra az elvárt c 4 egyenlıtlenség Legyen,,, 4, 5, Mennyi 6 értéke? (A) (B) 48 (C) 64 (D) 04 (E) 6560 Válasz: (B) Megoldás: Egy téglatest egyik csúcsából induló lapátlóinak hossza 4, 58 és 74. Mekkora a téglatest térfogata? (A) 05 (B) 6 (C) 5 (D) 5 (E) 498 Válasz: (A) 05 Megoldás: A téglatest élei legyenek a, b és c. Ekkor a Pitagorasz-tétel miatt: a + b 4, b + c 58, c + a 74. Ezek összegének fele: a + b + c 8. Ezt az eredményt rendre összehasonlítva az elızı három egyenlettel kapjuk, hogy c 49, a 5, b 9. Tehát: a 5, b, c 7. V
5 0. évfolyam. forduló. Az A szám négyzetszám (egy egész szám négyzete). Ha B is négyzetszám úgy, hogy A<B, valamint A és B között nincs másik négyzetszám, akkor B (A) A + (B) A+ (C) ( A +) (D) A + A + (E) A + A Válasz: (D) A + A Mennyi + értéke? (A) 8 (B) 5 (C) 5 + (D) 5 (E) 7 Válasz: (A) 8 Megoldás: Az Az cba 0047szorzásban azonos betők azonos, különbözı betők különbözı számjegyeket jelölnek. Mennyi a + b + c értéke? (A) (B) (C) (D) 4 (E) 5 Válasz: (A) Megoldás: Az utolsó jegyek szorzata 7-re végzıdik, ez a két számjegy lehet és 7, vagy és 9. Ez utóbbi nem lehet, mert akkor a két háromjegyő szám szorzata nagyobb lenne 00 ezernél. Tehát b 7 7b A középsı számjegyet néhány próbálkozás után megtaláljuk Hány olyan pozitív egészekbıl álló (; y) rendezett számpár van, amelyre y 75? (A) (B) (C) (D) 4 (E) 5 Válasz: (C) Megoldás: Az a b ( a b)( a + b) azonosságot alkalmazva ( y )( + y ) Az ( y, + y) számpárok lehetséges értékei: (, 75 ), ( 5, 55 ), (, 5). Ezért három olyan pozitív egészekbıl álló (; y) rendezett számpár van, amely megoldása az egyenletnek.
6 5. Adott két szám, az elsı és a második. A harmadik szám az elsı és a második összege. A negyedik szám a második és a harmadik szám összege, az ötödik a harmadik és a negyedik összege, a hatodik a negyedik és az ötödik szám összege. Ennek a hat számnak az összege 000. Mekkora az ötödik szám? (A) 50 (B) 80 (C) 00 (D) 50 (E) Nem határozható meg egyértelmően. Válasz: (A) 50 Megoldás: Az elsı szám a, a második b. A harmadik a + b, a negyedik a + b, az ötödik a + b, a hatodik a + 5b. Ennek a hat számnak az összege: 8 a + b. Az ötödik szám ennek a negyede, azaz Hány olyan 50-nél kisebb természetes szám van, amely számnak pontosan 4 osztója van? (A) (B) (C) 4 (D) 5 (E) 6 Válasz: (D) 5 Megoldás: A p q és a p alakú számoknak (p és q különbözı prímek) van 4 osztója. A p q alakú számok: 6, 0, 4,, 6, 4, 8, 46, 5,,, 9, 5. Ez szám. A p alakú számok a 8 és a 7, azaz ilyen szám van. Összesen 5 + ilyen szám van. 7. Az ( m + ) + m + m 0 egyenletnek az m valós értékő paraméter mely értékeire lesz két különbözı valós gyöke? (A) Bármely m valós számra. (B) Bármely m valós számra. (C) Bármely m 0 valós számra. (D) Bármely m 0 valós számra. (E) Elızı válaszok egyike sem helyes. Válasz: (B) Bármely m valós számra. Megoldás: Egy másodfokú egyenletnek akkor van két különbözı valós gyöke, ha a diszkriminánsa pozitív. D ( m) 4( m + )( m ) 4 > 0. Tehát a diszkrimináns mindig pozitív. Azonban van még egy feltétel, amellyel törıdni kell, hogy az egyenlet másodfokú legyen, azaz m + 0. Így egy kikötést kell teljesíteni m-nek: m. 8. Hány valós megoldása van a egyenletnek? (A) 0 (B) (C) (D) 4 (E) Elızı válaszok egyike sem helyes. Válasz: (C) Megoldás: Legyen y +. Ekkor az egyenlet 5 7y ( y ) 9 alakba írható. A y 7 y egyenlet gyökei: y, y. 5 Ha +, akkor,. Ha +, akkor nem találunk megoldást.
7 9. Az ABC háromszögben AB 6, BC, AC 9. A háromszög beírható körének középpontjára illeszkedı, a BC oldallal párhuzamos egyenes az AB oldalt P-ben, a BC oldalt Q-ban metszi. Mekkora az APQ háromszög kerülete? (A) 8 (B) (C) 5 (D) (E) 9,5 Válasz: (C) 5 Megoldás: A beírható kör középpontját a szögfelezık metszik ki. Az ábrán az azonos módon jelölt szögek egyenlık. Ezért a BOP és a COQ háromszögek egyenlı szárúak. K APQ AP + PQ + AQ AP + PO + OQ + AQ AP + PB + QC + AQ AB + AC Egy konve hatszög átlói legfeljebb hány különbözı metszéspontot határozhatnak meg a hatszög belsejében? (A) 6 (B) (C) 5 (D) 8 (E) 0 Válasz: (C) 5 Megoldás: Két átló metszéspontjához rendeljük hozzá a két átló végpontjait, azaz egy konve négyszöget. Ez a hozzárendelés fordítva is mőködik: ha kiválasztjuk a hatszög 4 csúcsát, akkor az általuk meghatározott konve négyszögben az átlók adnak egy metszéspontot. Annyi metszéspontja lehet a konve hatszög átlóinak, amennyi négyszöget tudunk választani a hatszög csúcsaiból. Ha 6 pontból 4-et választunk, akkor pont megmarad. A kimaradó 6 5 pontot 5 -féle módon választhatjuk.
8 . Egy egység oldalú négyzet két szomszédos oldala, mint átmérı fölé befele félköröket rajzolunk. Határozd meg az egyik félkört és a négyzetet belülrıl, a másik félkört kívülrıl érintı kör sugarát. (A) (B) (C) 9 4 (D) (E) 5 Válasz: (C) 9 4 Megoldás: Az ábra szerint kössük össze a körök középpontjait. A vonalkázott derékszögő háromszögek oldalaira írjuk fel a Pitagorasz-tételt. r + ), azaz ( r ( r + r r + ) + ( ) ( ), ebbıl: + 4r +. Elıbbi eredményt felhasználva: + + ( ). A másodfokú egyenlet pozitív gyöke. Ez alapján r Mennyi az ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) 5 polinom legkisebb értéke? (A) 8 (B) 0 (C) (D) 4 (E) Elızıek egyike sem helyes. Válasz: (C) Megoldás: Az f () polinomban a másodfokú tag együtthatója, tehát a függvény képe egy olyan parabola, melynek a szárai felfele mutatnak. Vegyük észre, hogy a függvény szimmetrikus 6-ra: f ( 6 + ) f (6 ). Ezért a függvény a legkisebb értékét az 6 helyen veszi fel. f ( 6) ( + 9 4). Másképp: A négyzetre emeléseket és az összevonásokat elvégezve egy másodfokú polinomot kapunk, amelynek a minimumát rutinfeladat meghatározni.
9 . évfolyam. forduló. Ha < 0, akkor ( ) (A) (B) (C) + (D) (E) Elızı válaszok egyike sem helyes. Válasz: (B) Megoldás: ( ) ( ).. Ha + 5, akkor + (A) 5 (B) 0 (C) 5 (D) 000 (E) 0 Válasz: (E) 0 Megoldás: , + így Egy osztály létszáma 4. Az osztályban három nyelvet tanulnak: angolt, németet és franciát. Minden tanuló tanul legalább egy nyelvet. Angolul 4-en, németül 5-en, franciául 5-en tanulnak. Pontosan két nyelvet összesen 4 diák tanul. Hányan tanulják mindhárom nyelvet? (A) (B) (C) 4 (D) 5 (E) 6 Válasz: (B) Megoldás: Az osztálylétszám: , ahol a mindhárom nyelvet tanulók száma. Az egyenlet megoldása:. 4. Az,,,, 5 számokból legfeljebb hány számot választhatunk úgy, hogy a kiválasztottak között ne legyen kettı, melyek szorzata négyzetszám? (A) (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7 Válasz: (D) 6 Megoldás. 6 szám kiválasztható:,,, 5, 6, 7, 0,,, 4, 5, 7, 9,,,. Ha 7 számot választunk, azok között lesz kettı, melyek szorzata négyzetszám. Tekintsük a következı 6 számhalmazt: {, 4, 9, 6, 5}, {, 8, 8}, {, }, {5, 0}, {6, 4}, {7}, {0}, {}, {}, {4}, {5}, {7}, {9}, {}, {}, {}. Ha 7 számot választunk, akkor valamelyik számhalmazból kiválasztunk kettıt, és ennek a kettınek a szorzata négyzetszám.
10 5. Egy egység oldalhosszú négyzet oldalainak harmadolópontjait az ábra szerint összekötöttük. Mekkora a befestett terület nagysága? (A) 0 (B) (C) 6 (D) 40 (E) 48 Válasz: (B) Megoldás: Kössük össze a szemközti harmadolópontokat. Így a négyzetet 9 egybevágó kis négyzetre daraboltuk. A festett terület egy egész kis négyzet, és még négy olyan háromszög, melyekbıl összerakható egy második kis négyzet. Tehát a festett terület a négyzet területének /9-ed része, azaz Az + a + b egyenlet két gyöke és. Mennyi a b értéke? (A) 5 (B) (C) (D) 5 (E) Válasz: (A) 5 Megoldás: Helyettesítsük az + a + b egyenletbe a és a számokat a + b + 6 0, 7 + 9a + b Az elsı egyenlıség kétszeresébıl vonjuk ki a második egyenlıséget: a + b + 6 0, azaz b a A másodfokú egyenlet gyökei és. Ekkor (A) (B) (C) (E) Elızı válaszok egyike sem helyes. 4 Válasz: (C) 7 Megoldás: + ( + ) ( + ) ) (D)
11 8. Az 000-nél kisebb páratlan természetes számok szorzata melyik mőveletsorral egyezik meg? 000! 000! 999! 000! 500! (B) (C) (D) (E) ! (A) ( ) 500! 000! Válasz: (D) ! Megoldás: K K K ! 000! K ! Az a, b, c, d egész számokra a b c d a + b teljesül. Mennyi lehet c + d a b c d értéke? (A) 00 (B) 0 (C) 00 (D) 05 (E) 00 Válasz: (D) 05 Megoldás: Átrendezés után ad bc, ezért a b c d értéke négyzetszám, és az öt szám között csak egy négyzetszám van, a 05. Ha a, b 5, c 9, d 5, akkor a feltétel teljesül, és a szorzat Egy téglalapnak levágtuk az egyik sarkát, és az így kapott ötszög oldalaink hossza (valamilyen sorrendben) 8, 0,, 5, 0. Mekkora az ötszög területe? (A) 5 (B) 50 (C) 70 (D) 75 (E) 80 Válasz: (C) 70 Megoldás: A téglalap egyik oldala 0 egység. A levágott derékszögő háromszög oldalai egész számok, az egyik befogó (0-) hossza 5, 7, 0 vagy ; a másik befogó 8, 0, vagy 5. Az átfogó vagy 5. Két egész oldalú derékszögő háromszög van ilyen átfogóval: {5,, } és {9,, 5}. Utóbbit a lehetséges oldalhosszakból nem tudjuk összerakni. Marad az 5,, oldalú háromszög. A téglalap oldalai 0 és 5, az ötszög területe: Egy téglalap csúcsainak koordinátái: ( ;0), ( 6;0), ( 6;4), ( 0;4) 0. Mi annak az egyenesnek az egyenlete, amely párhuzamos az y + egyenessel és felezi a téglalap területét? (A) y 4 (B) y 5 (C) y 6 (D) y 7 (E) y 8 Válasz: (D) y 7 Megoldás: A téglalap területét felezı egyenesek átmennek a téglalap középpontján, a ( ;) ponton. Az y + egyenessel párhuzamos és a középponton átmenı egyenes egyenlete: y 7.
12 . Az a, b, c pozitív számokra log b + log c + log a 0 Mennyi ( ) ( ) ( ) log a b c. b + log c log a értéke? a b + c (A) (B) 0 (C) (D) (E) 6 Válasz: (D) Megoldás. log a b, y log b c, ekkor log c a ( + y). Ki kell számolnunk + y ( + y ) értékét. + y ( + y) y( + y) Mivel ( + ) log log log, y y a b b c c a így a válasz..
13 . évfolyam. forduló. Melyik az a legkisebb pozitív egész n, amelyre ( n ) n 00 0? (A) 00 (B) 0 (C) 0 (D) 40 (E) Nincs ilyen n. Válasz: (A) ( n ) n Megoldás: n n ( n + ) n n + 00, 0 n 00.. Mennyi sin 0 o o o o o + sin 0 + sin 0 + K + sin 80 + sin 90 értéke? (A) 4 (B) 5 (C) 5,5 (D) 6 (E) 9 Válasz: (B) 5 o o o o Megoldás: sin 0 + sin 80 sin 0 + cos 0 o o, és hasonlóan sin 0 + sin 70, sin 0 o + sin 60 o, sin 40 o + sin 50 o, és sin o 90, így az összeg értéke 5.. A,, 4,, 999 számok közül töröljük a többszöröseit, majd a megmaradtak közül a többszöröseit, ezután az 5, a 7, a, a, a 7, a 9 és a többszöröseit. Mennyi a megmaradt összetett számok összege? (A) 740 (B) 70 (C) 4096 (D) 496 (E) A törlések után nem maradt szám. Válasz: (B) 70 Megoldás: A megmaradó számoknak 9-nél kisebb prímosztója nem lehet. Ezért a megmaradó számok: , 96, Ezek összege Az egyenlet egyik gyöke. Mennyi a másik két gyök összege? (A) (B) + (C) (D) 5 (E) Elızı válaszok egyike sem helyes. Válasz: (B) + Megoldás: A gyökök és együtthatók közti összefüggés alapján a gyökök összege 5. Tehát + + 5, + ( ) A 8 8 -as sakktábla fekete mezıire hányféleképp lehet feltenni 8 bástyát úgy, hogy azok ne üssék egymást?
14 (A) 4 (B) 64 (C) 5 (D) 576 (E) 70 Válasz: (D) 576 Megoldás: A tábla szürkére festett 4 4 mezıjére 4 bástya 4! 4 -féleképp helyezhetı úgy, hogy ne üssék egymást. A tábla feketére festett 4 4 mezıjére 4 bástya ugyancsak 4! 4 -féleképp helyezhetı úgy, hogy ne üssék egymást. A 8 bástya a kívánt feltételek szerint féle módon helyezhetı el. 6. Legfeljebb hány nullára végzıdhet a tízes számrendszerben felírt N szám, ha n n n n N , ahol n tetszıleges pozitív egész szám? (A) (B) (C) (D) 4 (E) 5 Válasz: (B) Megoldás: Ha n, akkor N 0 ; ha n, akkor N 0 ; ha n, akkor N 00. Tehát N értéke nullára végzıdhet. nullára nem végzıdhet, mert N nem osztható 8-cal. 7. Az n, n +, n + 4, n + 5, n + 6, n + 8, n + 0, n +, n + 5 számok mediánja 0. Mennyi a számok átlaga? (A) 4 (B) 6 (C) 7 (D) 0 (E) Válasz: (E) Megoldás: A kilenc szám közül a listán a középsı n + 6, ennek értéke 0, így n 4. A számok összege 9 n A kilenc szám átlaga 99 / Ha y + 5 és y + y 9, akkor mennyi y + értéke? (A) 4 (B) (C) (D) (E) 4 Válasz: (A) 4 5 Megoldás. Az elsı egyenletbıl: y 0 y +. Az eddigi két eredmény alapján y + +. A második egyenletbıl: ( +) 0 5 y + 0, tehát y y y +., tehát 9. Egy számtani sorozatban az elsı tíz elem összege 00, az elsı száz elem összege 0. Menynyi az elsı száztíz elem összege?
15 (A) 00 (B) 90 (C) 0 (D) 90 (E) 0 Válasz: (E) 0 Megoldás: 0 (a + 9d) 00, 00 (a + 99d) 0. Ezek különbsége 90 (a + 09d) 80. Tehát a + 09d, ezért S 0 (a + 09d) 0, S o 0. Az ABC háromszögben AB 8, AC, BAC < 60, és az A csúcsból induló szögfelezı a szemközti oldalt a D pontban metszi. Mekkora a CD szakasz? 7 4 (A) (B) (C) (D) (E) Válasz: (D) Megoldás: A koszinusz-tétellel számolva BC 7. A szögfelezı-tétel miatt CD BC 7. CD DB, így 8. Melyik az egyenlete az + y 4 és az + y 4y körök közös húrja egyenletének? (A) y (B) y (C) y (D) y (E) y Válasz: (B) y Megoldás: A két egyenletben a bal oldalak megegyeznek, ezért a jobb oldalak is egyenlık. y, ezért 4, így 0, vagy. A két kör metszéspontjai: ( 0 ; 0) és ( ; ). A közös húr ezt a két pontot köti össze, ennek egyenlete: y.. Mekkora az ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b c c d d e e f f a a b kifejezés legkisebb értéke, ha a, b, c, d, e és f különbözı egész számok?
16 (A) 6 (B) 8 (C) 0 (D) 4 (E) 0 Válasz: (B) 8 Megoldás. A hat különbözı egész szám közül a legnagyobb és a legkisebb különbsége legalább 5. Ezért az a b, b c, c d, d e, e f, f a különbségek közül néhány egymás utáninak az összege is legalább 5, és a többi különbség összege is legalább 5. Továbbá az abszolút értékek összege páros szám. Ha van olyan különbség, amely legalább 5, akkor a négyzetösszeg 5-nél nagyobb. (Ha a hat szám,,, 4, 5, 6, akkor a négyzetösszeg: ) Nézzük az abszolút értékek néhány lehetséges sorozatát. Ha van közöttük és, akkor a többi legalább,,, lenne, ám az abszolút értékek öszszege páros, tehát ez a négy különbség legalább,,,. Ekkor a négyzetösszeg legalább 0. Ha a különbségek 4 és, ekkor a többi tekintettel a párosságra is legalább,,,. Ezek négyzetösszege 4. Ha négy egymás utáni különbség,,,, akkor a maradék két különbség is legalább 5, jobb esetben ezek és. Ekkor a négyzetösszeg 0. A,, különbségekhez a,, társul. Itt a négyzetösszeg 8. Legyen a hat szám 0,,, 5, 4,. A négyzetösszeg: n K. Megjegyzés. Általános esetben ( a a ) + ( a a ) + ( a a ) + + ( a a ) 4n 6 A feladat más utakon is megoldható.
Megyei matematikaverseny évfolyam 2. forduló
Megyei matematikaverseny 0. 9. évfolyam. forduló. különbözı pozitív egész szám átlaga. Legfeljebb mekkora lehet ezen számok közül a legnagyobb? (A) (B) 8 (C) 9 (D) 78 (E) 44. 00 009 + 008 007 +... + 4
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd
RészletesebbenAz Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív
Részletesebben3. feladat Hány olyan nél kisebb pozitív egész szám van, amelyben a számjegyek összege 2?
Varga Tamás Matematikaverseny iskolai forduló 2010. 1. feladat A tengeren léket kapott egy hajó, de ezt csak egy óra múlva vették észre. Ekkorra már 3 m 3 víz befolyt a hajóba. Rögtön mőködésbe hoztak
RészletesebbenMegyei matematikaverseny évfolyam 2. forduló
Megyei matematikaverseny 0. 9. évfolyam. forduló. Mennyi a tizenkilencedik prím és a tizenkilencedik összetett szám szorzata? (A) 00 (B) 0 (C) 0 (D) 04 (E) Az előző válaszok egyike sem helyes.. Az 000
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév 2. forduló haladók II. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév 2. forduló haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a b pozitív egészek és tudjuk hogy a 2
RészletesebbenGyakorló feladatok 9.évf. halmaznak, írd fel az öt elemű részhalmazokat!. Add meg a következő halmazokat és ábrázold Venn-diagrammal:
Gyakorló feladatok 9.évf.. Mennyi az összes részhalmaza az A a c; d; e; f halmaznak, írd fel az öt elemű részhalmazokat!. Legyen U ;;;;;6;7;8;9, A ;;6;7; és B ;;8. Add meg a következő halmazokat és ábrázold
RészletesebbenMegoldások 9. osztály
XXV. Nemzetközi Magyar Matematikaverseny Budapest, 2016. március 1115. Megoldások 9. osztály 1. feladat Nevezzünk egy számot prímösszeg nek, ha a tízes számrendszerben felírt szám számjegyeinek összege
Részletesebben3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1
Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az
RészletesebbenA TERMÉSZETES SZÁMOK
Boronkay György Műszaki Középiskola és Gimnázium 2600 Vác, Németh László u. 4-6. : 27-317 - 077 /fax: 27-315 - 093 WEB: http://boronkay.vac.hu e-mail: boronkay@vac.hu Levelező Matematika Szakkör 2018/2019.
RészletesebbenI. A gyökvonás. cd c) 6 d) 2 xx. 2 c) Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam. Kedves 10. osztályos diákok!
Kedves 10. osztályos diákok! Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam Közeleg a szakaszvizsga időpontja, amelyre 019. április 1-én kerül sor. A könnyebb felkészülés érdekében adjuk közre ezt a feladatsort,
RészletesebbenA 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató
Oktatási Hivatal A 0/04 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi erseny második forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 57 olyan háromjegyű szám, amelynek számjegyei
Részletesebben352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm
5 Nevezetes egyenlôtlenségek a b 775 Legyenek a befogók: a, b Ekkor 9 + $ ab A maimális ab terület 0, 5cm, az átfogó hossza 8 cm a b a b 776 + # +, azaz a + b $ 88, tehát a keresett minimális érték: 88
RészletesebbenBartha Gábor feladatjavaslatai az Arany Dániel Matematika Versenyre
Bartha Gábor feladatjavaslatai az Arany Dániel Matematika Versenyre Kérem, hogy a megoldásokat elektronikus (lehetőleg doc vagy docx) formában is küldjétek el a következő e- mail címre: balgaati@gmail.com
RészletesebbenXVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny
9. osztály 1. feladat: Oldjuk meg a természetes számok halmazán az 1 1 1 egyenletet? x y 009 Kántor Sándor (Debrecen). feladat: B Az ABCD deltoidban az A és C csúcsnál derékszög van, és a BD átló 1 cm.
RészletesebbenOktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont
Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú
Részletesebben4 = 0 egyenlet csak. 4 = 0 egyenletből behelyettesítés és egyszerűsítés után. adódik, ennek az egyenletnek két valós megoldása van, mégpedig
Oktatási Hivatal Az forduló feladatainak megoldása (Szakközépiskola) Melyek azok az m Z számok, amelyekre az ( m ) x mx = 0 egyenletnek legfeljebb egy, az m x + 3mx 4 = 0 egyenletnek legalább egy valós
RészletesebbenLehet hogy igaz, de nem biztos. Biztosan igaz. Lehetetlen. A paralelogrammának van szimmetria-középpontja. b) A trapéznak két szimmetriatengelye van.
Geometria, sokszögek, szögek, -, 2004_01/5 Lili rajzolt néhány síkidomot: egy háromszöget, egy deltoidot, egy paralelogrammát és egy trapézt. A következő állítások ezekre vonatkoznak. Tegyél * jelet a
RészletesebbenGyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van!
1. Melyik a nagyobb? a) 6 5 vagy 5 7 b) vagy 11 10 vagy Gyökvonás 5 11 vagy 6 8 55 e) 7 vagy 60 16 1. Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket! a) 7 18 b) 1 5 75 8 160 810 650 8a 5 a 7a e) 15a
RészletesebbenEmelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész
Pataki János, november Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november I rész feladat Oldja meg az alábbi egyenleteket: a) log 7 log log log 7 ; b) ( )
Részletesebben, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD
Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van
Részletesebben2004_02/10 Egy derékszögű trapéz alapjainak hossza a, illetve 2a. A rövidebb szára szintén a, a hosszabb b hosszúságú.
Geometria háromszögek, négyszögek 2004_01/10 Az ABC háromszög C csúcsánál derékszög van. A derékszöget a CT és CD szakaszok három egyenlő részre osztják. A CT szakasz a háromszög egyik magassága is egyben.
RészletesebbenÉrettségi feladatok: Síkgeometria 1/6
Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra
RészletesebbenELLENİRIZD, HOGY A MEGFELELİ ÉVFOLYAMÚ FELADATSORT KAPTAD-E!
Varga Tamás Matematikaverseny iskolai forduló 2010. 1. feladat Kata egy dobozban tárolja 20 darab dobókockáját. Mindegyik kocka egyszínő, piros, fehér, zöld vagy fekete. 17 kocka nem zöld, 12 nem fehér,
RészletesebbenFeladatok MATEMATIKÁBÓL II.
Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára II. 1. Alakítsuk át a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetek jelenjenek meg: a) x 2 2x + b) x 2 6x + 10 c) x 2 + x + 1 d) x 2 12x + 11 e) 2x 2
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2009/2010-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 009/00-es tanév első (iskolai) forduló haladók II.
RészletesebbenGyakorló feladatok a geometria témazáró dolgozathoz
Gyakorló feladatok a geometria témazáró dolgozathoz Elmélet 1. Mit értünk két pont, egy pont és egy egyenes, egy pont és egy sík, két metszı, két párhuzamos illetve két kitérı egyenes, egy egyenes és egy
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Oktatásért Közalapítvány támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Határozzuk
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,
RészletesebbenSíkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik
Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4
RészletesebbenFeladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András
Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon
Részletesebben1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500
1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 2. Mit nevezünk ellentett számok-nak? Ábrázold számegyenesen a következő számokat
RészletesebbenGyakorló feladatok. 2. Matematikai indukcióval bizonyítsuk be, hogy n N : 5 2 4n n (n + 1) 2 n (n + 1) (2n + 1) 6
Gyakorló feladatok 1. Ismertesd a matematikai indukció logikai sémáját, magyarázzuk meg a bizonyítás lényegét. Bizonyítsuk be, hogy minden n természetes számra 1 + 3 + + (n 1) = n.. Matematikai indukcióval
Részletesebben11. osztály. 1. Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! (10 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: 2 ( + yz + zx) = 22.
osztály Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! y + yz = 8 yz + z = 9 z + y = 5 (0 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: ( + yz + z) = Ebből kivonva az egyenleteket: y =, yz = 6, z
RészletesebbenRacionális számok: Azok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként ( p q
Szóbeli tételek matematikából 1. tétel 1/a Számhalmazok definíciója, jele (természetes számok, egész számok, racionális számok, valós számok) Természetes számok: A pozitív egész számok és a 0. Jele: N
RészletesebbenLáthatjuk, hogy az els szám a 19, amelyre pontosan 4 állítás teljesül, tehát ez lesz a legnagyobb. 1/5
D1. Egy pozitív egész számról az alábbi 7 állítást tették: I. A szám kisebb, mint 23. II. A szám kisebb, mint 25. III. A szám kisebb, mint 27. IV. A szám kisebb, mint 29. V. A szám páros. VI. A szám hárommal
RészletesebbenA 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató
Oktatási Hivatal 04/0 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MTEMTIK I KTEGÓRI (SZKKÖZÉPISKOL) Javítási-értékelési útmutató Határozza meg a tízes számrendszerbeli x = abba és y =
RészletesebbenVI. Vályi Gyula Emlékverseny november
VI. Vályi Gyula Emlékverseny 1999. november 19-1. VI. osztály 1. Ki a legidősebb, ha Attila 10 000 órás, Balázs 8 000 napos, Csanád 16 éves, Dániel 8000000 perces, Ede 00 hónapos. (A) Attila (B) Balázs
RészletesebbenAz Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin
RészletesebbenKoordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok )
Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok./ Határozd meg az AB szakasznak azt a pontját, amely a szakaszt : ha A ( ; és a B ( ; 8!./ Adott az A ( 3 ; 5 és a ( ; 6 B pont. Számítsd ki az AB vektor
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenFeladatok MATEMATIKÁBÓL II.
Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára II. 1. Alakítsuk át a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetek jelenjenek meg: a) x 2 2x + b) x 2 6x + 10 c) x 2 + x + 1 d) x 2 12x + 11 e) 2x 2
Részletesebben+ 3 5 2 3 : 1 4 : 1 1 A ) B ) C ) D ) 93
. Mennyi az alábbi művelet eredménye? 4 + 4 : 5 : 5 + 8 07 9 A ) B ) C ) D ) E ) 9 9 9 9 9. Egy digitális órát (amely 4 órás üzemmódban működik) pontosan beállítottunk. Kiderült azonban, hogy egy nap átlagosan
Részletesebben1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)
1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)
RészletesebbenHASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK. 5 cm 3 cm. 2,4 cm
HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK Egyszerű, hasonlósággal kapcsolatos feladatok 1. Határozd meg az x, y és z szakaszok hosszát! y cm cm z x 2, cm 2. Határozd meg az x, y, z és u szakaszok hosszát! x
RészletesebbenHasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)
Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba
Részletesebben(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét.
Euklidész tételei megoldások c = c a + c b a = c c a b = c c b m c = c a c b 1. Számítsuk ki az derékszögű ABC háromszög hiányzó oldalainak nagyságát, ha adottak: (a) c a = 1,8; c b =, (b) c = 10; c a
RészletesebbenA lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer)
A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) Ezt a módszert akkor alkalmazzuk, amikor könnyebb bizonyítani egy állítás ellentettjét, mintsem az állítást direktben. Ez a módszer
RészletesebbenA III. forduló megoldásai
A III. forduló megoldásai 1. Egy dobozban pénzérmék és golyók vannak, amelyek vagy ezüstből, vagy aranyból készültek. A dobozban lévő tárgyak 20%-a golyó, a pénzérmék 40%-a ezüst. A dobozban levő tárgyak
RészletesebbenI. A négyzetgyökvonás
Definíció: Négyzetgyök a ( a : a a 0 I. A négyzetgyökvonás a ) jelenti azt a nem negatív számot, amelynek a négyzete a. a 0 b : b b R A négyzetgyök-függvény értéke is csak nem negatív lehet. Ha a b-t abszolút
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (emelt szint)
Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik
RészletesebbenFüggvény fogalma, jelölések 15
DOLGO[Z]ZATOK 9.. 1. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) Az egész számokhoz hozzárendeljük
Részletesebben1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500
1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 2. Mit nevezünk ellentett számok-nak? Ábrázold számegyenesen a következő számokat
RészletesebbenA 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA ( SZAKKÖZÉPISKOLA ) Javítási-értékelési útmutató
OktatásiHivatal A 014/01. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA ( SZAKKÖZÉPISKOLA ) Javítási-értékelési útmutató 1. feladat: Adja meg az összes olyan (x,
RészletesebbenMegoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a és b befogójú derékszögű háromszögnek
RészletesebbenKoordináta - geometria I.
Koordináta - geometria I A koordináta geometria témaköre geometriai problémákat old meg algebrai módszerekkel úgy, hogy a geometriai fogalmaknak algebrai fogalmakat feleltet meg: a pontokat, vektorokat
RészletesebbenMagasabbfokú egyenletek
86 Magasabbfokú egyenletek Magasabbfokú egyenletek 5 90 a) =! ; b) =! ; c) = 5, 9 a) Legyen = y Új egyenletünk: y - 5y+ = 0 Ennek gyökei: y=, y= Tehát egyenletünk gyökei:, =!,, =! b) Új egyenletünk: y
RészletesebbenBács-Kiskun Megyei Matematikaverseny 2012/2013 Az 1. forduló feladatainak megoldása
Bács-Kiskun Megyei Matematikaverseny 01/01 Az 1. forduló feladatainak megoldása 9. évfolyam 1. Egy csokoládégyárban két gépsoron 01. november 5-én kezdték el gyártani a 85 gramm tömegő csoki mikulásokat.
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (középszint)
Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy
RészletesebbenEgyenes mert nincs se kezdő se végpontja
Szakasz mert van két végpontja Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Tört vonal Szög mert van két szára és csúcsa Félegyenes mert van egy kezdőpontja 5 1 1 Két egyenes egymásra merőleges ha egymással
RészletesebbenSzélsőérték problémák elemi megoldása II. rész Geometriai szélsőértékek Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely
Szélsőérték problémák elemi megoldása II. rész Geometriai szélsőértékek Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely Ebben a részben geometriai problémák szélsőértékeinek a megállapításával foglalkozunk, a síkgeometriai
RészletesebbenMATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!
MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok
RészletesebbenMásodfokú egyenletek Gyakorló feladatok. Készítette: Porkoláb Tamás. Milyen p valós paraméter esetén lesz az alábbi másodfokú egyenlet egyik gyöke 5?
Másodfokú egyenletek Gyakorló feladatok Készítette: Porkoláb Tamás Gyökök Milyen p valós paraméter esetén lesz az alábbi másodfokú egyenlet egyik gyöke? 3 ( p ) = Milyen p paraméter esetén lesz a következı
RészletesebbenMásodfokú egyenletek. 2. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő,a valós számok halmazán értelmezett függvényeket!
Másodfokú egyenletek 1. Alakítsuk teljes négyzetté a következő kifejezéseket! a.) - 4 + 4 b.) - 6 + 8 c.) + 8 - d.) - 4 + 9 e.) - + 8 - f.) - - 4 + 3 g.) + 8-5 h.) - 4 + 3 i.) -3 + 6 + 1. Ábrázoljuk és
Részletesebben10. Koordinátageometria
I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember
RészletesebbenBolyai János Matematikai Társulat. 1. Az a és b valós számra a 2 + b 2 = 1 teljesül, ahol ab 0. Határozzuk meg az. szorzat minimumát. Megoldás.
Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási Minisztérium Alapkezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 005/00-os tanév első iskolai) forduló haladók II. kategória nem speciális
Részletesebbenegyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0.
Magyar Ifjúság. X. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK A trigonometrikus egyenletrendszerek megoldása során kísérletezhetünk új változók bevezetésével, azonosságok alkalmazásával, helyettesítő módszerrel vagy más,
Részletesebbenb. Ha R16-os felnit és 55-ös oldalfalmagasságot választunk, akkor legfeljebb mennyi lehet a gumi szélessége? (10 pont) MEGOLDÁS:
1. Az autógyártók előírnak az autó felnijéhez egy gumiméretet, amihez ragaszkodni kellene. De sokan szeretik a nagyobb felnit, vagy a szélesebb gumiabroncsot. Az autógumik méretét három számmal szokták
RészletesebbenOSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.
Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :
RészletesebbenFeladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója?
Feladatok 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy négyzet
Részletesebben8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész
Kisérettségi feladatsorok matematikából I. rész. Egy deltoid két szomszédos szöge 7 és 0. Mekkora lehet a hiányzó két szög? pont. Hozza egyszerűbb alakra a kifejezést, majd számolja ki az értékét, ha a=
Részletesebben43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ 1. forduló NYOLCADIK OSZTÁLY- MEGOLDÁSVÁZLATOK
43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ 1. forduló NYOLCADIK OSZTÁLY- MEGOLDÁSVÁZLATOK 1. A 2014-et felírtuk három természetes szám összegeként úgy, hogy ha az első számot elosztjuk
RészletesebbenA kör. A kör egyenlete
A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - y + b) x + y - 6x - 6y + c) x +
RészletesebbenXXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február II. forduló osztály
. feladat: Szupercsiga egy függőleges falon mászik felfelé. Első nap 4 cm-t tesz meg, éjszaka cm-t visszacsúszik. Második napon 9 cm-t tesz meg, éjszaka 4 cm-t csúszik vissza, harmadik napon 6 cm-t mászik,
RészletesebbenSzámelmélet Megoldások
Számelmélet Megoldások 1) Egy számtani sorozat második tagja 17, harmadik tagja 1. a) Mekkora az első 150 tag összege? (5 pont) Kiszámoltuk ebben a sorozatban az első 111 tag összegét: 5 863. b) Igaz-e,
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenA 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM)
A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) Javítási értékelési útmutató 1. Melyek azok a pozitív p és q prímek, amelyekre a számok mindegyike
RészletesebbenAz Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Két iskola tanulói műveltségi vetélkedőn vettek részt. A 100
RészletesebbenNULLADIK MATEMATIKA szeptember 13.
A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 0. szeptember. Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható nálható. Válaszait csak az üres mezőkbe írja! A javítók
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 8. EMELT SZINT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. május 8. EMELT SZINT 1) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! x x 4 log 9 10 sin x x 6 I. (11 pont) sin 1 lg1 0 log 9 9 x x 4 Így az 10 10 egyenletet kell megoldani,
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria 1) Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra
RészletesebbenHraskó András: FPI tehetséggondozó szakkör 11. évf
FPI tehetséggondozó szakkör 11. évf. I. foglalkozás, 2012. szeptember 18. I.1. Bejárható-e egy 5 5-ös sakktábla lóval, a) ha nem kell ugyanott befejeznünk, ahonnan indultunk? b) ha ugyanott kell befejeznünk,
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II.
Vektorok II. DEFINÍCIÓ: (Vektorok hajlásszöge) Két vektor hajlásszögének azt a φ (0 φ 180 ) szöget nevezzük, amelyet a vektorok egy közös pontból felmért reprezentánsai által meghatározott félegyenesek
RészletesebbenAz 1. forduló feladatainak megoldása
Az 1. forduló feladatainak megoldása 1. Bizonyítsa be, hogy a kocka éléből, lapátlójából és testátlójából háromszög szerkeszthető, és ennek a háromszögnek van két egymásra merőleges súlyvonala! Megoldás:
Részletesebben1. Feladatsor. I. rész
. feladatsor. Feladatsor I. rész. Mely x valós számokra lesz ebben a sorrendben a cos x, a sinx és a tg x egy mértani sorozat három egymást követő tagja?... (). Egy rombusz egyik átlója 0 cm, beírható
RészletesebbenHasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika
Hasonlóság kísérleti feladatgyűjtemény 10. osztályos matematika POKG 2015. Hasonló háromszögek oldalaránya 0. Keressük meg az alábbi háromszögek összetartozó oldalpárjait és arányossággal számítsuk ki
RészletesebbenAz egyszerűsítés utáni alak:
1. gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6. 2 b 36 b 6 Az egyszerűsítés utáni alak: 2. A 2, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával elkészítjük az összes, különböző számjegyekből álló háromjegyű
RészletesebbenOrszágos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor
Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket
Részletesebben2015. évi Bolyai János Megyei Matematikaverseny MEGOLDÁSI ÉS ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ 11. évfolyam
015. évi Bolyai János Megyei Matematikaverseny A közölt megoldási utak a feladatoknak nem az egyetlen helyes megoldási módját adják meg, több eltérő megoldás is lehetséges. Az útmutatótól eltérő megoldásokat
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2008/2009-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 00/009-es tanév első (iskolai) forduló haladók II.
RészletesebbenAdd meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!
1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok
RészletesebbenFüggvények Megoldások
Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény
Részletesebben} számtani sorozat első tagja és differenciája is 4. Adja meg a sorozat 26. tagját! A = { } 1 pont. B = { } 1 pont. x =
. Az { a n } számtani sorozat első tagja és differenciája is 4. Adja meg a sorozat 26. tagját! a = 26 2. Az A és B halmazokról tudjuk, hogy A B = {;2;3;4;5;6}, A \ B = {;4} és A B = {2;5}. Sorolja fel
RészletesebbenXX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny
XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny Bonyhád, 011. március 11 15. 10. osztály 1. feladat: Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b és c. Bizonyítsuk be, hogy 3 (a+b+c) ab+bc+ca 4 Mikor állhat
RészletesebbenPitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2
1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Pitagorasz-tétel A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy
Részletesebben13. Trigonometria II.
Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája
Részletesebben1. Tekintsük a következő két halmazt: G = {1; 2; 3; 4; 6; 12} és H = {1; 2; 4; 8; 16}. Elemeik felsorolásával adja meg a G H és a H \ G halmazokat!
1. Tekintsük a következő két halmazt: G = {1; 2; 3; 4; 6; 12} és H = {1; 2; 4; 8; 16}. Elemeik felsorolásával adja meg a G H és a H \ G halmazokat! G H = H \ G = 2. Ha 1 kg szalámi ára 2800 Ft, akkor hány
RészletesebbenNULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI
NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 08-09-07 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! A feladatlap kizárólag kék vagy fekete tollal tölthető ki.
Részletesebben