Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)"

Átírás

1 Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba viszi. Jelölés: A ~ B. Megjegyzés: Minden alakzat hasonló önmagához: A ~ A (reflexív). Ha A ~ B, akkor B ~ A (szimmetrikus). Ha A ~ B és B ~ C, akkor A ~ C (tranzitív). Hasonló alakzatok megfelelő oldalaik hosszának aránya egyenlő, s ez a hasonlóság aránya. Hasonló alakzatok megfelelő szögeinek nagysága egyenlő. Bármely két kör hasonló egymással. TÉTEL: (Háromszögek hasonlóságának alapesetei) Két háromszög akkor és csak akkor hasonló, ha a következő feltételek egyike teljesül: megfelelő oldalaik hosszának aránya páronként egyenlő 2 2 oldalhosszuk aránya egyenlő és az ezek által közbezárt szögek nagysága egyenlő 2 2 szögük páronként egyenlő nagyságúak 2 2 oldalhosszuk aránya egyenlő és e 2 2 oldal közül a nagyobbikkal szemközt levő szögek nagysága egyenlő Megjegyzés: Ha 2 háromszögre a fenti 4 feltétel közül bármelyik teljesül, akkor van olyan hasonlósági transzformáció, amelyik az egyik háromszöget a másikba viszi. TÉTEL: Két sokszög akkor és csak akkor hasonló, ha megfelelő oldalhosszaik aránya páronként egyenlő és megfelelő szögeik páronként egyenlő nagyságúak. Megjegyzés: Csak az egyik, illetve csak a másik tulajdonság nem elegendő a hasonlósághoz. 1

2 TÉTEL: A háromszög bármely két súlyvonala úgy metszi egymást, hogy a metszéspont mindkét súlyvonalat 1 2 arányban osztja két részre, a nagyobb rész másik végpontja a háromszög csúcsa. Megjegyzés: A súlypont a súlyvonalnak a háromszög csúcsától távolabbi harmadoló pontja. TÉTEL (Magasság tétel): Derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magasságának hossza mértani közepe azon két szakasz hosszának, amelyekre a magasság az átfogót osztja. Jelölés: m = p q. TÉTEL (Befogó tétel): Derékszögű háromszög befogójának hossza mértani közepe az átfogó és a befogónak az átfogóra eső merőleges vetülete hosszának. Jelölés: a = p c és b = q c. TÉTEL (Érintő szakasz tétele): Adott körhöz adott külső pontból húzott érintőszakasz hossza mértani közepe azon két szakasz hosszának, amelyek az adott pontra illeszkedő szelőn a ponttól a körrel alkotott metszéspontokig terjednek. Jelölés: PE = PA PB. 2

3 TÉTEL (Külső pontból húzott szelőszakaszok tétele): Adott körhöz adott külső P pontból húzott szelőszakaszok hosszának szorzata állandó. Jelölés: PA PB = PA PB. TÉTEL (Belső pontból húzott szelőszakaszok tétele): Ha egy adott kör adott P belső pontjára illeszkedő két húr végpontjai A, B illetve A, B, akkor teljesül a következő összefüggés: PA PB = PA PB. DEFINÍCIÓ (Pont körre vonatkozó hatványa): Egy P pont körre vonatkozó hatványán a ponttól a metszéspontokig terjedő szelőszakaszok hosszának szorzatát értjük. Megjegyzés: Külső pont esetén a hatványt pozitívnak, belső pont esetén negatívnak, a körvonalra illeszkedő pont esetén nullának tekintjük. DEFINÍCIÓ (Aranymetszés): Aranymetszésnek nevezzük egy szakasz 2 szakaszra vágását, ha a keletkező szakaszok kisebbikének hossza úgy aránylik a nagyobbhoz, mint a nagyobb a teljes szakasz hosszúságához. Jelölés: p < q esetén p q = q p+q. 3

4 Megjegyzés: Az aranymetszésnél a nagyobb szakasz hossza a rövidebbnek az 1+ 5 szöröse. Ennek az aránynak az ókorban nagy jelentőséget tulajdonítottak: a szépség, a harmónia arányának gondolták. Az aranymetszés megjelent a zenében, irodalomban, építészetben, képeken, szobrokon is. Az arányt tökéletesnek, isteni eredetűnek gondolták, s úgy vélték, hogy egy képzőművészeti munka akkor tökéletes, ha az elemei az aranymetszés aránya szerint követik egymást. Természetben is fellelhető ez az arány: levelek elhelyezkedése a napraforgó tányérján, fenyőtoboz és ananász felülete, egyes csigák mészváza. Gyakorlatban alkalmazható csigavonal, szabályos tíz-, illetve ötszög szerkesztéséhez. 2 TÉTEL: Hasonló síkidomok kerületének aránya a hasonlóság arányával, területének aránya a hasonlóság arányának négyzetével egyenlő. Jelölés: K T = λ és = K T λ2. TÉTEL: Hasonló testek felszínének aránya a hasonlóság arányának négyzetével, térfogatának aránya a hasonlóság arányának köbével egyenlő. Jelölés: A = A λ2 és V = V λ3. 4

5 1. Szerkessz 28 cm hosszúságú szakaszt! A szerkesztés lépései: Első lépés: A 28 at bontsuk fel két szám szorzatára, pl.: 28 = 4 7. Ezt követően vegyünk fel egy = 11 cm hosszú AB szakaszt, s jelöljük be rajta a szakaszt 4 cm re, illetve 7 cm re osztó P pontot. Második lépés: Az AB szakasz O felezőpontjából szerkesszünk Thalesz kört a szakasz fölé. Harmadik lépés: A P pontból állítsunk merőlegest az AB szakaszra és a körrel vett metszéspontja legyen C. Ekkor egy derékszögű háromszöget kapunk, s így a magasság - tétel alapján a CP szakasz hossza éppen 28 cm lesz. 2. Adott egy 3 cm és 5 cm oldalú téglalap. Szerkessz vele egyenlő területű négyzetet! Mivel a téglalap területe T = ab, a négyzet területe pedig T = x 2, így azt kapjuk, hogy x 2 = ab. Ezek alapján x = ab, vagyis a feladat szerint x = 3 5 = 15 cm. A megoldás tehát hasonlóan adódik az előző feladathoz. A szerkesztés lépései a következők: 5

6 Első lépés: Vegyünk fel egy = 8 cm hosszú AB szakaszt, s jelöljük be rajta a szakaszt 3 cm re, illetve 5 cm re osztó P pontot. Második lépés: Az AB szakasz O felezőpontjából szerkesszünk Thalesz kört a szakasz fölé. Harmadik lépés: A P pontból állítsunk merőlegest az AB szakaszra és a körrel vett metszéspontja legyen C, így megkapjuk a négyzet CP oldalát. Negyedik lépés: A CP oldal végpontjaiból állítsunk merőlegeseket az oldalra, s ezekre felmérve a CP oldal hosszát, megkapjuk a keresett négyszög további Q és R csúcsait is. 3. Egy világítótorony árnyéka 10 m hosszú, ugyanekkor ugyanott egy 2 m hosszú bot árnyéka 120 cm. Milyen magas a világítótorony? Mivel a torony az árnyékával hasonló háromszöget alkot, mint a bot az árnyékával, ezért a megfelelő szakaszok aránya megegyezik. Legyen a világítótorony magassága x, s ezek alapján felírható a következő aránypár: x = 2. Ebből átrendezés után kapjuk, hogy x = 16,7 m. 10 1,2 4. Egy egyenlő szárú háromszög alapja 3, 5 cm. Mekkorák a szárai, ha a négyszeresére nagyított háromszög kerülete 38 cm? Legyen a háromszög másik két szára x. A nagyított háromszög oldalai ekkor 14 cm, 4x és 4x. Ezek alapján felírható, hogy x + 4x = 38, amiből rendezés után x = 3 cm adódik. 6

7 5. Egy háromszög oldalai 12 cm, 16 cm és 20 cm hosszúak. Egy hozzá hasonló háromszög legnagyobb oldala 8 cm. Számítsd ki a másik két oldalának hosszát! Mivel a legnagyobb oldala 8 cm, ezért a hasonlóság aránya: λ = 8 = 0,4. Ezek alapján a másik 20 két oldal a következőképpen adódik: 12 0,4 = 4,8 cm és 16 0,4 = 6,4 cm. 6. Töltsd ki a táblázatot az ábrában szereplő derékszögű háromszög jelölései alapján! a b c p q m Alkalmazzuk a Pitagorasz, illetve befogó - és magasság tételeket a háromszögekben. Első sor: c 2 = c = 13 5 = 13p p = 1,9 12 = 13q q = 11,1 m = 1,9 11,1 m = 21,1 Második sor: 10 = 24p p = 4,2 c = ,2 = 28,2 a = 4,2 28,2 a = 10,9 b = 24 28,2 b = 26 Harmadik sor: 20 2 = p 2 p = = 12q q = 21,3 c = ,3 = 33,3 b 2 = ,3 2 b = 26,6 7

8 7. Egy derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága az átfogót egy 3 cm - es és egy 8 cm - es darabra osztja. Mekkorák a háromszög oldalai és magassága? Alkalmazzuk a befogó - és magasság tételeket a háromszögekben. c = = 11 cm a = 3 11 = 5,7 cm m = 3 8 = 4,9 cm b = 8 11 = 9,4 cm 8. Egy derékszögű háromszög befogói hosszainak aránya 5 6. Az átfogó 122 cm hosszúságú. Határozd meg az átfogóhoz tartozó magasság és a magasság által az átfogóból kivágott szeletek hosszát. Alkalmazzuk a Pitagorasz, illetve befogó - és magasság tételeket a háromszögekben. (5x) 2 + (6x) 2 = x 2 = x = 15,6 a = 5 15,6 = 78 cm b = 6 15,6 = 93,6 cm 78 = 122p p = 49,9 cm 93,6 = 122q q = 71,8 cm m = 49,9 71,8 m = 59,8 cm 8

9 9. Egy derékszögű háromszög átfogójának hossza 16 cm. Az átfogóhoz tartozó magasság az átfogót 1 3 arányban osztja két részre. Számítsd ki a befogók hosszát! Ezek alapján azt kapjuk, hogy x + 3x = 16, amiből x = 4 cm adódik, vagyis az a oldal merőleges vetülete 4 cm, a b oldal merőleges vetülete 12 cm hosszú. Végül a befogó - tétel segítségével kiszámíthatjuk a hiányzó oldalakat: a = 4 16 a = 8 cm b = b = 13,8 cm 10. Egy derékszögű háromszög átfogójához tartozó magasság 2 7 arányban osztja az átfogót. A háromszög legkisebb oldala 6 cm. Mekkora a másik két oldal? Alkalmazzuk a Pitagorasz - és befogó tételeket a háromszögekben. 6 = 2x 9x x = 2 c = 9 2 c = 12,7 cm b 2 = 12,7 2 b = 11,2 cm 9

10 11. Egy derékszögű háromszögben a befogók hosszának aránya 5 3. Az átfogóhoz tartozó magasság az átfogót két olyan szakaszra osztja, amelyek közül az egyik 4 cm rel hosszabb, mint a másik. Számítsd ki az átfogó és az átfogóhoz tartozó magasság hosszát! A befogó tétel alapján felírható két összefüggés: a 2 = c x és b 2 = c (x + 4). Mivel a befogók aránya 3 5, ezért a következő adódik: a2 b 2 = 9y2 25y 2 = 9 25 = c x c (x+4) = Az egyenletet rendezve azt kapjuk, hogy x = 2,25 cm. Az átfogó hossza ezek alapján: c = 2x + 4 = 8,5 cm. Végül alkalmazzuk a magasság - tételt: m = x (x + 4) = 3,75 cm. x x Egy derékszögű háromszög egyik befogója 8 cm, a másik befogó átfogóra eső merőleges vetülete 12 cm. Számítsd ki a háromszög hiányzó oldalait és az átfogóhoz tartozó magasságot! A befogó tétel alapján a következő adódik: 8 = p (p + 12). Ezt átrendezve a következő másodfokú egyenletet kapjuk: p p 64 = 0. 10

11 A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai p 1 = 4 és p 2 = 16. A p 2 nem felel meg a feladatnak, így p = 4 cm. Ebből adódik, hogy c = = 16 cm. Ezek után a magasság - tétel alapján a következő adódik: m = 12 4, amiből m 6,9 cm. Végül Pitagorasz tétel segítségével kiszámíthatjuk a másik befogót is: b 2 = 16 2 b 13,6 cm 13. Egy derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága két olyan részre osztja az átfogót, melyek közül az egyik 2 cm rel hosszabb a másiknál. A háromszög hosszabb befogója 12 cm. Számítsd ki a hiányzó oldalakat és az átfogóhoz tartozó magasságot! A befogó tétel alapján a következő adódik: 12 = (p + 2) (2p + 2). Ezt átrendezve a következő másodfokú egyenletet kapjuk: p 2 + 3p 70 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai p 1 = 7 és p 2 = 10. A p 2 nem felel meg a feladatnak, így p = 7 cm és q = = 9 cm. Ebből adódik, hogy c = = 16 cm. Ezek után a magasság - tétel alapján a következő adódik: m = 7 9, amiből m 7,9 cm. Végül Pitagorasz tétel segítségével kiszámíthatjuk a másik befogót is: a = 16 2 a 10,6 cm 11

12 14. Egy adott körhöz egy külső P pontból húzott szelőnek a körrel vett metszéspontjai P - től 5 cm, illetve 20 cm távolságra vannak. Milyen hosszú érintő szakasz húzható P - ből a körhöz? Az érintőszakasz - tétele alapján a következő adódik: PE = 5 20 = 100 = 10 cm. 15. Húzzunk egy körhöz egy külső pontból két szelőt. Az egyik szelőnek 3 cm, a másiknak 4 cm hosszú a kör és a külső pont közé eső szakasza. Ez utóbbi szelőnek a körbe eső szakasza 5 cm es. Milyen hosszú a másik szelő körbe eső szakasza? Mekkora érintőszakasz húzható ugyanebből a külső pontból a körhöz? A szelőszakaszok - tétele alapján a következő adódik: 4 9 = 3 (3 + x), amiből x = 9 cm. Az érintő - szakasz tétele alapján pedig a következőt kapjuk: PE = 4 9 = 36 = 6 cm. 12

13 16. Húzzunk egy körhöz egy külső pontból érintőt, illetve szelőt! A szelőnek a külső pont és a kör közötti szakasza 4 cm, az érintőszakasz pedig 8 cm. Milyen hosszú húrt metsz ki a kör a szelőből? Az érintőszakasz - tétele alapján a következő adódik: 8 = 4 (4 + x), amiből x = 12 cm. 17. Egy adott körhöz egy külső P pontból olyan szelőt húzunk, amelynek a körön kívüli szakasza 6 cm, a körön belüli húr pedig 18 cm hosszú. Milyen hosszú érintő húzható a P pontból? Számítsd ki, hogy milyen messze van a P pont a körvonaltól, ha a kör sugara 16 cm! A szelőszakaszok - tétele alapján a következő adódik: 6 24 = x (x + 32). 13

14 Ezt átrendezve a következő másodfokú egyenletet kapjuk: x x 144 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai x 1 = 4 és x 2 = 36. Az x 2 nem felel meg a feladatnak, így 4 cm re van a körvonaltól a P pont. Az érintőszakasz - tétel alapján pedig a következő adódik: PE = 6 24 = 144 = 12 cm. 18. Egy 10 cm sugarú körhöz a középponttól 26 cm re levő P pontból két szelőt húzunk. Az egyik szelő átmegy a kör középpontján, a másik szelőnek a körbe eső húrja 14 cm. Mekkora ez utóbbi szelő rövidebb szelete? Számítsd ki, hogy milyen hosszú érintő húzható a P pontból? A szelőszakaszok - tétele alapján a következő adódik: = x (x + 14). Ezt átrendezve a következő másodfokú egyenletet kapjuk: x x 576 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai x 1 = 18 és x 2 = 32. Az x 2 nem felel meg a feladatnak, így 18 cm a szelő rövidebb szelete. Az érintőszakasz - tétel alapján pedig a következő adódik: PE = = 576 = 24 cm. 14

15 19. Egy körhöz egy külső pontból húzzunk egy érintőt és egy szelőt. Az érintőszakasz hossza 12 cm, a szelő kisebbik szelete pedig 6 cm. Mekkora a kör sugara, ha a szelőnek a kör középpontjától való távolsága 12 cm? Legyen az A és B pont távolsága x. Az érintőszakasz - tétele alapján a következő adódik: 144 = 6 (6 + x), amiből x = 18 cm. Mivel az AOB egyenlőszárú, így a C pont felezi az AB szakaszt. A Pitagorasz tétel alapján a következő adódik: = r 2, amiből r = 15 cm. 20. Hányszorosára változik egy sokszög kerülete és területe, ha oldalinak hosszát 3 szorosára változtatjuk? Mivel a hasonlóság aránya λ = 3, így a kerületük λ = 3 - szorosára, a területük pedig λ 2 = 9 szeresére változik. 21. Hány cm 2 t foglal el Magyarország egy méretarányú térképen, ha Magyarország területe T km 2? Mivel a hasonlóság aránya λ = T = ( )2 = 1, km 2, ami 103,3 cm 2., ezért a térképen elfoglalt terület nagysága 15

16 22. Egy háromszög oldalai 2 cm, 3 cm és 4 cm hosszúságúak. A hozzá hasonló háromszög kerülete 12 cm. Határozd meg az utóbbi háromszög oldalainak hosszát. Az eredeti háromszög kerülete K = 9 cm, vagyis a hasonlóság aránya: λ = K K = 12 9 = 4 3. A hasonló háromszög oldalai ezek alapján: a = 2 4 = 8 = 2,7 cm 3 3 b = 3 4 = 4 cm 3 c = 4 4 = 16 = 5,3 cm Két hasonló háromszög egymásnak megfelelő oldalai 5 cm és 3 cm hosszúságúak. A két háromszög kerületének különbsége 7 cm. Határozd meg a két háromszög kerületének hosszát. Legyen az eredeti háromszög kerülete x, a hasonló háromszög kerülete pedig x 7. A szöveg alapján a hasonlóság aránya: λ = a a = 3 5. Ekkor felírhatjuk a következő egyenletet: 3 x = x 7, amiből x = 17,5. 5 Ezek alapján az eredeti háromszög kerülete 17,5 cm, a hasonló háromszögé pedig 10,5 cm. 24. Egy derékszögű háromszög befogói 5 cm és 12 cm. Az átfogóhoz tartozó magasság a háromszöget két háromszögre bontja. Mennyi a két háromszög területének aránya? A keletkező két kisebb háromszög hasonló egymáshoz, így a hasonlóság aránya λ = Ezek alapján a háromszögek területeinek aránya pedig λ 2 =

17 25. Egy tanteremben a tábla és a faliújság hasonló téglalap alakúak. A faliújság átlós mérete 1 m, a táblának pedig a rövidebb oldala 1 m, a hosszabbik 2 m. Hányszorosa a tábla területe a faliújságénak? A tábla átlóját kiszámíthatjuk Pitagorasz tétel segítségével: = x 2, amiből x = 5. A két átló hasonló egymáshoz, így a hasonlóság aránya λ = 5, vagyis a tábla területe λ 2 = 5 szörösére változik. 26. Két négyzet közül az egyik oldalának hossza 4 cm rel nagyobb a másikénál, területeik különbsége pedig 56 cm 2. Számítsd ki az oldalhosszak arányát! Hogyan aránylanak egymáshoz a területek? Legyen az egyik négyzet oldala x, a másik oldala pedig x + 4. A szöveg alapján felírhatjuk a következőt: (x + 4) 2 x 2 = 56, amiből x = 5. Így az egyik négyzet oldala 5 cm, a másiké 9 cm. Ezek alapján az oldalak aránya λ = 5 9, a területek aránya pedig λ2 = Az ABC háromszög területét megfelezzük egy, a háromszög AB oldalával párhuzamos egyenessel. Milyen hosszú a területet felező egyenesnek a háromszögbe eső szakasza, ha AB = 6 cm? Mivel a területek aránya λ 2 = 2, így a hasonlóság aránya λ = 2. Ezek alapján felírhatjuk a következő aránypárt: A B 6 = 2, vagyis A B = 4,24 cm. 17

18 28. Két szabályos háromszög egy egy oldalhosszának összege 20 cm. Számítsd ki a háromszögek oldalainak hosszát, ha területeik aránya 4 9! Legyen az egyik háromszög oldala x, a hasonló háromszög oldala pedig 20 x. Mivel a két szabályos háromszög hasonló egymáshoz, így a hasonlóság aránya λ = 4 9 = 2 3. Ekkor felírhatjuk a következő egyenletet: x = 2 (20 x), amiből x = 8. 3 Ezek alapján a háromszög oldalai 8 cm, a hasonló háromszög oldalai pedig 12 cm hosszúak. 29. Adott két kör, a sugarak hosszának összege 20 cm. Tekintsünk mindkét körben egy egy ugyanakkora középponti szöghöz tartozó körcikket. Ezek területének aránya Számítsd ki a sugarak hosszát! Legyen az egyik kör sugara x, a másik kör sugara pedig 20 x. Mivel a két kör hasonló egymáshoz, ezért a hasonlóság aránya λ = = 4 5. Ekkor felírhatjuk a következő egyenletet: x = 4 (20 x), amiből x = 8,9. 5 Ezek alapján a kör sugara 8,9 cm, a hasonló kör sugara pedig 11,1 cm hosszú. 30. Egy egyenlő szárú háromszög alapja 10 cm, szára 12 cm hosszúságú. A csúcstól számítva mekkora hosszúságú szakaszt vág le a szárból az alappal párhuzamos egyenes, ha a lemetszett háromszög területe az eredetinek negyede? Mivel a két háromszög hasonló egymáshoz, így a hasonlóság aránya: λ = 1 4 = 1 2. Ezek alapján a kis háromszög szárai 12 1 = 6 cm hosszúak. 2 18

19 31. Egy háromszög egyik oldalát 3 5 arányban ketté osztottuk. Az osztópontból párhuzamost húzunk a háromszög másik két oldalával. Hogyan aránylik az így kapott paralelogramma területe az eredeti háromszög területéhez? Az eredeti ABC, s a két keletkező APR és PBQ hasonlóak egymáshoz. Az APR és az ABC oldalainak aránya λ = 5 8. Ezek alapján a területeik aránya λ2 = A PBQ és az ABC oldalainak aránya λ = 3 8. Ezek alapján a területeik aránya λ2 = A paralelogramma területe így = 30 = 15 része az eredeti háromszögnek Egy háromszög oldalait öt egyenlő részre osztottuk, és a szomszédos oldalaknak a közös csúcshoz legközelebbi osztópontjait összekötöttük. Hogyan aránylik a háromszög csúcsainál keletkező kis háromszögek levágásával kapott hatszög területe az eredeti háromszög területéhez? A kis háromszögek hasonlóak a nagy háromszöghöz, így a hasonlóság aránya λ = 1 5. Ekkor a kis háromszögek és a nagy háromszög területének aránya λ 2 = Ezek alapján a hatszög és az eredeti háromszög területének aránya: T hatszög T háromszög = =

20 33. Hányszorosára változik egy sokszögek által határolt test felszíne és térfogata, ha oldalainak hosszát 10 - szeresére változtatjuk? Mivel a hasonlóság aránya λ = 10, így a felszíne λ 2 = 100 szorosára, a térfogata pedig λ 3 = 1000 szeresére változik. 34. Két hasonló test térfogatának aránya Add meg a testek felszínének arányát! Mivel a hasonló testek térfogatának aránya λ 3 = , ezért a hasonlóság aránya λ = = Ezek alapján a testek felszínének aránya pedig λ 2 = A Föld közepes átmérője közelítőleg 11 szorosa a Hold átmérőjének. Hogyan 3 aránylik egymáshoz a két égitest felszíne és térfoagat? Mivel a hasonlóság aránya λ = 11 3, így az égi testek felszínének aránya λ2 = 121 9, a térfogatok aránya pedig λ 3 = Két kocka élhosszának különbsége 3 dm, térfogataik különbsége 37 dm 3. Számítsd ki a két kocka hasonlóságának arányát! Hogyan aránylanak egymáshoz a térfogatok? Legyen az egyik kocka élhossza x, a másik élhossza pedig x + 3. Ezek alapján felírhatjuk a következő egyenletet: (x + 3) 3 x 3 = 37. Az egyenletet rendezve azt kapjuk, hogy 9x x 10 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai x 1 = 1 3 és x 2 = Mivel a második megoldás nem felel meg a szövegnek így az egyik kocka élhossza 1 3 dm, a másiké pedig 10 3 dm. Ezek alapján a hasonlóság aránya λ = 10, a térfogatuk aránya pedig λ 3 =

21 37. Egy 10 cm sugarú fémgolyót felolvasztunk, majd 1 cm sugarú gömbökaet öntünk belőle. Ilyen módon hány golyóhoz juthatunk? Hányszorosa lesz a kis golyók együttes felszíne és térfogata az eredetinek? Az eredeti fémgolyó felszíne: A = π = 1256 cm 2. Az eredeti fémgolyó térfogata: V = π 3 = 4186,67 cm 3. Egy darab kis golyó felszíne: A = π = 12,56 cm 2. Egy darab kis golyó térfogata: V = 4 13 π 3 = 4,18667 cm 3. Ezek alapján 4186,67 = 1000 darab kis golyóhoz juthatunk. 4,18667 Mivel 1000 darab kis golyó térfogata 4186,67 cm 3, így ez nem változott az eredetihez képest. Mivel 1000 darab kis golyó felszíne cm 2, így ez az eredetihez képest 10 szeresére változott. 38. Bizonyítsd be, hogy az aranymetszésnél a nagyobb szakasz hossza a rövidebbnek az szöröse. Tekintsük a következő aranymetszésre vonatkozó összefüggést: p < q esetén p q = q p+q. Az egyenletet rendezve a következőt kapjuk: q 2 pq p 2 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy a két megoldás: q 1 = p 1+ 5 Mivel az érték nem lehet negatív, ezért a q 2 nem lesz jó megoldás. 2 és q 2 = p Ezek alapján azt kapjuk, hogy a szakaszok aránya: q p =

22 39. Szerkeszd meg egy 6 cm hosszú szakasz aranymetszetét! A szerkesztés lépései a következők: Első lépés: Vegyünk fel egy 6 cm hosszú AB szakaszt. Második lépés: A szakasz B végpontjára állítsunk merőlegest. Harmadik lépés: B től 6 = 3 cm re a merőlegesen jelöljük ki az O pontot. 2 Negyedik lépés: Szerkesszük meg az O középpontú 3 cm es sugarú kört. Ötödik lépés: Az O n keresztül húzzunk szelőt az A pontból. Hatodik lépés: A keletkező két metszéspontot jelöljük C vel, illetve D vel. Ekkor az AC szakasz lesz az AB szakasz aranymetszete. Írjunk fel összefüggést az AB érintőre és az AC szelőre: AB 2 = AC AD 6 2 = AC ( AC + 6) AC 6 = 6 AC +6 22

23 40. Bizonyítsd be, hogy ha az egyenlő szárú háromszög szárszöge 36, akkor az alap a szárnak aranymetszete! Vegyünk fel egy egyenlő szárú háromszöget, melynek alapja legyen AB. Tekintsük továbbá az A - ból induló szögfelezőt, mely a BC oldalt a D pontban metszi. Ekkor az ABD és ABC hasonló egymással, mert mindkét háromszögben a szögek nagysága egyenlő (36, 72, 72 ). Ezek alapján az ADC egyenlőszárú, így legyen AB = AD = DC = c, továbbá BD = a c. A hasonlóságnál az egymásnak megfelelő oldalak aránya c = a c, így a c alap aranymetszete a az a szárnak. c 41. Bizonyítsd be, hogy a szabályos tízszög köré írt kör sugarának aranymetszete a tízszög oldala! Szerkessz egy 4 cm sugarú körbe szabályos tízszöget! Mivel a szabályos tízszög a köré írt kör középpontjából a csúcsokhoz húzott sugarakkal 10 egyenlő szárú háromszögekre bontható, így ezeknek a háromszögeknek a kör középpontjánál található szárszögeik = 36. Az előző feladat alapján, ezen háromszögek alapja (a szabályos tízszög oldala) aranymetszete a háromszögek szárainak (a köré írt kör sugarának). A szerkesztés lépései a következők: 23

24 Első lépés: Szerkesszük meg a 4 cm es sugár aranymetszetét, s ez lesz a tízszög oldala. Második lépés: A sugár körvonalra eső végpontjából, körözzünk a tízszög oldalhosszával. Harmadik lépés: A keletkező metszéspontból ismét körözzünk az oldalhosszal, s ezt ismételjük meg addig, amíg a kezdő pontba vissza nem jutunk. Végül kössük össze a kapott pontokat. 42. Szerkessz egy 4 cm sugarú körbe szabályos 5 szöget! Szerkesszük meg a szabályos tízszög csúcsait és azokból csak minden másodikat kössük össze. 24

25 43. Bizonyítsd be, hogy a szabályos ötszög oldala az átlójának aranymetszete! Mivel szabályos ötszögről van szó, ezért az AOB = = 72. Az ezzel a szöggel azonos íven nyugvó kerületi szög fele akkora, mint a középponti szög, vagyis ADB = 36. Mivel az ABD egyenlő szárú és szárszöge 36, így az előző feladatok alapján az alapja (az ötszög oldala) a szárának (az ötszög átlójának) aranymetszete. 44. Bizonyítsd be geometriai eszközökkel, hogy két pozitív szám számtani közepe mindig nagyobb vagy egyenlő, mint ugyanezen számok mértani közepe, azaz a+b ab! Szerkesszük meg egy a + b átmérőjű körbe a CP = ab hosszúságú szakaszt, majd húzzuk be az AB átmérőre merőleges OD = a+b sugarat, s így megkapjuk az állítást. Egyenlőség akkor 2 adódik, ha a = b. 2 25

26 45. Bizonyítsd be, hogy bármely két kör hasonló egymással! Két alakzat akkor hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció (egybevágósági transzformáció és középpontos hasonlósági transzformáció egymás utáni végrehajtása), amely az egyik alakzatot a másikba viszi. Első lépés: Vegyünk fel tetszőlegesen két különböző hosszú sugárral rendelkező K 1 és K 2 kört, majd a kisebb sugarat toljuk el O 1 2 vektorral, vagyis ekkor a két kör középpontja egybeesik. Második lépés: Forgassuk el a kisebb kör sugarát a körök középpontja körül egy α szöggel úgy, hogy a két kör sugara fedje egymást. Harmadik lépés: A körök középpontjából végezzük el az λ = r 2 r 1 arányú nagyítást. A fenti lépések alapján egy eltolással, egy forgatással és egy középpontos hasonlósági transzformációval sikerült a két kör sugarát (és így a köröket is) egymásba vinnünk. 46. Bizonyítsd be a magasság és befogó tételt! 26

27 Mivel az ACD és az BCD háromszög szögei egyenlő nagyságúak (α, 90 α, 90 ), ezért a két háromszög hasonló egymással. Ekkor a megfelelő oldalak hosszának aránya egyenlő. Tekintsük a két háromszög megfelelő befogóinak arányát: m q = p m. Ebből átrendezéssel adódik a magasság tétel: m 2 = p q, vagyis m = p q. Mivel az ABC és a BCD háromszög szögei egyenlő nagyságúak (α, 90 α, 90 ), ezért a két háromszög hasonló egymással. Ekkor a megfelelő oldalak hosszának aránya egyenlő. Tekintsük a két háromszög megfelelő befogóinak és átfogóinak arányát: a c = p a. Ebből átrendezéssel adódik a befogó tétel egyik alakja: a 2 = c p, vagyis a = c p. Mivel az ABC és a ACD háromszög szögei egyenlő nagyságúak (α, 90 α, 90 ), ezért a két háromszög hasonló egymással. Ekkor a megfelelő oldalak hosszának aránya egyenlő. Tekintsük a két háromszög megfelelő befogóinak és átfogóinak arányát: b c = q b. Ebből átrendezéssel adódik a befogó tétel másik alakja is: b 2 = c q, vagyis b = c q. 47. Bizonyítsd be a körhöz húzott érintő - és szelőszakaszok tételét! 27

28 Mivel az ABE és az AEP ugyanúgy az AE körívhez tartozó kerületi szög, ezért a két szög nagysága megegyezik. Ezek alapján a PBE és a PAE megfelelő szögeik egyenlő nagyságúak, vagyis a két háromszög hasonló. Tekintsük a két háromszög megfelelő oldalainak arányát: PB PE = PE PA. Ebből átrendezéssel adódik a tétel: PE 2 = PA PB, vagyis PE = PA PB. 48. Bizonyítsd be, hogy hasonló háromszögek kerületének aránya a hasonlóság arányával, területének aránya a hasonlóság arányának négyzetével egyenlő! Legyen a hasonlóság aránya λ, ekkor a felírhatjuk a következő aránypárokat: λ = a = b = c a b c a = λ a b = λb c = λa λ = m a m a m a = λ m a Ezek felhasználásával írjuk fel a kerületek és területek arányát: K = a + b + c K a + b + c = λa + λb + λc λ (a + b + c) = = λ a + b + c a + b + c 1 T = 2 a m a 1 T 2 a m a = 1 2 λ a λ m 1 a 2 1 = λ2 a m a 2 a m 1 a 2 a m a = λ 2 Mivel minden sokszög egy csúcsából húzható átlókkal háromszögekre bontható, ezért a tétel igaz tetszőleges sokszögekre is. Brósch Zoltán 28

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika Hasonlóság kísérleti feladatgyűjtemény 10. osztályos matematika POKG 2015. Hasonló háromszögek oldalaránya 0. Keressük meg az alábbi háromszögek összetartozó oldalpárjait és arányossággal számítsuk ki

Részletesebben

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója?

Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Feladatok 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy négyzet

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria 1) Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Szakasz mert van két végpontja Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Tört vonal Szög mert van két szára és csúcsa Félegyenes mert van egy kezdőpontja 5 1 1 Két egyenes egymásra merőleges ha egymással

Részletesebben

Pitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2

Pitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Pitagorasz-tétel A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy

Részletesebben

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok

Részletesebben

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2 10. Tétel Háromszög Tulajdonságok: - Háromszögnek nevezzük a sokszöget, ha 3 oldala, 3 csúcsa és 3 szöge van - A háromszög belső szögeinek összege 180 o - A háromszög külső szögeinek összege 360 o - A

Részletesebben

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.

Részletesebben

Síkgeometria. Ponthalmazok

Síkgeometria.  Ponthalmazok Síkgeometria http://zanza.tv/matematika/geometria Ponthalmazok Alapfogalmak: pont egyenes sík (nincs kiterjedése; általában nagy betűvel jelöljük) (végtelen hosszú; általában kis betűvel jelöljük) (végtelen

Részletesebben

Hatvány, gyök, normálalak

Hatvány, gyök, normálalak Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő

Részletesebben

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam I. Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzetet 1) a pont, az egyenes, a sík és az illeszkedés alapfogalmak 2) két egyenes metsző, ha van közös pontjuk

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két

Részletesebben

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-3.1.4-08/-009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár, 010.

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY

EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY SÍKIDOMOK Síkidom 1 síkidom az a térelem, amelynek valamennyi pontja ugyan abban a síkban helyezkedik el. A síkidomokat

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból

Részletesebben

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5 Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!

Részletesebben

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van

Részletesebben

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög, 52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes

Részletesebben

Gyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van!

Gyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van! 1. Melyik a nagyobb? a) 6 5 vagy 5 7 b) vagy 11 10 vagy Gyökvonás 5 11 vagy 6 8 55 e) 7 vagy 60 16 1. Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket! a) 7 18 b) 1 5 75 8 160 810 650 8a 5 a 7a e) 15a

Részletesebben

. Számítsuk ki a megadott szög melletti befogó hosszát.

. Számítsuk ki a megadott szög melletti befogó hosszát. Szögek átváltása fokról radiánra és fordítva 2456. Hány fokosak a következő, radiánban (ívmértékben) megadott szögek? π π π π 2π 5π 3π 4π 7π a) π ; ; ; ; ; b) ; ; ; ;. 2 3 4 8 3 6 4 3 6 2457. Hány fokosak

Részletesebben

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 2. Mit nevezünk ellentett számok-nak? Ábrázold számegyenesen a következő számokat

Részletesebben

GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a

GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a GOMTRI ndrea Philippou, Marios ntoniades Szakaszok és félegyenesek gy szakasz felezőmerőlegese egy olyan egyenes, félegyenes vagy szakasz, ami áthalad a szakasz középpontján és merőleges a szakaszra. Tétel:

Részletesebben

1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT:

1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT: 1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT: a) ( 7) + ( 12) = 19 b) ( 24) + (+15) = 9 c) ( 5) + ( 27) = 32 d) (+19) + (+11) = +30 e) ( 7) ( 25) = +175 f) ( 5) (+14) = 70 g) ( 36) (+6)

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer! MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.

Részletesebben

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok 10. Síkgeometria I. Elméleti összefoglaló Szögek, nevezetes szögpárok Egy adott pontból kiinduló két félegyenes a síkot két részre bontja. Egy-egy ilyen rész neve szögtartomány, vagy szög. A két félegyenest

Részletesebben

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 2. Mit nevezünk ellentett számok-nak? Ábrázold számegyenesen a következő számokat

Részletesebben

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész

Részletesebben

11. Geometriai transzformációk

11. Geometriai transzformációk 11. Geometriai transzformációk I. Elméleti összefoglaló Geometriai transzformációknak nevezzük azokat a függvényeket, amelyeknek az értelmezési tartománya és értékkészlete is ponthalmaz. Ha a transzformáció

Részletesebben

Telepítő programok. Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram)

Telepítő programok. Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram) Telepítő programok Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram) Súgó Menü Súgó Visszalépés a főmenübe Visszalépés a kiválasztott

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2009/2010-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2009/2010-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 009/00-es tanév első (iskolai) forduló haladók II.

Részletesebben

12. Trigonometria I.

12. Trigonometria I. Trigonometria I I Elméleti összefoglaló Szögmérés A szög mérésének két gyakran használt módja van: fokban, illetve radiánban (ívmértékben) mérünk A teljesszög 0, ennek a 0-ad része az A szög nagyságát

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

2. tétel Egész számok - Műveletek egész számokkal. feleletvázlat

2. tétel Egész számok - Műveletek egész számokkal. feleletvázlat 1. tétel Természetes számok tízes számrendszer műveletek és tulajdonságaik Természetes számok, jele, jelölések, ábrázolása számegyenesen műveletek a természetes számok halmazán belül Tízes számrendszer

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre

Részletesebben

TRIGONOMETRIA ISMÉTLÉS DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖG ÉS A HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI

TRIGONOMETRIA ISMÉTLÉS DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖG ÉS A HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI TRIGONOMETRIA ISMÉTLÉS DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖG ÉS A HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI http://zanza.tv/matematika/geometria/thalesz-tetele http://zanza.tv/matematika/geometria/pitagorasz-tetel http://zanza.tv/matematika/geometria/nevezetes-tetelek-derekszogu-haromszogben

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1 Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az

Részletesebben

A GEOMETRIA TÉMAKÖR FELOSZTÁSA. Síkgeometria Térgeometria Geometriai mérések Geometriai transzformációk Trigonometria Koordináta-geometria

A GEOMETRIA TÉMAKÖR FELOSZTÁSA. Síkgeometria Térgeometria Geometriai mérések Geometriai transzformációk Trigonometria Koordináta-geometria GEOMETRIA A GEOMETRIA TÉMAKÖR FELOSZTÁSA Síkgeometria Térgeometria Geometriai mérések Geometriai transzformációk Trigonometria Koordináta-geometria A SÍKGEOMETRIA TANÍTÁSA 5-10. OSZTÁLY Síkgeometriai fogalmak

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,

Részletesebben

18. Kerületi szög, középponti szög, látószög

18. Kerületi szög, középponti szög, látószög 18. Kerületi szög, középponti szög, látószög Középponti szög fogalma: A körben a középponti szög csúcsa a kör középpontja, két szára a kör két sugara, illetve azok félegyenese. Egy középponti szög (ω)

Részletesebben

11. Geometriai transzformációk

11. Geometriai transzformációk 11. Geometriai transzformációk I. Elméleti összefoglaló Geometriai transzformációknak nevezzük azokat a függvényeket, amelyeknek az értelmezési tartománya és értékkészlete is ponthalmaz. Ha a transzformáció

Részletesebben

Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek

Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek 2013. 11.19. Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek csoportosítása szögeik szerint (hegyes-,

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II.

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II. Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára II. 1. Alakítsuk át a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetek jelenjenek meg: a) x 2 2x + b) x 2 6x + 10 c) x 2 + x + 1 d) x 2 12x + 11 e) 2x 2

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Síkgeometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny 9. osztály 1. feladat: Oldjuk meg a természetes számok halmazán az 1 1 1 egyenletet? x y 009 Kántor Sándor (Debrecen). feladat: B Az ABCD deltoidban az A és C csúcsnál derékszög van, és a BD átló 1 cm.

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatásért Közalapítvány támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Határozzuk

Részletesebben

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

A Katedra Matematikaverseny 2013/2014-es döntőjének feladatsorai Összeállította: Károlyi Károly

A Katedra Matematikaverseny 2013/2014-es döntőjének feladatsorai Összeállította: Károlyi Károly A Katedra Matematikaverseny 2013/2014-es döntőjének feladatsorai Összeállította: Károlyi Károly 5. osztály 1. A MATEK szó minden betűjének megfeleltetünk egy-egy számjegyet a következők szerint: M + A

Részletesebben

Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül!

Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül! Laczkó László Készült a Fazekas ihály Oktatási Kulturális és Sport lapítvány támogatásával z árák elektronikus változatát Véges árton (009c) diák készítette feladat z hegyesszögű háromszög -nél levő szöge.

Részletesebben

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27. Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a és b befogójú derékszögű háromszögnek

Részletesebben

Interaktív geometriai rendszerek használata középiskolában -Pont körre vonatkozó hatványa, hatványvonal-

Interaktív geometriai rendszerek használata középiskolában -Pont körre vonatkozó hatványa, hatványvonal- Fazekas Gabriella IV. matematika-informatika Interaktív geometriai rendszerek használata középiskolában -Pont körre vonatkozó hatványa, hatványvonal- Jelen tanulmány a fent megjelölt fogalmak egy lehetséges

Részletesebben

Geometria I. Vígh Viktor

Geometria I. Vígh Viktor Geometria I. Vígh Viktor Kivonat Jelen jegyzet az SZTE osztatlan matematikatanár-képzésében szereplő Geometria I. tantárgyhoz íródott. A kurzus a tanulmányok első félévében kötelező. Ezért a tárgyalásban

Részletesebben

Síkbeli alakzatok. Szakaszok, szögek GEOMETRIA Alapszerkesztések Alapszerkesztések Alapszerkesztések.

Síkbeli alakzatok. Szakaszok, szögek GEOMETRIA Alapszerkesztések Alapszerkesztések Alapszerkesztések. Síkbeli alakzatok Szakaszok, szögek 13. Alapszerkesztések. 133. Alapszerkesztések. 134. Alapszerkesztések. a b 135. Ha x és y az egyes szakaszok hossza, akkor x + y = a és x - y = b. Így x = + ; a b y

Részletesebben

BÖLCS BAGOLY LEVELEZŐS MATEMATIKAVERSENY III. forduló MEGOLDÁSOK

BÖLCS BAGOLY LEVELEZŐS MATEMATIKAVERSENY III. forduló MEGOLDÁSOK 1. Gondoltam egy négyjegyű számot. Az első két számjegy 3, az utolsó kettőé pedig 7, és a középső két számjegyből alkotott szám osztható 4-gyel. Melyik számra gondolhattam? Határozd meg az összes lehetőséget!

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria V.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria V. Geometria V. DEFINÍCIÓ: (Középponti szög) Ha egy szög csúcsa egy adott kör középpontja, akkor a kör középponti szögének nevezzük. DEFINÍCIÓ: (Kerületi szög) Ha egy szög csúcsa egy adott körvonal pontja,

Részletesebben

16. tétel Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek

16. tétel Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek 16. tétel Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK Geometriai transzformáció Def:Olyan speciális függvény, melynek értelmezési

Részletesebben

1. Középpontos tükrözés, középpontos szimmetria 146/1. a) 0; 3; 8; A;B;C; D; E;H; I; M; O; T; U; V; W; X; Y;Z. b) 0; H; I; N; O; S; X; Z

1. Középpontos tükrözés, középpontos szimmetria 146/1. a) 0; 3; 8; A;B;C; D; E;H; I; M; O; T; U; V; W; X; Y;Z. b) 0; H; I; N; O; S; X; Z 146/1 147/2 1. Középpontos tükrözés, középpontos szimmetria a) 0; 3; 8; A;B;C; D; E;H; I; M; O; T; U; V; W; X; Y;Z b) 0; H; I; N; O; S; X; Z c) 0; O; H; I; X; Z a) kőr dáma b) pikk jumbo; kőr dáma.; káró

Részletesebben

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer)

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) Ezt a módszert akkor alkalmazzuk, amikor könnyebb bizonyítani egy állítás ellentettjét, mintsem az állítást direktben. Ez a módszer

Részletesebben

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata

Részletesebben

KOSZTOLÁNYI MIKE MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK (II. KÖTET)

KOSZTOLÁNYI MIKE MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK (II. KÖTET) KOSZTOLÁNYI MIKE MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY 10 14 ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK (II. KÖTET) Kosztolányi József - Mike János MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY 10-14 ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK **

Részletesebben

NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz

NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz Gedeon Veronika (Budapest) A javítókulcsban feltüntetett válaszokra a megadott pontszámok adhatók. A pontszámok részekre

Részletesebben

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 2003. Próba 14. Egy hajó a Csendes-óceán egy szigetéről elindulva 40 perc alatt 24 km-t haladt észak felé, majd az eredeti haladási irányhoz képest 65 -ot nyugat

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 008-009. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára. Határozzuk meg az alábbi egyenletrendszer valós megoldásait. ( x

Részletesebben

Az egyes feladatok részkérdéseinek a száma az osztály felkészültségének és teherbírásának megfelelően (a feladat tartalmához igazodva) csökkenthető!

Az egyes feladatok részkérdéseinek a száma az osztály felkészültségének és teherbírásának megfelelően (a feladat tartalmához igazodva) csökkenthető! 1 Az egyes feladatok részkérdéseinek a száma az osztály felkészültségének és teherbírásának megfelelően (a feladat tartalmához igazodva) csökkenthető! Szerkesztette: Huszka Jenő 2 A változat 1. Az ABCDEFGH

Részletesebben

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY Ismétléses permutáció: ha az elemek között van olyan, amelyik többször is előfordul, az elemek egy sorba rendezését ismétléses permutációnak nevezzük. Tétel: ha n elem között p 1, p 2, p 3, p k darab megegyező

Részletesebben

3. feladat Hány olyan nél kisebb pozitív egész szám van, amelyben a számjegyek összege 2?

3. feladat Hány olyan nél kisebb pozitív egész szám van, amelyben a számjegyek összege 2? Varga Tamás Matematikaverseny iskolai forduló 2010. 1. feladat A tengeren léket kapott egy hajó, de ezt csak egy óra múlva vették észre. Ekkorra már 3 m 3 víz befolyt a hajóba. Rögtön mőködésbe hoztak

Részletesebben

Egybevágósági transzformációk. A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá.

Egybevágósági transzformációk. A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá. Egybevágósági transzformációk A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá. Egybevágósági transzformációk azok a geometriai transzformációk, amelyeknél bármely

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely április 8. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely április 8. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2013. április 8. A 9-10. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. Jelöljük x-szel az adott hónapban megkezdett 100 kb-s csomagok számát. Az első szolgáltatónál

Részletesebben

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2 3... Egyenes szíjhatás esetén milyen hosszú szíj szükséges 50 cmes és 6 cm-es sugarú tárcsák összekapcsolásához, ha a tárcsák tengelyeinek távolsága 335 cm? 3... Csónakkal akarunk a folyó túlsó partjára

Részletesebben

A táblára felírtuk a 0-tól 2003-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 2004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege?

A táblára felírtuk a 0-tól 2003-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 2004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege? ! " # $ %& '()(* $ A táblára felírtuk a 0-tól 00-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege? 0 0 0 0 0. 9 7. 9 9 9 + ')./ &,- $ Először a 0-tól 999-ig

Részletesebben

XI.5. LÉGY TE A TANÁR! A feladatsor jellemzői

XI.5. LÉGY TE A TANÁR! A feladatsor jellemzői XI.5. LÉGY TE A TANÁR! Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Algebrai, geometriai, kombinatorikai és valószínűségszámítási tipikus gondolkodási hibák, buktatók. Előzmények Mérlegelv, másodfokú egyenletek

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket

Részletesebben

1 = 1x1 1+3 = 2x2 1+3+5 = 3x3 1+3+5+7 = 4x4

1 = 1x1 1+3 = 2x2 1+3+5 = 3x3 1+3+5+7 = 4x4 . Orchidea Iskola VI. Matematika verseny 0/0 II. forduló = x + = x ++ = x +++ = x Ennek ismeretében mennyivel egyenlő ++++...+9+99=? A ) 0. D ) 0 000 6 C ) 0 D ) A Földközi-tengerben a só-víz aránya :

Részletesebben

Matematika pótvizsga témakörök 9. V

Matematika pótvizsga témakörök 9. V Matematika pótvizsga témakörök 9. V 1. Halmazok, műveletek halmazokkal halmaz, halmaz eleme halmazok egyenlősége véges, végtelen halmaz halmazok jelölése, megadása természetes számok egész számok racionális

Részletesebben

A III. forduló megoldásai

A III. forduló megoldásai A III. forduló megoldásai 1. Egy dobozban pénzérmék és golyók vannak, amelyek vagy ezüstből, vagy aranyból készültek. A dobozban lévő tárgyak 20%-a golyó, a pénzérmék 40%-a ezüst. A dobozban levő tárgyak

Részletesebben

11. osztály. 1. Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! (10 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: 2 ( + yz + zx) = 22.

11. osztály. 1. Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! (10 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: 2 ( + yz + zx) = 22. osztály Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! y + yz = 8 yz + z = 9 z + y = 5 (0 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: ( + yz + z) = Ebből kivonva az egyenleteket: y =, yz = 6, z

Részletesebben

P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ. 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP

P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ. 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP J UHÁSZ I STVÁN P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ T é m a k ö r ö k é s p r ó b a f e l a d a t s o r 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP 1. oldal 9. OSZTÁLYOS PÓTVIZSGA TÉMAKÖRÖK: I.

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Gyaorló feladato Eponenciális és logaritmusos ifejezése, egyenlete. Hatványozási azonosságo. Számítsd i a övetező hatványo pontos értéét! g) b) c) d) 7 e) f) 9 0, 9 h) 0, 6 i) 0,7 j), 6 ), l). A övetező

Részletesebben

Geometriai transzformációk

Geometriai transzformációk Geometriai transzformációk 11 elemi geometriafeladat 10. és DG Matektábor 2016. október 6. Röviden a transzformációkról Tengelyes tükrözés 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október

Részletesebben

+ 3 5 2 3 : 1 4 : 1 1 A ) B ) C ) D ) 93

+ 3 5 2 3 : 1 4 : 1 1 A ) B ) C ) D ) 93 . Mennyi az alábbi művelet eredménye? 4 + 4 : 5 : 5 + 8 07 9 A ) B ) C ) D ) E ) 9 9 9 9 9. Egy digitális órát (amely 4 órás üzemmódban működik) pontosan beállítottunk. Kiderült azonban, hogy egy nap átlagosan

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

1. feladatsor Legyen ABCDEF egy szabályos hatszög. A hatszög AB és BC oldalára megrajzoljuk

1. feladatsor Legyen ABCDEF egy szabályos hatszög. A hatszög AB és BC oldalára megrajzoljuk 1. feladatsor 2013.09.13. 1. Legyen ABCDEF egy szabályos hatszög. A hatszög AB és BC oldalára megrajzoljuk kifelé a BAXY és CBZT négyzeteket, illetve a CD és DE oldalára befelé a CDP Q és DERS négyzeteket.

Részletesebben

Harmadik epochafüzet

Harmadik epochafüzet Harmadik epochafüzet Matematika 9. évfolyam Tulajdonos:... HARMADIK EPOCHAFÜZET GEOMETRIA Tartalomjegyzék Kurzus leírás...2 Alapfogalmak...3 Szögszámítás, nevezetes szögpárok...5 A háromszög...8 Összefüggések

Részletesebben

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot! Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Deiniálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!. Csoportosítsa a négyszögeket az oldalak párhuzamossága, és egyenlősége alapján! 3. Határozza meg a

Részletesebben

VI.8. PIO RAGASZT. A feladatsor jellemzői

VI.8. PIO RAGASZT. A feladatsor jellemzői VI.8. PIO RAGASZT Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Pitagorasz-tétel alkalmazása gyakorlati problémákban. Előzmények Cél Pitagorasz-tétel, négyzetgyök, egyszerűbb algebrai azonosságok, egyenlet megoldása.

Részletesebben

Megáll a józan ész! ( vagy csak az ész? ) Ágotai László (Kisújszállás)

Megáll a józan ész! ( vagy csak az ész? ) Ágotai László (Kisújszállás) Megáll a józan ész! ( vagy csak az ész? ) Ágotai László (Kisújszállás) A foglalkozáson olyan bizonyításokkal, okoskodásokkal foglalkozunk, amelyekből kapott eredmények a józan eszünknek és az eddigi matematikai

Részletesebben