Hasonlóság 10. évfolyam

Átírás

1 Hasonlóság Definíció: A geometriai transzformációk olyan függvények, melyek értelmezési tartománya, és értékkészlete is ponthalmaz. Definíció: Két vagy több geometriai transzformációt egymás után is elvégezhetünk. Ezt a transzformációk szorzatának nevezzük. 1.) Milyen geometriai transzformációkat látsz? 1

2 3.) Az alábbi síkidomokon jelöld a tükörtengelyeket, a szimmetriaközéppontokat. Sorold fel azoknak az alakzatoknak a sorszámát, melyek forgásszimmetrikusak! 4. 2

3 Középpontos hasonlósági transzformáció: Definíció: Adott egy A pont, egy valós szám (λ), és egy O középpont. Ha A = O, akkor A képe önmaga. Ha A O, és λ > 0, akkor A képe A az OA félegyenesen van (O-ban kezdődő félegyenes A-n túli meghosszabbításán), és OA =λ OA. Ha A O, és λ < 0, akkor A képe A az OAt nem tartalmazó félegyenesen van, és OA = λ OA. λ: a középpontos hasonlóság aránya Ha λ > 1, akkor nagyítás; ha, akkor λ < 1, akkor kicsinyítés. Definíció: Hasonlónak nevezünk két alakzatot, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely egyik alakzatot a másikba viszi át. Jele: ~ Háromszögek hasonlósága 1.) A megfelelő oldalak hosszának aránya egyenlő 2.) Két-két oldalhosszuk aránya egyenlő, és az általuk közbezárt szög egyenlő 3.) Két-két szögük páronként egyenlő 4.) Két-két oldalhosszuk aránya egyenlő, és e két-két oldal közül a hosszabbikkal szemközt lévő szögük egyenlő. Sokszögek hasonlósága 1.) A megfelelő oldalaik és a megfelelő átlóik aránya egyenlő 2.) Megfelelő oldalaik aránya egyenlő, és megfelelő szögeik páronként egyenlők 3

4 5. 6.) Rajzolj koordinátarendszerbe derékszögű háromszöget, melynek csúcsai A(0; 4), B(6; 0) és C(0;0). a) Nagyítsd a háromszöget középpontosan kétszeresége úgy, hogy az origó legyen a középpont. Színezd pirosra a kapott képet. b) Nagyítsd az eredeti háromszöget középpontosan kétszeresére úgy, hogy a B pont legyen a középpont! Színezd kékre a kapott képet! c) Kicsinyítsd az eredeti háromszöget középpontosan a felére úgy, hogy az origó legyen a középpont! Színezd zöldre a kapott képet! d) Kicsinyítsd az eredeti háromszöget középpontosan a felére úgy, hogy a C csúcs legyen a középpont! Színezd lilára a kapott képet! 7.) Rajzolj koordinátarendszerbe derékszögű háromszöget, melynek csúcsai A(0; 2), B(4;0) és C(0;0). Rajzold meg a következő hasonlósági transzformációkkal megadott képeit az eredeti háromszögnek! Mind a négy esetben olvasd le az így kapott háromszögek koordinátáit! a) λ = - 1 és középpont az origó b) λ = - 2 és középpont az origó c) λ = - 3,5 és középpont az origó d) λ = -1 és középpont D(5; 4) 4

5 8.) Számold ki a mellékelt ábrán a hiányzó adatokat! 9.) A mellékelt ábra alapján töltsd ki a táblázatot! a b p q x y , ,4 6 16, ) Az alábbi ábrák alapján számold ki a hiányzó adatokat! a) b) 11.) Egy szög szárait párhuzamosokkal metszettük el. Jelöljük a keletkezett szakaszokat rendre a, b, c, d, e, f-fel. Add meg a hiányzó szakaszok hosszát, ha d 4, e 7, f ) Az ábrán látható paralelogramma oldalai 6 és 4 cm hosszúak. Milyen hosszú a CF szakasz, ha BE = 2 cm? 12.) Az ábrán látható ABCD trapéz oldalai AB = 7,2 cm; CD = 4,8 cm és AD = 3 cm hosszúak. Milyen hosszú a DM szakasz? 13.) Egy háromszög oldalai 5; 7; 9 centiméteresek. Mekkorák a hozzá hasonló háromszög oldalai, ha λ = 1,5? 5

6 14.) a) A tervrajzon egy szoba 5 m hosszú oldala 20 cm hosszú. A szoba 3,8 méteres szélessége hány cm-nek felel meg a tervrajzon? b) Egy térképen két település távolsága 5,2 cm. Mekkora a valóságban ez a távolság, ha a térkép méteraránya 1:25000? 15.) a) Amikor egy víztorony árnyéka 40 m hosszú, akkor egy 2 m-es karó árnyéka 2,5 m hosszú. Milyen magas a víztorony? b) Egy két méter magas bot árnyéka 2,8 m hosszú. Milyen magas az a kémény, aminek az árnyéka 38 m hosszú? 16.) a) Egy háromszög oldalainak aránya 4: 5: 6. Egy hozzá hasonló háromszög legkisebb oldala 8 cm-es. Mekkora a háromszög másik két oldala? b) Egy háromszög oldalainak aránya 4: 5: 6. Egy hozzá hasonló háromszög kerülete 60 cm. mekkorák ennek a háromszögnek az oldalai? c) Két egyenlő szárú háromszög szárszöge ugyanakkora. Az egyik háromszög oldalai 8; 10; 10 cm hosszúak. A másik háromszög alapja 5 cm-es. Mekkorák a hiányzó oldalak? d) Egy ötszög oldalainak aránya 6:8:9:12:15, egy hozzá hasonló ötszög kerülete 150 cm. Mekkorák az oldalai? e) Egy négyszög oldalainak aránya 5:6:7:8. Határozd meg annak a hozzá hasonló négyszögnek az oldalait, melynek legkisebb oldala 20 cm. f) Egy négyszög oldalainak aránya 5:6:7:8. Határozd meg annak a hozzá hasonló négyszögnek az oldalait, melynek kerülete 416 cm. 17.) a) Egy trapéz oldalai a = 10 cm; b = 4 cm; c = 6 cm és d = 3 cm. Mekkorák a trapéz kiegészítő háromszögének oldalai? b) Egy trapéz alapjai 2 és 3 cm hosszúak. A kiegészítő háromszögének oldalai 4 és 5 cm hosszúak. Mekkorák a trapéz szárai? c) A trapéz kiegészítő háromszöge a szárak egyenese és a rövidebb alap által határolt háromszög. Mekkorák a kiegészítő háromszög oldalai, ha az alapok hossza 12 cm és 4 cm, a száraké 8 cm és 3 cm? d) Mekkorák a trapéz kiegészítő háromszögének oldalai, ha a trapéz oldalai a hosszabbik alappal kezdve rendre: 10 cm, 6 cm, 3 cm, 4 cm? e) Mekkorák a trapéz kiegészítő háromszögének oldalai, ha a trapéz oldalai a hosszabbik alappal kezdve rendre: 11 cm, 5,4 cm, 6 cm, 3,5 cm? f) Egy trapéz alapjai 15 és 20 cm, szárai 8 és 10 cm. Mekkorák a kiegészítő háromszög oldalai? 6

7 18.) Egy piramis magasságát úgy határozzuk meg, hogy segítségül hívjuk társunkat: a piramis és közöttünk oda állítjuk, ahol a sisakja legfelső pontja éppen egyvonalban látszik a piramis tetejével. A piramis tőlünk 2,4 km távolságban van, a társunk 5,52 méterre. A szemünk 162 cm magasan, társunk sisakjának legfelső pontja 192 cm magasan van a talaj fölött. Milyen magas a piramis? 19.) Egy trapéz alapjai 9 cm és 15 cm. Szárait felosztjuk három egyenlő részre, és az osztópontokon keresztül párhuzamosokat húzunk az alapokkal. Milyen hosszúak ezek a szakaszok? 20.) A festők előre kinyújtott karjukban tartott ceruzával méregetik az arányokat. Mekkorának méri az 1,2 méteres magasságot a festő, ha a fa tőle 4 méterre van, és a ceruzával a szemétől 50 cm-re mér? 21.) Egy fényképész a múzeumban egy 150 cm magas képről szeretne fotót készíteni úgy, hogy az egész kép látható legyen a fotón. A fényképezőgépen 35 mm magas a film, amin a kép keletkezik, és a film az objektívtől 100 mm-re található. Milyen messze tegye a fényképezőgép állványát a képtől? 22.) Egy 800 m magas hegy tetejéről egy vitorlázórepülő elkezd zuhanni. Hol fog földet érni a hegyhez képest, ha éppen ki tudta kerülni a hegytől 1 km-re lévő 3 m magas villanyoszlopot? 23.) Egy egyenes csúszda 50 m hosszú. Milyen magasra kell felmásznia annak, aki le akar csúszni, ha a csúszda a közepén egy 8 m-es acélrúddal alá van támasztva? 24.) Egy hajó a tengeren vesztegel. Mi a világítótoronytól 80 m-re vagyunk a hajó fedélzetén, az 5 m magas árboctól 10 m-re. Ekkor pont nem látjuk az árboc tetejétől a világítótorony tetejét. Milyen magas a világítótorony? Hasonló síkidomok területének aránya, hasonló testek térfogatának aránya Tétel: Hasonló síkidomok területének aránya a hasonlóság arányának négyzetével egyenlő. T T = λ2 Tétel: Hasonló testek térfogatának aránya a hasonlóság arányának köbével egyenlő. V V = λ3 7

8 25.) Egy kockát 1,5-szeresére nagyítunk, az új kocka egy lapjának területe 144 cm2. Mekkora volt az eredeti kocka térfogata? 26.) Egy derékszögű háromszög befogóinak aránya 12 : 5, átfogója 6,5 cm. Hányszorosára nagyítottuk a háromszöget, ha területe 120 cm² lett? 27.) Hány százalékkal változott kicsinyítéskor annak a síkidomnak a területe, amelynek a kerülete 25%-kal csökkent? Magasságtétel, befogótétel Magasságtétel: Derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó magasság mértani közepe az átfogó két szeletének. m = p q Befogótétel: Derékszögű háromszögben az egyik befogó mértani közepe az átfogón lévő merőleges vetületének és az átfogónak. a = p c, illetve b = q c 28.) Mekkora a derékszögű háromszög átfogójához tartozó magassága, ha befogói 6 dm és 9 dm hosszúságúak? 29.) A derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága 4 cm, az átfogó egyik szelete 2 cm hosszú. Mekkorák a háromszög oldalai? 30.) Egy derékszögű háromszög egyik befogója 5 m, az átfogóhoz tartozó magasság 3 m. Mekkora a többi oldala? 31.) Egy derékszögű háromszög átfogóját az átfogóhoz tartozó magasság (amely 4 cm hosszú) 1 : 4 arányú szakaszokra bontja. Mekkora a háromszög kerülete, területe? 32.) Egy derékszögű háromszög átfogójához tartozó magasság a 16 cm-es átfogót 1 : 3 arányban osztja. Mekkora a háromszög kerülete, területe? 33.) Egy derékszögű háromszög átfogóját a hozzá tartozó magasság 8 és 18 cm hosszúságú szakaszokra bontja. Mekkora a háromszög kerülete, területe? 34.) Egy derékszögű háromszög átfogója 10 cm, a hozzá tartozó magasság 6 cm. Milyen hosszú szakaszokra bontja az átfogót a magasság? Mekkora a háromszög kerülete, területe? 8

9 35.) Egy derékszögű háromszög befogói 10 és 24 cm hosszúak. Milyen hosszú szakaszokra bontja az átfogót a hozzá tartozó magasság? Mekkora a háromszög területe? Határozd meg a háromszögbe és a háromszög köré írható kör sugarát! 36.) Egy derékszögű háromszög átfogóját a hozzá tartozó magasság 2 és 8 cm-es szakaszokra bontja. Határozd meg a háromszög oldalainak hosszát! Mekkora a háromszög területe? Határozd meg a háromszögbe és a háromszög köré írható kör sugarát! 37.) Egy derékszögű háromszög befogói úgy aránylanak egymáshoz, mint 3 : 7, az átfogóhoz tartozó magasságvonal hossza 42 cm. Mekkora a háromszög kerülete? Gyakorlófeladatok a kék könyvből: PSZT/PSZSZT: 1108; ; 1171; 1172; Hasonlóság: ; 1039; Magasság-és befogótétel: Kiegészítő anyag Párhuzamos szelők tétele: (PSZT) Ha egy szög szárait párhuzamos egyenesekkel metszük, akkor az egyik száron keletkező szakaszok aránya egyenlő a másik száron keletkező megfelelő szakaszok arányával. AB CD = A B C D Párhuzamos szelőszakaszok tétele: (PSZSZT) Egy szög szárait metsző párhuzamosokból a szárak által kimetszett szakaszok aránya megegyezik a párhuzamosok által az egyik szárból kimetszett szakaszok arányával. AD AB = DE BC Adott AB szakasz x:y arányú felosztása: 1.) Az AB szakaszt felvesszük 2.) Az A pontból egy tetszőleges segédegyenest húzunk: e egyenes 3.) Az e egyenesen felveszünk (x + y) darab egyenlő szakaszt: P pont (Az ábrán 5 darab szakaszt mértünk fel) 4.) A P pontot összekötjük B-vel 5.) Az A ponttól leszámolunk x darab szakaszt: Q pont 6.) A Q ponton keresztül párhuzamos egyenest szerkesztünk a PB szakasszal 7.) Ahol ez az egyenes elmetszik az AB szakaszt: C pont 8.) Így AC: CB = x: y. 9