Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)"

Átírás

1 Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba viszi. Jelölés: A ~ B. Megjegyzés: Minden alakzat hasonló önmagához: A ~ A (reflexív). Ha A ~ B, akkor B ~ A (szimmetrikus). Ha A ~ B és B ~ C, akkor A ~ C (tranzitív). Hasonló alakzatok megfelelő oldalaik hosszának aránya egyenlő, s ez a hasonlóság aránya. Hasonló alakzatok megfelelő szögeinek nagysága egyenlő. Bármely két kör hasonló egymással. TÉTEL: (Háromszögek hasonlóságának alapesetei) Két háromszög akkor és csak akkor hasonló, ha a következő feltételek egyike teljesül: megfelelő oldalaik hosszának aránya páronként egyenlő 2 2 oldalhosszuk aránya egyenlő és az ezek által közbezárt szögek nagysága egyenlő 2 2 szögük páronként egyenlő nagyságúak 2 2 oldalhosszuk aránya egyenlő és e 2 2 oldal közül a nagyobbikkal szemközt levő szögek nagysága egyenlő Megjegyzés: Ha 2 háromszögre a fenti 4 feltétel közül bármelyik teljesül, akkor van olyan hasonlósági transzformáció, amelyik az egyik háromszöget a másikba viszi. TÉTEL: Két sokszög akkor és csak akkor hasonló, ha megfelelő oldalhosszaik aránya páronként egyenlő és megfelelő szögeik páronként egyenlő nagyságúak. Megjegyzés: Csak az egyik, illetve csak a másik tulajdonság nem elegendő a hasonlósághoz. 1

2 TÉTEL: A háromszög bármely két súlyvonala úgy metszi egymást, hogy a metszéspont mindkét súlyvonalat 1 2 arányban osztja két részre, a nagyobb rész másik végpontja a háromszög csúcsa. Megjegyzés: A súlypont a súlyvonalnak a háromszög csúcsától távolabbi harmadoló pontja. TÉTEL (Magasság tétel): Derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magasságának hossza mértani közepe azon két szakasz hosszának, amelyekre a magasság az átfogót osztja. Jelölés: m = p q. TÉTEL (Befogó tétel): Derékszögű háromszög befogójának hossza mértani közepe az átfogó és a befogónak az átfogóra eső merőleges vetülete hosszának. Jelölés: a = p c és b = q c. TÉTEL (Érintő szakasz tétele): Adott körhöz adott külső pontból húzott érintőszakasz hossza mértani közepe azon két szakasz hosszának, amelyek az adott pontra illeszkedő szelőn a ponttól a körrel alkotott metszéspontokig terjednek. Jelölés: PE = PA PB. 2

3 TÉTEL (Külső pontból húzott szelőszakaszok tétele): Adott körhöz adott külső P pontból húzott szelőszakaszok hosszának szorzata állandó. Jelölés: PA PB = PA PB. TÉTEL (Belső pontból húzott szelőszakaszok tétele): Ha egy adott kör adott P belső pontjára illeszkedő két húr végpontjai A, B illetve A, B, akkor teljesül a következő összefüggés: PA PB = PA PB. DEFINÍCIÓ (Pont körre vonatkozó hatványa): Egy P pont körre vonatkozó hatványán a ponttól a metszéspontokig terjedő szelőszakaszok hosszának szorzatát értjük. Megjegyzés: Külső pont esetén a hatványt pozitívnak, belső pont esetén negatívnak, a körvonalra illeszkedő pont esetén nullának tekintjük. DEFINÍCIÓ (Aranymetszés): Aranymetszésnek nevezzük egy szakasz 2 szakaszra vágását, ha a keletkező szakaszok kisebbikének hossza úgy aránylik a nagyobbhoz, mint a nagyobb a teljes szakasz hosszúságához. Jelölés: p < q esetén p q = q p+q. 3

4 Megjegyzés: Az aranymetszésnél a nagyobb szakasz hossza a rövidebbnek az 1+ 5 szöröse. Ennek az aránynak az ókorban nagy jelentőséget tulajdonítottak: a szépség, a harmónia arányának gondolták. Az aranymetszés megjelent a zenében, irodalomban, építészetben, képeken, szobrokon is. Az arányt tökéletesnek, isteni eredetűnek gondolták, s úgy vélték, hogy egy képzőművészeti munka akkor tökéletes, ha az elemei az aranymetszés aránya szerint követik egymást. Természetben is fellelhető ez az arány: levelek elhelyezkedése a napraforgó tányérján, fenyőtoboz és ananász felülete, egyes csigák mészváza. Gyakorlatban alkalmazható csigavonal, szabályos tíz-, illetve ötszög szerkesztéséhez. 2 TÉTEL: Hasonló síkidomok kerületének aránya a hasonlóság arányával, területének aránya a hasonlóság arányának négyzetével egyenlő. Jelölés: K T = λ és = K T λ2. TÉTEL: Hasonló testek felszínének aránya a hasonlóság arányának négyzetével, térfogatának aránya a hasonlóság arányának köbével egyenlő. Jelölés: A = A λ2 és V = V λ3. 4

5 1. Szerkessz 28 cm hosszúságú szakaszt! A szerkesztés lépései: Első lépés: A 28 at bontsuk fel két szám szorzatára, pl.: 28 = 4 7. Ezt követően vegyünk fel egy = 11 cm hosszú AB szakaszt, s jelöljük be rajta a szakaszt 4 cm re, illetve 7 cm re osztó P pontot. Második lépés: Az AB szakasz O felezőpontjából szerkesszünk Thalesz kört a szakasz fölé. Harmadik lépés: A P pontból állítsunk merőlegest az AB szakaszra és a körrel vett metszéspontja legyen C. Ekkor egy derékszögű háromszöget kapunk, s így a magasság - tétel alapján a CP szakasz hossza éppen 28 cm lesz. 2. Adott egy 3 cm és 5 cm oldalú téglalap. Szerkessz vele egyenlő területű négyzetet! Mivel a téglalap területe T = ab, a négyzet területe pedig T = x 2, így azt kapjuk, hogy x 2 = ab. Ezek alapján x = ab, vagyis a feladat szerint x = 3 5 = 15 cm. A megoldás tehát hasonlóan adódik az előző feladathoz. A szerkesztés lépései a következők: 5

6 Első lépés: Vegyünk fel egy = 8 cm hosszú AB szakaszt, s jelöljük be rajta a szakaszt 3 cm re, illetve 5 cm re osztó P pontot. Második lépés: Az AB szakasz O felezőpontjából szerkesszünk Thalesz kört a szakasz fölé. Harmadik lépés: A P pontból állítsunk merőlegest az AB szakaszra és a körrel vett metszéspontja legyen C, így megkapjuk a négyzet CP oldalát. Negyedik lépés: A CP oldal végpontjaiból állítsunk merőlegeseket az oldalra, s ezekre felmérve a CP oldal hosszát, megkapjuk a keresett négyszög további Q és R csúcsait is. 3. Egy világítótorony árnyéka 10 m hosszú, ugyanekkor ugyanott egy 2 m hosszú bot árnyéka 120 cm. Milyen magas a világítótorony? Mivel a torony az árnyékával hasonló háromszöget alkot, mint a bot az árnyékával, ezért a megfelelő szakaszok aránya megegyezik. Legyen a világítótorony magassága x, s ezek alapján felírható a következő aránypár: x = 2. Ebből átrendezés után kapjuk, hogy x = 16,7 m. 10 1,2 4. Egy egyenlő szárú háromszög alapja 3, 5 cm. Mekkorák a szárai, ha a négyszeresére nagyított háromszög kerülete 38 cm? Legyen a háromszög másik két szára x. A nagyított háromszög oldalai ekkor 14 cm, 4x és 4x. Ezek alapján felírható, hogy x + 4x = 38, amiből rendezés után x = 3 cm adódik. 6

7 5. Egy háromszög oldalai 12 cm, 16 cm és 20 cm hosszúak. Egy hozzá hasonló háromszög legnagyobb oldala 8 cm. Számítsd ki a másik két oldalának hosszát! Mivel a legnagyobb oldala 8 cm, ezért a hasonlóság aránya: λ = 8 = 0,4. Ezek alapján a másik 20 két oldal a következőképpen adódik: 12 0,4 = 4,8 cm és 16 0,4 = 6,4 cm. 6. Töltsd ki a táblázatot az ábrában szereplő derékszögű háromszög jelölései alapján! a b c p q m Alkalmazzuk a Pitagorasz, illetve befogó - és magasság tételeket a háromszögekben. Első sor: c 2 = c = 13 5 = 13p p = 1,9 12 = 13q q = 11,1 m = 1,9 11,1 m = 21,1 Második sor: 10 = 24p p = 4,2 c = ,2 = 28,2 a = 4,2 28,2 a = 10,9 b = 24 28,2 b = 26 Harmadik sor: 20 2 = p 2 p = = 12q q = 21,3 c = ,3 = 33,3 b 2 = ,3 2 b = 26,6 7

8 7. Egy derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága az átfogót egy 3 cm - es és egy 8 cm - es darabra osztja. Mekkorák a háromszög oldalai és magassága? Alkalmazzuk a befogó - és magasság tételeket a háromszögekben. c = = 11 cm a = 3 11 = 5,7 cm m = 3 8 = 4,9 cm b = 8 11 = 9,4 cm 8. Egy derékszögű háromszög befogói hosszainak aránya 5 6. Az átfogó 122 cm hosszúságú. Határozd meg az átfogóhoz tartozó magasság és a magasság által az átfogóból kivágott szeletek hosszát. Alkalmazzuk a Pitagorasz, illetve befogó - és magasság tételeket a háromszögekben. (5x) 2 + (6x) 2 = x 2 = x = 15,6 a = 5 15,6 = 78 cm b = 6 15,6 = 93,6 cm 78 = 122p p = 49,9 cm 93,6 = 122q q = 71,8 cm m = 49,9 71,8 m = 59,8 cm 8

9 9. Egy derékszögű háromszög átfogójának hossza 16 cm. Az átfogóhoz tartozó magasság az átfogót 1 3 arányban osztja két részre. Számítsd ki a befogók hosszát! Ezek alapján azt kapjuk, hogy x + 3x = 16, amiből x = 4 cm adódik, vagyis az a oldal merőleges vetülete 4 cm, a b oldal merőleges vetülete 12 cm hosszú. Végül a befogó - tétel segítségével kiszámíthatjuk a hiányzó oldalakat: a = 4 16 a = 8 cm b = b = 13,8 cm 10. Egy derékszögű háromszög átfogójához tartozó magasság 2 7 arányban osztja az átfogót. A háromszög legkisebb oldala 6 cm. Mekkora a másik két oldal? Alkalmazzuk a Pitagorasz - és befogó tételeket a háromszögekben. 6 = 2x 9x x = 2 c = 9 2 c = 12,7 cm b 2 = 12,7 2 b = 11,2 cm 9

10 11. Egy derékszögű háromszögben a befogók hosszának aránya 5 3. Az átfogóhoz tartozó magasság az átfogót két olyan szakaszra osztja, amelyek közül az egyik 4 cm rel hosszabb, mint a másik. Számítsd ki az átfogó és az átfogóhoz tartozó magasság hosszát! A befogó tétel alapján felírható két összefüggés: a 2 = c x és b 2 = c (x + 4). Mivel a befogók aránya 3 5, ezért a következő adódik: a2 b 2 = 9y2 25y 2 = 9 25 = c x c (x+4) = Az egyenletet rendezve azt kapjuk, hogy x = 2,25 cm. Az átfogó hossza ezek alapján: c = 2x + 4 = 8,5 cm. Végül alkalmazzuk a magasság - tételt: m = x (x + 4) = 3,75 cm. x x Egy derékszögű háromszög egyik befogója 8 cm, a másik befogó átfogóra eső merőleges vetülete 12 cm. Számítsd ki a háromszög hiányzó oldalait és az átfogóhoz tartozó magasságot! A befogó tétel alapján a következő adódik: 8 = p (p + 12). Ezt átrendezve a következő másodfokú egyenletet kapjuk: p p 64 = 0. 10

11 A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai p 1 = 4 és p 2 = 16. A p 2 nem felel meg a feladatnak, így p = 4 cm. Ebből adódik, hogy c = = 16 cm. Ezek után a magasság - tétel alapján a következő adódik: m = 12 4, amiből m 6,9 cm. Végül Pitagorasz tétel segítségével kiszámíthatjuk a másik befogót is: b 2 = 16 2 b 13,6 cm 13. Egy derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága két olyan részre osztja az átfogót, melyek közül az egyik 2 cm rel hosszabb a másiknál. A háromszög hosszabb befogója 12 cm. Számítsd ki a hiányzó oldalakat és az átfogóhoz tartozó magasságot! A befogó tétel alapján a következő adódik: 12 = (p + 2) (2p + 2). Ezt átrendezve a következő másodfokú egyenletet kapjuk: p 2 + 3p 70 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai p 1 = 7 és p 2 = 10. A p 2 nem felel meg a feladatnak, így p = 7 cm és q = = 9 cm. Ebből adódik, hogy c = = 16 cm. Ezek után a magasság - tétel alapján a következő adódik: m = 7 9, amiből m 7,9 cm. Végül Pitagorasz tétel segítségével kiszámíthatjuk a másik befogót is: a = 16 2 a 10,6 cm 11

12 14. Egy adott körhöz egy külső P pontból húzott szelőnek a körrel vett metszéspontjai P - től 5 cm, illetve 20 cm távolságra vannak. Milyen hosszú érintő szakasz húzható P - ből a körhöz? Az érintőszakasz - tétele alapján a következő adódik: PE = 5 20 = 100 = 10 cm. 15. Húzzunk egy körhöz egy külső pontból két szelőt. Az egyik szelőnek 3 cm, a másiknak 4 cm hosszú a kör és a külső pont közé eső szakasza. Ez utóbbi szelőnek a körbe eső szakasza 5 cm es. Milyen hosszú a másik szelő körbe eső szakasza? Mekkora érintőszakasz húzható ugyanebből a külső pontból a körhöz? A szelőszakaszok - tétele alapján a következő adódik: 4 9 = 3 (3 + x), amiből x = 9 cm. Az érintő - szakasz tétele alapján pedig a következőt kapjuk: PE = 4 9 = 36 = 6 cm. 12

13 16. Húzzunk egy körhöz egy külső pontból érintőt, illetve szelőt! A szelőnek a külső pont és a kör közötti szakasza 4 cm, az érintőszakasz pedig 8 cm. Milyen hosszú húrt metsz ki a kör a szelőből? Az érintőszakasz - tétele alapján a következő adódik: 8 = 4 (4 + x), amiből x = 12 cm. 17. Egy adott körhöz egy külső P pontból olyan szelőt húzunk, amelynek a körön kívüli szakasza 6 cm, a körön belüli húr pedig 18 cm hosszú. Milyen hosszú érintő húzható a P pontból? Számítsd ki, hogy milyen messze van a P pont a körvonaltól, ha a kör sugara 16 cm! A szelőszakaszok - tétele alapján a következő adódik: 6 24 = x (x + 32). 13

14 Ezt átrendezve a következő másodfokú egyenletet kapjuk: x x 144 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai x 1 = 4 és x 2 = 36. Az x 2 nem felel meg a feladatnak, így 4 cm re van a körvonaltól a P pont. Az érintőszakasz - tétel alapján pedig a következő adódik: PE = 6 24 = 144 = 12 cm. 18. Egy 10 cm sugarú körhöz a középponttól 26 cm re levő P pontból két szelőt húzunk. Az egyik szelő átmegy a kör középpontján, a másik szelőnek a körbe eső húrja 14 cm. Mekkora ez utóbbi szelő rövidebb szelete? Számítsd ki, hogy milyen hosszú érintő húzható a P pontból? A szelőszakaszok - tétele alapján a következő adódik: = x (x + 14). Ezt átrendezve a következő másodfokú egyenletet kapjuk: x x 576 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai x 1 = 18 és x 2 = 32. Az x 2 nem felel meg a feladatnak, így 18 cm a szelő rövidebb szelete. Az érintőszakasz - tétel alapján pedig a következő adódik: PE = = 576 = 24 cm. 14

15 19. Egy körhöz egy külső pontból húzzunk egy érintőt és egy szelőt. Az érintőszakasz hossza 12 cm, a szelő kisebbik szelete pedig 6 cm. Mekkora a kör sugara, ha a szelőnek a kör középpontjától való távolsága 12 cm? Legyen az A és B pont távolsága x. Az érintőszakasz - tétele alapján a következő adódik: 144 = 6 (6 + x), amiből x = 18 cm. Mivel az AOB egyenlőszárú, így a C pont felezi az AB szakaszt. A Pitagorasz tétel alapján a következő adódik: = r 2, amiből r = 15 cm. 20. Hányszorosára változik egy sokszög kerülete és területe, ha oldalinak hosszát 3 szorosára változtatjuk? Mivel a hasonlóság aránya λ = 3, így a kerületük λ = 3 - szorosára, a területük pedig λ 2 = 9 szeresére változik. 21. Hány cm 2 t foglal el Magyarország egy méretarányú térképen, ha Magyarország területe T km 2? Mivel a hasonlóság aránya λ = T = ( )2 = 1, km 2, ami 103,3 cm 2., ezért a térképen elfoglalt terület nagysága 15

16 22. Egy háromszög oldalai 2 cm, 3 cm és 4 cm hosszúságúak. A hozzá hasonló háromszög kerülete 12 cm. Határozd meg az utóbbi háromszög oldalainak hosszát. Az eredeti háromszög kerülete K = 9 cm, vagyis a hasonlóság aránya: λ = K K = 12 9 = 4 3. A hasonló háromszög oldalai ezek alapján: a = 2 4 = 8 = 2,7 cm 3 3 b = 3 4 = 4 cm 3 c = 4 4 = 16 = 5,3 cm Két hasonló háromszög egymásnak megfelelő oldalai 5 cm és 3 cm hosszúságúak. A két háromszög kerületének különbsége 7 cm. Határozd meg a két háromszög kerületének hosszát. Legyen az eredeti háromszög kerülete x, a hasonló háromszög kerülete pedig x 7. A szöveg alapján a hasonlóság aránya: λ = a a = 3 5. Ekkor felírhatjuk a következő egyenletet: 3 x = x 7, amiből x = 17,5. 5 Ezek alapján az eredeti háromszög kerülete 17,5 cm, a hasonló háromszögé pedig 10,5 cm. 24. Egy derékszögű háromszög befogói 5 cm és 12 cm. Az átfogóhoz tartozó magasság a háromszöget két háromszögre bontja. Mennyi a két háromszög területének aránya? A keletkező két kisebb háromszög hasonló egymáshoz, így a hasonlóság aránya λ = Ezek alapján a háromszögek területeinek aránya pedig λ 2 =

17 25. Egy tanteremben a tábla és a faliújság hasonló téglalap alakúak. A faliújság átlós mérete 1 m, a táblának pedig a rövidebb oldala 1 m, a hosszabbik 2 m. Hányszorosa a tábla területe a faliújságénak? A tábla átlóját kiszámíthatjuk Pitagorasz tétel segítségével: = x 2, amiből x = 5. A két átló hasonló egymáshoz, így a hasonlóság aránya λ = 5, vagyis a tábla területe λ 2 = 5 szörösére változik. 26. Két négyzet közül az egyik oldalának hossza 4 cm rel nagyobb a másikénál, területeik különbsége pedig 56 cm 2. Számítsd ki az oldalhosszak arányát! Hogyan aránylanak egymáshoz a területek? Legyen az egyik négyzet oldala x, a másik oldala pedig x + 4. A szöveg alapján felírhatjuk a következőt: (x + 4) 2 x 2 = 56, amiből x = 5. Így az egyik négyzet oldala 5 cm, a másiké 9 cm. Ezek alapján az oldalak aránya λ = 5 9, a területek aránya pedig λ2 = Az ABC háromszög területét megfelezzük egy, a háromszög AB oldalával párhuzamos egyenessel. Milyen hosszú a területet felező egyenesnek a háromszögbe eső szakasza, ha AB = 6 cm? Mivel a területek aránya λ 2 = 2, így a hasonlóság aránya λ = 2. Ezek alapján felírhatjuk a következő aránypárt: A B 6 = 2, vagyis A B = 4,24 cm. 17

18 28. Két szabályos háromszög egy egy oldalhosszának összege 20 cm. Számítsd ki a háromszögek oldalainak hosszát, ha területeik aránya 4 9! Legyen az egyik háromszög oldala x, a hasonló háromszög oldala pedig 20 x. Mivel a két szabályos háromszög hasonló egymáshoz, így a hasonlóság aránya λ = 4 9 = 2 3. Ekkor felírhatjuk a következő egyenletet: x = 2 (20 x), amiből x = 8. 3 Ezek alapján a háromszög oldalai 8 cm, a hasonló háromszög oldalai pedig 12 cm hosszúak. 29. Adott két kör, a sugarak hosszának összege 20 cm. Tekintsünk mindkét körben egy egy ugyanakkora középponti szöghöz tartozó körcikket. Ezek területének aránya Számítsd ki a sugarak hosszát! Legyen az egyik kör sugara x, a másik kör sugara pedig 20 x. Mivel a két kör hasonló egymáshoz, ezért a hasonlóság aránya λ = = 4 5. Ekkor felírhatjuk a következő egyenletet: x = 4 (20 x), amiből x = 8,9. 5 Ezek alapján a kör sugara 8,9 cm, a hasonló kör sugara pedig 11,1 cm hosszú. 30. Egy egyenlő szárú háromszög alapja 10 cm, szára 12 cm hosszúságú. A csúcstól számítva mekkora hosszúságú szakaszt vág le a szárból az alappal párhuzamos egyenes, ha a lemetszett háromszög területe az eredetinek negyede? Mivel a két háromszög hasonló egymáshoz, így a hasonlóság aránya: λ = 1 4 = 1 2. Ezek alapján a kis háromszög szárai 12 1 = 6 cm hosszúak. 2 18

19 31. Egy háromszög egyik oldalát 3 5 arányban ketté osztottuk. Az osztópontból párhuzamost húzunk a háromszög másik két oldalával. Hogyan aránylik az így kapott paralelogramma területe az eredeti háromszög területéhez? Az eredeti ABC, s a két keletkező APR és PBQ hasonlóak egymáshoz. Az APR és az ABC oldalainak aránya λ = 5 8. Ezek alapján a területeik aránya λ2 = A PBQ és az ABC oldalainak aránya λ = 3 8. Ezek alapján a területeik aránya λ2 = A paralelogramma területe így = 30 = 15 része az eredeti háromszögnek Egy háromszög oldalait öt egyenlő részre osztottuk, és a szomszédos oldalaknak a közös csúcshoz legközelebbi osztópontjait összekötöttük. Hogyan aránylik a háromszög csúcsainál keletkező kis háromszögek levágásával kapott hatszög területe az eredeti háromszög területéhez? A kis háromszögek hasonlóak a nagy háromszöghöz, így a hasonlóság aránya λ = 1 5. Ekkor a kis háromszögek és a nagy háromszög területének aránya λ 2 = Ezek alapján a hatszög és az eredeti háromszög területének aránya: T hatszög T háromszög = =

20 33. Hányszorosára változik egy sokszögek által határolt test felszíne és térfogata, ha oldalainak hosszát 10 - szeresére változtatjuk? Mivel a hasonlóság aránya λ = 10, így a felszíne λ 2 = 100 szorosára, a térfogata pedig λ 3 = 1000 szeresére változik. 34. Két hasonló test térfogatának aránya Add meg a testek felszínének arányát! Mivel a hasonló testek térfogatának aránya λ 3 = , ezért a hasonlóság aránya λ = = Ezek alapján a testek felszínének aránya pedig λ 2 = A Föld közepes átmérője közelítőleg 11 szorosa a Hold átmérőjének. Hogyan 3 aránylik egymáshoz a két égitest felszíne és térfoagat? Mivel a hasonlóság aránya λ = 11 3, így az égi testek felszínének aránya λ2 = 121 9, a térfogatok aránya pedig λ 3 = Két kocka élhosszának különbsége 3 dm, térfogataik különbsége 37 dm 3. Számítsd ki a két kocka hasonlóságának arányát! Hogyan aránylanak egymáshoz a térfogatok? Legyen az egyik kocka élhossza x, a másik élhossza pedig x + 3. Ezek alapján felírhatjuk a következő egyenletet: (x + 3) 3 x 3 = 37. Az egyenletet rendezve azt kapjuk, hogy 9x x 10 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai x 1 = 1 3 és x 2 = Mivel a második megoldás nem felel meg a szövegnek így az egyik kocka élhossza 1 3 dm, a másiké pedig 10 3 dm. Ezek alapján a hasonlóság aránya λ = 10, a térfogatuk aránya pedig λ 3 =

21 37. Egy 10 cm sugarú fémgolyót felolvasztunk, majd 1 cm sugarú gömbökaet öntünk belőle. Ilyen módon hány golyóhoz juthatunk? Hányszorosa lesz a kis golyók együttes felszíne és térfogata az eredetinek? Az eredeti fémgolyó felszíne: A = π = 1256 cm 2. Az eredeti fémgolyó térfogata: V = π 3 = 4186,67 cm 3. Egy darab kis golyó felszíne: A = π = 12,56 cm 2. Egy darab kis golyó térfogata: V = 4 13 π 3 = 4,18667 cm 3. Ezek alapján 4186,67 = 1000 darab kis golyóhoz juthatunk. 4,18667 Mivel 1000 darab kis golyó térfogata 4186,67 cm 3, így ez nem változott az eredetihez képest. Mivel 1000 darab kis golyó felszíne cm 2, így ez az eredetihez képest 10 szeresére változott. 38. Bizonyítsd be, hogy az aranymetszésnél a nagyobb szakasz hossza a rövidebbnek az szöröse. Tekintsük a következő aranymetszésre vonatkozó összefüggést: p < q esetén p q = q p+q. Az egyenletet rendezve a következőt kapjuk: q 2 pq p 2 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy a két megoldás: q 1 = p 1+ 5 Mivel az érték nem lehet negatív, ezért a q 2 nem lesz jó megoldás. 2 és q 2 = p Ezek alapján azt kapjuk, hogy a szakaszok aránya: q p =

22 39. Szerkeszd meg egy 6 cm hosszú szakasz aranymetszetét! A szerkesztés lépései a következők: Első lépés: Vegyünk fel egy 6 cm hosszú AB szakaszt. Második lépés: A szakasz B végpontjára állítsunk merőlegest. Harmadik lépés: B től 6 = 3 cm re a merőlegesen jelöljük ki az O pontot. 2 Negyedik lépés: Szerkesszük meg az O középpontú 3 cm es sugarú kört. Ötödik lépés: Az O n keresztül húzzunk szelőt az A pontból. Hatodik lépés: A keletkező két metszéspontot jelöljük C vel, illetve D vel. Ekkor az AC szakasz lesz az AB szakasz aranymetszete. Írjunk fel összefüggést az AB érintőre és az AC szelőre: AB 2 = AC AD 6 2 = AC ( AC + 6) AC 6 = 6 AC +6 22

23 40. Bizonyítsd be, hogy ha az egyenlő szárú háromszög szárszöge 36, akkor az alap a szárnak aranymetszete! Vegyünk fel egy egyenlő szárú háromszöget, melynek alapja legyen AB. Tekintsük továbbá az A - ból induló szögfelezőt, mely a BC oldalt a D pontban metszi. Ekkor az ABD és ABC hasonló egymással, mert mindkét háromszögben a szögek nagysága egyenlő (36, 72, 72 ). Ezek alapján az ADC egyenlőszárú, így legyen AB = AD = DC = c, továbbá BD = a c. A hasonlóságnál az egymásnak megfelelő oldalak aránya c = a c, így a c alap aranymetszete a az a szárnak. c 41. Bizonyítsd be, hogy a szabályos tízszög köré írt kör sugarának aranymetszete a tízszög oldala! Szerkessz egy 4 cm sugarú körbe szabályos tízszöget! Mivel a szabályos tízszög a köré írt kör középpontjából a csúcsokhoz húzott sugarakkal 10 egyenlő szárú háromszögekre bontható, így ezeknek a háromszögeknek a kör középpontjánál található szárszögeik = 36. Az előző feladat alapján, ezen háromszögek alapja (a szabályos tízszög oldala) aranymetszete a háromszögek szárainak (a köré írt kör sugarának). A szerkesztés lépései a következők: 23

24 Első lépés: Szerkesszük meg a 4 cm es sugár aranymetszetét, s ez lesz a tízszög oldala. Második lépés: A sugár körvonalra eső végpontjából, körözzünk a tízszög oldalhosszával. Harmadik lépés: A keletkező metszéspontból ismét körözzünk az oldalhosszal, s ezt ismételjük meg addig, amíg a kezdő pontba vissza nem jutunk. Végül kössük össze a kapott pontokat. 42. Szerkessz egy 4 cm sugarú körbe szabályos 5 szöget! Szerkesszük meg a szabályos tízszög csúcsait és azokból csak minden másodikat kössük össze. 24

25 43. Bizonyítsd be, hogy a szabályos ötszög oldala az átlójának aranymetszete! Mivel szabályos ötszögről van szó, ezért az AOB = = 72. Az ezzel a szöggel azonos íven nyugvó kerületi szög fele akkora, mint a középponti szög, vagyis ADB = 36. Mivel az ABD egyenlő szárú és szárszöge 36, így az előző feladatok alapján az alapja (az ötszög oldala) a szárának (az ötszög átlójának) aranymetszete. 44. Bizonyítsd be geometriai eszközökkel, hogy két pozitív szám számtani közepe mindig nagyobb vagy egyenlő, mint ugyanezen számok mértani közepe, azaz a+b ab! Szerkesszük meg egy a + b átmérőjű körbe a CP = ab hosszúságú szakaszt, majd húzzuk be az AB átmérőre merőleges OD = a+b sugarat, s így megkapjuk az állítást. Egyenlőség akkor 2 adódik, ha a = b. 2 25

26 45. Bizonyítsd be, hogy bármely két kör hasonló egymással! Két alakzat akkor hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció (egybevágósági transzformáció és középpontos hasonlósági transzformáció egymás utáni végrehajtása), amely az egyik alakzatot a másikba viszi. Első lépés: Vegyünk fel tetszőlegesen két különböző hosszú sugárral rendelkező K 1 és K 2 kört, majd a kisebb sugarat toljuk el O 1 2 vektorral, vagyis ekkor a két kör középpontja egybeesik. Második lépés: Forgassuk el a kisebb kör sugarát a körök középpontja körül egy α szöggel úgy, hogy a két kör sugara fedje egymást. Harmadik lépés: A körök középpontjából végezzük el az λ = r 2 r 1 arányú nagyítást. A fenti lépések alapján egy eltolással, egy forgatással és egy középpontos hasonlósági transzformációval sikerült a két kör sugarát (és így a köröket is) egymásba vinnünk. 46. Bizonyítsd be a magasság és befogó tételt! 26

27 Mivel az ACD és az BCD háromszög szögei egyenlő nagyságúak (α, 90 α, 90 ), ezért a két háromszög hasonló egymással. Ekkor a megfelelő oldalak hosszának aránya egyenlő. Tekintsük a két háromszög megfelelő befogóinak arányát: m q = p m. Ebből átrendezéssel adódik a magasság tétel: m 2 = p q, vagyis m = p q. Mivel az ABC és a BCD háromszög szögei egyenlő nagyságúak (α, 90 α, 90 ), ezért a két háromszög hasonló egymással. Ekkor a megfelelő oldalak hosszának aránya egyenlő. Tekintsük a két háromszög megfelelő befogóinak és átfogóinak arányát: a c = p a. Ebből átrendezéssel adódik a befogó tétel egyik alakja: a 2 = c p, vagyis a = c p. Mivel az ABC és a ACD háromszög szögei egyenlő nagyságúak (α, 90 α, 90 ), ezért a két háromszög hasonló egymással. Ekkor a megfelelő oldalak hosszának aránya egyenlő. Tekintsük a két háromszög megfelelő befogóinak és átfogóinak arányát: b c = q b. Ebből átrendezéssel adódik a befogó tétel másik alakja is: b 2 = c q, vagyis b = c q. 47. Bizonyítsd be a körhöz húzott érintő - és szelőszakaszok tételét! 27

28 Mivel az ABE és az AEP ugyanúgy az AE körívhez tartozó kerületi szög, ezért a két szög nagysága megegyezik. Ezek alapján a PBE és a PAE megfelelő szögeik egyenlő nagyságúak, vagyis a két háromszög hasonló. Tekintsük a két háromszög megfelelő oldalainak arányát: PB PE = PE PA. Ebből átrendezéssel adódik a tétel: PE 2 = PA PB, vagyis PE = PA PB. 48. Bizonyítsd be, hogy hasonló háromszögek kerületének aránya a hasonlóság arányával, területének aránya a hasonlóság arányának négyzetével egyenlő! Legyen a hasonlóság aránya λ, ekkor a felírhatjuk a következő aránypárokat: λ = a = b = c a b c a = λ a b = λb c = λa λ = m a m a m a = λ m a Ezek felhasználásával írjuk fel a kerületek és területek arányát: K = a + b + c K a + b + c = λa + λb + λc λ (a + b + c) = = λ a + b + c a + b + c 1 T = 2 a m a 1 T 2 a m a = 1 2 λ a λ m 1 a 2 1 = λ2 a m a 2 a m 1 a 2 a m a = λ 2 Mivel minden sokszög egy csúcsából húzható átlókkal háromszögekre bontható, ezért a tétel igaz tetszőleges sokszögekre is. Brósch Zoltán 28

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika Hasonlóság kísérleti feladatgyűjtemény 10. osztályos matematika POKG 2015. Hasonló háromszögek oldalaránya 0. Keressük meg az alábbi háromszögek összetartozó oldalpárjait és arányossággal számítsuk ki

Részletesebben

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két

Részletesebben

Hatvány, gyök, normálalak

Hatvány, gyök, normálalak Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-3.1.4-08/-009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár, 010.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög, 52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes

Részletesebben

GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a

GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a GOMTRI ndrea Philippou, Marios ntoniades Szakaszok és félegyenesek gy szakasz felezőmerőlegese egy olyan egyenes, félegyenes vagy szakasz, ami áthalad a szakasz középpontján és merőleges a szakaszra. Tétel:

Részletesebben

1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT:

1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT: 1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT: a) ( 7) + ( 12) = 19 b) ( 24) + (+15) = 9 c) ( 5) + ( 27) = 32 d) (+19) + (+11) = +30 e) ( 7) ( 25) = +175 f) ( 5) (+14) = 70 g) ( 36) (+6)

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer! MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok 10. Síkgeometria I. Elméleti összefoglaló Szögek, nevezetes szögpárok Egy adott pontból kiinduló két félegyenes a síkot két részre bontja. Egy-egy ilyen rész neve szögtartomány, vagy szög. A két félegyenest

Részletesebben

11. Geometriai transzformációk

11. Geometriai transzformációk 11. Geometriai transzformációk I. Elméleti összefoglaló Geometriai transzformációknak nevezzük azokat a függvényeket, amelyeknek az értelmezési tartománya és értékkészlete is ponthalmaz. Ha a transzformáció

Részletesebben

12. Trigonometria I.

12. Trigonometria I. Trigonometria I I Elméleti összefoglaló Szögmérés A szög mérésének két gyakran használt módja van: fokban, illetve radiánban (ívmértékben) mérünk A teljesszög 0, ennek a 0-ad része az A szög nagyságát

Részletesebben

Telepítő programok. Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram)

Telepítő programok. Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram) Telepítő programok Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram) Súgó Menü Súgó Visszalépés a főmenübe Visszalépés a kiválasztott

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny 9. osztály 1. feladat: Oldjuk meg a természetes számok halmazán az 1 1 1 egyenletet? x y 009 Kántor Sándor (Debrecen). feladat: B Az ABCD deltoidban az A és C csúcsnál derékszög van, és a BD átló 1 cm.

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II.

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II. Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára II. 1. Alakítsuk át a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetek jelenjenek meg: a) x 2 2x + b) x 2 6x + 10 c) x 2 + x + 1 d) x 2 12x + 11 e) 2x 2

Részletesebben

Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek

Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek 2013. 11.19. Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek csoportosítása szögeik szerint (hegyes-,

Részletesebben

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 2003. Próba 14. Egy hajó a Csendes-óceán egy szigetéről elindulva 40 perc alatt 24 km-t haladt észak felé, majd az eredeti haladási irányhoz képest 65 -ot nyugat

Részletesebben

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer)

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) Ezt a módszert akkor alkalmazzuk, amikor könnyebb bizonyítani egy állítás ellentettjét, mintsem az állítást direktben. Ez a módszer

Részletesebben

NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz

NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz Gedeon Veronika (Budapest) A javítókulcsban feltüntetett válaszokra a megadott pontszámok adhatók. A pontszámok részekre

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria V.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria V. Geometria V. DEFINÍCIÓ: (Középponti szög) Ha egy szög csúcsa egy adott kör középpontja, akkor a kör középponti szögének nevezzük. DEFINÍCIÓ: (Kerületi szög) Ha egy szög csúcsa egy adott körvonal pontja,

Részletesebben

A III. forduló megoldásai

A III. forduló megoldásai A III. forduló megoldásai 1. Egy dobozban pénzérmék és golyók vannak, amelyek vagy ezüstből, vagy aranyból készültek. A dobozban lévő tárgyak 20%-a golyó, a pénzérmék 40%-a ezüst. A dobozban levő tárgyak

Részletesebben

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2 3... Egyenes szíjhatás esetén milyen hosszú szíj szükséges 50 cmes és 6 cm-es sugarú tárcsák összekapcsolásához, ha a tárcsák tengelyeinek távolsága 335 cm? 3... Csónakkal akarunk a folyó túlsó partjára

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Gyaorló feladato Eponenciális és logaritmusos ifejezése, egyenlete. Hatványozási azonosságo. Számítsd i a övetező hatványo pontos értéét! g) b) c) d) 7 e) f) 9 0, 9 h) 0, 6 i) 0,7 j), 6 ), l). A övetező

Részletesebben

A táblára felírtuk a 0-tól 2003-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 2004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege?

A táblára felírtuk a 0-tól 2003-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 2004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege? ! " # $ %& '()(* $ A táblára felírtuk a 0-tól 00-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege? 0 0 0 0 0. 9 7. 9 9 9 + ')./ &,- $ Először a 0-tól 999-ig

Részletesebben

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot! Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Deiniálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!. Csoportosítsa a négyszögeket az oldalak párhuzamossága, és egyenlősége alapján! 3. Határozza meg a

Részletesebben

1 = 1x1 1+3 = 2x2 1+3+5 = 3x3 1+3+5+7 = 4x4

1 = 1x1 1+3 = 2x2 1+3+5 = 3x3 1+3+5+7 = 4x4 . Orchidea Iskola VI. Matematika verseny 0/0 II. forduló = x + = x ++ = x +++ = x Ennek ismeretében mennyivel egyenlő ++++...+9+99=? A ) 0. D ) 0 000 6 C ) 0 D ) A Földközi-tengerben a só-víz aránya :

Részletesebben

+ 3 5 2 3 : 1 4 : 1 1 A ) B ) C ) D ) 93

+ 3 5 2 3 : 1 4 : 1 1 A ) B ) C ) D ) 93 . Mennyi az alábbi művelet eredménye? 4 + 4 : 5 : 5 + 8 07 9 A ) B ) C ) D ) E ) 9 9 9 9 9. Egy digitális órát (amely 4 órás üzemmódban működik) pontosan beállítottunk. Kiderült azonban, hogy egy nap átlagosan

Részletesebben

V. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 11. évfolyam

V. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 11. évfolyam 01/01 1. Ha egy kétjegyű szám számjegyeit felcseréljük, akkor a kapott kétjegyű szám értéke az eredeti szám értékénél 108 %-kal nagyobb. Melyik ez a kétjegyű szám? Jelölje a kétjegyű számot xy. 08 A feltételnek

Részletesebben

Harmadik epochafüzet

Harmadik epochafüzet Harmadik epochafüzet Matematika 9. évfolyam Tulajdonos:... HARMADIK EPOCHAFÜZET GEOMETRIA Tartalomjegyzék Kurzus leírás...2 Alapfogalmak...3 Szögszámítás, nevezetes szögpárok...5 A háromszög...8 Összefüggések

Részletesebben

Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály

Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály 1. félév 1. Kombinatorika, halmazok Számoljuk össze! Összeszámlálási feladatok Matematikai logika Halmazok Halmazműveletek Halmazok elemszáma,

Részletesebben

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804)

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804) Matematika A definíciókat és tételeket (bizonyítás nélkül) ki kell mondani, a tananyagrészekhez tartozó alap- és közepes nehézségű feladatokat kell tudni megoldani A javítóvizsga 60 -es írásbeliből áll.

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Kombinatorika, halmazok Összeszámlálási feladatok Halmazok, halmazműveletek, halmazok elemszáma Logikai szita Számegyenesek intervallumok Algebra és

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 10. évfolyam TANULÓK KÖNYVE. FÉLÉV A kiadvány KHF/4365-1/008. engedélyszámon 008.08.8. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/7 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

MATEMATIKA A 10. évfolyam

MATEMATIKA A 10. évfolyam MATEMATIKA A 10. évfolyam 8. modul Hasonlóság és alkalmazásai Készítették: Vidra Gábor, Lénárt István Matematika A 10. évfolyam 8. modul: Hasonlóság és alkalmazásai A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 1. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! a) b) 7 c) 5 d) 5 1 e) 6 1 6 f) ( 81 16 ) g) 0,00001 5. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat!

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 203 I. rész. Oldja meg a következő egyenletet: x 2 25. Az egyenlet megoldása: 2. Egy vállalat 280 000 Ft-ért vásárol egy számítógépet. A számítógép évente 5%-ot veszít az értékéből.

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező

Részletesebben

Ismétlő feladatsor: 10.A/I.

Ismétlő feladatsor: 10.A/I. Ismétlő feladatsor: 0.A/I. Harasztos Barnabás 205. január. Feladat Mekkora az alábbi ábrán (szürkével) jelölt síkidom összterülete? A terület egységének a négyzetrács egy négyzetének területét tekintjük!

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. május 3. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. május 3. KÖZÉPSZINT MATMATIKA ÉRTTSÉGI 011. május 3. KÖZÉPSZINT 1) gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6 b b 36 6 I. Az egyszerűsítés utáni alak: b 6 Összesen: pont ) A, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával

Részletesebben

SZÁMTANI SOROZATOK. Egyszerű feladatok. 1. Egy számtani sorozatban:

SZÁMTANI SOROZATOK. Egyszerű feladatok. 1. Egy számtani sorozatban: SZÁMTANI SOROZATOK Egyszerű feladatok. Egy számtani sorozatban: a) a, a 29, a? 0 b) a, a, a?, a? 80 c) a, a 99, a?, a? 0 20 d) a 2, a2 29, a?, a90? 2 e) a, a, a?, a00? 2. Hány eleme van az alábbi sorozatoknak:

Részletesebben

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24 OKTATÁSI MINISZTÉRIUM M/D/13 Dolgozók gimnáziuma Dolgozók szakközépiskolája Szakmunkások szakközépiskolája intenzív tagozat) 003. május ) Határozza meg a következő egyenlet racionális gyökét! 1 3 4 + 5

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. október 15. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. október 15. KÖZÉPSZINT I. 1) Az A halmaz elemei a MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 01. október 15. KÖZÉPSZINT I. 5 -nél nagyobb, de -nél kisebb egész számok. B a pozitív egész számok halmaza. Elemeinek felsorolásával adja meg az halmazt! A\

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VIII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VIII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VIII. 1. Melyik az a szám, amelynek a felét és az ötödét összeszorozva, a szám hétszeresét kapjuk? Legyen a keresett szám:. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet:

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 12.E ÉS 13.A OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 31 HÉT/ ÖSSZ 124 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 12.E ÉS 13.A OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 31 HÉT/ ÖSSZ 124 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 091 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május 3. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

A 2006-2007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója

A 2006-2007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója SZAKKÖZÉPISKOLA A 006-007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója. Feladat: Egy számtani sorozat három egymást követő tagjához rendre 3-at, -et, 3-at adva

Részletesebben

Másodfokú egyenletek. 2. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő,a valós számok halmazán értelmezett függvényeket!

Másodfokú egyenletek. 2. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő,a valós számok halmazán értelmezett függvényeket! Másodfokú egyenletek 1. Alakítsuk teljes négyzetté a következő kifejezéseket! a.) - 4 + 4 b.) - 6 + 8 c.) + 8 - d.) - 4 + 9 e.) - + 8 - f.) - - 4 + 3 g.) + 8-5 h.) - 4 + 3 i.) -3 + 6 + 1. Ábrázoljuk és

Részletesebben

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2 Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

13. Trigonometria II.

13. Trigonometria II. Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája

Részletesebben

14. Vektorok. I. Elméleti összefoglaló. Vektor. Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük:

14. Vektorok. I. Elméleti összefoglaló. Vektor. Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük: 14. Vektorok I. Elméleti összefoglaló Vektor Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük: Jelölés: a kezdő és a végpont megadásával: AB ; egy kisbetűvel: v, írásban aláhúzás is szokásos: a; nyomtatásban

Részletesebben

SZERKESZTÉS SZÁMÍTÓGÉPPEL

SZERKESZTÉS SZÁMÍTÓGÉPPEL SZERKESZTÉS SZÁMÍTÓGÉPPEL Ha már ismerjük a szerkesztés szabályait, és ezeket a gyakorlatban is jól tudjuk alkalmazni, akkor érdemes megismerkedni a számítógépes lehetőségekkel. Így olyan eszköz áll rendelkezésünkre,

Részletesebben

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel

Részletesebben

19. Területszámítás. Minden sokszöghöz hozzárendelünk egy pozitív valós számot. A hozzárendelés az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik:

19. Területszámítás. Minden sokszöghöz hozzárendelünk egy pozitív valós számot. A hozzárendelés az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik: 19. Területszámítás I. Elméleti összefoglaló Sokszög területe: Minden sokszöghöz hozzárendelünk egy pozitív valós számot. A hozzárendelés az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik: Az egység (oldalú) négyzet

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

Geometriai alapfogalmak

Geometriai alapfogalmak Geometriai alapfogalmak Alapfogalmak (nem definiáljuk): pont, egyenes, sík, tér. Félegyenes: egy egyenest egy pontja két félegyenesre bontja. Ez a pont a félegyenes végpontja. A félegyenes végtelen hosszú.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA A TÁMOP 3.1.4. EU-s pályázat megvalósításához a matematika (9. b/fizika) tárgy tanmenete a matematika kompetenciaterület A típusú

Részletesebben

300 válogatott matematikafeladat 7 8. osztályosoknak

300 válogatott matematikafeladat 7 8. osztályosoknak VILLÁMKÉRDÉSEK 300 válogatott matematikafeladat 7 8. osztályosoknak 1. Adottak az 1 x, 2 x, 3 x,..., 100 x számok. Számold ki a szorzatukat, ha x = 18. 2. Adottak az 1 x, 2 x, 3 x,..., 100 x számok. Számold

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. május 7. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. május 7. KÖZÉPSZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 01. május 7. KÖZÉPSZINT 1) Az A és B halmazokról tudjuk, hogy B\ A 1; ; 4; 7. Elemeinek felsorolásával adja meg az A halmazt! A ; 5; 6; 8; 9 I. AB 1; ; ; 4; 5; 6; 7; 8; 9 és ) Egy

Részletesebben

3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe, ha a legrövidebb átlója 85? (11 pont)

3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe, ha a legrövidebb átlója 85? (11 pont) 1997 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok 1. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: 3 2 x 1 2 2 x 1 + 2 2x 1 3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe,

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító ME-III.1./1 2 Azonosító: Változatszám : Érvényesség kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK-DC-2013 2013. 09. 01. MATEMATIKA

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 9. évfolyam I. Halmazok 1. Alapfogalmak, jelölések 2. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 3. Nevezetes számhalmazok (N,

Részletesebben

I. Síkgeometriai alapfogalmak, szögek, szögpárok

I. Síkgeometriai alapfogalmak, szögek, szögpárok 15. modul: SÍKIDOMOK 7 I. Síkgeometriai alapfogalmak, szögek, szögpárok Módszertani megjegyzés: A jelen modult többnyire kibővített ismétlésnek szántuk, és fő célja az alapfogalmak és az alapismeretek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. február 1. KÖZÉPSZINT I. 1) Mennyi annak a mértani sorozatnak a hányadosa, amelynek harmadik tagja 5, hatodik tagja pedig 40? ( pont) 3 1 5 a a q 5 6 1 40 a a q Innen q Összesen:

Részletesebben

oldalhoz van közelebb. Igazold, hogy a BDE és EDC szögek egyenlők!

oldalhoz van közelebb. Igazold, hogy a BDE és EDC szögek egyenlők! 1980. évi verseny 1. Kilenc egyforma könyv még nem kerül 100 Ft-nál többe, de tíz ilyen könyv már 110 Ft-nál is többe kerül. Mennyi az ára egy könyvnek? (A könyvek árát 10 fillérre kerekítve adják meg.)

Részletesebben

MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA

MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA EMIR azonosító: TÁMOP-3.1.8-09/1-2010-0004 Név: MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA I. ÍRÁSBELI VIZSGA 1412 Ideje: 2014. április 24. 14:00 Időtartama: 45 perc Fontos tudnivalók 1. A feladatok

Részletesebben

10. évfolyam, negyedik epochafüzet

10. évfolyam, negyedik epochafüzet 10. évfolyam, negyedik epochafüzet (Geometria) Tulajdonos: NEGYEDIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Síkgeometria... 4 I.1. A háromszög... 4 I.2. Nevezetes négyszögek... 8 I.3. Sokszögek... 14 I.4. Kör és részei...

Részletesebben

ZIPERNOWSKY MATEMATIKA KUPA

ZIPERNOWSKY MATEMATIKA KUPA ZIPERNOWSKY MATEMATIKA KUPA VERSENY 99 0 KÉSZÜLT A ZIPERNOWSKY KÁROLY MŰSZAKI SZAKKÖZÉPISKOLA FENNÁLLÁSÁNAK 00. ÉVFORDULÓJA ALKALMÁBÓL A FELADATSOROKAT ÖSSZEÁLLÍTOTTA: GOMBOCZ ERNŐ SZERKESZTETTE: KISS

Részletesebben

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK 3. osztály A mellékelt ábrán két egymás melletti mező számának összege mindig a közvetlen felettük lévő mezőben szerepel. Fejtsétek meg a hiányzó számokat! 96 23 24 17 A baloldali három mezőbe tartozó

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. A 23-as szám című misztikus filmben

Részletesebben

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:...

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... 1. Az A halmaz elemei a háromnál nagyobb egyjegyű számok, a B halmaz elemei pedig a húsznál kisebb pozitív páratlan számok. Sorolja fel az halmaz elemeit!

Részletesebben

MATEMATIKA. Szakközépiskola

MATEMATIKA. Szakközépiskola MATEMATIKA Szakközépiskola Az osztályozóvizsga írásbeli feladatlap. Az osztályozó vizsgán az osztályzás a munkaközösség által elfogadott egységes követelményrendszer alapján történik. A tanuló az osztályozó

Részletesebben

Geometria. 7 8. évfolyam. Szerkesztette: Fazakas Tünde, Hraskó András. 2015. december 6.

Geometria. 7 8. évfolyam. Szerkesztette: Fazakas Tünde, Hraskó András. 2015. december 6. Geometria 7 8. évfolyam Szerkesztette: Fazakas Tünde, Hraskó András 2015. december 6. Technikai munkák (MatKönyv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dénes Balázs, Grósz Dániel, Hraskó

Részletesebben

Curie Matematika Emlékverseny 8. évfolyam I. forduló 2011/2012.

Curie Matematika Emlékverseny 8. évfolyam I. forduló 2011/2012. Curie Matematika Emlékverseny 8. évfolyam I. forduló 2011/2012. A feladatokat írta: Kozma Lászlóné, Sajószentpéter Tóth Jánosné, Szolnok Lektorálta: Lengyel Lászlóné, Nádudvar Név:........ Iskola:.. Beküldési

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 131 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. október 15. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

4) Az ABCD négyzet oldalvektorai körül a=ab és b=bc. Adja meg az AC és BD vektorokat a és b vektorral kifejezve!

4) Az ABCD négyzet oldalvektorai körül a=ab és b=bc. Adja meg az AC és BD vektorokat a és b vektorral kifejezve! (9/1) Vektorok, Koordináta Geometria 1) Szerkessze meg az a + b és az a b vektort, ha a és b egy szabályos háromszögnek a mellékelt ábra szerinti oldalvektorai! 2) Az ABC háromszög két oldalának vektora

Részletesebben

Az osztályozó- és javítóvizsga témakörei matematika tantárgyból. 9. évfolyam

Az osztályozó- és javítóvizsga témakörei matematika tantárgyból. 9. évfolyam Az osztályozó- és javítóvizsga témakörei matematika tantárgyból Minden évfolyamra vonatkozóan általános irányelv, hogy a matematikai ismeretek alkalmazásán (feladatok, problémák megoldása) van a hangsúly,

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 9 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

9-10. évfolyam felnőttképzés Heti óraszám: 3 óra

9-10. évfolyam felnőttképzés Heti óraszám: 3 óra 9-10. évfolyam felnőttképzés Heti óraszám: 3 óra Fejlesztési cél/ kompetencia lehetőségei: Gondolkodási képességek: rendszerezés, kombinativitás, deduktív következtetés, valószínűségi Tudásszerző képességek:

Részletesebben

Az írásbeli eredménye 75%-ban, a szóbeli eredménye 25%-ban számít a végső értékelésnél.

Az írásbeli eredménye 75%-ban, a szóbeli eredménye 25%-ban számít a végső értékelésnél. Matematika A vizsga leírása: írásbeli és szóbeli vizsgarészből áll. A matematika írásbeli vizsga egy 45 perces feladatlap írásbeli megoldásából áll. Az írásbeli feladatlap tartalmi jellemzői az alábbiak:

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 080 ÉRETTSÉGI VIZSGA 009. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából 7-12. évfolyam

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából 7-12. évfolyam Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából 7-12. évfolyam Matematikából a tanulónak írásbeli és szóbeli osztályozó vizsgán kell részt vennie. Az írásbeli vizsga időtartama 60 perc, a szóbelié 20 perc.

Részletesebben

Geometria. 9 10. évfolyam. Szerkesztette: Hraskó András, Surányi László. 2015. augusztus 4.

Geometria. 9 10. évfolyam. Szerkesztette: Hraskó András, Surányi László. 2015. augusztus 4. Geometria 9 10. évfolyam Szerkesztette: Hraskó András, Surányi László 2015. augusztus 4. Technikai munkák (MatKönyv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dénes Balázs, Grósz Dániel, Hraskó

Részletesebben

Mértan O.I. Globin, O.P. Vasulenko, A.V. Kozakivszka

Mértan O.I. Globin, O.P. Vasulenko, A.V. Kozakivszka MAGYARÁZAT Az ajánlott Mértan 0 osztály feladatgyűjtemény a középiskolák 0-es tanulóinak általános iskolai tudásszintjének felmérését szolgálja. A felmérés célja a tízedikes tanulók általános iskolában

Részletesebben

10. évfolyam, ötödikepochafüzet

10. évfolyam, ötödikepochafüzet 10. évfolyam, ötödikepochafüzet (Hasonlóság, trigonometria) Tulajdonos: ÖTÖDIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Geometriai transzformációk... 3 I.1. A geometriai transzformációk ismétlése... 3 I.2. A vektorok ismétlése...

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2 Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Két iskola tanulói műveltségi vetélkedőn vettek részt. A 100

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a Például: 1 ; 8 8 M 1 ; 10 5 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. május 06. KÖZÉPSZINT I. nyílt intervallum két különböző elemét! ( pont) ( pont) ) Egy 7-tagú társaságban mindenki mindenkivel egyszer

Részletesebben

Geometriai példatár 2.

Geometriai példatár 2. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Baboss Csaba Szabó Gábor Geometriai példatár 2 GEM2 modul Metrikus feladatok SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999 évi

Részletesebben

MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 1I. PRÓBAÉRETTSÉGI FELADATSOR

MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 1I. PRÓBAÉRETTSÉGI FELADATSOR MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 1I PRÓBAÉRETTSÉGI FELADATSOR EGYENES ÚT AZ EGYETEMRE 11 FELADATSOR 11 FELADATSOR I rész Felhasználható idő: 45 perc 6x 1 111) Melyik állítás igaz az alábbi egyenlet

Részletesebben