Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)
|
|
- Viktória Németh
- 9 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba viszi. Jelölés: A ~ B. Megjegyzés: Minden alakzat hasonló önmagához: A ~ A (reflexív). Ha A ~ B, akkor B ~ A (szimmetrikus). Ha A ~ B és B ~ C, akkor A ~ C (tranzitív). Hasonló alakzatok megfelelő oldalaik hosszának aránya egyenlő, s ez a hasonlóság aránya. Hasonló alakzatok megfelelő szögeinek nagysága egyenlő. Bármely két kör hasonló egymással. TÉTEL: (Háromszögek hasonlóságának alapesetei) Két háromszög akkor és csak akkor hasonló, ha a következő feltételek egyike teljesül: megfelelő oldalaik hosszának aránya páronként egyenlő 2 2 oldalhosszuk aránya egyenlő és az ezek által közbezárt szögek nagysága egyenlő 2 2 szögük páronként egyenlő nagyságúak 2 2 oldalhosszuk aránya egyenlő és e 2 2 oldal közül a nagyobbikkal szemközt levő szögek nagysága egyenlő Megjegyzés: Ha 2 háromszögre a fenti 4 feltétel közül bármelyik teljesül, akkor van olyan hasonlósági transzformáció, amelyik az egyik háromszöget a másikba viszi. TÉTEL: Két sokszög akkor és csak akkor hasonló, ha megfelelő oldalhosszaik aránya páronként egyenlő és megfelelő szögeik páronként egyenlő nagyságúak. Megjegyzés: Csak az egyik, illetve csak a másik tulajdonság nem elegendő a hasonlósághoz. 1
2 TÉTEL: A háromszög bármely két súlyvonala úgy metszi egymást, hogy a metszéspont mindkét súlyvonalat 1 2 arányban osztja két részre, a nagyobb rész másik végpontja a háromszög csúcsa. Megjegyzés: A súlypont a súlyvonalnak a háromszög csúcsától távolabbi harmadoló pontja. TÉTEL (Magasság tétel): Derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magasságának hossza mértani közepe azon két szakasz hosszának, amelyekre a magasság az átfogót osztja. Jelölés: m = p q. TÉTEL (Befogó tétel): Derékszögű háromszög befogójának hossza mértani közepe az átfogó és a befogónak az átfogóra eső merőleges vetülete hosszának. Jelölés: a = p c és b = q c. TÉTEL (Érintő szakasz tétele): Adott körhöz adott külső pontból húzott érintőszakasz hossza mértani közepe azon két szakasz hosszának, amelyek az adott pontra illeszkedő szelőn a ponttól a körrel alkotott metszéspontokig terjednek. Jelölés: PE = PA PB. 2
3 TÉTEL (Külső pontból húzott szelőszakaszok tétele): Adott körhöz adott külső P pontból húzott szelőszakaszok hosszának szorzata állandó. Jelölés: PA PB = PA PB. TÉTEL (Belső pontból húzott szelőszakaszok tétele): Ha egy adott kör adott P belső pontjára illeszkedő két húr végpontjai A, B illetve A, B, akkor teljesül a következő összefüggés: PA PB = PA PB. DEFINÍCIÓ (Pont körre vonatkozó hatványa): Egy P pont körre vonatkozó hatványán a ponttól a metszéspontokig terjedő szelőszakaszok hosszának szorzatát értjük. Megjegyzés: Külső pont esetén a hatványt pozitívnak, belső pont esetén negatívnak, a körvonalra illeszkedő pont esetén nullának tekintjük. DEFINÍCIÓ (Aranymetszés): Aranymetszésnek nevezzük egy szakasz 2 szakaszra vágását, ha a keletkező szakaszok kisebbikének hossza úgy aránylik a nagyobbhoz, mint a nagyobb a teljes szakasz hosszúságához. Jelölés: p < q esetén p q = q p+q. 3
4 Megjegyzés: Az aranymetszésnél a nagyobb szakasz hossza a rövidebbnek az 1+ 5 szöröse. Ennek az aránynak az ókorban nagy jelentőséget tulajdonítottak: a szépség, a harmónia arányának gondolták. Az aranymetszés megjelent a zenében, irodalomban, építészetben, képeken, szobrokon is. Az arányt tökéletesnek, isteni eredetűnek gondolták, s úgy vélték, hogy egy képzőművészeti munka akkor tökéletes, ha az elemei az aranymetszés aránya szerint követik egymást. Természetben is fellelhető ez az arány: levelek elhelyezkedése a napraforgó tányérján, fenyőtoboz és ananász felülete, egyes csigák mészváza. Gyakorlatban alkalmazható csigavonal, szabályos tíz-, illetve ötszög szerkesztéséhez. 2 TÉTEL: Hasonló síkidomok kerületének aránya a hasonlóság arányával, területének aránya a hasonlóság arányának négyzetével egyenlő. Jelölés: K T = λ és = K T λ2. TÉTEL: Hasonló testek felszínének aránya a hasonlóság arányának négyzetével, térfogatának aránya a hasonlóság arányának köbével egyenlő. Jelölés: A = A λ2 és V = V λ3. 4
5 1. Szerkessz 28 cm hosszúságú szakaszt! A szerkesztés lépései: Első lépés: A 28 at bontsuk fel két szám szorzatára, pl.: 28 = 4 7. Ezt követően vegyünk fel egy = 11 cm hosszú AB szakaszt, s jelöljük be rajta a szakaszt 4 cm re, illetve 7 cm re osztó P pontot. Második lépés: Az AB szakasz O felezőpontjából szerkesszünk Thalesz kört a szakasz fölé. Harmadik lépés: A P pontból állítsunk merőlegest az AB szakaszra és a körrel vett metszéspontja legyen C. Ekkor egy derékszögű háromszöget kapunk, s így a magasság - tétel alapján a CP szakasz hossza éppen 28 cm lesz. 2. Adott egy 3 cm és 5 cm oldalú téglalap. Szerkessz vele egyenlő területű négyzetet! Mivel a téglalap területe T = ab, a négyzet területe pedig T = x 2, így azt kapjuk, hogy x 2 = ab. Ezek alapján x = ab, vagyis a feladat szerint x = 3 5 = 15 cm. A megoldás tehát hasonlóan adódik az előző feladathoz. A szerkesztés lépései a következők: 5
6 Első lépés: Vegyünk fel egy = 8 cm hosszú AB szakaszt, s jelöljük be rajta a szakaszt 3 cm re, illetve 5 cm re osztó P pontot. Második lépés: Az AB szakasz O felezőpontjából szerkesszünk Thalesz kört a szakasz fölé. Harmadik lépés: A P pontból állítsunk merőlegest az AB szakaszra és a körrel vett metszéspontja legyen C, így megkapjuk a négyzet CP oldalát. Negyedik lépés: A CP oldal végpontjaiból állítsunk merőlegeseket az oldalra, s ezekre felmérve a CP oldal hosszát, megkapjuk a keresett négyszög további Q és R csúcsait is. 3. Egy világítótorony árnyéka 10 m hosszú, ugyanekkor ugyanott egy 2 m hosszú bot árnyéka 120 cm. Milyen magas a világítótorony? Mivel a torony az árnyékával hasonló háromszöget alkot, mint a bot az árnyékával, ezért a megfelelő szakaszok aránya megegyezik. Legyen a világítótorony magassága x, s ezek alapján felírható a következő aránypár: x = 2. Ebből átrendezés után kapjuk, hogy x = 16,7 m. 10 1,2 4. Egy egyenlő szárú háromszög alapja 3, 5 cm. Mekkorák a szárai, ha a négyszeresére nagyított háromszög kerülete 38 cm? Legyen a háromszög másik két szára x. A nagyított háromszög oldalai ekkor 14 cm, 4x és 4x. Ezek alapján felírható, hogy x + 4x = 38, amiből rendezés után x = 3 cm adódik. 6
7 5. Egy háromszög oldalai 12 cm, 16 cm és 20 cm hosszúak. Egy hozzá hasonló háromszög legnagyobb oldala 8 cm. Számítsd ki a másik két oldalának hosszát! Mivel a legnagyobb oldala 8 cm, ezért a hasonlóság aránya: λ = 8 = 0,4. Ezek alapján a másik 20 két oldal a következőképpen adódik: 12 0,4 = 4,8 cm és 16 0,4 = 6,4 cm. 6. Töltsd ki a táblázatot az ábrában szereplő derékszögű háromszög jelölései alapján! a b c p q m Alkalmazzuk a Pitagorasz, illetve befogó - és magasság tételeket a háromszögekben. Első sor: c 2 = c = 13 5 = 13p p = 1,9 12 = 13q q = 11,1 m = 1,9 11,1 m = 21,1 Második sor: 10 = 24p p = 4,2 c = ,2 = 28,2 a = 4,2 28,2 a = 10,9 b = 24 28,2 b = 26 Harmadik sor: 20 2 = p 2 p = = 12q q = 21,3 c = ,3 = 33,3 b 2 = ,3 2 b = 26,6 7
8 7. Egy derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága az átfogót egy 3 cm - es és egy 8 cm - es darabra osztja. Mekkorák a háromszög oldalai és magassága? Alkalmazzuk a befogó - és magasság tételeket a háromszögekben. c = = 11 cm a = 3 11 = 5,7 cm m = 3 8 = 4,9 cm b = 8 11 = 9,4 cm 8. Egy derékszögű háromszög befogói hosszainak aránya 5 6. Az átfogó 122 cm hosszúságú. Határozd meg az átfogóhoz tartozó magasság és a magasság által az átfogóból kivágott szeletek hosszát. Alkalmazzuk a Pitagorasz, illetve befogó - és magasság tételeket a háromszögekben. (5x) 2 + (6x) 2 = x 2 = x = 15,6 a = 5 15,6 = 78 cm b = 6 15,6 = 93,6 cm 78 = 122p p = 49,9 cm 93,6 = 122q q = 71,8 cm m = 49,9 71,8 m = 59,8 cm 8
9 9. Egy derékszögű háromszög átfogójának hossza 16 cm. Az átfogóhoz tartozó magasság az átfogót 1 3 arányban osztja két részre. Számítsd ki a befogók hosszát! Ezek alapján azt kapjuk, hogy x + 3x = 16, amiből x = 4 cm adódik, vagyis az a oldal merőleges vetülete 4 cm, a b oldal merőleges vetülete 12 cm hosszú. Végül a befogó - tétel segítségével kiszámíthatjuk a hiányzó oldalakat: a = 4 16 a = 8 cm b = b = 13,8 cm 10. Egy derékszögű háromszög átfogójához tartozó magasság 2 7 arányban osztja az átfogót. A háromszög legkisebb oldala 6 cm. Mekkora a másik két oldal? Alkalmazzuk a Pitagorasz - és befogó tételeket a háromszögekben. 6 = 2x 9x x = 2 c = 9 2 c = 12,7 cm b 2 = 12,7 2 b = 11,2 cm 9
10 11. Egy derékszögű háromszögben a befogók hosszának aránya 5 3. Az átfogóhoz tartozó magasság az átfogót két olyan szakaszra osztja, amelyek közül az egyik 4 cm rel hosszabb, mint a másik. Számítsd ki az átfogó és az átfogóhoz tartozó magasság hosszát! A befogó tétel alapján felírható két összefüggés: a 2 = c x és b 2 = c (x + 4). Mivel a befogók aránya 3 5, ezért a következő adódik: a2 b 2 = 9y2 25y 2 = 9 25 = c x c (x+4) = Az egyenletet rendezve azt kapjuk, hogy x = 2,25 cm. Az átfogó hossza ezek alapján: c = 2x + 4 = 8,5 cm. Végül alkalmazzuk a magasság - tételt: m = x (x + 4) = 3,75 cm. x x Egy derékszögű háromszög egyik befogója 8 cm, a másik befogó átfogóra eső merőleges vetülete 12 cm. Számítsd ki a háromszög hiányzó oldalait és az átfogóhoz tartozó magasságot! A befogó tétel alapján a következő adódik: 8 = p (p + 12). Ezt átrendezve a következő másodfokú egyenletet kapjuk: p p 64 = 0. 10
11 A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai p 1 = 4 és p 2 = 16. A p 2 nem felel meg a feladatnak, így p = 4 cm. Ebből adódik, hogy c = = 16 cm. Ezek után a magasság - tétel alapján a következő adódik: m = 12 4, amiből m 6,9 cm. Végül Pitagorasz tétel segítségével kiszámíthatjuk a másik befogót is: b 2 = 16 2 b 13,6 cm 13. Egy derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága két olyan részre osztja az átfogót, melyek közül az egyik 2 cm rel hosszabb a másiknál. A háromszög hosszabb befogója 12 cm. Számítsd ki a hiányzó oldalakat és az átfogóhoz tartozó magasságot! A befogó tétel alapján a következő adódik: 12 = (p + 2) (2p + 2). Ezt átrendezve a következő másodfokú egyenletet kapjuk: p 2 + 3p 70 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai p 1 = 7 és p 2 = 10. A p 2 nem felel meg a feladatnak, így p = 7 cm és q = = 9 cm. Ebből adódik, hogy c = = 16 cm. Ezek után a magasság - tétel alapján a következő adódik: m = 7 9, amiből m 7,9 cm. Végül Pitagorasz tétel segítségével kiszámíthatjuk a másik befogót is: a = 16 2 a 10,6 cm 11
12 14. Egy adott körhöz egy külső P pontból húzott szelőnek a körrel vett metszéspontjai P - től 5 cm, illetve 20 cm távolságra vannak. Milyen hosszú érintő szakasz húzható P - ből a körhöz? Az érintőszakasz - tétele alapján a következő adódik: PE = 5 20 = 100 = 10 cm. 15. Húzzunk egy körhöz egy külső pontból két szelőt. Az egyik szelőnek 3 cm, a másiknak 4 cm hosszú a kör és a külső pont közé eső szakasza. Ez utóbbi szelőnek a körbe eső szakasza 5 cm es. Milyen hosszú a másik szelő körbe eső szakasza? Mekkora érintőszakasz húzható ugyanebből a külső pontból a körhöz? A szelőszakaszok - tétele alapján a következő adódik: 4 9 = 3 (3 + x), amiből x = 9 cm. Az érintő - szakasz tétele alapján pedig a következőt kapjuk: PE = 4 9 = 36 = 6 cm. 12
13 16. Húzzunk egy körhöz egy külső pontból érintőt, illetve szelőt! A szelőnek a külső pont és a kör közötti szakasza 4 cm, az érintőszakasz pedig 8 cm. Milyen hosszú húrt metsz ki a kör a szelőből? Az érintőszakasz - tétele alapján a következő adódik: 8 = 4 (4 + x), amiből x = 12 cm. 17. Egy adott körhöz egy külső P pontból olyan szelőt húzunk, amelynek a körön kívüli szakasza 6 cm, a körön belüli húr pedig 18 cm hosszú. Milyen hosszú érintő húzható a P pontból? Számítsd ki, hogy milyen messze van a P pont a körvonaltól, ha a kör sugara 16 cm! A szelőszakaszok - tétele alapján a következő adódik: 6 24 = x (x + 32). 13
14 Ezt átrendezve a következő másodfokú egyenletet kapjuk: x x 144 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai x 1 = 4 és x 2 = 36. Az x 2 nem felel meg a feladatnak, így 4 cm re van a körvonaltól a P pont. Az érintőszakasz - tétel alapján pedig a következő adódik: PE = 6 24 = 144 = 12 cm. 18. Egy 10 cm sugarú körhöz a középponttól 26 cm re levő P pontból két szelőt húzunk. Az egyik szelő átmegy a kör középpontján, a másik szelőnek a körbe eső húrja 14 cm. Mekkora ez utóbbi szelő rövidebb szelete? Számítsd ki, hogy milyen hosszú érintő húzható a P pontból? A szelőszakaszok - tétele alapján a következő adódik: = x (x + 14). Ezt átrendezve a következő másodfokú egyenletet kapjuk: x x 576 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai x 1 = 18 és x 2 = 32. Az x 2 nem felel meg a feladatnak, így 18 cm a szelő rövidebb szelete. Az érintőszakasz - tétel alapján pedig a következő adódik: PE = = 576 = 24 cm. 14
15 19. Egy körhöz egy külső pontból húzzunk egy érintőt és egy szelőt. Az érintőszakasz hossza 12 cm, a szelő kisebbik szelete pedig 6 cm. Mekkora a kör sugara, ha a szelőnek a kör középpontjától való távolsága 12 cm? Legyen az A és B pont távolsága x. Az érintőszakasz - tétele alapján a következő adódik: 144 = 6 (6 + x), amiből x = 18 cm. Mivel az AOB egyenlőszárú, így a C pont felezi az AB szakaszt. A Pitagorasz tétel alapján a következő adódik: = r 2, amiből r = 15 cm. 20. Hányszorosára változik egy sokszög kerülete és területe, ha oldalinak hosszát 3 szorosára változtatjuk? Mivel a hasonlóság aránya λ = 3, így a kerületük λ = 3 - szorosára, a területük pedig λ 2 = 9 szeresére változik. 21. Hány cm 2 t foglal el Magyarország egy méretarányú térképen, ha Magyarország területe T km 2? Mivel a hasonlóság aránya λ = T = ( )2 = 1, km 2, ami 103,3 cm 2., ezért a térképen elfoglalt terület nagysága 15
16 22. Egy háromszög oldalai 2 cm, 3 cm és 4 cm hosszúságúak. A hozzá hasonló háromszög kerülete 12 cm. Határozd meg az utóbbi háromszög oldalainak hosszát. Az eredeti háromszög kerülete K = 9 cm, vagyis a hasonlóság aránya: λ = K K = 12 9 = 4 3. A hasonló háromszög oldalai ezek alapján: a = 2 4 = 8 = 2,7 cm 3 3 b = 3 4 = 4 cm 3 c = 4 4 = 16 = 5,3 cm Két hasonló háromszög egymásnak megfelelő oldalai 5 cm és 3 cm hosszúságúak. A két háromszög kerületének különbsége 7 cm. Határozd meg a két háromszög kerületének hosszát. Legyen az eredeti háromszög kerülete x, a hasonló háromszög kerülete pedig x 7. A szöveg alapján a hasonlóság aránya: λ = a a = 3 5. Ekkor felírhatjuk a következő egyenletet: 3 x = x 7, amiből x = 17,5. 5 Ezek alapján az eredeti háromszög kerülete 17,5 cm, a hasonló háromszögé pedig 10,5 cm. 24. Egy derékszögű háromszög befogói 5 cm és 12 cm. Az átfogóhoz tartozó magasság a háromszöget két háromszögre bontja. Mennyi a két háromszög területének aránya? A keletkező két kisebb háromszög hasonló egymáshoz, így a hasonlóság aránya λ = Ezek alapján a háromszögek területeinek aránya pedig λ 2 =
17 25. Egy tanteremben a tábla és a faliújság hasonló téglalap alakúak. A faliújság átlós mérete 1 m, a táblának pedig a rövidebb oldala 1 m, a hosszabbik 2 m. Hányszorosa a tábla területe a faliújságénak? A tábla átlóját kiszámíthatjuk Pitagorasz tétel segítségével: = x 2, amiből x = 5. A két átló hasonló egymáshoz, így a hasonlóság aránya λ = 5, vagyis a tábla területe λ 2 = 5 szörösére változik. 26. Két négyzet közül az egyik oldalának hossza 4 cm rel nagyobb a másikénál, területeik különbsége pedig 56 cm 2. Számítsd ki az oldalhosszak arányát! Hogyan aránylanak egymáshoz a területek? Legyen az egyik négyzet oldala x, a másik oldala pedig x + 4. A szöveg alapján felírhatjuk a következőt: (x + 4) 2 x 2 = 56, amiből x = 5. Így az egyik négyzet oldala 5 cm, a másiké 9 cm. Ezek alapján az oldalak aránya λ = 5 9, a területek aránya pedig λ2 = Az ABC háromszög területét megfelezzük egy, a háromszög AB oldalával párhuzamos egyenessel. Milyen hosszú a területet felező egyenesnek a háromszögbe eső szakasza, ha AB = 6 cm? Mivel a területek aránya λ 2 = 2, így a hasonlóság aránya λ = 2. Ezek alapján felírhatjuk a következő aránypárt: A B 6 = 2, vagyis A B = 4,24 cm. 17
18 28. Két szabályos háromszög egy egy oldalhosszának összege 20 cm. Számítsd ki a háromszögek oldalainak hosszát, ha területeik aránya 4 9! Legyen az egyik háromszög oldala x, a hasonló háromszög oldala pedig 20 x. Mivel a két szabályos háromszög hasonló egymáshoz, így a hasonlóság aránya λ = 4 9 = 2 3. Ekkor felírhatjuk a következő egyenletet: x = 2 (20 x), amiből x = 8. 3 Ezek alapján a háromszög oldalai 8 cm, a hasonló háromszög oldalai pedig 12 cm hosszúak. 29. Adott két kör, a sugarak hosszának összege 20 cm. Tekintsünk mindkét körben egy egy ugyanakkora középponti szöghöz tartozó körcikket. Ezek területének aránya Számítsd ki a sugarak hosszát! Legyen az egyik kör sugara x, a másik kör sugara pedig 20 x. Mivel a két kör hasonló egymáshoz, ezért a hasonlóság aránya λ = = 4 5. Ekkor felírhatjuk a következő egyenletet: x = 4 (20 x), amiből x = 8,9. 5 Ezek alapján a kör sugara 8,9 cm, a hasonló kör sugara pedig 11,1 cm hosszú. 30. Egy egyenlő szárú háromszög alapja 10 cm, szára 12 cm hosszúságú. A csúcstól számítva mekkora hosszúságú szakaszt vág le a szárból az alappal párhuzamos egyenes, ha a lemetszett háromszög területe az eredetinek negyede? Mivel a két háromszög hasonló egymáshoz, így a hasonlóság aránya: λ = 1 4 = 1 2. Ezek alapján a kis háromszög szárai 12 1 = 6 cm hosszúak. 2 18
19 31. Egy háromszög egyik oldalát 3 5 arányban ketté osztottuk. Az osztópontból párhuzamost húzunk a háromszög másik két oldalával. Hogyan aránylik az így kapott paralelogramma területe az eredeti háromszög területéhez? Az eredeti ABC, s a két keletkező APR és PBQ hasonlóak egymáshoz. Az APR és az ABC oldalainak aránya λ = 5 8. Ezek alapján a területeik aránya λ2 = A PBQ és az ABC oldalainak aránya λ = 3 8. Ezek alapján a területeik aránya λ2 = A paralelogramma területe így = 30 = 15 része az eredeti háromszögnek Egy háromszög oldalait öt egyenlő részre osztottuk, és a szomszédos oldalaknak a közös csúcshoz legközelebbi osztópontjait összekötöttük. Hogyan aránylik a háromszög csúcsainál keletkező kis háromszögek levágásával kapott hatszög területe az eredeti háromszög területéhez? A kis háromszögek hasonlóak a nagy háromszöghöz, így a hasonlóság aránya λ = 1 5. Ekkor a kis háromszögek és a nagy háromszög területének aránya λ 2 = Ezek alapján a hatszög és az eredeti háromszög területének aránya: T hatszög T háromszög = =
20 33. Hányszorosára változik egy sokszögek által határolt test felszíne és térfogata, ha oldalainak hosszát 10 - szeresére változtatjuk? Mivel a hasonlóság aránya λ = 10, így a felszíne λ 2 = 100 szorosára, a térfogata pedig λ 3 = 1000 szeresére változik. 34. Két hasonló test térfogatának aránya Add meg a testek felszínének arányát! Mivel a hasonló testek térfogatának aránya λ 3 = , ezért a hasonlóság aránya λ = = Ezek alapján a testek felszínének aránya pedig λ 2 = A Föld közepes átmérője közelítőleg 11 szorosa a Hold átmérőjének. Hogyan 3 aránylik egymáshoz a két égitest felszíne és térfoagat? Mivel a hasonlóság aránya λ = 11 3, így az égi testek felszínének aránya λ2 = 121 9, a térfogatok aránya pedig λ 3 = Két kocka élhosszának különbsége 3 dm, térfogataik különbsége 37 dm 3. Számítsd ki a két kocka hasonlóságának arányát! Hogyan aránylanak egymáshoz a térfogatok? Legyen az egyik kocka élhossza x, a másik élhossza pedig x + 3. Ezek alapján felírhatjuk a következő egyenletet: (x + 3) 3 x 3 = 37. Az egyenletet rendezve azt kapjuk, hogy 9x x 10 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai x 1 = 1 3 és x 2 = Mivel a második megoldás nem felel meg a szövegnek így az egyik kocka élhossza 1 3 dm, a másiké pedig 10 3 dm. Ezek alapján a hasonlóság aránya λ = 10, a térfogatuk aránya pedig λ 3 =
21 37. Egy 10 cm sugarú fémgolyót felolvasztunk, majd 1 cm sugarú gömbökaet öntünk belőle. Ilyen módon hány golyóhoz juthatunk? Hányszorosa lesz a kis golyók együttes felszíne és térfogata az eredetinek? Az eredeti fémgolyó felszíne: A = π = 1256 cm 2. Az eredeti fémgolyó térfogata: V = π 3 = 4186,67 cm 3. Egy darab kis golyó felszíne: A = π = 12,56 cm 2. Egy darab kis golyó térfogata: V = 4 13 π 3 = 4,18667 cm 3. Ezek alapján 4186,67 = 1000 darab kis golyóhoz juthatunk. 4,18667 Mivel 1000 darab kis golyó térfogata 4186,67 cm 3, így ez nem változott az eredetihez képest. Mivel 1000 darab kis golyó felszíne cm 2, így ez az eredetihez képest 10 szeresére változott. 38. Bizonyítsd be, hogy az aranymetszésnél a nagyobb szakasz hossza a rövidebbnek az szöröse. Tekintsük a következő aranymetszésre vonatkozó összefüggést: p < q esetén p q = q p+q. Az egyenletet rendezve a következőt kapjuk: q 2 pq p 2 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy a két megoldás: q 1 = p 1+ 5 Mivel az érték nem lehet negatív, ezért a q 2 nem lesz jó megoldás. 2 és q 2 = p Ezek alapján azt kapjuk, hogy a szakaszok aránya: q p =
22 39. Szerkeszd meg egy 6 cm hosszú szakasz aranymetszetét! A szerkesztés lépései a következők: Első lépés: Vegyünk fel egy 6 cm hosszú AB szakaszt. Második lépés: A szakasz B végpontjára állítsunk merőlegest. Harmadik lépés: B től 6 = 3 cm re a merőlegesen jelöljük ki az O pontot. 2 Negyedik lépés: Szerkesszük meg az O középpontú 3 cm es sugarú kört. Ötödik lépés: Az O n keresztül húzzunk szelőt az A pontból. Hatodik lépés: A keletkező két metszéspontot jelöljük C vel, illetve D vel. Ekkor az AC szakasz lesz az AB szakasz aranymetszete. Írjunk fel összefüggést az AB érintőre és az AC szelőre: AB 2 = AC AD 6 2 = AC ( AC + 6) AC 6 = 6 AC +6 22
23 40. Bizonyítsd be, hogy ha az egyenlő szárú háromszög szárszöge 36, akkor az alap a szárnak aranymetszete! Vegyünk fel egy egyenlő szárú háromszöget, melynek alapja legyen AB. Tekintsük továbbá az A - ból induló szögfelezőt, mely a BC oldalt a D pontban metszi. Ekkor az ABD és ABC hasonló egymással, mert mindkét háromszögben a szögek nagysága egyenlő (36, 72, 72 ). Ezek alapján az ADC egyenlőszárú, így legyen AB = AD = DC = c, továbbá BD = a c. A hasonlóságnál az egymásnak megfelelő oldalak aránya c = a c, így a c alap aranymetszete a az a szárnak. c 41. Bizonyítsd be, hogy a szabályos tízszög köré írt kör sugarának aranymetszete a tízszög oldala! Szerkessz egy 4 cm sugarú körbe szabályos tízszöget! Mivel a szabályos tízszög a köré írt kör középpontjából a csúcsokhoz húzott sugarakkal 10 egyenlő szárú háromszögekre bontható, így ezeknek a háromszögeknek a kör középpontjánál található szárszögeik = 36. Az előző feladat alapján, ezen háromszögek alapja (a szabályos tízszög oldala) aranymetszete a háromszögek szárainak (a köré írt kör sugarának). A szerkesztés lépései a következők: 23
24 Első lépés: Szerkesszük meg a 4 cm es sugár aranymetszetét, s ez lesz a tízszög oldala. Második lépés: A sugár körvonalra eső végpontjából, körözzünk a tízszög oldalhosszával. Harmadik lépés: A keletkező metszéspontból ismét körözzünk az oldalhosszal, s ezt ismételjük meg addig, amíg a kezdő pontba vissza nem jutunk. Végül kössük össze a kapott pontokat. 42. Szerkessz egy 4 cm sugarú körbe szabályos 5 szöget! Szerkesszük meg a szabályos tízszög csúcsait és azokból csak minden másodikat kössük össze. 24
25 43. Bizonyítsd be, hogy a szabályos ötszög oldala az átlójának aranymetszete! Mivel szabályos ötszögről van szó, ezért az AOB = = 72. Az ezzel a szöggel azonos íven nyugvó kerületi szög fele akkora, mint a középponti szög, vagyis ADB = 36. Mivel az ABD egyenlő szárú és szárszöge 36, így az előző feladatok alapján az alapja (az ötszög oldala) a szárának (az ötszög átlójának) aranymetszete. 44. Bizonyítsd be geometriai eszközökkel, hogy két pozitív szám számtani közepe mindig nagyobb vagy egyenlő, mint ugyanezen számok mértani közepe, azaz a+b ab! Szerkesszük meg egy a + b átmérőjű körbe a CP = ab hosszúságú szakaszt, majd húzzuk be az AB átmérőre merőleges OD = a+b sugarat, s így megkapjuk az állítást. Egyenlőség akkor 2 adódik, ha a = b. 2 25
26 45. Bizonyítsd be, hogy bármely két kör hasonló egymással! Két alakzat akkor hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció (egybevágósági transzformáció és középpontos hasonlósági transzformáció egymás utáni végrehajtása), amely az egyik alakzatot a másikba viszi. Első lépés: Vegyünk fel tetszőlegesen két különböző hosszú sugárral rendelkező K 1 és K 2 kört, majd a kisebb sugarat toljuk el O 1 2 vektorral, vagyis ekkor a két kör középpontja egybeesik. Második lépés: Forgassuk el a kisebb kör sugarát a körök középpontja körül egy α szöggel úgy, hogy a két kör sugara fedje egymást. Harmadik lépés: A körök középpontjából végezzük el az λ = r 2 r 1 arányú nagyítást. A fenti lépések alapján egy eltolással, egy forgatással és egy középpontos hasonlósági transzformációval sikerült a két kör sugarát (és így a köröket is) egymásba vinnünk. 46. Bizonyítsd be a magasság és befogó tételt! 26
27 Mivel az ACD és az BCD háromszög szögei egyenlő nagyságúak (α, 90 α, 90 ), ezért a két háromszög hasonló egymással. Ekkor a megfelelő oldalak hosszának aránya egyenlő. Tekintsük a két háromszög megfelelő befogóinak arányát: m q = p m. Ebből átrendezéssel adódik a magasság tétel: m 2 = p q, vagyis m = p q. Mivel az ABC és a BCD háromszög szögei egyenlő nagyságúak (α, 90 α, 90 ), ezért a két háromszög hasonló egymással. Ekkor a megfelelő oldalak hosszának aránya egyenlő. Tekintsük a két háromszög megfelelő befogóinak és átfogóinak arányát: a c = p a. Ebből átrendezéssel adódik a befogó tétel egyik alakja: a 2 = c p, vagyis a = c p. Mivel az ABC és a ACD háromszög szögei egyenlő nagyságúak (α, 90 α, 90 ), ezért a két háromszög hasonló egymással. Ekkor a megfelelő oldalak hosszának aránya egyenlő. Tekintsük a két háromszög megfelelő befogóinak és átfogóinak arányát: b c = q b. Ebből átrendezéssel adódik a befogó tétel másik alakja is: b 2 = c q, vagyis b = c q. 47. Bizonyítsd be a körhöz húzott érintő - és szelőszakaszok tételét! 27
28 Mivel az ABE és az AEP ugyanúgy az AE körívhez tartozó kerületi szög, ezért a két szög nagysága megegyezik. Ezek alapján a PBE és a PAE megfelelő szögeik egyenlő nagyságúak, vagyis a két háromszög hasonló. Tekintsük a két háromszög megfelelő oldalainak arányát: PB PE = PE PA. Ebből átrendezéssel adódik a tétel: PE 2 = PA PB, vagyis PE = PA PB. 48. Bizonyítsd be, hogy hasonló háromszögek kerületének aránya a hasonlóság arányával, területének aránya a hasonlóság arányának négyzetével egyenlő! Legyen a hasonlóság aránya λ, ekkor a felírhatjuk a következő aránypárokat: λ = a = b = c a b c a = λ a b = λb c = λa λ = m a m a m a = λ m a Ezek felhasználásával írjuk fel a kerületek és területek arányát: K = a + b + c K a + b + c = λa + λb + λc λ (a + b + c) = = λ a + b + c a + b + c 1 T = 2 a m a 1 T 2 a m a = 1 2 λ a λ m 1 a 2 1 = λ2 a m a 2 a m 1 a 2 a m a = λ 2 Mivel minden sokszög egy csúcsából húzható átlókkal háromszögekre bontható, ezért a tétel igaz tetszőleges sokszögekre is. Brósch Zoltán 28
HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK. 5 cm 3 cm. 2,4 cm
HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK Egyszerű, hasonlósággal kapcsolatos feladatok 1. Határozd meg az x, y és z szakaszok hosszát! y cm cm z x 2, cm 2. Határozd meg az x, y, z és u szakaszok hosszát! x
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd
RészletesebbenHasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika
Hasonlóság kísérleti feladatgyűjtemény 10. osztályos matematika POKG 2015. Hasonló háromszögek oldalaránya 0. Keressük meg az alábbi háromszögek összetartozó oldalpárjait és arányossággal számítsuk ki
RészletesebbenHasonlóság 10. évfolyam
Hasonlóság Definíció: A geometriai transzformációk olyan függvények, melyek értelmezési tartománya, és értékkészlete is ponthalmaz. Definíció: Két vagy több geometriai transzformációt egymás után is elvégezhetünk.
Részletesebben(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét.
Euklidész tételei megoldások c = c a + c b a = c c a b = c c b m c = c a c b 1. Számítsuk ki az derékszögű ABC háromszög hiányzó oldalainak nagyságát, ha adottak: (a) c a = 1,8; c b =, (b) c = 10; c a
Részletesebbena b a b x y a b c d e f PSZT/PSZSZT 1.) Az ábrán e, f egyenesek párhuzamosak. Számítsd ki a hiányzó adatokat!
1 PSZT/PSZSZT 1.) Az ábrán e, f egyenesek párhuzamosak. Számítsd ki a hiányzó adatokat! a b a b x y a a b x b y 17 25 13 10 5 7 3 6 7 10 2 4 2 3 9 5 2.) Az ábrán lévő paralelogramma oldalai a) AB=26 cm,
RészletesebbenFeladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója?
Feladatok 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy négyzet
RészletesebbenÉrettségi feladatok: Síkgeometria 1/6
Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria 1) Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra
RészletesebbenEgyenes mert nincs se kezdő se végpontja
Szakasz mert van két végpontja Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Tört vonal Szög mert van két szára és csúcsa Félegyenes mert van egy kezdőpontja 5 1 1 Két egyenes egymásra merőleges ha egymással
RészletesebbenPitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2
1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Pitagorasz-tétel A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,
RészletesebbenSíkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik
Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala
RészletesebbenI. A négyzetgyökvonás
Definíció: Négyzetgyök a ( a : a a 0 I. A négyzetgyökvonás a ) jelenti azt a nem negatív számot, amelynek a négyzete a. a 0 b : b b R A négyzetgyök-függvény értéke is csak nem negatív lehet. Ha a b-t abszolút
RészletesebbenEGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS
GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok
RészletesebbenMegoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő
Részletesebben10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2
10. Tétel Háromszög Tulajdonságok: - Háromszögnek nevezzük a sokszöget, ha 3 oldala, 3 csúcsa és 3 szöge van - A háromszög belső szögeinek összege 180 o - A háromszög külső szögeinek összege 360 o - A
RészletesebbenI. A gyökvonás. cd c) 6 d) 2 xx. 2 c) Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam. Kedves 10. osztályos diákok!
Kedves 10. osztályos diákok! Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam Közeleg a szakaszvizsga időpontja, amelyre 019. április 1-én kerül sor. A könnyebb felkészülés érdekében adjuk közre ezt a feladatsort,
RészletesebbenGeometria 1 összefoglalás o konvex szögek
Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.
RészletesebbenGeometriai feladatok, 9. évfolyam
Geometriai feladatok, 9. évfolyam Szögek 1. Nevezzük meg az ábrán látható szögpárokat. Mekkora a nagyságuk, ha α =52 o fok? 2. Mekkora az a szög, amelyik a, az egyenesszög 1/3-ad része b, pótszögénél 32
RészletesebbenKoordináta geometria III.
Koordináta geometria III. TÉTEL: A P (x; y) pont akkor és csak akkor illeszkedik a K (u; v) középpontú r sugarú körre (körvonalra), ha (x u) 2 + (y v) 2 = r 2. Ez az összefüggés a K (u; v) középpontú r
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk
RészletesebbenHáromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam
Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam I. Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzetet 1) a pont, az egyenes, a sík és az illeszkedés alapfogalmak 2) két egyenes metsző, ha van közös pontjuk
RészletesebbenHatvány, gyök, normálalak
Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő
Részletesebben2. Síkmértani szerkesztések
2. Síkmértani szerkesztések Euklidész görög matematikus (i. e. 325 körül) szerint azokat az eljárásokat tekintjük szerkesztésnek, amelyek egy egyenes vonalzóval és egy körz vel véges számú lépésben elvégezhet
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (középszint)
Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy
Részletesebben2004_02/10 Egy derékszögű trapéz alapjainak hossza a, illetve 2a. A rövidebb szára szintén a, a hosszabb b hosszúságú.
Geometria háromszögek, négyszögek 2004_01/10 Az ABC háromszög C csúcsánál derékszög van. A derékszöget a CT és CD szakaszok három egyenlő részre osztják. A CT szakasz a háromszög egyik magassága is egyben.
RészletesebbenSíkgeometria. Ponthalmazok
Síkgeometria http://zanza.tv/matematika/geometria Ponthalmazok Alapfogalmak: pont egyenes sík (nincs kiterjedése; általában nagy betűvel jelöljük) (végtelen hosszú; általában kis betűvel jelöljük) (végtelen
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatgyűjtemény
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két csúcs
Részletesebben3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat
3. előadás Elemi geometria Terület, térfogat Tetraéder Négy, nem egy síkban lévő pont által meghatározott test. 4 csúcs, 6 él, 4 lap Tetraéder Minden tetraédernek egyértelműen létezik körülírt- és beírt
RészletesebbenFeladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint
TÁMOP-3.1.4-08/-009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár, 010.
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két
RészletesebbenGeometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)
1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy
RészletesebbenFeladatok MATEMATIKÁBÓL II.
Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára II. 1. Alakítsuk át a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetek jelenjenek meg: a) x 2 2x + b) x 2 6x + 10 c) x 2 + x + 1 d) x 2 12x + 11 e) 2x 2
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (emelt szint)
Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik
RészletesebbenEÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY
EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY SÍKIDOMOK Síkidom 1 síkidom az a térelem, amelynek valamennyi pontja ugyan abban a síkban helyezkedik el. A síkidomokat
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4
RészletesebbenSkaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.
1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való
RészletesebbenHelyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben
Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben. Rajzold meg az alábbi helyvektorokat a derékszögű koordináta-rendszerben, majd számítsd ki a hosszúságukat! a) (4 ) b) ( 5 ) c) ( 6 ) d) (4 )
RészletesebbenÉrettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5
Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból
RészletesebbenÉrettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5
Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!
RészletesebbenFeladatok Házi feladat. Keszeg Attila
2016.01.29. 1 2 3 4 Adott egy O pont és egy λ 0 valós szám. a tér minden egyes P pontjához rendeljünk hozzá egy P pontot, a következő módon: 1 ha P = O, akkor P = P 2 ha P O, akkor P az OP egyenes azon
RészletesebbenEgybevágóság szerkesztések
Egybevágóság szerkesztések 1. Adott az ABCD trapéz, alapjai AB és CD. Szerkesszük meg a vele tengelyesen szimmetrikus trapézt, ha az A csúcs tükörképe a BC oldal középpontja. Nyilvánvaló, hogy a tengelyes
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
Részletesebben, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD
Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van
RészletesebbenKoordináta - geometria I.
Koordináta - geometria I A koordináta geometria témaköre geometriai problémákat old meg algebrai módszerekkel úgy, hogy a geometriai fogalmaknak algebrai fogalmakat feleltet meg: a pontokat, vektorokat
Részletesebben10. Koordinátageometria
I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember
Részletesebben54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,
52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes
RészletesebbenFeladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András
Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon
RészletesebbenKoordinátageometria Megoldások
005-0XX Középszint Koordinátageometria Megoldások 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 + 4 + 1 3 F ; = F ;1 ) Egy kör sugarának
Részletesebben. Számítsuk ki a megadott szög melletti befogó hosszát.
Szögek átváltása fokról radiánra és fordítva 2456. Hány fokosak a következő, radiánban (ívmértékben) megadott szögek? π π π π 2π 5π 3π 4π 7π a) π ; ; ; ; ; b) ; ; ; ;. 2 3 4 8 3 6 4 3 6 2457. Hány fokosak
RészletesebbenMatematika 8. osztály
ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos Matematika 8. osztály V. rész: Síkgeometria Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2019 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék V. rész: Síkgeometria...........................
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Egy háromszög egyik oldala 10 cm hosszú, s a rajta fekvő két szög 50 és 70. Számítsd ki a hiányzó szöget és oldalakat! Legyen a = 10 cm; β = 50 és γ = 70. A két szög ismeretében a harmadik
RészletesebbenKözéppontos hasonlóság szerkesztések
Középpontos hasonlóság szerkesztések 1. Adott az AV B konvex szög és a belsejében egy P pont. Húzzunk a P ponton át egy egyenest úgy, hogy a szög száraiból kimetszett szeletek aránya 3 : 4 legyen. Legyen
RészletesebbenKoordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok )
Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok./ Határozd meg az AB szakasznak azt a pontját, amely a szakaszt : ha A ( ; és a B ( ; 8!./ Adott az A ( 3 ; 5 és a ( ; 6 B pont. Számítsd ki az AB vektor
RészletesebbenGyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van!
1. Melyik a nagyobb? a) 6 5 vagy 5 7 b) vagy 11 10 vagy Gyökvonás 5 11 vagy 6 8 55 e) 7 vagy 60 16 1. Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket! a) 7 18 b) 1 5 75 8 160 810 650 8a 5 a 7a e) 15a
Részletesebbenegyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0.
Magyar Ifjúság. X. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK A trigonometrikus egyenletrendszerek megoldása során kísérletezhetünk új változók bevezetésével, azonosságok alkalmazásával, helyettesítő módszerrel vagy más,
RészletesebbenGEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a
GOMTRI ndrea Philippou, Marios ntoniades Szakaszok és félegyenesek gy szakasz felezőmerőlegese egy olyan egyenes, félegyenes vagy szakasz, ami áthalad a szakasz középpontján és merőleges a szakaszra. Tétel:
Részletesebben15. Koordinátageometria
I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +
RészletesebbenMATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!
MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok
RészletesebbenBevezetés a síkgeometriába
a síkgeometriába 2016.01.29. a síkgeometriába 1 Fogalom, alapfogalom Álĺıtás,axióma Térelemek kölcsönös helyzete 2 A szögek A szögek mérése Szögfajták Szögpárok 3 4 a síkgeometriába Fogalom, alapfogalom
Részletesebben15. Koordinátageometria
I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +
Részletesebben8. Geometria = =
8. Geometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy négyzet átlójának hossza 4 + 2. Mennyi a négyzet oldalhossza? (A) 1 + 2 2 (B) 4 + 2 (C) 2 2 + 2 (D) 2 + 2 (E) 2 2 + 1 Egy a oldalú négyzet átlója a 2. Ezt
Részletesebben1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT:
1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT: a) ( 7) + ( 12) = 19 b) ( 24) + (+15) = 9 c) ( 5) + ( 27) = 32 d) (+19) + (+11) = +30 e) ( 7) ( 25) = +175 f) ( 5) (+14) = 70 g) ( 36) (+6)
RészletesebbenA 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató
Oktatási Hivatal A 0/04 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi erseny második forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 57 olyan háromjegyű szám, amelynek számjegyei
RészletesebbenExponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek
Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II.
Vektorok II. DEFINÍCIÓ: (Vektorok hajlásszöge) Két vektor hajlásszögének azt a φ (0 φ 180 ) szöget nevezzük, amelyet a vektorok egy közös pontból felmért reprezentánsai által meghatározott félegyenesek
Részletesebben1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500
1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 2. Mit nevezünk ellentett számok-nak? Ábrázold számegyenesen a következő számokat
RészletesebbenSíkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg
Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón
RészletesebbenTémák: geometria, kombinatorika és valósuínűségszámítás
Matematika BSc Elemi matematika 3 Témák: geometria, kombinatorika és valósuínűségszámítás Kitűzött feladatok Geometria 1. Egy ABD háromszög szögei rendre α, β, γ. Mekkora szöget zár be egymással a) az
RészletesebbenVektorok és koordinátageometria
Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,
Részletesebben10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok
10. Síkgeometria I. Elméleti összefoglaló Szögek, nevezetes szögpárok Egy adott pontból kiinduló két félegyenes a síkot két részre bontja. Egy-egy ilyen rész neve szögtartomány, vagy szög. A két félegyenest
RészletesebbenLehet hogy igaz, de nem biztos. Biztosan igaz. Lehetetlen. A paralelogrammának van szimmetria-középpontja. b) A trapéznak két szimmetriatengelye van.
Geometria, sokszögek, szögek, -, 2004_01/5 Lili rajzolt néhány síkidomot: egy háromszöget, egy deltoidot, egy paralelogrammát és egy trapézt. A következő állítások ezekre vonatkoznak. Tegyél * jelet a
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III.
Geometria III. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v. DEFINÍCIÓ: (Geometriai transzformáció) Geometriai transzformációnak
Részletesebben12. Trigonometria I.
Trigonometria I I Elméleti összefoglaló Szögmérés A szög mérésének két gyakran használt módja van: fokban, illetve radiánban (ívmértékben) mérünk A teljesszög 0, ennek a 0-ad része az A szög nagyságát
RészletesebbenGyakorló feladatok 9.évf. halmaznak, írd fel az öt elemű részhalmazokat!. Add meg a következő halmazokat és ábrázold Venn-diagrammal:
Gyakorló feladatok 9.évf.. Mennyi az összes részhalmaza az A a c; d; e; f halmaznak, írd fel az öt elemű részhalmazokat!. Legyen U ;;;;;6;7;8;9, A ;;6;7; és B ;;8. Add meg a következő halmazokat és ábrázold
Részletesebben2. ELŐADÁS. Transzformációk Egyszerű alakzatok
2. ELŐADÁS Transzformációk Egyszerű alakzatok Eltolás A tér bármely P és P pontpárjához pontosan egy olyan eltolás létezik, amely P-t P -be viszi. Bármely eltolás tetszőleges egyenest vele párhuzamos egyenesbe
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Trigonometria III.
Trigonometria III. TÉTEL: (Szinusz - tétel) Bármely háromszögben az oldalak és a velük szemközti szögek szinuszainak aránya egyenlő. Jelöléssel: a: b: c = sin α : sin β : sin γ. Megjegyzés: A szinusz -
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Trigonometria I.
Trigonometria I. Hegyes szögek szögfüggvényei: Az α hegyesszöggel rendelkező derékszögű háromszögek egymáshoz hasonlóak, mert szögeik megegyeznek. Így oldalhosszaik aránya mindig állandó. Az α szögtől
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.
Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:
RészletesebbenGyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam
Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész
Részletesebben11. Geometriai transzformációk
11. Geometriai transzformációk I. Elméleti összefoglaló Geometriai transzformációknak nevezzük azokat a függvényeket, amelyeknek az értelmezési tartománya és értékkészlete is ponthalmaz. Ha a transzformáció
RészletesebbenVEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)]
Bodó Beáta 1 VEKTOROK 1. B Legyen a( ; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(0; 10; 0)] (b) c + b 7a [(18; 15; 29)] (c) 2d c + b [ (5; ; ) = 6, 56] (d) 4a + 8b 7c [ ( 49; 44; 5) =
RészletesebbenAz Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin
Részletesebben2. tétel Egész számok - Műveletek egész számokkal. feleletvázlat
1. tétel Természetes számok tízes számrendszer műveletek és tulajdonságaik Természetes számok, jele, jelölések, ábrázolása számegyenesen műveletek a természetes számok halmazán belül Tízes számrendszer
RészletesebbenTRIGONOMETRIA ISMÉTLÉS DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖG ÉS A HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI
TRIGONOMETRIA ISMÉTLÉS DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖG ÉS A HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI http://zanza.tv/matematika/geometria/thalesz-tetele http://zanza.tv/matematika/geometria/pitagorasz-tetel http://zanza.tv/matematika/geometria/nevezetes-tetelek-derekszogu-haromszogben
Részletesebben1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500
1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 2. Mit nevezünk ellentett számok-nak? Ábrázold számegyenesen a következő számokat
RészletesebbenSzélsőérték problémák elemi megoldása II. rész Geometriai szélsőértékek Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely
Szélsőérték problémák elemi megoldása II. rész Geometriai szélsőértékek Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely Ebben a részben geometriai problémák szélsőértékeinek a megállapításával foglalkozunk, a síkgeometriai
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2009/2010-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 009/00-es tanév első (iskolai) forduló haladók II.
RészletesebbenTelepítő programok. Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram)
Telepítő programok Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram) Súgó Menü Súgó Visszalépés a főmenübe Visszalépés a kiválasztott
RészletesebbenAdd meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!
1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok
Részletesebben1. megold s: A keresett háromjegyű szám egyik számjegye a 3-as, a két ismeretlen számjegyet jelölje a és b. A feltétel szerint
A 004{005. tan vi matematika OKTV I. kateg ria els (iskolai) fordul ja feladatainak megold sai 1. feladat Melyek azok a 10-es számrendszerbeli háromjegyű pozitív egész számok, amelyeknek számjegyei közül
RészletesebbenA kör. A kör egyenlete
A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - y + b) x + y - 6x - 6y + c) x +
RészletesebbenA GEOMETRIA TÉMAKÖR FELOSZTÁSA. Síkgeometria Térgeometria Geometriai mérések Geometriai transzformációk Trigonometria Koordináta-geometria
GEOMETRIA A GEOMETRIA TÉMAKÖR FELOSZTÁSA Síkgeometria Térgeometria Geometriai mérések Geometriai transzformációk Trigonometria Koordináta-geometria A SÍKGEOMETRIA TANÍTÁSA 5-10. OSZTÁLY Síkgeometriai fogalmak
RészletesebbenNagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.
Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre
RészletesebbenSíkgeometria. c) Minden paralelogramma tengelyesen szimmetrikus. (1 pont) 5) Egy háromszög belső szögeinek aránya 2:5:11. Hány fokos a legkisebb szög?
Síkgeometria 1) Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra esik. b) Egy négyszögnek lehet 180 -nál
Részletesebben3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1
Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az
RészletesebbenNémeth László Matematikaverseny április 16. A osztályosok feladatainak javítókulcsa
Németh László Matematikaverseny 007. április 16. A 9-10. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak 9. osztályosoknak 1. feladat a) Vegyük észre, hogy 7 + 5 felírható 1 + 3 + 6 + alakban, így
RészletesebbenAz 1. forduló feladatainak megoldása
Az 1. forduló feladatainak megoldása 1. Bizonyítsa be, hogy a kocka éléből, lapátlójából és testátlójából háromszög szerkeszthető, és ennek a háromszögnek van két egymásra merőleges súlyvonala! Megoldás:
Részletesebben